(共30张PPT)
考查重点
基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验
考试要求
了解经历（a）
命题思想
狠抓基础、注重过程
发现问题、提出问题、分析问题、解决问题能力
运用探索（c）
理解体验（b）
渗透思想、突出能力
强调应用、着重创新
温
闻
稳
问
知识技能
思想方法
能力应用
反思创新
埋知识技能于“题”中，让学生挖掘
《一元一次不等式（组）》的复习
首先，了解一下《数学课程标准》中对不等式（组）的考试内容和考查要求：
1、结合具体问题了解不等式的意义，并探索不等式的基本性质。
2、能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；会用数轴确定由两个一元一次不等式组的解集。
3、能根据具体问题中的数量关系列出一元一次不等式，解决简单问题。
【复习教学过程设计】
1.下列四个命题中，正确的有（ ）
①若a>b，则a+1>b+1； ②若a>b，则a-1>b-1；
③若a>b，则-2a<-2b； ④若a>b，则2a<2b．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【设计意图】以选择题的形式复习不等式的基本性质，特别对于两边同乘以负数的情况加以强调。
2.如果代数式
的值不小于5－x
①求x的取值范围；
②将x的取值范围用数轴表示出来。
【设计意图】题目形式上显简单，数据也不大，不复杂，所有学生易于接受。但考查的内容多：（1）具体问题中列不等关系式（不小于）；（2）一元一次不等式的解法，特别是学生易错点（去分母）；（3）解集能用数轴表示。
③找一个满足条件的非负整数(或求非负整数解)。
3.解不等式组
【设计意图】此类题目的在于基础解题能力的复习，让学生会解不等式组，重点在于能找到不等式组的解集，这也是学生学习中的难点。不必在不等式组形式、结构上设计过多的“障碍”，如：去分母，去括号……，巩固基本解题技能，不急于求成。
4.写出下列不等式组的解集：
（1）
（2）
（3）
【设计意图】借助于问题3变化而来，复习巩固寻找不等式组解集方法，解决难点；复习巩固了不等式组的解集在数轴上的各种表示方法，如：表示空心点还是实心点等。
5.写出不等式组
的整数解
【设计意图】求不等式组的整数解的问题也是中考要求的内容，用已经求出解集的不等式组来解决这一类型的问题，既可节约时间，又能让所有学生均能接受问题，并加以思考。
蕴思想方法于“需”中，让学生体会
6.若不等式组
的解集是-1＜x≤2，则a的值为 .
【设计意图】将原题中的具体数字“1”变换成字母“a”，并给出解集，让学生探求字母“a”的取值，形成“不等式组存有未知，而解集为已知，探索取值问题”。题目的这种变化会激起学生的学习兴趣，也很容易让学生猜出结果是“1”，但必须加以验证。
7. 若不等式组
有解，则a的取值范围为 .
【设计意图】此题在上一题的基础上难度又进一步提升，“不等式组存有未知，解集也未知”，学生从字面上“有解”去理解，可能有学生会认为还是“-1＜x≤2”，也可能会有学生提出不一定是，因为字母“a”的值不确定，解集也不确定了，从而形成了课堂教学的互动，“数形结合”的思想随着学生的需要应运而生，复习也就有效生成。
7. 若不等式组
有解，则a的取值范围为 .
2
由①得:
由②得:x≤2
8. 若不等式组
的整数解只有三个，则a的取值范围为 .
【设计意图】注重逆向思维的培养，更能充分体现“数形结合”的优越性。
8. 若不等式组
的整数解只有三个，则a的取值范围为 .
2
1
0
-1
-2
呈数学模型于“脑”中，让学生应用
如图，已知AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C， E为BC上一动点，连结AE，DE，且∠AED ＝90°
（1）△ABE和△ECD有怎样的关系，为什么？
（2）若AE＝DE,则△ABE和△ECD又有怎样的关系呢？
《Ｋ型相似三角形》的专题复习
现模型
用模型
如图，四边形ABCD，EFGH，NHMC都是正方形，且正方形ABCD，EFGH的边长分别为3和4，且点A、B、N、E、F在同一直线上，则MH＝ .
已知正方形ABCD的边长为4，点P是BC边上的动点（不 与B、 C重合），点Q是CD边上的动点，且PQ⊥AP.设BP=x，CQ=y.
（2）当y= 时，x=_____,此时符合条件的P点有几个？
（1）求y关于x的函数解析式和y的最大值；
（3）y在什么范围时，符合条件的P点的个数分别是1个，2个
（4）若P点从B点向C点运动，求Q点的运动路径长.
