第二章 直角三角形的边角关系 综合素质评价卷（含答案）鲁教版五四制九年级上册数学

第二章 直角三角形的边角关系综合素质评价
一、选择题(每题3分，共30分)
1．cos 30°的值为(　　)
A. B. C. D.
2．在△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝，则cos B的值为(　　)
A. B. C．2 D.
3. INCLUDEPICTURE "../2025青岛模拟新考法等角转化法H.EPS" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../2025青岛模拟新考法等角转化法H.EPS" \* MERGEFORMAT \d 如图，在由边长相等的小正方形组成的网格中，点A，B ，C ，D，E都在网格的格点上，则∠ADC的正弦值为(　　)
A. B. C. D.
　
4．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向上距离灯塔P 6海里的A处，若海轮沿正南方向航行到灯塔P的正东方向，则海轮航行的路线AB的长是(　　)
A．6海里 B．6cos 55°海里 C．6sin 55°海里 D．6tan 55°海里
5．如图，∠ACB＝45°，∠PRQ＝125°，AC＝PR＝5，△ABC底边BC上的高为h1，△PQR底边QR上的高为h2，则有(　　)
A．h1＝h2
B．h1C．h1>h2
D．以上都有可能
6．如图，窗子高AB＝m m，窗子外面上方0.2 m的点C处安装水平遮阳板CD，且CD＝1 m，当太阳光线与水平线夹角α＝60°时，光线刚好不能直接射入室内，则m的值是(　　)
A.＋0.8　 B.＋0.2　
C.－0.2　 D.－0.8
7. INCLUDEPICTURE "../情境题·生活应用H.EPS" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../情境题·生活应用H.EPS" \* MERGEFORMAT \d 如图，一架飞机在点A处测得水平地面上一个标志物P的俯角为α，水平飞行m千米后到达点B处，又测得标志物P的俯角为β，那么此时飞机离地面的高度为(　　)
A.千米
B.千米
C.千米
D.千米
8. INCLUDEPICTURE "../新考向-数学文化h.EPS" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../新考向-数学文化h.EPS" \* MERGEFORMAT \d 如图，利用四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”中，小正方形的面积是1，大正方形的面积是25，直角三角形中较大的锐角为β，则tan β的值为(　　)
A. B. C. D.
9．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC?OB＝1?3，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于点P.若点P的坐标为(1，1)，则tan∠ACO的值是(　　)
A. B．3 C. D．2
10．[2025·潍坊诸城市模拟]如图，将菱形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，使点D落在射线CA上的点E处，折痕CP交AD于点P.若∠ABC＝30°，AP＝4，则PE＝(　　)
A.－ B．2－2 C.＋ D．2＋2
二、填空题(每题3分，共18分)
11. INCLUDEPICTURE "../新趋势·学科内综合H.EPS" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../新趋势·学科内综合H.EPS" \* MERGEFORMAT \d 在△ABC中，若＋(tan B－1)2＝0，则∠C＝________.
12．如图，点P(12，a)在反比例函数y＝(x>0)的图象上，PH⊥x轴于点H，连接OP，则tan∠POH的值为________．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，AC＝16，cos A＝，则AE的长为________．
14．某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为2米，则这个坡面的坡度为________．
15．如图，某建筑物的顶部有一块标识牌CD，小明在斜坡上的B处测得标识牌顶部C的仰角为45°，沿斜坡走下来在地面上的A处测得标识牌底部D的仰角为60°，已知斜坡AB的坡角为30°，AB＝AE＝10 m，则标识牌CD的高度是____________．
16．已知三条平行线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为格线三角形．如图，已知等腰直角三角形ABC为格线三角形，且∠BAC＝90°，那么直线BC与直线c所夹锐角α的正切值为________．
三、解答题(17～19题每题8分，20题10分，21，22题每题12分，23题14分，共72分)
17．计算：
(1)cos 45°－tan 30°sin 60°＋cos 230°；
(2)(sin 30°)－1×(sin 60°－cos 45°)－.
18．[2025·泰安校级月考]根据下列条件解直角三角形．
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝5，c＝10；
(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，S△ABC＝20.
19．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，sin∠ABC＝.
