苏教版高中数学必修第二册-9.2.2向量的数乘 -同步练习（含解析）

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苏教版高中数学必修第二册-9.2.2向量的数乘-同步练习
A级 必备知识基础练
1.下列运算正确的个数是(　　)
①(-3)·2a=-6a;
②2(a+b)-(2b-a)=3a;
③(a+2b)-(2b+a)=0.
A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3
2.已知a=5e,b=-3e,c=4e,则2a-3b+c等于(　　)
A.5e B.-5e C.23e D.-23e
3.已知向量a,b为非零向量,=a+3b,=5a+3b,=-3a+3b,则(　　)
A.A,B,C三点共线
B.A,B,D三点共线
C.A,C,D三点共线
D.B,C,D三点共线
4.3(6a+b)-9（a+b）=　　　　　.
5.已知向量a与b反向,且|a|=r,|b|=R,b=λa,则λ的值等于　　　　　.
6.已知P,A,B,C是平面内四点,且,则下列向量一定共线的是　　　　　.(填序号)
①;　②;　③;　④.
7.若=5e,=-7e,且||=||,则四边形ABCD的形状是　　　　　.
8.若非零向量a与b不共线,ka+2b与3a+kb共线,则实数k的值为　　　　　.
9.计算:
(1)6(3a-2b)+9(-2a+b);
(2)6(a-b+c)-4(a-2b+c)-2(-2a+c).
B级 关键能力提升练
10.下列说法正确的是(　　)
A.λa与a的方向不是相同就是相反
B.若a,b共线,则b=λa
C.若|b|=2|a|,则b=±2a
D.若b=±2a,则|b|=2|a|
11.下列各组向量中,一定能推出a∥b的是(　　)
①a=-3e,b=2e;
②a=e1-e2,b=-e1;
③a=e1-e2,b=e1+e2+.
A.① B.①② C.②③ D.①②③
12.已知a,b是不共线的向量,=λa+2b,=a+(λ-1)b,且A,B,C三点共线,则实数λ的值为(　　)
A.-1 B.2
C.-2或1 D.-1或2
13.如图,在△ABC中,=a,=b,=3=2,则等于(　　)
A.-a+b B.a-b
C.a+b D.-a+b
14.已知m,n是实数,a,b是向量,则下列说法正确的是(　　)
①m(a-b)=ma-mb;
②(m-n)a=ma-na;
③若ma=mb,则a=b;
④若ma=na,则m=n.
A.②④ B.①② C.①③ D.③④
15.已知在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则四边形ABCD为 (　　)
A.梯形 B.正方形
C.平行四边形 D.矩形
16.(多选)已知点P为△ABC所在平面内一点,且+2+3=0,若E为AC的中点,F为BC的中点,则下列结论正确的是(　　)
A.向量可能平行
B.向量可能垂直
C.点P在线段EF上
D.PE∶PF=1∶2
17.已知2a-b=m,a+3b=n,那么a,b用m,n可以表示为a=　　　　　　,b=　　　　　　　.
18.如果实数p和非零向量a与b满足pa+(p+1)b=0,则向量a和b　　　　　.(填“共线”或“不共线”)
19.已知在△ABC中,点M满足=0,若存在实数m使得=m成立,则m=　　　　　.
20.已知M是△ABC所在平面内的一点,若满足6-2=0,且S△ABC=λS△ABM,则实数λ的值是　　　　　.
21.如图,F为线段BC的中点,CE=2EF,DF=AF,设=a,=b,试用a,b表示.
22.已知O,A,M,B为平面上四点,且=λ+(1-λ)(λ∈R,λ≠0,且λ≠1).
(1)求证:A,B,M三点共线;
(2)若点B在线段AM上,求实数λ的取值范围.
C级 学科素养创新练
23.在△ABC中,点P是AB上一点,且,Q是BC的中点,AQ与CP的交点为M,且=t,求实数t的值.
24.设a,b,c为非零向量,其中任意两向量不共线,已知a+b与c共线,且b+c与a共线,则b与a+c是否共线 请证明你的结论.
参考答案与详细解析
A级 必备知识基础练
1.答案C
解析根据向量数乘运算和加减运算规律知①②正确;③中,(a+2b)-(2b+a)=a+2b-2b-a=0,是零向量,而不是0,所以该运算错误.所以运算正确的个数为2.
2.答案C
解析2a-3b+c=2×5e-3×(-3e)+4e=23e.