用模型
如图，把第1题中的三个直角改成三个相等的锐角，其它条件不变，则相应的两个三角形仍然相似.即：若∠B=∠AED=∠C ，则△ABE∽△ECD.你知道为什么吗？
推广模型
模型综合运用
如图，已知抛物线y=－x2+3x+4交y轴于点A，交x轴于点B，C(点B在点C的右侧)．过点A作垂直于y轴的直线l．在位于直线l下方的抛物线上，任取一点P，过点P作直线PQ平行于y轴交直线l于点Q．连结AP．
(1) 求出A，B，C三点的坐标．
(2) P位于抛物线y=－x2+3x+4的对称轴的右侧：
①如果以A，P，Q三点构成的三角形与△AOC相似，请求出点P的坐标；
②若将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点M．是否存在点P，使得点M落在x轴上．如果存在，求出直线AP的解析式，若不存在，请说明理由．
放学生思维于“变”中，让学生反思
如图，已知抛物线y=－x2+3x+4交y轴于点A，交x轴于点B，C(点B在点C的右侧)．过点A作垂直于y轴的直线l．在位于直线l下方的抛物线上，任取一点P，过点P作直线PQ平行于y轴交直线l于点Q．连结AP．
(1) 求出A，B，C三点的坐标．
(2) P位于抛物线y=－x2+3x+4的对称轴的右侧：
①如果以A，P，Q三点构成的三角形与△AOC相似，请求出点P的坐标；
②若将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点M．是否存在点P，使得点M落在x轴上．如果存在，求出直线AP的解析式，若不存在，请说明理由．
如图，已知抛物线y=－x2+3x+4交y轴于点A，交x轴于点B，C(点B在点C的右侧)．过点A作垂直于y轴的直线l．在位于直线l下方的抛物线上，任取一点P，过点P作直线PQ平行于y轴交直线l于点Q．连结AP．
变式1：若点P可以在直线l的上方， 则第(2)题的第1问还有没有其它情况？
(1) 求出A，B，C三点的坐标．
(2) P位于抛物线y=－x2+3x+4的对称轴的右侧：
①如果以A，P，Q三点构成的三角形与△AOC相似，请求出点P的坐标；
②若将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点M．是否存在点P，使得点M落在x轴上．如果存在，求出直线AP的解析式，若不存在，请说明理由．
如图，已知抛物线y=－x2+3x+4交y轴于点A，交x轴于点B，C(点B在点C的右侧)．过点A作垂直于y轴的直线l．在位于直线l下方的抛物线上，任取一点P，过点P作直线PQ平行于y轴交直线l于点Q．连结AP．
(1) 求出A，B，C三点的坐标．
(2) P位于抛物线y=－x2+3x+4的对称轴的右侧：
①如果以A，P，Q三点构成的三角形与△AOC相似，请求出点P的坐标；
②若将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点M．是否存在点P，使得点M落在x轴上．如果存在，求出直线AP的解析式，若不存在，请说明理由．
变式2：若点P还可以在对称轴的左侧，则第(2)题的第1问还有没有其它情况？
如图，已知抛物线y=－x2+3x+4交y轴于点A，交x轴于点B，C(点B在点C的右侧)．过点A作垂直于y轴的直线l．在位于直线l下方的抛物线上，任取一点P，过点P作直线PQ平行于y轴交直线l于点Q．连结AP．
(1) 求出A，B，C三点的坐标．
(2) P位于抛物线y=－x2+3x+4的对称轴的右侧：
①如果以A，P，Q三点构成的三角形与△AOC相似，请求出点P的坐标；
②若将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点M．是否存在点P，使得点M落在x轴上．如果存在，求出直线AP的解析式，若不存在，请说明理由．
变式3：如果将抛物线的解析式改为y=－x2+3x+3，则第(2)题的第2问“点Ｐ还存在吗”？
如图，已知抛物线y=－x2+3x+4交y轴于点A，交x轴于点B，C(点B在点C的右侧)．过点A作垂直于y轴的直线l．在位于直线l下方的抛物线上，任取一点P，过点P作直线PQ平行于y轴交直线l于点Q．连结AP．
(1) 求出A，B，C三点的坐标．
(2) P位于抛物线y=－x2+3x+4的对称轴的右侧：
①如果以A，P，Q三点构成的三角形与△AOC相似，请求出点P的坐标；
②若将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点M．是否存在点P，使得点M落在x轴上．如果存在，求出直线AP的解析式，若不存在，请说明理由．
变式4：改成y=－x2+3x+5呢？
变式5：如果第（2）题中第2问“点P一定存在”，那么抛物线解析式y=－x2+3x+c中有什么要求呢？
1．这类问题的审题中应注意哪些容易疏忽遗漏的信息，今后的审题中可以采取哪些手段来避免这些问题的发生？
2．这类问题的分类标准应如何制定才能不重不漏？
3．动态问题如何 以“形”定“数”，以静”制动？
4．怎样从复杂的图形中分离出基本图形？需要平时对各种基本图形的特征了然于胸．(共15张PPT)
越城区鉴湖镇中学 孟伟萍
利用课本资源 坚持能力立意
我的课本习题改造观
一、条件的“变与换”
二、图形的“动与变”
三、难度的“提与降”
四、提问的“探与拓”
五、背景的“简与活”
原题 （浙教版八年级数学
《矩形（1）》配套作业本）
如图,将矩形纸片ABCD沿对角线AC对折,使点D落在点P处,AP交CB于点E.已知∠CAD=30°
（1）求∠PCB的度数；
（2）求证：EB=PE.
