2024-2025学年广东省东莞市海逸外国语学校高二港澳台下学期3月考试质量检测数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省东莞市海逸外国语学校高二港澳台下学期3月考试质量检测数学试卷
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一质点做直线运动，其位移与时间的关系是，则在时的瞬时速度为( )
A. B. C. D.
2.在数列中，，且，则等于
A. B. C. D.
3.名同学去听同时举行的个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的个讲座，不同的选择的种数为( )
A. B. C. D.
4.函数的单调减区间为( )
A. B. C. D.
5.用数学归纳法证明：，在验证成立时，左边所得的代数式是( )
A. B. C. D.
6.同时满足：偶数；没有重复数字的三位数；个位数不为，这三个条件的数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
7.用数学归纳法证明：时，从推证时，左边增加的代数式是( )
A. B.
C. D.
8.函数的定义域为开区间，，其导函数在，内的图象如图所示，则函数在开区间，内的极大值点有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
9.已知抛物线上一点，则在点处的切线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
10.函数的极大值点是( )
A. B. C. D.
11.已知函数的导函数为，且，则( )
A. B. C. D.
12.若曲线与直线有个不同的交点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
13.定义在上的函数满足：，若曲线在处的切线方程为，则该曲线在处的切线方程为 ．
14.设函数在处的导数存在，且，则 ．
15.已知函数，则的最大值为 ．
16.函数的极小值是 ．
17.曲线在点处的切线经过点，则 ．
18.如图，用种不同的颜色对，，，四个区域涂色，要求相邻的两个区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方法有 ．
三、解答题：本题共4小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
已知曲线，
求曲线在点处的切线方程；
求过点且与曲线相切的直线方程．
20.本小题分
设函数．
当时，求曲线在处的切线方程；
若为增函数，求的取值范围．
21.本小题分
已知函数在处取得极值．
求函数的解析式；
求函数的单调区间；
求函数在区间的最大值与最小值．
22.本小题分
已知数列的首项，且，试猜想出这个数列的通项公式，并用数学归纳法证明．
参考答案
1.
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19.解：由函数，可得，可得，
即曲线在点处的切线斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
解：因为点不在曲线上，
设切点为，所以，
所以切线方程为，
又因为在直线上，所以，
即，解得或．
当切点为时，切线方程为；
当切点为时，切线的斜率为，此时切线方程为，
综上所述，过点且与曲线相切的直线方程为：或．

20.解：当时，，
所以，，，
曲线在处的切线方程为，
整理得，，
曲线在处的切线方程为．
，，
是增函数，即在上恒成立，
方法一：即在上恒成立，所以，
设，，则，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，取得极大值，也是最大值，
，的取值范围是．
方法二：即在上恒成立，所以，
设，，则，，
若，则，在上单调递增，
当趋近于时，趋近于，即不恒成立，
所以在上不单调递增，与题意不符，舍去．
若，则当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
则当时，取得极小值，也是最小值，
，解得，
的取值范围是．

21.解：由题意，函数的定义域为，．
因为函数在处取得极值，所以，
即，解得．
当时，，
令，解得或；令，解得，
所以在和上单调递增，在上单调递减；
此时，函数在处取得极小值，故满足题意．
因此，．
由可知，的单调递增区间为和，单调递减区间为．
由可知，函数在区间上有极大值，极小值．
又，，因为，
所以在区间上的最大值为，最小值为．

22.解：，，，，，
猜想：．
证明如下：
当时，，猜想成立；
假设当时，猜想成立，
即，
则当时，，
所以当时，猜想也成立．
综合，可知猜想对于任意都成立．

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