第三章 二次函数 综合素质评价卷（含答案）鲁教版五四制九年级数学

第三章 二次函数综合素质评价
一、选择题(每题3分，共30分)
1．下列图象中，表示y是x的函数的是(　　)
2．若函数y＝(m2＋m)xm2－2m－1是关于x的二次函数，则m的值是(　　)
A．2 B．－1或3 C．－1 D．3
3．二次函数y＝x2－2x－3的图象如图所示，当y＜0时，自变量x的取值范围是(　　)
A．－1＜x＜3
B．x＜－1
C．x＞3
D．x＜－1或x＞3
4．[2025·北京顺义区月考]把二次函数y＝3x2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式为(　　)
A．y＝3(x－2)2＋1
B．y＝3(x＋2)2－1
C．y＝3(x－2)2－1
D．y＝3(x＋2)2＋1
5．[2025·烟台招远市月考]已知二次函数y＝ax2(a≠0)和一次函数y＝bx＋c(b≠0)的图象如图所示，则函数y＝ax2＋bx－c的图象可能是(　　)

6．已知点A(a，2)，B(b，2)，C(c，7)都在抛物线y＝(x－1)2－2上，点A在点B左侧，下列选项正确的是(　　)
A．若c<0，则aC．若c>0，则a0，则a7．[2024·天津]从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h＝30t－5t2(0≤t≤6)．有下列结论：
①小球从抛出到落地需要6 s；
②小球运动中的高度可以是30 m；
③小球运动2 s时的高度小于运动5 s时的高度．
其中，正确结论的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
8. 某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，如图①，将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象，如图②所示，该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器R消耗的电功率P最大为(　　)
A．160 W B．180 W
C．200 W D．220 W
9. 如图①，车前大灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯所在的位置合适时，灯光会沿着水平方向反射出去，此时我们称灯的位置为抛物线的“焦点”．抛物线的焦点位置有一种特性：如图②，抛物线上任意一点M到焦点A的距离AM的长，等于点M到一条平行于x轴的直线l的距离MN的长．若抛物线的表达式为y＝x2＋3，则此抛物线的焦点A的坐标为(　　)
A．(0，3) B．(0，4) C. D.
10．[2024·日照]已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分如图所示，该函数图象经过点(－1，0)，对称轴为直线x＝2.对于下列结论：①abc<0；②a＋c＝b；③多项式ax2＋bx＋c可因式分解为(x＋1)(x－5)；④当m>－9a时，关于x的方程ax2＋bx＋c＝m无实数根．其中正确的个数有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(每题3分，共18分)
11．函数y＝的自变量的取值范围是________．
12. 若二次函数y＝(a－6)x2有最小值，则a的值可以是________．
13．[2024·济宁]抛物线y＝x2－6x＋12向下平移k个单位．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是________．
14．[2025·临沂河东区月考]已知二次函数y＝ax2＋2ax＋1(a<0)，当m≤x≤0时，y有最大值1－a和最小值1，则m的取值范围是________．
15．如图，抛物线y＝x2经过平移得到抛物线y＝ax2＋bx，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是8，则抛物线y＝ax2＋bx的顶点坐标是____________．
16．[2025·济南莱芜区月考]如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，直线l与抛物线交于A，C两点，其中点C的横坐标为2，点P是线段AC上的一个动点(点P与点A，C不重合)，过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，则线段PE的最大值为________．
三、解答题(17～19题每题9分，20～22题每题10分，23题15分，共72分)
17．某二次函数图象上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如表：
x … －4 －3 －1 1 2 …
y … － 0 2 0 － …
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)在图中画出此二次函数的图象；
(3)结合图象可知当－4≤x<0时，y的取值范围为____________．
18. 实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某公司为配合国家垃圾分类入户的倡议，设计了一款成本为每个10元的多用途垃圾桶投放市场，经试销发现，销售量y(个)与销售单价x(元)符合一次函数关系，且当x＝12时，y＝96，当x＝20时，y＝80.