一、从条件的变与换进行改编
通过变条件，结论不变或者变结论，条件不变进行改编；
通过条件与结论的互换进行改编
改编1如图,将矩形纸片ABCD沿对角线AC对折,使点D落在点P处,AP交CB于点E.已知AB=1， AD= ，
（1）求∠PCB的度数；
（2）求证：EB=PE.
考查学生的计算能力、初步的逻辑思维能力
改编2 如图1,已知矩形纸片ABCD中, AB=1, AD= ,
将纸片沿对角线AC对折，点D 落在点P处，PA交
CB于点E .
（1）求∠BAP的度数；
（2）如图2，将折叠后的纸片沿着AC剪开，把△APC绕点A逆时针旋转到△AP1C1所在位置，P1C1与BC交于点M，P1A与BC交于点N.当△P1MN为等腰直角三角形时，求点P运动的路径长.
二、从图形的动与变进行改编
从图形的基本变换或点的运动来进行改编
考查学生的空间想象能力
（1）求∠BAP的度数；
（2）如图3，将折叠后的纸片沿着AC剪开，把△APC绕点A逆时针旋转一周，直线P1C1与直线BC交于点M，直线P1A与直线BC交于点N.当△P1MN为等腰直角三角形时，请求出△APC逆时针旋转的角度.
三、从难度的提与降进行改编
考查学生的思维深度
改编3 如图1,已知矩形纸片ABCD中, AB=1, AD= , 将纸片沿对角线AC对折，点D 落在点P处，PA交 CB于点E .
改编3 如图1,已知矩形纸片ABCD中, AB=1, AD= , 将纸片沿对角线AC对折，点D 落在点P处，PA交 CB于点E .
B
（1）求∠BAP的度数；
（2）如图2，将折叠后的纸片沿着AC剪开，把△APC绕点A逆时针旋转到△AP1C1所在位置，P1C1与BC交于点M，P1A与BC交于点N.
①当△APC绕点A逆时针旋转15°时，判断△P1MN的形状.
②将△APC从图3的位置绕点A逆时针旋转一周，当△P1MN为等腰直角三角形时，请直接写出△APC逆时针旋转的角度.
四、从提问的探与拓进行改编
考查学生观察和理解、操作与探究的能力
改编4 如图1,已知矩形纸片ABCD中, AB=1, AD= ,
将纸片沿对角线AC对折，点D 落在点P处，PA交
CB于点E .
B
改编5 如图4，矩形纸片ABCD中，AB=1，AD= ， 将△ADC绕点A顺时针旋转α角（0°≤α≤90°）得到△AD′C′，且AC′与BC交于E.
（1）当α=15°时，求证：AB=BE；
（2）求旋转过程中边DC扫过的面积；
（3）当D′恰好落在BC边上时，求
此时BE的长.
五、从背景的简与活进行改编
考查学生分析问题和解决问题的能力
感想：
中考复习绝对不是围绕“题型”和“题海”反复进行的“大运动量”的训练，适合学生学情的习题的编制和教学，可以激发学生学习数学的兴趣，发展学生数学思维，提高数学课堂教学效率,从而促进学生能力的发展。加强对中考考题的研究，利用课本资源 ，坚持能力立意，提高自身命题能力将是恒久的课题。
感谢聆听！(共58张PPT)
宁波市教育局教研室
杨一丽
研读中考试题 提高复习效率
准确把握基础教育课程改革的方向，以《全日制义务教育数学课程标准为指导，以《宁波市初中毕业生学业考试说明》为依据.