(1)求BC的长；
(2)BE是AC边上的高，请补全图形，并求BE的长．
20. INCLUDEPICTURE "../立德树人·生态保护H.EPS" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../立德树人·生态保护H.EPS" \* MERGEFORMAT \d 山东夏津黄河故道的古桑树群因其在防沙治沙、生物多样性保护、生物资源利用和农业景观维持等方面具有多功能价值，被联合国粮农组织收录为“全球重要农业文化遗产”，如今以古桑树群为核心不断滋养和丰富着夏津的文化成果和农业发展．五一期间，刘老师带领数学兴趣小组的同学们对其中一棵桑树的高度进行了相关测量．如图，他们先在地面上的A处测得桑树树顶C点的仰角为34°，然后向桑树的正下方前进6米后到达B处，测得桑树树顶C点的仰角为45°，已知测角仪的高度为1米，请你根据相关数据计算出桑树的高度．(结果精确到1 m．参考数据：sin 34°≈0.56，cos 34°≈0.83，tan 34°≈0.67)
21．[2025·潍坊潍城区月考]如图，某公园中的四个景点铺设了游览步道(步道可以骑行)，组成一个四边形ABCD，为了方便，在景点C的正东方向设置了休息区M，其中休息区M在景点A的南偏西30°方向1 600米处，景点A在景点B的北偏东75°方向，景点B和休息区M相距1 000米(∠ABM<90°)，景点D分别在休息区M、景点A的正东方向和正南方向．
(1)求步道AB的长度(结果保留根号)；
(2)小明和小莹骑共享单车到景点A游玩，他们同时从休息区M出发，小明沿M－B－A路线，速度为每分钟300米；小莹沿M－D－A路线，速度为每分钟200米．请通过计算说明，小明和小莹谁先到达景点A.(参考数据：≈1.4，≈1.7)
22．【知识再现】如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.
∵sin A＝，sin B＝，∴c＝，c＝，∴＝.
【拓展探究】如图②，在锐角三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.
请探究，，之间的关系，并写出探究过程．
【解决问题】如图③，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝120 m，∠A＝75°，∠C＝60°.请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离．
23. INCLUDEPICTURE "../新视角·项目探究题H.EPS" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../新视角·项目探究题H.EPS" \* MERGEFORMAT \d 根据以下素材，探索完成任务．
探究纸伞中的数学问题
素材1 我国纸伞制作工艺十分巧妙，如图①，AP是伞柄，伞骨AB＝AC，且AE＝AB，AF＝AC，D为伞圈，DE＝DF.伞完全张开时∠BAC＝120°
素材2 伞圈D能沿着伞柄滑动，如图②是完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D滑动到D′的位置，且A，E，D′三点共线，测得AD′＝50 cm，AE＝20 cm(参考数据： INCLUDEPICTURE "../KF600.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../KF600.TIF" \* MERGEFORMAT \d ≈24.5)
素材3 学习小组的同学经过研究发现：雨往往是斜打的，且都是平行的．如图③，某一天，雨线BM与地面的夹角为70°，小明站在完全张开的伞的伞圈D的正下方G处，记为GH，此时，发现身上被雨淋湿，测得BN＝180 cm(BN⊥MN)(参考数据：tan 70°≈2.747，sin 70°≈0.940，cos 70°≈0.342， INCLUDEPICTURE "../KF3.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../KF3.TIF" \* MERGEFORMAT \d ≈1.732)
问题解决
任务1 判断AP的位置 (1)求证：AP是∠BAC的平分线；
任务2 探究伞圈移动的距离 (2)当伞从完全张开到完全收拢时，求伞圈D移动的距离；
任务3 拟定撑伞方案 (3)求伞至少向下移动多少厘米，才能使小明站在G处时身上不被雨淋湿．(直接写出答案，结果精确到0.1 cm)
答案
一、1.A　2.A　3.D　4.B
5．B 【点拨】如图，分别作出两个三角形的高h1，h2.
∵∠ACB＝45°，AC＝5，∴h1＝AC·sin 45°＝5sin 45°.∵∠PRQ＝125°，PR＝5，∴h2＝PR·sin (180°－125°)＝5sin 55°.∵sin 55°>sin 45°，∴h2>h1.
