第一章 反比例函数 综合素质评价卷（含答案）鲁教版五四制九年级上册数学

第一章 反比例函数综合素质评价
一、选择题(每题3分，共30分)
1．在下列函数中，y是x的反比例函数的是(　　)
A．y＝2x B．y＝ C．y＝ D．y＝
2．已知双曲线y＝经过点(1，－2)，则下列说法错误的是(　　)
A．该双曲线的表达式为y＝－ B．点(－1，2)在该双曲线上
C．该双曲线位于第二、四象限 D．当x<0时，y随x增大而减小
3．已知反比例函数y＝，当x>0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是(　　)
A．k>－1 B．k≥－1 C．k<－1 D．k≤－1
4．若点A(x1，－2)，B(x2，1)，C(x3，4)都在反比例函数y＝的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是(　　)
A．x15．如图，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A(2，3)，B(m，－2)，则不等式ax＋b>的解集是(　　)
A．－3＜x＜0或x＞2
B．x＜－3或0＜x＜2
C．－2＜x＜0或x＞2
D．－3＜x＜0或x＞3
6．如图是反比例函数y＝的图象，点A(x，y)是反比例函数图象上任意一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△AOB的面积是(　　)
A．1
B．
C．2
D．
7．[2025·济南历下区月考]如图，直线y＝－x与双曲线y＝(k≠0)交于A，B两点，已知OA＝3，则双曲线的表达式为(　　)
A．y＝
B．y＝－
C．y＝
D．y＝－
8． [2025·济南市中区月考]函数y＝kx－k和y＝－(k≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　)
9. INCLUDEPICTURE "../情境题-工业应用灰.EPS" \* MERGEFORMAT 某种玻璃原材料需在0℃环境保存，取出后匀速加热至600℃高温后，停止加热，玻璃原材料的温度会逐渐降低至室温(30℃)，加热和降温过程中可以对玻璃原材料进行加工，且加工的温度要求不低于480℃.玻璃原材料的温度y(℃)与时间x(min)的函数图象如图所示，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，以下判断正确的是(　　)
A．玻璃原材料的加热速度为120℃/min
B．玻璃原材料的降温阶段，y与x之间的函数关系式为y＝
C．能够对玻璃原材料进行加工的时长为1.8 min
D．玻璃原材料从600℃降低至室温30℃需要的时间为80 min
10．如图，矩形ABCD的顶点D在反比例函数y＝(x<0)的图象上，顶点B，C在x轴上，对角线AC的延长线交y轴于点E，连接BE，若△BCE的面积是8，则k的值为(　　)
A．－4 B．－8 C．－16 D．－20
二、填空题(每题3分，共18分)
11．若y是x的反比例函数，且当x＝2时，y＝7，则y与x之间的函数关系式是y＝________．
12．[2024·北京]在平面直角坐标系xOy中，若函数y＝(k≠0)的图象经过点(3，y1)和(－3，y2)，则y1＋y2的值是________．
13．若反比例函数y＝(2k－1)x3k2－2k－1的图象位于第二、四象限，则k的值是________．
14．已知反比例函数y1＝，y2＝－，当1≤x≤3时，函数y1的最大值是a，函数y2的最大值是b，则ab＝________.
15. INCLUDEPICTURE "../新趋势跨学科H.EPS" \* MERGEFORMAT 在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强p(kPa)与汽缸内气体的体积V(mL)成反比例关系，p关于V的函数图象如图所示．若压强由75 kPa加压到100 kPa，则气体体积压缩了________mL.
16．如图，矩形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，点B的坐标为(2，4)，则点E的坐标为____________．
三、解答题(17～19题每题9分，20～22题每题10分，23题15分，共72分)
17．已知反比例函数y＝－.
(1)写出比例系数；
(2)求当x＝－10时函数的值；
(3)求当y＝2时自变量x的值．
18.已知反比例函数y＝(m≠8)．
(1)若函数图象经过点A(－1，6)，求m的值；
(2)若函数图象位于第二、四象限，求m的取值范围；
(3)当x＞0时，y随x的增大而减小，求m的取值范围．
19. INCLUDEPICTURE "../2025青岛校级期末新趋势跨学科H.EPS" \* MERGEFORMAT 大约在两千四百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端．”如图，根据小孔成像的科学原理，当像距(小孔到像的距离)和物高(蜡烛火焰高度)不变时，火焰的像高y(单位：cm)是物距(小孔到蜡烛的距离)x(单位：cm)的反比例函数，当x＝6时，y＝2.