(1)若该公司获得利润为W(元)，试写出利润W(元)与销售单价x(元)之间的函数表达式；
(2)若物价部门限定该产品的销售单价不得超过30元，那么销售单价定为多少元时才可获得最大利润？
19．如图所示，抛物线y1的顶点为(3，2)，与x轴交于A，B两点，且A(1，0)．
(1)求y1的表达式及A，B间的距离；
(2)将x轴向下平移n个单位后得到新坐标系，此时x轴与抛物线交于C，D两点，且CD＝8.求新坐标系下抛物线y2的表达式及n的值．
20．小茗同学准备用一段长为50 m的篱笆在家修建一个一边靠墙的矩形花圃(如图①中矩形ABCD)，墙长为25 m．设花圃的一边BC为x m.
(1)花圃的面积能为300 m2吗？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由．
(2)如图②，为方便进出，小茗同学决定在BC边上留一处长为a m(021．如图，点A，B在二次函数y＝x2的图象上，已知点A，B的横坐标分别为－2和4，直线AB与y轴交于点C，连接OA，OB.
(1)求直线AB的函数表达式；
(2)求△AOB的面积；
(3)在x轴上找一点P，使PA＋PC的值最小，求点P的坐标和PA＋PC的最小值．
22. 【生活情境】
为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长AD＝4 m，宽AB＝1 m的长方形水池ABCD进行加长改造(如图①，改造后的水池ABNM仍为长方形，以下简称水池1)．同时，再建造一个周长为12 m的长方形水池EFGH(如图②，以下简称水池2)，且EF＝DM.
【建立模型】
设EF＝DM＝x m(0(1)分别求出y1与x，y2与x的函数表达式；
【问题解决】
(2)求水池2面积的最大值；
(3)当水池1的面积大于水池2的面积时，求x的取值范围；
　【数学抽象】
(4)在图④的图象中，P是此抛物线上一点，Q是抛物线对称轴上一点，是否存在以点C′，D′，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
23．[2024·东营]如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(2，0)两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点(不与点A，B，C重合)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当点D在直线BC下方的抛物线上时，过点D作y轴的平行线交BC于点E，设点D的横坐标为t，DE的长为l，请写出l关于t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围；
(3)连接AD，AD所在直线交BC于点F，连接AE，求的最大值．
答案
一、1.A　2.D　3.A　4.D　5.C　6.D
7．C 【点拨】令h＝0，则30t－5t2＝0，解得t1＝0，t2＝6，∴小球从抛出到落地需要6 s，故①正确；∵h＝30t－5t2＝－5(t－3)2＋45，∴小球运动的最大高度为45 m，∴小球运动中的高度可以是30 m，故②正确；当t＝2 s时，h＝30×2－5×22＝40(m)；当t＝5 s时，h＝30×5－5×52＝25(m)．∵40>25，∴小球运动2 s时的高度大于运动5 s时的高度，故③错误．故选C.
8．D 【点拨】∵该图象是经过原点(0，0)的一条抛物线的一部分，且过点(1，165)，(4，0)，∴该抛物线的对称轴为直线I＝2.∴设抛物线的表达式为P＝a(I－2)2＋k，∴ 解得 ∴P＝－55×(I－2)2＋220.∵a＝－55<0，∴当I＝2时，电功率P有最大值为220，即变阻器R消耗的电功率P最大为220 W，故选D.
9．C 【点拨】设抛物线y＝x2＋3与y轴交点为C，l与y轴交于点B，A(0，a)，M，则OA＝a，根据“焦点”定义可知AC＝BC，AM＝MN，∵点C为抛物线顶点，∴C(0，3)，∴OC＝3，∴AC＝BC＝a－3，∴OB＝6－a，∴N(m，6－a)，易得AM2＝m2＋
，MN2＝.由AM＝MN，得AM2＝MN2，∴m2＋＝，整理，得m2(2a－7)＝0，当m＝0时，M点与C点重合；当m≠0时，2a－7＝0，解得a＝，∴焦点A的坐标为.