6．C　
7．A 【点拨】作PC⊥AB交AB于点C，∵AC＝，BC＝，∴m＝AC－BC＝－，解得PC＝千米．
8．A 【点拨】由题意知，小正方形的边长为1，大正方形的边长为5.设直角三角形中较短直角边的长为x，则有(1＋x)2＋x2＝25.解得x＝3(负值不合题意，已舍去)，∴较长直角边的长为x＋1＝4，∴tan β＝.
9．B 【点拨】∵OP∥AB，∴＝.∵OC∶OB＝1∶3，∴＝，∴＝.过点P作PQ⊥x轴于点Q，易知CO∥PQ，∴OQ∶AO＝CP∶AC＝1∶2，∠ACO＝∠APQ.∵P(1，1)，∴PQ＝OQ＝1，∴AO＝2OQ＝2，∴AQ＝3，∴tan∠APQ＝＝3，∴tan∠ACO＝tan∠APQ＝3.
10．D 【点拨】作AF⊥PE于F，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝30°，∴∠D＝30°，AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA＝＝75°.由折叠的性质可知，∠E＝∠D＝30°，∴∠APE＝∠DAC－∠E＝45°，∴易得AF＝PF＝AP·cos 45°＝2，∴EF＝＝2，∴PE＝PF＋EF＝2＋2.
二、11.105°　12.　13.　14.
15．(15－5)m 【点拨】过点B作BM⊥EA交EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，由题意知DE⊥AE，∴四边形BMEN为矩形，∴BN＝ME，EN＝BM.在Rt△ABM中，AB＝10 m，∠BAM＝30°，∴AM＝AB·cos∠BAM＝5 m，BM＝AB·sin∠BAM＝5 m．在Rt△ADE中，AE＝10 m，∠DAE＝60°，∴DE＝AE·tan∠DAE＝
10 m．在Rt△BCN中，BN＝ME＝AE＋AM＝(10＋5)m，∠CBN＝45°，∴CN＝BN·tan∠CBN＝(10＋5)m.∵EN＝BM＝5 m，∴CD＝CN＋EN－DE＝10＋5＋5－10＝(15－5)m.
16. 【点拨】
如图，过点B作BE⊥a于点E，延长EB交直线c于点F，过点C作CD⊥a于点D，则∠CDA＝∠AEB＝90°.设平行线a，b间的距离为d，由a∥b∥c，相邻两条平行线间的距离相等，易知BF⊥c，CD＝2d，BE＝BF＝d.∵∠CAB＝90°，∠CDA＝90°，∴∠DCA＋∠DAC＝90°，∠EAB＋∠DAC＝90°，∴∠DCA＝∠EAB.在△CDA和△AEB中， ∴△CDA≌△AEB(AAS)．∴AE＝CD＝2d，AD＝BE＝d.∴易得CF＝DE＝AE＋AD＝2d＋d＝3d.∵BF＝d，∴tan α＝＝＝.
三、17.【解】(1)原式＝－××＋＝－＋＝.
(2)原式＝×－＝2×＋1－＝－＋1－＝1－.
18．【解】(1)根据勾股定理可得a＝＝＝5，
∵sin A＝＝＝，∴∠A＝60°，
∴∠B＝180°－∠C－∠A＝180°－90°－60°＝30°.
(2)∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝180°－∠C－∠A＝180°－90°－30°＝60°，
∴tan B＝tan 60°＝＝，∴b＝a.
∵S△ABC＝ab＝a·a＝20，
∴a＝2，∴b＝a＝2，
∴c＝＝4.
19．【解】(1)如图，过点A作AD⊥BC于点D，
在Rt△ABD中，∵AB＝5，sin∠ABC＝，
∴AD＝AB·sin∠ABC＝5×＝3，
∴BD＝＝4.
∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD＝8.
(2)补全图形如图所示．
∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，
∴sin∠ACB＝sin∠ABC＝.
∴BE＝BC·sin∠ECB＝8×＝.
