2025学年小升初数学专题训练：探索规律（含解析）

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2025学年小升初数学专题训练：探索规律
一、选择题
1．按规律填空：1、4、9、16、25、（ ）、49。
A．32 B．33 C．35 D．36
2．班级联欢会上，同学们按“3个红气球、2个黄气球、2个绿气球、1个白气球”的顺序把气球串起来装饰教室。第132个气球是（ ）的。
A．红色 B．黄色 C．绿色 D．白色
3．认真观察下面这组图，第一幅图的点数为1，第2幅图的点数为5，……
按照上面的规律，第n幅图的点数为（ ）。
A．4n－3 B．4n＋3 C．6n－2 D．6n＋4
4．正方形图1作如下操作：第1次：分别连接各边中点如图2，得到5个正方形；第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形，……，以此类推，根据以上操作，若要得到53个正方形，需要操作的次数是（ ）。
A．12 B．13 C．14 D．15
5．观察下边图形，按此规律，第⑩个图中○的个数有（ ）个。
A．55 B．40 C．36 D．10
6．下列图形都是由同样大小的平行四边形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个平行四边形，第②个图形中一共有7个平行四边形，第③个图形中一共有13个平行四边形，……，按此规律排列下去，第⑦个图形中一共有（ ）个平行四边形。
A．55 B．56 C．57 D．58
二、填空题
7．用小棒按照如图的方式来搭图形，搭1个梯形需要5根小棒，那么第4个图形需要( )根小棒，第n个图形需要( )根小棒。
8．如图是用圆点拼成的点阵图形，根据圆点的变化规律，第n个图形中圆点有( )个。
9．如图所示：一张桌子坐6人，2张桌子坐 人，n张桌子坐 人。
10．观察算式的规律。22－12＝2＋1，32－22＝3＋2，42－32＝4＋3，52－42＝5＋4，…用含有字母n的式子表示上述规律：( )。用上述规律计算：102－92＋82－72＋62－52＋42－32＋22－12＝( )。
11．在一串数1，4，7，10，13，16，19，22…这串数的前2022个数中，有( )个偶数。
12．1－＝，－＝，－＝，根据你发现的规律，那么＋＋＋＋＋＝( )。
13．观察如图，找规律。第7幅图中有( )个○，有( )个△。
14．一些小球按如图的方式摆放，那么第16幅有( )个小球。
15．古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，……，叫做三角形数，根据它的规律，则第10个三角形数是( )。
16．如下图所示，第1个图案中有2个正方形，第2个图案中有5个正方形，第3个图案中有8个正方形…，则第5个图案中有( )个正方形，第n个图案中有( )个正方形。
17．亮亮准备了一些边长3厘米的正方形纸片，按下图所示的方式摆放，每个重叠部分都是边长1厘米的小正方形，像这样不断摆下去，当亮亮用了n张纸片时，摆成图形的面积是( )平方厘米，周长是( )厘米。
18．用小棒摆正六边形（如图），摆5个正六边形需要( )根小棒，摆n个正六边形需要( )根小棒。
三、判断题
19．……，第103个图形是。( )
20．〇☆☆☆△△〇☆☆☆△△〇☆☆☆△△……第111个图形是☆。( )
21．■◇◇●●●■◇◇●●●■◇◇●●●……照这样的规律，第70个图形是◇。( )
22．像这样用小棒摆下去，第100个图案需要301根小棒。( )
23．1＋3＋5…＋13＋15＋13＋11…＋3＋1＝113。( )
四、解答题
24．（1）用一个长方形像图中那样任意圈出四个数字，你发现了什么规律？
（2）如果长方形中最上面一个数字用表示，最下面一个数字可以怎样表示？
（3）按这样的圈法，小丽圈出的四个数的和是200，你知道她圈的是哪四个数吗？算一算写出来。
25．仔细观察下面的点子图，根据每个图中点子的排列规律，想一想，可以怎样计算每个图中点子的总个数？请你把下表填写完整。
序号 1 2 3 4 5 …
表示点子数的算式 1 1＋4 …
点子的总个数 1 …
观察表中数据，如果用A表示第n个图形中点子的总个数，A和n之间的关系可以表示成A＝ 。
26．下图中，每一个正方形的边长均为1，根据分数的乘法的意义以及相应的图形，回答以下问题．