10．C 【点拨】由题图可知a<0，c>0，－>0，∴b>0，∴abc<0，故①正确；∵函数图象经过点(－1，0)，∴a－b＋c＝0，即a＋c＝b，故②正确；∵二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标为－1，对称轴为直线x＝2，∴二次函数的图象与x轴的另一个交点的横坐标为5，∴多项式ax2＋bx＋c＝a(x＋1)(x－5)，故③错误；∵函数图象的对称轴为直线x＝－＝2，∴b＝－4a.∵a＋c＝b，∴c＝－5a.∵当x＝2时，y有最大值，此时y＝4a＋2b＋c＝4a－8a－5a＝－9a，∴当m>－9a时，抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝m无交点，即关于x的方程ax2＋bx＋c＝m无实数根，故④正确．综上，①②④正确．故选C.
二、11.x<　12.9(答案不唯一)　13.k≥3
14．－2≤m≤－1 【点拨】∵二次函数y＝ax2＋2ax＋1＝a(x＋1)2－a＋1(a<0)，∴该函数图象开口向下，对称轴是直线x＝－1，∴当x＝－1时，该函数取得最大值为1－a.∵当m≤x≤0时，y有最大值1－a和最小值1，当x＝0时，y＝1，根据对称性得，当x＝－2时，y＝1，∴－2≤m≤－1，故答案为－2≤m≤－1.
15. (2，－4) 【点拨】如图，设平移后所得新抛物线的对称轴和两抛物线相交于点A和点B，连接OA，OB，由平移的性质和抛物线的对称性可知a＝1，b<0，S阴影＝S△OAB，∴y＝ax2＋bx＝x2＋bx＝
(x＋)2－，∴点A的坐标为－，－，点B的坐标为－，，∴AB＝＋＝，点O到AB的距离为－，∴S△AOB＝－·＝8，解得b＝－4.∴点A的坐标为(2，－4)．
16. 【点拨】对于y＝－x2＋2x＋3，令y＝0，则－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝3，x2＝－1，∴A(－1，0)．∵点C的横坐标为2，将x＝2代入y＝－x2＋2x＋3，得y＝3，∴C(2，3)．设直线AC的函数表达式为y＝kx＋b，把A(－1，0)，C(2，3)的坐标代入，得 解得 ∴直线AC的函数表达式为y＝x＋1.∴可设点P(m，m＋1)(－1三、17.【解】(1)由题意，设二次函数的表达式为y＝a(x＋3)(x－1)，
∵二次函数的图象经过点(－1，2)，
∴－4a＝2，∴a＝－，
∴二次函数的表达式为y＝－(x＋3)(x－1)＝－(x＋1)2＋2.
(2)画出图象如图所示．
(3)－≤y≤2
18．【解】(1)设销售量y(个)与销售单价x(元)之间的一次函数表达式为y＝kx＋b，
∵当x＝12时，y＝96，当x＝20时，y＝80，
∴解得∴y＝－2x＋120，
∴W＝(x－10)(－2x＋120)＝－2x2＋140x－1 200.
(2)W＝－2x2＋140x－1 200＝－2(x－35)2＋1 250.
∵x≤30，抛物线开口向下，在直线x＝35的左侧，y随x的增大而增大，
∴当x＝30时，W有最大值．
答：销售单价定为30元时才可获得最大利润．
19．【解】(1)设抛物线y1的表达式为y1＝a(x－3)2＋2，
将点A(1，0)的坐标代入，得0＝4a＋2，解得a＝－，
∴抛物线y1的表达式为y1＝－(x－3)2＋2.
根据函数图象的对称性，得B(5，0)，
∴AB＝5－1＝4.
(2)由题意得，y2＝－(x－3)2＋2＋n，
令y2＝0，则－(x－3)2＋2＋n＝0，
解得x＝3±，
∴CD＝2＝8，解得n＝6，
∴y2＝－(x－3)2＋8.
20．【解】(1)能．∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC.
∵篱笆总长为50 m，BC的长为x m，
∴AB＝CD＝ m.
由题意，得x·＝300，
解得x1＝20，x2＝30(不合题意，舍去)．
∴题图①中花圃的面积能为300 m2，此时x的值为20.
(2)设花圃的面积为S m2.依题意，得S＝(50－x＋a)x＝－x2＋(50＋a)x(0∵0∴25<25＋<27.