命题充分渗透新课程的教育理念，引导师生转变教和学的方式，切实减轻学生过重的课业负担，全面推进新课程教育改革的实施．
结合宁波市初中数学课程改革实际，本着面向全体、稳中求新、兼顾选拔的原则.
一、命题思想
稳中求新
兼顾选拔
面向全体
试题力求做到低起点，宽入口，编排由易到难. 试卷要关注绝大部分学生的学业水平，让他们有成功的体验.
通过设置探索性的问题，考查学生的探究问题能力、数学学习能力.
全卷设置多题多点压轴，具有明显的区分度，压轴题要给学习能力较强的学生创造了展示自我的空间.
二、试卷要求
1．基本信息
考试性质为“毕业考试”和“升学考试”两考合一，采用闭卷笔试形式. 全卷满分为150分，考试时间为120分钟.
2．试卷构成
全卷共26道题，其中选择题12小题共48分、填空题6小题共24分、解答题8题共78分，各题型占总分的比例分别为32％，16％，52％. 数与代数、空间与图形、统计与概率、实践与综合运用这四部分占总分的百分比分别约为
40％，40％，15％，5％.
3．试题内容分布情况
试题类型及内容分布表
数与代数 空间与图形 统计与概率 课题学习 合计 百分比
选择题 16 28 4 0 48 32%
填空题 12 12 0 0 24 16%
解答题 33 21 16 8 78 52%
合计 61 61 20 8 150 1
百分比 41% 41% 13% 5% 1
三、命题方向
PISA项目是目前世界上最有影响力的国际学生学习评价项目之一，其目的在于测量义务教育即将结束时，年青人(15岁)为走向社会而准备的知识和能力情况。PISA的评价内容和评价框架都是基于“素养”这一概念提出的。其将“素养”定义为：学生运用所学知识和技能，有效进行分析、推论、交流，在各种情景中解决和解释问题的能力。PISA有三个明显的特征是：一是情景，强调真实的社会生活或生产活动的情景；二是运用，强调运用已学到的知识进行解释或解决问题；三是思维，强调进行有效分析、推论、交流等思维能力。
（一 ） PISA试题, 接轨国际先进的教育理念
（2013年试卷第12题）7张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S．当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a,b满足
（A） （B）
（C） （D）
(图1)
A
B
C
D
a
b
图２
（第12题图）
x
x-y
x-2y
y
x-y
（二） 凸显数学文化的试题，提升学生的数学素养
数学是人类认识世界和改造世界的一种工具，而数学文化是在社会历史实践中所创造的物质财富和精神财富的积淀，是数学与人文的结合。所以数学文化具有比知识本身更为丰富和深刻的内涵，如此美好的文化又常常被师生忽略。所以在学业考试试题中有必要渗透数学文化。此类试题旨在让学生能对已有的知识、技能进行拓展，延伸到数学的思想、方法及精神层面，对数学文化具有更高层次的理解。
（2012年试卷第12题）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图①是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图②是由图①放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为
（A）90 （B）100
（C）110 （D）121
J
（图①）
A
B
C
D
E
F
G
H
I
K
L
M
（图②）
（图2）
（三） 新定义试题，体现过程性学习的理念
这一类试题往往先给出新定义或者给出几个新模型来创设全新的问题情境，要求学生能够运用已学知识和方法理解“新定义”，解决新问题。其挑战性很大程度上取决于“新”的程度及所设置的问题与“新定义”的关联程度。因此类试题能有效承载考查学生能力，关注学习和探究的过程，充分体现 “重视过程性学习”理念，近年来成为全国各地的中高考试题命制者研究的热门方向。
例1 阅读下面的情景对话，然后解答问题：
老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第 三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．
小华：等边三角形一定是奇异三角形！
小明：那直角三角形中是否存在奇异三角形呢？
（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？
（2011试卷第25题）
（ 以下省略了原试卷中的情景图案）
