2024-2025学年八年级数学期中试卷（含解析）

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…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
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…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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)
2024-2025学年八年级数学期中试卷
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，那么的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.下列所给的二次根式中，是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
3.在 中，的角平分线与交于点，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
4.若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.以下列各组线段为边作三角形，不能构成直角三角形的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
6.如图，在中，点、点分别是，的中点，点是上一点，且，若，，则的长为( )
A. B. C. D.
7.如图，在矩形纸片中，为上一点，将沿翻折至若点恰好落在上，，，则( )
A.
B.
C.
D.
8.代数式有意义的条件是( )
A. 且 B.
C. 且 D. 且
9.一个三角形的两边长为和，要使该三角形为直角三角形，则第三条边长为( )
A. B. C. 或 D. 或
10.如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为，则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.计算， ．
12.计算： ．
13.如图，在 中，、是对角线上两点，，，，则的大小为______．
14.如图，直线、是常数，与直线交于点，则关于的不等式的解集为______．
15.如图，，，在数轴上的位置如图所示，化简的结果为
三、计算题：本大题共2小题，共12分。
16.计算：
；
17.已知，，求的值．
四、解答题：本题共8小题，共63分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题分
如图，等边的顶点，在矩形的边，上，且．
求证：矩形是正方形．
19.本小题分
如图是一块地，已知，，，，，求这块地的面积。
20.本小题分
如图，一艘船由港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港．
求，两港之间的距离结果保留到，参考数据：，；
确定港在港的什么方向．
21.本小题分
如图，中，，，，点为斜边上动点．
如图，过点作交于点，连接，当平分时，求；
如图，在点的运动过程中，连接，若为等腰三角形，求．
22.本小题分
如图，在 中，点、分别在、上，且，、相交于点，求证：．
23.本小题分
在中，，点、分别是、的中点，点在的延长线上，且求证：四边形是平行四边形．
24.本小题分
阅读下面问题：
；
；
；
试求：的值；
为正整数的值．
计算：．
25.本小题分
如图，在四边形中，，，，，，点从点出发以的速度向点运动，点从点出发以的速度向点运动，、两点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动．若设运动时间为
直接写出：______，______；用含的式子表示
当为何值时，四边形为平行四边形？
若点与点不重合，且，当为何值时，是等腰三角形？
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
，解得．
故选：．
根据二次根式的性质列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查的是二次根式的性质，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的概念逐一判断．
【解答】
解：．，此选项不符合题意；
B.是最简二次根式，符合题意；
C.，此选项不符合题意；
D.，此选项不符合题意；
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平行四边形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，求出是解决问题的关键．
由平行四边形的性质得出，由角平分线的定义和邻补角关系得出，再由三角形内角和定理即可得出的度数．
【解答】
解：四边形是平行四边形，
，，
，
的平分线交于，
，
．
．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了二次根式有意义的条件，即二次根式中的被开方数是非负数．正确把握二次根式的定义是解题关键．根据二次根式中的被开方数是非负数，即可确定二次根式被开方数中字母的取值范围．据此解答．
【解答】
解：在实数范围内有意义，
，
解得：，
的取值范围是：．
故选B．
5.【答案】
【解析】解：，
以，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B.，
以，，为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；
C.，
以，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D.，
以，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：．
先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，即，那么这个三角形是直角三角形．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出，计算即可．
【解答】
解：点、点分别是，的中点，
是的中位线，
，
，
，
在中，，点是的中点，，
，
，
故选B．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是折叠的性质，矩形的性质，勾股定理有关知识，设，则，在中，由勾股定理列方程即可解得答案．
【解答】
解：设，则，
沿翻折至，
，
在中，，
，
解得，
，
．
8.【答案】
【解析】解：代数式有意义，则且，
解得：且．
故选：．
直接利用二次根式有意义则被开方数是非负数，再利用分式有意义分母不为零，列出不等式求解进而得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，注意分母不为零是解题关键．