(1)求y关于x的函数表达式．
(2)若小孔到蜡烛的距离为4 cm，求火焰的像高．
(3)若火焰的像高不得超过3 cm，求小孔到蜡烛的距离至少是多少厘米？
20. INCLUDEPICTURE "../情境题·生活应用H.eps" \* MERGEFORMAT 为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏法进行消毒，已知药物燃烧时，室内空气中的含药量y(毫克/立方米)与药物点燃后的时间x(分钟)满足如图所示的一次函数关系，药物点燃6分钟后燃尽，药物燃尽后，校医每隔6分钟测一次空气中的含药量，测得数据如下表：
药物点燃后的时间x/分钟 6 12 18 24
空气中的含药量y/(毫克/立方米) 12 6 4 3
(1)在如图所示的平面直角坐标系中描出以表格中数据为坐标的各点；
(2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一个反比例函数的图象上，如果在同一个反比例函数的图象上，求出这个反比例函数图象所对应的函数表达式；如果不在同一个反比例函数的图象上，请说明理由；
(3)研究表明：空气中每立方米的含药量不低于8毫克，且持续4分钟以上才能有效杀灭空气中的病菌，应用上述发现的规律估算此次消毒能否有效杀灭空气中的病菌．
21．如图，以原点O为顶点作正方形OABC，已知点C(0，3)，点A在x轴的正半轴上，直线y＝x－1与边AB，OA分别交于点D，M.反比例函数y＝(k≠0，x>0)的图象过点D，与BC交于点N，连接MN.
(1)求反比例函数的表达式；
(2)若点P是直线DM上的动点，当CP＝MN时，求点P的坐标．
INCLUDEPICTURE "../1-13.EPS" \* MERGEFORMAT
22. 如图，直线y1＝－x＋4，y2＝x＋b都与双曲线y＝(x>0)交于点A(1，n)，这两条直线分别与x轴交于B，C两点．
(1)求双曲线的函数表达式；
(2)根据图象，直接写出不等式x＋b>的解集；
(3)若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成3?4两部分，求此时点P的坐标．
23. INCLUDEPICTURE "../新视角·探究拓展题H.EPS" \* MERGEFORMAT 如图①，某兴趣小组计划开垦一个面积为8 m2的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为a m.
【问题提出】
小组内有同学提出这样一个问题：若a＝10，能否围出满足条件的矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设AB为x m，BC为y m．由矩形地块的面积为8 m2，得 xy＝8，满足条件的(x，y)可看作反比例函数 y＝的图象在第一象限内点的坐标．由木栏总长为10 m，得 2x＋y＝10，满足条件的(x，y)可看作一次函数y＝－2x＋10的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的(x，y)就可以看作两个函数图象交点的坐标．
如图②，反比例函数 y＝(x>0)的图象与直线 l：y＝－2x＋10的交点坐标为(1，8)和________，因此当木栏总长为 10 m时，能围出满足条件的矩形地块，此时AB＝1 m，BC＝8 m或AB＝________m，BC＝________m.
(1)根据小颖的分析思路，完成上面的填空．
【类比探究】
(2)若a＝5，能否围出满足条件的矩形地块？请仿照小颖的方法说明理由．
【问题延伸】
当木栏总长为a m时，小颖建立了一次函数 y＝－2x＋a，发现直线 y＝－2x＋a可以看作直线y＝－2x通过平移得到，在平移过程中，当过点(2，4)时，直线 y＝－2x＋a与反比例函数y＝(x>0)的图象有唯一交点．
(3)请在图②中画出过点(2，4)的直线 y＝－2x＋a，并求出a的值．
【拓展应用】
小颖从以上探究中发现“能否围成满足条件的矩形地块问题”可以转化为“y＝－2x＋a与 y＝的图象在第一象限内交点的存在问题”．
(4)若要围出满足条件的矩形地块，且AB和BC的长均不小于1 m，请直接写出a的取值范围．
答案
一、1.C　2.D　3.C　
4．C 【点拨】已知反比例函数表达式为y＝，∵k2＋1>0，∴反比例函数图象位于第一、三象限，且在每个象限中，y随x的增大而减小，如图所示，由图可得x15．A 【点拨】∵点A(2，3)在反比例函数y＝的图象上，∴k＝6.∴反比例函数的表达式为y＝.又∵点B(m，－2)在反比例函数y＝的图象上，∴m＝－3.∴B(－3，－2)．由题图可知，当ax＋b＞时，－3＜x＜0或x＞2.