3.答案B
解析∵=2a+6b=2(a+3b)=2,
∴A,B,D三点共线.
4.答案9a
解析3(6a+b)-9（a+b）=18a+3b-9a-3b=9a.
5.答案-
解析因为b=λa,所以|b|=|λ||a|.
又因为a与b反向,所以λ=-.
6.答案②
解析因为,
所以=0,
即-2,所以共线.
7.答案等腰梯形
解析由已知得=-,
因此,且||≠||,所以四边形ABCD是梯形.
又因为||=||,
所以四边形ABCD是等腰梯形.
8.答案±
解析∵ka+2b与3a+kb共线,
∴存在实数λ,使得ka+2b=λ(3a+kb),
∴(k-3λ)a=(λk-2)b.
∵a与b不共线,∴∴k=±.
9.解(1)原式=18a-12b-18a+9b=-3b.
(2)原式=6a-6b+6c-4a+8b-4c+4a-2c
=(6a-4a+4a)+(8b-6b)+(6c-4c-2c)
=6a+2b.
B级 关键能力提升练
10.答案D
11.答案B
解析①中,a=-b,所以a∥b;
②中,b=-e1==-a,所以a∥b;
③中,b=(e1+e2),若e1与e2共线,则a与b共线,若e1与e2不共线,则a与b不共线.故选B.
12.答案D
解析因为A,B,C三点共线,
所以存在实数k,使=k.
因为=λa+2b,=a+(λ-1)b,
所以λa+2b=k[a+(λ-1)b].
因为a与b不共线,所以
解得λ=2或λ=-1.
13.答案D
解析+-
=)-=-
=-a+b.
14.答案B
解析由向量数乘的运算律知①②正确;③中当m=0时,ma=mb,但a不一定等于b,故错误;④中当a=0时,ma=nb,但m不一定等于n,故错误.
15.答案A
解析∵
=(a+2b)+(-4a-b)+(-5a-3b)
=-8a-2b=2(-4a-b),
∴=2.
∴共线,且||=2||.
又这两个向量所在的直线不重合,
∴四边形ABCD是以AD,BC为两条底边的梯形.
16.答案BC
解析∵+2+3=0,
∴+2()=0,
∵E为AC的中点,F为BC的中点,
∴2+4=0,
∴=-2,
∴P为FE的三等分点(靠近点F),即PE∶PF=2∶1,故C正确,D错误;
向量不可能平行,故A错误;
当||=2||=|=|时,向量垂直,故B正确.
17.答案m+n　-m+n
解析由2a-b=m,可得b=2a-m,代入a+3b=n可得a+3(2a-m)=n,解得a=m+n,代入b=2a-m可得b=-m+n.
18.答案共线
解析由题意知,实数p≠0,则pa+(p+1)b=0可化为a=-b,由向量共线定理可知a,b共线.
19.答案3
解析∵=0,∴点M是△ABC的重心.
∴=3,∴m=3.
20.答案3
解析记2.
∵+2-2=0,
∴=2,∴S△ABC=S△ABN.
又S△ABM=S△ABN,
∴S△ABC=3S△ABM,∴λ=3.
21.解因为=b-a,(b-a),
所以a+b.
因为(a+b),所以(a+b),
所以(a+b)-b=a-b.
22.(1)证明∵=λ+(1-λ),
∴=λ-λ=λ-λ,
∴=λ(λ∈R,λ≠0,且λ≠1).
又AM与AB有公共点A,
∴A,B,M三点共线.
(2)解由(1)知=λ,
若点B在线段AM上,则同向,且||>||>0,∴λ>1.
C级 学科素养创新练
23.解∵,
∴3=2,即2-2.
∴2,即P为AB的一个三等分点(靠近点A),如图所示.
∵A,M,Q三点共线,
∴设=x+(1-x)+(x-1),
又,∴.
又,且=t,
∴=t.
∴解得t=.
24.解 b与a+c共线.证明如下:
∵a+b与c共线,
∴存在唯一实数λ,使得a+b=λc. ①
∵b+c与a共线,
∴存在唯一实数μ,使得b+c=μa. ②
由①-②得,a-c=λc-μa.
∴(1+μ)a=(1+λ)c.
又a与c不共线,∴1+μ=0,1+λ=0,
∴μ=-1,λ=-1,∴a+b=-c,
即a+b+c=0.∴a+c=-b.
故b与a+c共线.
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