9.【答案】
【解析】解：设第三条边长为，
分两种情况：
当是斜边时，，
当是斜边时，，
综上可知，第三条边长为或，
故选：．
设第三条边长为，分两种情况：当是斜边时，当是斜边时，进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理，分两种情况进行计算是解题的关键．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了矩形的性质、三角形的面积、勾股定理，解题时注意：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等且互相平分．依据矩形的性质即可得到的面积为，再根据，即可得到的值．
【解答】
解：，，
矩形的面积为，
，
对角线，交于点，
的面积为矩形面积的，
的面积，
，，
，即，
，
，
，
故选：．
11.【答案】
【解析】解：原式
，
故答案为：．
根据二次根式的乘除法则可将原式化简．
本题考查了二次根式的乘除，关键是根据法则求解即可，注意把结果要化为最简二次根式．
12.【答案】
【解析】【分析】
直接利用二次根式的乘除运算法则化简，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的乘除，掌握二次根式的乘除运算法则是解题关键．
【解答】
解：原式
．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】解：设，
，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
解得：，
即；
故答案为：．
设，由等腰三角形的性质和直角三角形得出，，得出，证出，由平行四边形的性质得出，得出方程，解方程即可．
本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；根据角的关系得出方程是解题的关键．
14.【答案】
【解析】【分析】
结合函数图象，写出直线在直线下方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线在直线下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
【解答】
解：直线与直线交于点，
时，，
关于的不等式的解集为．
故答案为．
15.【答案】
【解析】【分析】
由数轴可知：，从而可判断，，最后根据绝对值的性质以及二次根式的性质进行化简即可求出答案．
本题考查二次根式的性质，解题的关键是正确判断、、与的大小关系，本题属于基础题型．
【解答】
解：由数轴可知：，
，，
原式
，
故答案为：．
16.【答案】解：
；
．
【解析】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行加减计算即可；
利用平方差公式和完全平方公式，即可解答．
17.【答案】解：，，
．
【解析】【分析】
本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
利用完全平方公式，把所求的式子变形为，然后把，的值代入进行计算即可解答．
18.【答案】证明：四边形是矩形，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
在和中，
≌，
，
矩形是正方形．
【解析】先判断出，，进而求出，进而判断出≌，即可得出结论．
此题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，判断出是解本题的关键．
19.【答案】解：如图，连接，
，，，
，
，，，即，
为直角三角形，．
四边形的面积
答：这块地的面积为．

【解析】 本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，关键判断出直角三角形从而可求出面积先根据勾股定理可求出的长，根据勾股定理的逆定理可求出，可求出的面积，减去的面积，可求出四边形的面积．
20.【答案】解：由题意可得，，，
，，
，
．
，
．
答：、两地之间的距离为．
由知，为等腰直角三角形，
，
，
港在港北偏东的方向上．
【解析】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，是基础知识，比较简单．
由题意得，由勾股定理，从而得出的长；
由，则点在点北偏东的方向上．
21.【答案】解：，，，
，
平分，
，
，，
，
，
≌，
，，
设，则，，
在中，由勾股定理得，
，
，
．
分情况讨论：
当时，为等腰三角形，
，
；
当时，为等腰三角形
，
，
，，
，
，
；
当时，为等腰三角形，
作于点，
则，
，，，
，
在中，，
，，
，
．
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角的平分线，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，
在中利用勾股定理求出，再证明≌，推出，，设，则，，在中根据勾股定理即可解决问题；
分，，三种情形分别求解即可解决问题．
22.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，
在和中，，
≌，
．
【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
先根据已知条件和平行四边形的性质推出，进而证明≌即可．
23.【答案】证明：，分别为，的中点，
为的中位线．
．
为的斜边上的中线，
．
．
又，
．
．
又，
四边形为平行四边形．
【解析】首先利用三角形中位线的性质得出，进而结合直角三角形的性质得出，得出，推出，再利用平行四边形的定义判定即可．
本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．
24.【答案】解：
；
；
原式．
．
【解析】主要考查二次根式混合运算．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．
仿照题目所给的分母有理化的方法进行计算；
将每一个二次根式分母有理化，再寻找抵消规律．
25.【答案】解：，；
四边形是平行四边形，而，
，
由知，，，
，
，
即：时，四边形是平行四边形；
由知．，，，，
是等腰三角形，且，
当时，点在的垂直平分线上，
，
，
，
当时，如图，
Ⅰ、过点作于，
，
，，
，
四边形是矩形，
，，
，
在中，，
，
，
，
点在边上，不和重合，
，
，
此种情况符合题意，
即：或秒时，是等腰三角形．
【解析】解：由运动知，，，
，，
，，
故答案为，；
见答案；
见答案．
先有运动速度表示出，，即可得出结论；
先判断出，建立方程求解即可得出结论；
分两种情况讨论计算，求出时间，判断时间是否符合题意．
主要考查了平行四边形的性质，线段的垂直平分线定理，勾股定理，矩形的判定和性质，解的关键的关键是用建立方程求解，解的关键是分情况讨论，是一道中等难度的题目．
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