(1)① 1×＝1－←→
② 2×＝2－←→
③ 3×＝3－←→
④ 4×＝4－←→
写出第5个等式，并画出相应的图形．
⑤____________________←→
(2)猜想并写出与第100个图形相对应的等式．
观察下列三行数：
①0，3，8，15，24，…
②2，5，10，17，26，…
③0，6，16，30，48，…
27．第①行数按什么规律排行？
28．第②行，第③行数与第①行数分别有什么关系？
29．分别从①②③行数中取出第a个数，并计算这三个数的和．（结果用含a的式子表示）
30．现有365张大小相同的纸卡，上面分别印着整数1～365，如果按照数字从小到大逆时针方向螺旋由内而外排列，从1开始排列至365为止（如图1）。图2是完成上述排列后，抽出365周围的部分。
（1）在图2的8个空白方格中，其中有些位置不会有数字卡，在这些空格上打“×”。
（2）在其他位置填上与365相邻的数字。
31．观察下面的算式：
32－1＝4×2＝8
42－1＝5×3＝15
72－1＝8×6＝48
92－1＝10×8＝80
（1）根据你发现的规律，再写一道这样的算式。
（2）运用这个规律计算101×99。
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《2025学年小升初数学专题训练：探索规律》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 D B A B A C
1．D
【分析】观察可知规律，第一个数是12，第二个数是22，第三个数是32，第四个数是42，第五个数是52，则第六个数是62计算62即可得解。
【详解】
按规律填空：1、4、9、16、25、36、49。
故答案为：D
2．B
【分析】根据题意，这组气球是以3＋2＋2＋1＝8个气球为一个循环周期，分别按3红、2黄、2绿、1白的顺序循环排列；
求第132个气球的颜色，就是求132里有几个8，用除法计算，如有余数，余数是几，就是一个循环周期里的第几个气球；如果没有余数，就是一个循环周期里的最后一个气球，据此找到对应的颜色即可。
【详解】132÷8＝16……4
余数是4，是一个循环周期里的第4个气球，即黄气球；
第132个气球是黄色的。
故答案为：B
3．A
【分析】观察图形，第1幅图的点数为：1＋4×0＝1；
第2幅图的点数为：1＋4×1＝5；
第3幅图的点数为：1＋4×2＝9；
第4幅图的点数为：1＋4×3＝13；
……
照这个规律，第n幅图点数应为：1＋4（n－1）＝4n－3。
【详解】按照上面的规律，第n幅图的点数为（4n－3）。
故答案为：A
4．B
【分析】由题意可知，第1次：分别连接各边中点如图2，得到4＋1＝5个正方形；
第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到4×2＋1＝9个正方形……
以此类推，根据以上操作，则第n次得到4n＋1个正方形，由此规律代入求得答案即可。
【详解】第1次：得到4×1＋1＝5（个）正方形；
第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到4×2＋1＝9（个）正方形……
设第n次得到53个正方形。
4n＋1＝53，
解：4n＋1－1＝53－1
4n＝52
4n÷4＝52÷4
n＝13
故答案为：B
【点评】此题主要考查了图形的变化类，根据已知得出正方形个数的变化规律是解题关键。
5．A
【分析】第几个图中就有几层，且每层圆的个数与层数相同，据此把各层圆的个数进行求和解答。
【详解】图①中圆的个数：1＝1
图②中圆的个数：3＝1＋2
图③中圆的个数：6＝1＋2＋3
图④中圆的个数：10＝1＋2＋3＋4
……
图⑩中圆的个数：55＝1＋2＋3＋4＋……＋10
故答案为：A
【点睛】本题考查运用数形结合的方法探究数学规律，注意要把图形和数一一对应。
6．C
【分析】第1个图中有3个平行四边形，3＝2＋1×1，
第2个图中有7个平行四边形，7＝3＋2×2，
第3个图中有13个平行四边形，13＝4＋3×3，
……
第n个图中平行四边形的个数：n＋1＋n×n。
【详解】第n个图中平行四边形的个数：n＋1＋n×n。
当n＝7时，
7＋1＋7×7＝57（个）
第7个图形中一共有57个平行四边形。
故答案为：C
【点睛】解决本题的关键是根据图形的变化找到规律。
7． 17 （4n＋1）/（1+4n）