（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB=c，AC=b，BC=a，且 ，若Rt△ABC是奇异三角形，求a:b:c；
（3）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点(不与点A、B重合)，D是半圆ADB的中点， C、D在直径AB两侧，若在⊙O内存在点E，使得AE=AD，CB=CE．
① 求证：△ACE是奇异三角形；
② 当△ACE是直角三角形时，
求∠AOC的度数．
编拟思路：
本题原计划是想编拟一道勾股定理引申的拓展题，但在编拟中发现直角三角形的三边关系以及面积已被挖掘很多，难有新意，因此决定选择探索三边有特殊联系的其他三角形。于是 关于“奇异三角形”的想法就诞生了。根据双向细目表，结合了圆的知识内容。
即得△
是奇异三角形
或
可得
的度数为
试题以奇异三角形为背景，将等边三角形、直角三角形、圆等初中数学的核心内容巧妙地融合起来，学生在完成试题的过程中经历了学习新知、辨析心知、应用心知三个环节。试题成功地跳出勾股定理的局限且设计的对话情景新颖活泼。
评析：
(2013年试卷第25题）若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫做这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．
（1）如图①，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD平分∠ABC．
求证：BD是梯形ABCD的和谐线；
（2）如图②，在12×16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个扇形BAC，点A，B，C均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找出一个点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；
（3） 四边形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四边形ABCD的和谐线‘求∠BCD的度数．
图②
图①
A
D
B
C
C
B
A
(图4)
编拟说明：
根据整体规划，我们需要编拟融四边形、特殊三角形等几何核心知识及包含阅读理解、判断推理、操作计算等方式的学习型试题，于是想到“对角线把四边形分成两个等腰三角形”的这样一个基本图形。在设置关键的第2问时，有两个困惑：①如何在三点A，B，C确定情况下，找到点D使得A，B，C，D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线。②阅卷时如何判断学生所作的D点位置正确。为解决问题，我们设置了最小的12×16的网格图，为防止学生受习惯性思维影响，想当然认为点D只能在格点上，我们给出了扇形图，便于学生找到D点的另一位置即为弧与网格图的交点，这样的设置也便于科学地阅卷。
第三问主要考查学生应用定义解决问题的能力及分类讨论的思想方法。为防止分类太多，干扰学生解题，我们把条件从开始的AB=AD改为AB=AD=BC，这样修改既保证涵盖3种不同的类别，又简化了分类的标准。
本题对学生已有结论的记忆、模仿、套用的考查几乎没有，凸显对探究性学习的“过程性”评价。旨在帮助学生学会学习，让学生离开学校时有“带得走的东西”。
图2
图1
(2015年试卷第25题）
（四）课题学习、实验操作性试题，倡导科学的学习习惯
此类试题能够帮助学生形成正确的数学概念，更好地理解数学原理，提高学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，促使学生养成良好的观察、猜想、操作、验证的学习习惯，培养学生严谨的科学态度和辩证的思想。
三角形
平行四边形（非菱形）
菱形
（共16种）
（共18种，包括1种菱形）
（共1种）
（2）两个公共底为2
的小三角形拼成
一个大三角形
（2）两个全等三角形
拼成一个平行四边形
（2）矩形分成四个全等
三角形平移得菱形
说明：本题是从八年级下册P103页的课本阅读材料——格点多边形的面积计算改编而来，通过在方格子中画出一个面积为6的格点多边形的设置，问题具有开放性，不仅考查学生对三角形、平行四边形、菱形的概念的理解及其面积的计算进行图形的设计，充分考查学生的开拓思维能力，而且考查待定系数法、方程思想和数形结合思想的应用，同时让学生经历阅读、操作、观察、判断、探究、验证的过程，让学生深刻体会到数学课堂中活动性的意义，突出了对学生基本活动经验和探究能力的考查.
