2024-2025学年安徽省怀宁县新安中学高二下学期3月阶段检测数学试卷（含答案）

2024-2025学年安徽省怀宁县新安中学高二下学期3月阶段检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.不同的正因数个数为( )
A. B. C. D.
2.五个人站队排成一行，若甲不站排头，乙不站排尾，则不同排法的种数为( )
A. B. C. D.
3.数学中“凸数”是一个位数不低于的奇位数，是最中间的数位上的数字比两边的数字都大的数，则没有重复数字且大于的三位数中“凸数”的个数为( )
A. B. C. D.
4.如图，用种不同的颜色把图中，，，四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5.图中的矩形的个数为( )



A. B. C. D.
6.已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
7.设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若在有实数解，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.多选题有位同学报名参加三个不同的社团，则下列说法正确的是( )
A. 每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种
B. 每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种
C. 每位同学限报其中一个社团，每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有种
D. 每位同学限报其中一个社团，每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有种
10.若对一切恒成立，则的值可能为( )
A. B. C. D.
11.灵活生动的曲线和简洁干练的直线，在生活中处处体现了几何艺术美感，我们可以利用曲线和直线写出很多不等关系，如由在点处的切线写出不等式，进而用替换得到一系列不等式，叠加后有这些不等式同样体现数学之美．运用类似方法推导，下面的不等式正确的有( )
A. ，
B.
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，其中，若曲线和曲线的公切线有两条，则的取值范围为 ．
13.已知恒成立，则正数的取值范围为 ．
14.将个，个，个共个数分别填入如图方格中，使得每行、每列的和都是的倍数的不同填法种数为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
从包含甲、乙人的人中选人参加米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？结果用数字作答，否则无分
甲、乙人都被选中且必须跑相邻两棒；
甲、乙人都被选中且不能相邻两棒；
甲、乙人都被选中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒．
16.本小题分
已知函数．
当时，求的单调区间；
若对任意都有，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知函数
当时，讨论的单调性；
若恒成立，求的取值范围．
18.本小题分
已知函数，．
讨论函数的单调性；
，求的值；
对于任意的，求证：．
19.本小题分
已知函数，，．
若的极值点为，求实数的值；
在的前提下，若对，总存在，使得成立，求实数的取值范围；
证明不等式其中是自然对数的底数．
参考答案
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15.解：第一步：甲乙捆绑看做一个整体，从个位置安排一个位置有，
第二步：从剩下人中，需两人排在两个位置，有，
所有共有：；
第一步，先从剩下人中选人排序，有，
第二步，甲乙两人从个空中选个空排序，有，
所以共有：；
从人中选人加上甲乙人的全排列有：，
其中甲跑第一棒的有：，乙跑第四棒的有：，
甲跑第一棒，乙跑第四棒有：，
所以共有：．

16.解：当时，，的定义域为．
因为，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以的减区间为，增区间为．
因为，
设，，则，所以在上单调递增．
当时，，即，所以在上单调递增．
所以恒成立，故满足题意．
当时，，又，
因为在上单调递增，所以，
所以当时，，即．
所以在上单调递减，此时，故不合题意．
综上所述，实数的取值范围是．

17.解：
令，则
则
当
当，即．
当，即．
所以在上单调递增，在上单调递减
设
设
所以．
若
即在上单调递减，所以．
所以当，符合题意．
若
当，所以．
．
所以，使得，即，使得．
当，即当单调递增．
所以当，不合题意．
综上，的取值范围为．

18.解：由题设且，
当时，，即在上单调递增；
当时，令，则，
若，则，即在上单调递减，
若，则，即在上单调递增；
由且的定义域为，
由知，在上单调递增，即上有，不符合；
所以，结合此时的性质，只需，
令，故，
当时，即在上单调递增，
当时，即在上单调递减，
所以，即，
所以，只需，满足．
由知，在上，则，
令，则，
所以，得证．

19.解：因为的极值点为，且，所以
所以，经检验符合题意，
因此可得．
对，总存在使得成立，
等价于存在使得成立，
由，若，，函数单调递增，若，，函数单调递减，所以，
所以存在，使得，
，，当时，
当时，若，，函数单调递减，，不符合题意；
当时，，使得，
时，，函数单调递增；时，，函数单调递减，
即，则，使得，符合题意；
当时，若，，函数单调递增，，
则，使得，符合题意；
综上可知，所求实数的取值范围是
由可得当时，，单调递减，所以，，
令，，有；
再由可得，即，则，
即，也即，，，
．
则，
所以．

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