【分析】通过观察图形可知，第一个图形由5根小棒搭成，以后增加4根小棒就可增加一个图形，由此搭n个这样的图形需（4n＋1）根小棒；据此解答即可。
【详解】第4个图形需要：
4×4＋1
＝16＋1
＝17（根）
搭第n个图形需要（4n＋1）或（1＋4n）根小棒。
用小棒按照如图的方式来搭图形，搭1个梯形需要5根小棒，那么第4个图形需要17根小棒，搭第n个图形需要（4n＋1）或（1＋4n）根小棒。
8．4n－3
【分析】第1个图形中圆点有1个，1＝1×4－3；
第2个图形中圆点有5个，5＝2×4－3；
第3个图形中圆点有9个，9＝3×4－3；
第4个图形中圆点有13个，13＝4×4－3
规律：第n个图形中圆点有（4n－3）个；按此规律解答。
【详解】由分析可得：如图是用圆点拼成的点阵图形，根据圆点的变化规律，第n个图形中圆点有（4n－3）个。
9． 10 4n＋2
【分析】观察可得，一张桌子坐（2＋4）人，2张桌子坐（2＋4×2）人，……就是有几张桌子就坐几个4加2人。n张桌子坐的人即可求。
【详解】一张桌子坐：
2＋4＝6（人）
2张桌子坐：
2＋4×2
＝2＋8
＝10（人）
n张桌子坐：（4n＋2）人。
一张桌子坐6人，2张桌子坐10人，n张桌子坐（4n＋2）人。
【点睛】仔细观察，比较总结出规律是解决本题的关键。
10． n2－（n－1）2＝2n－1 55
【分析】观察算式，发现规律，相邻两个自然数（0除外）的平方差等于这两个数的和，据此规律写出用字母n表示的式子，并用规律计算出算式的结果。
【详解】n2－（n－1）2
＝n＋（n－1）
＝2n－1
即n2－（n－1）2＝2n－1。
102－92＋82－72＋62－52＋42－32＋22－12
＝10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1
＝（10＋1）＋（9＋2）＋（8＋3）＋（7＋4）＋（6＋5）
＝11×5
＝55
【点睛】本题考查找规律，观察算式，找到算式的规律，应用发现的规律解决问题是解题的关键。
11．1011
【分析】观察这串数的奇偶性质为：奇数、偶数、奇数、偶数、奇数、偶数、奇数、偶数……发现以2个数为一个组，每组的第1个数是奇数，第2个数是偶数，要求前2022个数中有几个偶数，则用2022除以2，商是几，就有几个偶数。
【详解】以2个数为一个组，每组有1个偶数，
2022÷2＝1011
在一串数1，4，7，10，13，16，19，22…这串数的前2022个数中，有1011个偶数。
【点睛】本题主要考查了奇数和偶数的认识以及周期问题，明确奇数和偶数的排列顺序和周期是解题的关键。
12．
【详解】观察加数，发现分母是相邻的自然数的乘积，分子是1的分数，可以将每个加数改写成由分母是相邻的自然数且分子都是1的两个分数相减的形式，据此进行简算。
【解答】
＝
＝1－
＝
【点睛】本题考查找规律，从已知的数列中发现规律，利用规律解答。
13． 13 36
【分析】观察图形可知，○的个数位：序号数减1的差乘2，然后再加上1即可；
△的个数位：序号数减1的差的平方。据此填空即可。
【详解】第7幅图中○的个数有：
（7－1）×2＋1
＝6×2＋1
＝12＋1
＝13（个）
第7幅图中△的个数有：
（7－1）2＝62＝36（个）
【点睛】本题考查图形的变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。
14．136
【分析】通过观察可得，第一幅图是1个小球，第二幅图是在第一幅图的下面添了两个球，第三幅图是在第二幅图的下面添了三个小球，……照此规律，第16幅图的最下面有16个小球。于是第16幅图的小球可求得。
【详解】第一幅图：1（个）
第二幅图：1＋2＝3（个）
第三幅图：1＋2＋3＝6（个）
……
第16幅图的小球有：
1＋2＋3＋4＋……＋16
＝（1＋16）×16÷2
＝17×8
＝136（个）
【点睛】本题考查了学生观察比较，善于总结的意识和能力。
15．55
【分析】观察数列可知，第1个三角形数是1，第2个三角形数是1＋2＝3，第3个三角形数是1＋2＋3＝6，第4个三角形数是1＋2＋3＋4＝10，第5个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＝15，根据所给的数据发现：第n个三角形数是1＋2＋3＋…＋n，据此解答即可。
【详解】第10个三角形数是：