（五 ） 创新型的压轴题，有效遏制题海战术
多年来，纵观各地的压轴题，通常是以抛物线为背景，进行考查，层出不穷。为应付考试，教师会让学生被动地大量做历年压轴题，如此的题海战术，让学生苦不堪言。为有效地遏制如此不良现象，减轻学生学业负担，我们尝试应用新的背景，以全新的思路命制试题，着重考查学生综合素质和应变能力。
2011年 二次函数、动点、面积的最值、相似三角形
2012年 二次函数与圆、相似三角形
2013年 一次函数与圆、直角三角形存在性问题
2014年 圆的基本性质、三角形相似、几何方案讨论问题
2015年 坐标与圆、相似三角形、锐角三角函数相结合的的综合题
例5（2013年试卷第26题）如图9，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（-4，0），点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P，D，B三点作⊙Q，与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF．
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时．
①求证：∠BDE=∠ADP；
②设DE=x，DF=y，请求出y关于x的函数解析式；
（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2:1？如果存在，求出此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
（图7）
A
B
C
D
P
Q
O
E
F
x
y
编拟说明：编拟时希望能摒弃以往以抛物线作为背景的常规思路，来考察函数、三角形、圆的基本性质等核心知识和重要思想方法，体现压轴题的内在考查价值。因浙教版中关于圆的许多定理已不作要求，所以要编拟出理想的综合性题目并不容易。
在编拟过程中，用几何画板拖动点P时发现DE、DF之间的函数关系,及DF与AB的位置关系（DF∥AB）是编拟此题的关键所在。本题第2问的第一小题为学生在复杂图形背景下提炼出有效图形，为找到DE、DF的函数关系作好铺垫。 对于第（3）问，如何将2:1的直角边之比为转化图中的两条线段的比，是解决问题的核心所在。本题的关键环节（第二问的函数关系的探索）的设问,以往类似的考查几乎没有，凸显对应变能力、数学素养的公平评价，更重要的是借此有效地遏制题海战术的盛行，以减轻学生的负担，形成规范的教学秩序。所以选用全新背景编拟优质的的压轴题，应该成为今后试题命制者一项义不容辞的工作，虽然过程艰辛。
(第26题图)
(第26题图)
方法1：
方法2：
方法3：
方法4：
Q
方法5：
（2012.21）如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点
A(-4,-2)和点B( , 4)．
（1）求反比例函数的解析式和点B的坐标；
（2）根据图象回答，当在什么范围内时，一次函数的值大于反比例函数的值？
（第21题）
O
A
B
五、近年学业考试典型失分情况例析
1、对于第（1）小问：
①将反比例函数解析式误设成正比例、一次、二次函数的解析式；
②直接写出解析式及k. 出现这一问题，主要是基本的解题习惯养成不够.
本题得分率为0.78.主要失分原因是：对反比例函数的
概念、不等式相关概念模糊，反比例函数解析式不知如何
求设，对图象的分析、识别能力有待提高。
2、对于第（2）小问：
（1）本题明确提示：根据图象回答，即运用数形结合思想不难从图象求得结果，但考生对题目的关键细节把握不足，机械地运用方程或不等式运算加以求解，使问题复杂化。
（2）书写不等式解集时出现的不等号的意义不清，部分考生将答案书写成： 0（3）对于答案“-42”中的“或”字理解不够写成“且”。
典型失分情况分析：
(3)代数式不化简直接代入求值。
①没有意识到(1-x)与(x-1)是互为相反数；
②去分母过程中-5这一项没有乘以最简公分母；③去分母时最简公分母不合适，应取(1-x)或(x-1)而不是(1-x)(x-1)；④未检验（分式方程）或检验目的不明确；
⑤计算、移项、符号错误。
典型失分情况分析：
（2013.25）若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫做这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．
（1）如图①，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD平分∠ABC．
求证：BD是梯形ABCD的和谐线；
（2）如图②，在12×16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个扇形BAC，点A，B，C均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找出一个点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；
（3） 四边形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四边形ABCD的和谐线‘求∠BCD的度数．
图②
图①
A
D
B
C
C
B
A
(图4)
第一小题
①对“定义”没有真正领会，证明过程不知所云或者想当然地认为△ABD就是等腰三角形，然后只要再证明△BCD是等腰三角形即可。所以出现了证明了其中一个三角形是等腰三角形，即说和谐线。事实上新定义是判定也是性质。
②盲目添加辅助线。可能学生平时练习中做了很多是要添加辅助线的题，而梯形的辅助线有几种常见添法，所以大量时间被添辅助线误导。当然，其中也有添加了辅助线做对的同学，但是方法太繁琐。
典型失分情况分析：
第二小题是作图
①审题不清。题目中要求两条对角线都能将四边形分成两个等腰三角形，而很多同学的作法只能保证其中一条对角线将四边形分成两个等腰三角形。
②想当然认为点D落在格点上。由于在平时训练的这一类题目中，关键点都落在格点上。所以就局限在格点上找，因而少了一解。而本题中弧的中点恰好是一解，题目的叙述和设计已经做了提示，同学并没有关注到。
典型失分情况分析：
第三小题是分类讨论的几何求解
①因为没有图形，要求学生自己能作出图形，对学生来说 比较困难。
②分类不完整，除了空间想象能力缺乏外，考试时间、心理素质都会对答题产生较大的影响。
典型失分情况分析：
（2013.26）如图9，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（-4，0），点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P，D，B三点作⊙Q，与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF．
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时．
①求证：∠BDE=∠ADP；
②设DE=x，DF=y，请求出y关于x的函数解析式；
（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2:1？如果存在，求出此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
（图7）
A
B
C
D
P
Q
O
E
F
x
y
1.对于第（1）问，学生对一次函数的概念、解析式，没有熟练掌握。有学生设反比例、二次函数、正比例函数的解析式。待定系数法求解函数解析式，忘记回代，最终答案留有k或b.