又∵－<0，抛物线开口向下，
∴当x＝25时，S有最大值．
∴－×252＋(50＋a)×25＝325，解得a＝1.
∴a的值为1.
21．【解】(1)∵A，B是抛物线y＝x2上的两点，且横坐标分别为－2和4，
∴当x＝－2时，y＝×(－2)2＝1；
当x＝4时，y＝×42＝4.
∴点A的坐标为(－2，1)，点B的坐标为(4，4)．
设直线AB的表达式为y＝kx＋b，
把点A(－2，1)，B(4，4)的坐标代入，
得解得
∴直线AB的表达式为y＝x＋2.
(2)对于直线y＝x＋2，
当x＝0时，y＝2，∴C(0，2)，∴OC＝2.
∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝×2×2＋×2×4＝6.
(3)如图，作点C(0，2)关于x轴的对称点C′(0，－2)，连接AC′交x轴于点P，连接PC，则此时PA＋PC的值最小，最小值为AC′的长．
设直线AC′的表达式为y＝mx＋n，
把点C′(0，－2)，A(－2，1)的坐标代入，
得解得
∴直线AC′的表达式为y＝－x－2，
令y＝0，则0＝－x－2，解得x＝－，
∴P.
此时PA＋PC的最小值为AC′＝＝.
22．【解】(1)∵AD＝4 m，DM＝x m，∴AM＝(x＋4)m.
又∵AB＝1 m，
∴y1＝1×(x＋4)＝x＋4(0∵长方形水池EFGH的周长为12 m，
∴EF＋EH＝6 m.
又∵EF＝x m，∴EH＝(6－x)m，
∴y2＝x(6－x)＝－x2＋6x(0(2)y2＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9，
∵－1<0，0∴当x＝3时，y2有最大值，最大值为9，
∴水池2面积的最大值为9 m2.
(3)联立方程组得x2－5x＋4＝0，
解得x1＝1，x2＝4，∴C′(1，5)，D′(4，8)，
由图③知，当0(4)存在以点C′，D′，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标为(6，0)或(0，0)或(2，8)．
【点拨】∵y2＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9，
∴y2的对称轴为直线x＝3，即点Q的横坐标为3.
由题意，设P(m，－m2＋6m)，
分三种情况：
当C′P为对角线时，则1＋m＝4＋3，解得m＝6，
∴P1(6，0)；
当C′Q为对角线时，则1＋3＝m＋4，解得m＝0，
∴P2(0，0)；
当C′D′为对角线时，则1＋4＝3＋m，解得m＝2，
∴P3(2，8)．
综上，满足条件的点P的坐标为(6，0)或(0，0)或(2，8)．
23．【解】(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(2，0)两点，
∴解得
∴该抛物线的表达式为y＝x2－x－2.
(2)在y＝x2－x－2中，令x＝0，则y＝－2，∴C(0，－2)．
设直线BC的表达式为y＝kx＋m.
将B(2，0)，C(0，－2)的坐标代入，
得解得
∴直线BC的表达式为y＝x－2.
∵点D为直线BC下方的抛物线上一点，过点D作y轴的平行线交BC于点E，且点D的横坐标为t，
∴D(t，t2－t－2)，E(t，t－2)，
∴l＝DE＝t－2－(t2－t－2)＝－t2＋2t.
∵点D在直线BC下方的抛物线上，∴0(3)如图①，当0∴△DEF∽△AGF，∴＝.
把x＝－1代入y＝x－2，得y＝－3，∴G(－1，－3)，
∴AG＝3，∴＝＝－(t－1)2＋，
∴当t＝1时，＝.
∵＝，∴＝；
　
如图②，当t>2时，作AG∥DE，交BC于G.
此时DE＝t2－t－2－(t－2)＝t2－2t，
同理＝＝(t－1)2－.
∵当t>1时，随着t的增大而增大，
∴没有最大值，∴没有最大值；
如图③，当－1同理＝＝(t－1)2－.
∵当－1∴没有最大值，∴没有最大值；
　
如图④，当t<－1时，作AG∥DE，交BC于G.同理可得，没有最大值．
综上所述，当0