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10
＝10×5＋5
＝50＋5
＝55
【点睛】此题考查了规律型：数字的变化．要能够发现：第n个数对应的数的规律为：第n个三角形数是1＋2＋3＋…＋n。
16． 14 3n－1
【分析】第1个图案有2个正方形；第2个图案比第1个图案增加了2个小正方形和1个由4个小正形组成的正方形，有5个正方形；第3个图案比第2个图案增加了2个小正方形和1个由4个小正形组成的正方形，有8个正方形……后一个图案比前一个图案多3个正方形，图案序数与正方形个数的关系是：正方形个数＝图案序数×3－1。
【详解】5×3－1
＝15－1
＝14（个）
第5个图案中有14个正方形；
第n个图案中有（3n－1）个正方形。
【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，发现后一个图案比前一个图案增加2个小正方形和1个由4个小正方形组成的正方形是解本题的关键。
17． 8n＋1 8n＋4
【分析】用2张纸片时，摆成图形的面积是2个正方形的面积和－1个小正方形的面积；周长是2个正方形的周长和－1个小正方形的周长。
用3张纸片时，摆成图形的面积是3个正方形的面积和－2个小正方形的面积；周长是3个正方形的周长和－2个小正方形的周长。
……
用n张纸片时，摆成图形的面积是n个正方形的面积和－（n－1）个小正方形的面积；周长是n个正方形的周长和－（n － 1）个小正方形的周长。
【详解】3×3＝9（平方厘米）
1×1＝1（平方厘米）
3×4＝12（厘米）
1×4＝4（厘米）
9n－1×（n－1）
＝9n－n＋1
＝8n＋1
12n－4（n－1）
＝12n－4n＋4
＝8n＋4
所以，摆成图形的面积是（8n＋1）平方厘米，周长是（8n＋4）厘米。
【点睛】本题主要考查数与形集合的规律，发现每多1 个正方形，面积与周长之间的变化规律是解本题的关键。
18． 26 5n＋1
【分析】观察图可知，摆1个六边形需要6根小棒，可以写作：5×1＋1；摆2个需要11根小棒，可以写作：5×2＋1；摆3个需要16根小棒，可以写成：5×3＋1；…由此可以推理得出一般规律：摆n个六边形需要：（5n＋1）根小棒，据此解答。
【详解】根据分析可知：
摆5个正六边形需要小棒：
5×5＋1
＝25＋1
＝26（根）
摆n个正六边形需要小棒：（5n＋1）根
【点睛】根据题干中已知的图形的排列特点及其数量关系，推理得出一般的结论进行解答，是此类问题的关键。
19．×
【分析】每4个图形一循环，计算第103个图形是第几组循环零几个图形，即可得出其形状，进而判断即可。
【详解】103÷4＝25（组）……3（个）
第103个图形是。所以原题说法错误。
故答案为：×。
【点睛】解答此题的关键是先找到规律，再根据规律求解。
20．√
【分析】根据图示可知，每6个图形一循环，计算第111个图形是第几组循环零几个图形，即可知道其形状，判断即可。
【详解】111÷6＝18（组）……3（个）
所有第111个图形是☆。原题说法正确。
故答案为：√。
【点睛】本题主要考查的是找图形规律，解题的关键是观察图形找到规律，再根据规律求解。
21．×
【分析】该图形是以“■◇◇●●●”为一组重复出现，这一组里一共有6个图形，用70÷6所得的商表示有几组这样的“■◇◇●●●”，产生的余数是就是这样的一组的第几个图形，如果没有余数，就是这样的一组的最后一个图形。
【详解】70÷6＝11（组）……4（个），第4个图形是●，则第70个图形是●。所以原题说法错误。
故答案为：×。
【点睛】根据题干得出这组图形的排列周期特点是解决此类问题的关键。
22．√
【分析】规律：每多1个正方形就多3根小棒；
第1个图形里共有4根小棒，即3×1＋1；
第2个图形里共有7根小棒，即3×2＋1；
第3个图形里共有10根小棒，即3×3＋1；
第4个图形里共有13根小棒，即3×4＋1；
……
第n个图形里需要的小棒数为：3n＋1。
【详解】根据分析可知，第n个图形里需要的小棒数为：3n＋1，当n＝100时，
3n＋1
＝3×100＋1
＝300＋1
＝301（根）
即第100个图形需要301根小棒。
故答案为：√
23．√
【分析】1＝12，1＋3＝22，1＋3＋5＝32，…据此可知，从1开始的连续奇数的和等于奇数个数的平方，所以1＋3＋5…＋13＋15＝82，1＋3＋5…＋13＝72，据此解答。
【详解】1＋3＋5…＋13＋15＋13＋11…＋3＋1