20．【解】连接EF并延长交CD于点M，由题易得，EM⊥CD，AB＝EF＝6米，BF＝DM＝1米，
设CM＝x米，
∵∠CFM＝45°，∴FM＝CM＝x米．
∵EF＝6米，∴EM＝(x＋6)米．
在Rt△CEM中，∠CEM＝34°，∴tan∠CEM＝tan 34°＝＝≈0.67，
∴x≈12.2，即CM≈12.2米，
∴CD＝CM＋MD≈12.2＋1≈13(米)．
答：桑树的高度约为13米．
21．【解】(1)由题意得，∠DAM＝30°，∠BAD＝75°，∠D＝90°，AM＝1 600米，BM＝1 000米，
∴∠BAM＝∠BAD－∠DAM＝75°－30°＝45°.
过点M作MH⊥AB于H，则∠AHM＝∠BHM＝90°，
∴∠AMH＝180°－90°－45°＝45°＝∠BAM，
∴AH＝MH＝AM·sin 45°＝1 600×＝800(米)，
∴BH＝＝＝600(米)，
∴AB＝AH＋BH＝800＋600＝1 400(米)．
答：步道AB的长度为1 400米．
(2)∵AM＝1 600米，∠DAM＝30°，∠D＝90°，
∴DM＝AM＝800米，AD＝AM·cos 30°＝1 600×＝800(米)，
∴路线M－D－A的路程为MD＋AD＝(800＋800)米，
∴小莹到达景点A所用的时间为(800＋800)÷200＝4＋4≈10.8(分钟)．
∵路线M－B－A的路程为MB＋AB＝1 000＋1 400＝2 400(米)，
∴小明到达景点A所用的时间为2 400÷300＝8≈11.2(分钟)．
∵10.8<11.2，
∴小莹先到达景点A.
22．【解】【拓展探究】作CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E.
在Rt△ABE中，sin B＝＝，
同理，sin B＝＝，sin∠BAC＝＝，sin∠BCA＝＝.
∴AE＝csin B，CD＝asin B，CD＝bsin∠BAC，AE＝bsin∠BCA,
∴csin B＝bsin∠BCA，asin B＝bsin∠BAC.
∴＝，＝.
∴＝＝.
【解决问题】在△ABC中，∠B＝180°－∠A－∠C＝180°－75°－60°＝45°.
∵＝，AC＝120 m，
∴＝，解得AB＝60 m.
答：点A到点B的距离为60 m.
23．(1)【证明】∵AB＝AC，AE＝AB，AF＝AC，
∴AE＝AF.
在△ADE和△ADF中，
∴△ADE≌△ADF(SSS)．∴∠BAD＝∠CAD.
∴AP是∠BAC的平分线．
(2)【解】∵AD′＝50 cm，AE＝20 cm，
∴DE＝D′E＝30 cm.
∵当伞完全张开时，∠BAC＝120°，∠BAD＝∠CAD，∴∠EAD＝60°.
过点E作EK⊥AD于点K.
在Rt△AEK中，
AK＝AE·cos∠EAK＝20·cos 60°＝20×＝10(cm)，
EK＝AE·sin∠EAK＝20·sin 60°＝20×＝10(cm)．
在Rt△DEK中，由勾股定理，得DK＝＝≈24.5(cm)，
∴AD＝AK＋DK≈34.5 cm，
∴AD′－AD≈50－34.5＝15.5(cm)．
答：当伞从完全张开到完全收拢时，伞圈D移动的距离约为15.5 cm.
(3)【解】伞至少向下移动约37.3 cm，才能使小明站在G处时身上不被雨淋湿．
【点拨】连接BC，设AG与BC交于点O，与BM交于点Q.
易得∠AOB＝90°，NG＝BO.
在Rt△ABO中，AB＝3AE＝60 cm，∠BAO＝60°，
∴BO＝AB·sin∠BAO＝60·sin 60°≈51.96(cm)，
易得NG＝BO≈51.96cm.
在Rt△BMN中，BN＝180 cm，∠BMN＝70°，
∴MN＝≈≈65.53(cm)．
∴MG＝MN－NG≈65.53－51.96＝13.57(cm)．
∴在Rt△QGM中，QG＝MG·tan 70°≈13.57×2.747≈37.3(cm)．
∴伞至少向下移动约37.3 cm，才能使小明站在G处时身上不被雨淋湿．