2.第（2）问，有两小问，第（ⅰ）小问：证明两角相等；第（ⅱ）小问寻找两条线段的数量关系。两角相等的证明，部分考生，在复杂图形背景下，如何选取有用图形，简化图形的能力不强，通过全等验证或利用等腰三角形的三线合一的应用有点乱，思路不够清晰，在角的转化过程中走很多弯路。
第（2）小问是本题的亮点，方法多、入口宽，结合圆的相关知识产生了多种解法。
3.第（3）问，如何转化两条线段的比，并进行分类讨论，是解决本题的关键，也是考察学生能力、体现学生素养的重要载体。
典型失分情况分析：
(2012,26) 如图,二次函数 的图象交x轴于A（-1，0），B（2，0），交y轴于C（0，-2），过A，C画直线．
(1) 求二次函数的解析式
(2) 点P在轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；
(3) 点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H．
①若M在轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标；
②若⊙M的半径为 ，求点M的坐标．
（第26题）
A
B
C
O
y
x
（备用图）
A
B
C
O
y
x
本题重点考查了初中数学的核心知识：一次函数、二次函数、相似三角形、圆，设置的三个问题，层层递进，坡度明显，方法多样。其中第（1）问是经过三点求二次函数的解析式，是一个常规题目，学生容易上手；第（2）问求满足条件的OP长度，可以通过勾股定理或相似三角形知识解决，本问设置的另一个目的是为第（3）问作铺垫，以减少第（3）中①的难度；（3）的①②难度比较大，重点考查了相似，函数以及分类讨论的思想，解法多样，较好地体现学生的数学素养和思维能力。
典型失分情况分析：
(1) 求二次函数的解析式
主要是由学生审题不仔细、概念不请、运算错误造成失分。
①学生看成求直线AC的解析式；
②将A，B，C坐标代入出错，本应为
结果：第1个方程变成a+b+c=0造成错误；第3个方程c=2列错；
④还有部分学生将A，B，C坐标代入得到正确的方程组，解方程组出错；
⑤有些学生设交点式为y=a(x-1)(x-2)造成错误，而有些学生交点式正确，为y=a(x+1)(x-2)，C(0，-2)，代入计算出错。
(2) 点P在轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；
①审题不仔细：一些学生把PA=PC看成PC=CA或PA=CA，得OP=1或 ，还有部分学生最后答案没有写OP的长，而是写P的坐标；
②概念不请：由OC=2，OA=1,得OC=2OA，错误地得出∠ACO=30°,所以△ACP为等边三角形，得
（第26题）
A
B
C
O
y
x
P
(3) 点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H．
①若M在轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标；
②若⊙M的半径为 ，求点M的坐标.
①多数学生不会利用相似条件对角进行分类讨论，部分学生是用对应边成比例列方程，由于计算量大最后无终而果，导致失分；
②学生不会把距离的条件通过相似转化为点坐标。
①.基本概念模糊，基本技能欠缺
第（1）小题要求作面积为6的三角形和平行四边形、菱形，有的学生因三角形的面积公式中的漏乘而错误，也有许多学生因平行四边形和菱形的基本概念未理清而乱画一气。特别是画菱形的错误率较高，其原因是学生对菱形对角线性质不熟悉，从而不知如何去构造菱形。事实上根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得。第（2）小题的阅卷中也发现学生解方程组的能力较为薄弱，代数运算的常规方法没有掌握，列对方程的学生中有将近一半左右没有得出正确解答，本小题全大市难度系数为0.55.