＝（1＋3＋5…＋13＋15）＋（13＋11…＋3＋1）
＝82＋72
＝64＋49
＝113
所以原题干说法正确。
故答案为：√
24．（1）每相邻两个之间相差10；
（2）；
（3）35、45、55、65。
【分析】（1）观察上下相邻的数之间的大小关系，得出规律；
（2）长方形中一共有4个数，最上面和最下面之间相差30，据此列式；
（3）设小丽圈出的第一个数字为，下面的数依次是a＋10、a＋20、a＋30，根据四个数相加等于200，列出方程，求出第一个数，再分别求出下面的数即可。
【详解】（1）我发现圈出的4个数，每相邻两个之间相差10。
（2）最下面一个数字可以用表示。
（3）解：设小丽圈出的第一个数字为。
4＋60＝200
4＝140
，，。
答：她圈的是35、45、55、65。
【点睛】本题考查了数字的排列规律和列方程解决问题，关键是发现数表中的规律。
25． 1＋2×4 1＋3×4 1＋4×4 5 9 13 17 4n－3
【分析】通过观察发现，第一个图的点子数是1，第二个图的点子数是1＋4＝5，第三个图的点子数是1＋2×4＝9，第4个图的点子数是1＋3×4＝13，第五个图的点子数是1＋4×4＝17，由此可知用A表示第n个图形中点子的总个数，A和n之间的关系可以表示成A＝4n－3，据此解答即可。
【详解】如图：
序号 1 2 3 4 5 …
表示点子数的算式 1 1＋4 1＋2×4 1＋3×4 1＋4×4 …
点子的总个数 1 5 9 13 17 …
由分析可得：A＝1＋4（n－1）＝4n－3
【点睛】此题主要考查学生根据图形规律，归纳出规律关系式，然后进行代数解答。
26．(1) 5×＝5－
(2)100×＝100－
【详解】（1）根据算式的规律，可知⑤的算式为5×＝5－
再画出对应的图，每个小正方形可看做“单位1”，表示，将“单位1”平均分成6份，阴影部分占5份，5×可画为
（2）第100个图形对应的算式为100×=100-，即100×＝100－
27．第a个数为a2﹣1 28．第②行相对应的数比第①行数多2，第③行相对应的数是第①行数的2倍 29．a2﹣1+a2+1+2（a2﹣1）=4a2﹣2
【分析】探索数与式的规律（1）第①行的每个数均为序数的平方减1；（2）第②行相对应的数比第①行数多2，第③行相对应的数是第①行数的2倍；（3）由（2）得出第②行第a个数为a2+1，第③行第a个数为2（a2﹣1），相加化简即可．
27．解：∵第1个数0=12﹣1，第2个数3=22﹣1，第3个数8=32﹣1，第4个数15=42﹣1，…
∴第a个数为a2﹣1
28．第②行相对应的数比第①行数多2，第③行相对应的数是第①行数的2倍
29．由（2）知，第②行第a个数为a2+1，第③行第a个数为2（a2﹣1），
∴这三个数的和为a2﹣1+a2+1+2（a2﹣1）=4a2﹣2
30．见解答
【分析】（1）（2）如下图所示，数从小到大逆时针方向螺旋由内而外排列出的图形是一个正方形，以1为中心数，每个1×1，3×3，5×5的正方形的右下角的数（即标蓝色方格内的数）均是从1开始的连续奇数的平方（即（2n－1） ），因为19 ＝361，即最接近365的奇数的平方，据此画出以数361为右下角的数的排列，再画出以数289为右下角的数的排列（如下图），据此解答。
【详解】由分析可知：
（1）如下图所示：
（2）如下图所示：
【点睛】本题考查了数表中的规律的应用。
31．（1）52－1＝6×4＝24
（2）9999
【分析】（1）观察32－1＝4×2＝8可得：4＝3＋1，2＝3－1，4和2相差2。
可将算式改写成：32－1＝（3＋1）×（3－1）＝4×2＝8
那么42－1＝5×3＝15可改写成：42－1＝（4＋1）×（4－1）＝5×3＝15
72－1＝8×6＝48可改写成：72－1＝（7＋1）×（7－1）＝8×6＝48
92－1＝10×8＝80可改写成：92－1＝（9＋1）×（9－1）＝10×8＝80
可得规律：n2－1＝（n＋1）×（n－1），据此写出这样的算式即可。
（2）101和99相差2，101＝100＋1，99＝100－1，根据算式的规律n2－1＝（n＋1）×（n－1），可得101×99＝（100＋1）×（100－1）＝1002－1，据此求解即可。
【详解】（1）根据分析可得规律：n2－1＝（n＋1）×（n－1）
52－1＝6×4＝24（答案不唯一）
（2）101×99
＝（100＋1）×（100－1）
＝1002－1
＝10000－1
＝9999