6．B 【点拨】∵点A的坐标为(x，y)，∴OB＝|x|，AB＝|y|.∵点A为反比例函数y＝的图象上一点，∴xy＝1，∴S△AOB＝AB·OB＝|xy|＝×1＝.故选B.
7．D 【点拨】过点A作AC⊥x轴于点C，∵直线y＝－x与双曲线y＝(k≠0)交于A，B两点，∴设A(n，－n)，则OC＝n，CA＝n.∵OA＝3，∴＝3，解得n＝3(负值已舍去)．∴A(3，－3)，则－3＝，解得k＝－9，∴y＝－.
8．A 【点拨】反比例函数y＝－(k≠0)中，∵－(k2＋1)<0，∴反比例函数图象位于第二、四象限，选项C、D不符合题意；一次函数y＝kx－k(k≠0)中，当k>0时，－k<0，则一次函数的图象不经过第二象限，选项A符合题意；当k<0时，－k>0，则一次函数的图象不经过第三象限，选项B不符合题意．故选A.
9．C 【点拨】玻璃原材料的加热速度为600÷4＝150(℃/min)，故A选项不正确；设玻璃原材料的降温阶段，y与x之间的函数关系式为y＝，把(4，600)代入，得k＝2 400，∴玻璃原材料的降温阶段，y与x之间的函数关系式为y＝，故B选项不正确；设玻璃原材料的加热阶段，y与x之间的函数关系式为y＝k1x，把(4，600)代入，得k1＝150，∴玻璃原材料的加热阶段，y与x之间的函数关系式为y＝150x，将y＝480代入y＝150x，得x＝3.2，将y＝480代入y＝，得x＝5，5－3.2＝1.8(min)，∴能够对玻璃原材料进行加工的时长为1.8 min，故C选项正确；将y＝30代入y＝，得x＝80，80－4＝76(min)，∴玻璃原材料从600 ℃降低至室温30 ℃需要的时间为76 min，故D选项不正确．
10．C 【点拨】设D(a，b)，则OC＝－a，CD＝b.在矩形ABCD中，AB＝CD＝b.∵点D在反比例函数图象上，∴k＝ab.易得AB∥OE，∴易得△ABC∽△EOC，∴＝，即BC·OE＝AB·OC＝－ab.∵△BCE的面积是8，∴BC·OE＝－ab＝8，∴ab＝－16，即k＝－16.故选C.
二、11.　12.0　13.0
14. 【点拨】∵对于y1＝，当1≤x≤3时，函数y1随x的增大而减小，最大值为a，∴当x＝1时，y1＝2＝a.∵对于y2＝－，当1≤x≤3时，函数y2随x的增大而增大，最大值为b，∴当x＝3时，y2＝－1＝b.∴ab＝2－1＝.
15．20
16．(4，2) 【点拨】∵点B(2，4)在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，∴4＝，∴k＝2×4＝8，∴反比例函数的表达式为y＝.∵四边形ADEF是正方形，∴AD＝ED.又∵点E在反比例函数图象上，∴设E，则OD＝a，ED＝.易知OA＝2，∴AD＝a－2＝ED＝，∴a2－2a＝8，解得a1＝4，a2＝－2.∵a>0，∴a＝4，∴E(4，2)．
三、17.【解】(1)由反比例函数y＝－可知比例系数为－.
(2)把x＝－10代入y＝－，得y＝－＝.
(3)把y＝2代入y＝－，得＝－，
解得x＝－.