典型失分情况分析：
②．审题不清，缺乏良好的解题习惯
第（2）小题中有的学生审题不细致，没有正确理解四个字母的意义，特别是对边界上的点字母b无法理解，从而不知如何代入求解；有的学生混淆了a、b、m、n所表示的意义，颠倒顺序代入出错；还有的学生将格点数带入到时，列方程时将“-1”漏掉。因本题涉及的知识点在新教材八年级下册阅读材料介绍过，有的学生只是凭记忆直接写出了公式中的m，n的值，答题过程不规范，缺乏严密的推理和思考。
③. 信息不会串联，综合能力不到位
第（1）小题画菱形的过程需要结合菱形的概念及其对角线的性质，才能构造出两条对角线长度为2,6且互相垂直的菱形，很多学生并未联想到此信息而没能解出.第（2）小题也是以能力立意的试题，需要学生经历观察、思考、探究、计算后，将问题转化为关于m,n的二元一次方程组的求解问题，但部分学生缺乏对所给信息的组合和进一步的分析、推理，从而未能列出方程。而第（1）小题画平行四边形时，由s=6，符合条件的分两类：其中有一条边在网格图的边界上的底为1、高为6的平行四边形有4种画法，底为3、高为2的平行四边形有4种画法，底为2、高为3的平行四边形有4种画法；另一类，两条边均不在边界上的平行四边形的共有6种（其中包含菱形这种情况）.所以，画平行四边形时只需在非菱形的17种画法中画出一种即可。即便如此，全大市第（1）小题的难度系数为0.8，低于预期.(共19张PPT)
嵊州爱德外国语学校 张毓
折叠问题
折叠操作就是将图形的一部分沿着一条直线翻折180度，使它与另一部分图形在这条直线的同旁和它重叠或不重叠，其中“折”是过程，“叠”是结果，折叠问题的实质是图形的轴对称变换，折叠更突出了轴对称知识的应用。
如图，折叠长方形的一边AD，点D落在BC边的点F处，已知AB=6cm，AD=10cm，求EC的长。
6
10
10
8
2
x
6-x
6-x
折叠在三大图形变换中是比较重要的，考查得较多，无论是选择题、填空题，还是解答题都有以折叠为背景的试题。
1．(2015·金华)以下四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是( C )
A．如图1，展开后测得∠1＝∠2
B．如图2，展开后测得∠1＝∠2且∠3＝∠4
C．如图3，测得∠1＝∠2
D．如图4，展开后再沿CD折叠，两条折痕
的交点为O，测得OA＝OB，OC＝OD
类型一：
(2014 绍兴）将一张正方形纸片，按如图步骤①，②，沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（ B ）
A B C D
类型二：
（七下课本P29第14题）如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠。设∠1为x度，请用关于x的代数式表示∠α的度数。
α
1
A
B
C
D
E
F
G
H
J
K
（八下课本P117第5题）已知：如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形EFGH。
（1）求证：四边形EFGH是矩形。
（2）若EH=3cm，EF=4cm，求边AD的长。
类型三：
（2015 衢州）如图1，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A′处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处．再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处．如图2．
（1）求证：EG=CH；
（2）已知AF= ，
求AD和AB的长．
(2015·无锡)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E，F，求线段B′F的长．
类型四：
类型五：
（2015·宁波）如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A1处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为 ；还原纸片后，再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕D1E1到BC的距离记为 ；按上述方法不断操作下去，经过第2015次操作后得到的折痕D2014E2014到BC的距离记为 ，若 =1，
则 的值为( D )
A. B. C. D.
【解析】根据题意和折叠对称的性质，DE是△ABC的中位线，D1E1是△ADE的中位线，D2E2是△AD1E1的中位线，…探索规律。
（2015·湖州）如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F，G分别在AD，BC上，连结OG，DG，若OG⊥DG，且☉O的半径长为1，则下列结论不成立的是( A )
A. CD+DF=4 B. CD DF=2 3
C. BC+AB=2 +4 D. BC AB=2
（2013 绍兴）矩形ABCD中，AB=4，AD=3，P，Q是对角线BD上不重合的两点，点P关于直线AD，AB的对称点分别是点E、F，点Q关于直线BC、CD的对称点分别是点G、H．若由点E、F、G、H构成的四边形恰好为菱形，则PQ的长为 2.8 ．
【解析】本题是几何变换综合题，难度较大．首先根据题意画出图形，然后结合轴对称性质、矩形性质、菱形性质进行分析，明确线段之间的数量关系，最后由等腰三角形和勾股定理求得结果．
类型六：
（2015 绍兴）在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC的顶点A在轴的正半轴上，OA=4，OC=2，点P，点Q分别是边BC，边AB上的点，连结AC，PQ，点B1是点B关于PQ的对称点。
（1）若四边形OABC为矩形，如图1，①求点B的坐标；
②若BQ:BP=1:2，且点B1落在OA上，求点B1的坐标；
（2）若四边形OABC为平行四边形，如图2，且OC⊥AC，过点B1作B1F∥x轴，与对角线AC、边OC分别交于点E、点F。若B1E: B1F=1:3，点B1的横坐标为m，求点B1的纵坐标，并直接写出m的取值范围。
解决折叠问题时，一是要对图形折叠有准确定位，抓住图形之间最本质的位置关系，从点、线、面三个方面入手，发现其中变化的和不变的量，发现图形中的数量关系；二是要把握折叠的变化规律，充分挖掘图形的几何性质，将其中的基本的数量关系用方程的形式表达出来．