18．【解】(1)∵函数图象经过点A(－1，6)，
∴m－8＝－1×6＝－6，∴m＝2.
(2)∵函数图象位于第二、四象限，
∴m－8＜0，解得m＜8.∴m的取值范围是m＜8.
(3)∵当x＞0时，y随x的增大而减小，
∴m－8＞0，解得m＞8.
∴m的取值范围是m＞8.
19．【解】(1)由题意设y关于x的函数表达式为y＝，
把x＝6，y＝2代入，得k＝6×2＝12，
∴y关于x的函数表达式为y＝.
(2)把x＝4代入y＝，得y＝3，
∴火焰的像高为3 cm.
(3)当y≤3时，即≤3，
∵x>0，∴3x≥12，解得x≥4.
答：小孔到蜡烛的距离至少是4 cm.
20．【解】(1)如图所示．
(2)观察各点的分布规律，易得它们在同一个反比例函数的图象上．
设反比例函数的表达式为y＝，
把点(6，12)的坐标代入，得k＝12×6＝72，
∴这个反比例函数的表达式为y＝.
(3)易得一次函数表达式为y＝2x(0≤x≤6)，把y＝8代入y＝2x，得8＝2x，∴x＝4.
把y＝8代入y＝，得＝8，∴x＝9.
∵9－4＝5(分钟)＞4分钟，
∴此次消毒能有效杀灭空气中的病菌．
21．【解】(1)∵C(0，3)，∴OC＝3.
∵四边形OABC是正方形，∴OA＝OC＝3.
∵点M，D在直线y＝x－1上，
∴易得点M(1，0)，D(3，2)．
∵点D在y＝(k≠0，x>0)的图象上，∴k＝3×2＝6，
∴反比例函数的表达式为y＝(x>0)．
(2)设P(a，a－1)．
对于y＝，当y＝3时，x＝2，∴N(2，3)．
又∵M(1，0)，∴MN2＝(2－1)2＋32＝10.
∵CP＝MN，∴CP2＝MN2，
∴a2＋(a－1－3)2＝10，
整理，得a2－4a＋3＝0，解得a1＝1，a2＝3.
∴P(1，0)或(3，2)．
22．【解】(1)将点A(1，n)的坐标代入y1＝－x＋4，
得n＝－1＋4＝3，∴A(1，3)．
将点A(1，3)的坐标代入y＝，
得3＝，解得k＝3.
∴双曲线的函数表达式为y＝.
(2)结合图象可知，不等式x＋b>的解集为x>1.
(3)对于y1＝－x＋4，
令y1＝0，得0＝－x＋4，解得x＝4，∴B(4，0)．
将点A(1，3)的坐标代入y2＝x＋b，
得3＝×1＋b，解得b＝，
∴y2＝x＋，
令y2＝0，得0＝x＋，解得x＝－3，∴C(－3，0)．
设P(m，0)，则PC＝m＋3，PB＝4－m，
∴＝＝.
当＝时，＝，解得m＝0，∴P(0，0)；
当＝时，＝，解得m＝1，∴P(1，0)．
综上所述，点P的坐标为(0，0)或(1，0)．
23．【解】(1)(4，2)；4；2
(2)不能围出．理由：
∵木栏总长为5 m，∴2x＋y＝5，即y＝－2x＋5.
画出一次函数y＝－2x＋5的图象，如图中的直线i.
∵直线i与函数y＝(x>0)的图象没有交点，
∴不能围出满足条件的矩形地块．
(3)如图，l1即为过点(2，4)的直线y＝－2x＋a，
将点(2，4)的坐标代入y＝－2x＋a，得4＝－2×2＋a，
解得a＝8.
(4)8≤a≤17. 【点拨】∵AB和BC的长均不小于1 m，∴x≥1，y≥1，∴y＝≥1，∴x≤8，∴1≤x≤8.当x＝8时，y＝1，把x＝8，y＝1代入y＝－2x＋a可得a＝17，∴过点(8，1)的直线为y＝－2x＋17，如图中的直线l2.由(3)知，直线l1与反比例函数y＝(x>0)的图象有唯一交点，此时a＝8.易知直线y＝－2x＋a在l1和l2上或它们之间移动，∴8≤a≤17.