2025年中考数学三轮冲刺练习圆中相似三角形和锐角三角函数综合训练（含解析）

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2025年中考数学三轮冲刺练习圆中相似三角形和锐角三角函数综合训练
1．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的外接圆，点D是的中点，连结CD交AB于点E．
（1）求∠DCB的度数．
（2）如图2，过点A作AF⊥CD，连结OD，若，．
①若，求．
②连结OF，求OF的长．
2．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，将△ABC沿直线AB翻折到△ABD，点D在⊙O上．连接CD，交AB于点E，延长BD，CA，两线相交于点P，过点A作⊙O的切线交BP于点G．
（1）求证：AG∥CD；
（2）求证：PA2＝PG PB；
（3）若，求tan∠AGB的值．
3．如图，BC是⊙O的直径，点A在上，点E是AC的中点，连接OE并延长交于点D，过点D作DF∥AC交BC的延长线于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线：
（2）若点A为的中点，求证：四边形ACFD是平行四边形；
（3）在（2）的条件下，若⊙O的半径长为4，连接BE，求tan∠OBE的值．
4．如图，AB为⊙O的直径，点C在BA的延长线上，D为⊙O上一点，连接AD，BD，E，F分别是AD，BD的中点，连接OE，OF，延长CD，OF交于点P．
（1）求证：四边形OFDE是矩形；
（2）若∠ADC＝∠EOA，求证：CD是⊙O的切线；
（3）在（2）的条件下，若，，求⊙O的半径．
5．如图，AB是半圆O的直径，动点C在半圆上，OD平分∠COB与圆O交于点D，连接CA．
（1）求证：OD∥AC；
（2）过点B作EB⊥AB，交OD的延长线于点E，设△OAC的面积为S1，△OBE的面积为S2．
①若，求tan∠ACO；
②若S1＝S2，则tan∠ACO＝　 　 （直接写出答案）．
6．如图1，在等腰Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，D为AC的中点，E为边BC上一点，连结AE，过点B作BG⊥AE于点G，⊙O经过点C，D，G，E，交射线BG于点F，连结CF．
（1）求证：△BEG∽△BFC．
（2）连结DF，CG，如图2，若∠DCG＝∠FBC．记BF交AC于点H，求的值．
（3）当时（点D，G不重合），求tan∠BAE的值．
7．如图，点A，B，C在⊙O上且AB为直径，延长AC至点D，使得∠DBC＝∠CAB（∠CAB＜45°），点E是弦AC上一动点（不与点A，C重合），过点E作AB的垂线，交AB于点F，交BC的延长线于点N，交⊙O于点M（点M在劣弧AC上）．
（1）BD是⊙O的切线吗？请作出你的判断并给出证明；
（2）记△BDC，△ABC，△ADB的面积分别为S1，S2，S，若S1 S．
①请判断BD与AC的数量关系，并说明理由；
②直接写出tan2D的值；
（3）若⊙O的半径为1，设FM＝x，y＝AF BF，直接写出y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围．
8．如图1，⊙O的半径为10，直线l经过⊙O的圆心O，且与⊙O交于A，B两点，点C在⊙O上，且sin∠AOC，点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与⊙O交于点Q．
（1）求点C到OA的距离；
（2）如图2，当PC与⊙O相切时，求AP的长；
（3）如图3，连接AC，当AC∥OQ时，求AC与OQ之间的距离；
（4）当tan∠OCP时，直接写出OP的长．
9．如图1，以点M（1，0）为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A、B、C、D，直线y与⊙M相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点F．
（1）填空：OE的长为　 　 ；OF的长为　 　 ；⊙M的半径为　 　 ；CH的长为　 　 ；
（2）如图2，点P是直径CD上的一个动点（不与C、D重合），连结HP并延长交⊙M于点Q．
①当DP：PH＝3：2时，求cos∠QHC的值；
②设tan∠QHC＝x，y，求y与x的函数关系式．
10．已知点A，P，B，C在⊙O上，AB＝AC，点D在BP的延长线上，连接AD．
（1）如图1，若AD∥BC，求证：AD是⊙O的切线；
（2）如图2，若，ADPD，BP＝PD，，求AD的长．
11．如图，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，且满足AB＜AC．D是BC的中点，连结DO并延长交AC于点E，与BA的延长线交于点F，连结CO并延长交⊙O于点G，连结FG，AG．
（1）若∠BAC＝60°，，求OC的长．
（2）若FG与⊙O相切，G为切点．
①求证：△BDF∽△GAC；
②若∠BAC＝45°，直接写出tanB和的值．
12．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，F为弦CD上一点，且∠DAF＝∠C，射线AF与射线DB相交于点P．
（1）求证：F为AP的中点．
（2）①若sin∠DAF，求的值．
②当△CDP为直角三角形时，求∠DAF的正切值．
13．如图，在△ABC的外接圆中，弦BD平分∠ABC（∠ABC＞90°），连结CD．延长BC至点E，使CE＝CD，EF∥AC交CD于点F．
（1）若∠ABC＝100°，求∠CFE的度数；
（2）①求证：BD＝EF；
②若AB∥CD，，求的值．
14．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D位于⊙O外一点，连接AD，BD，CD．BD交⊙O于点E，连接CE．已知AB＝AC＝AD．
（1）如图1，求证：∠ACE＝∠ADE．
（2）如图2，BD经过圆心O，AB＝2CD．
①求cos∠BAC的值；
②若AB＝3，求⊙O的半径．
15．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，点E是BC的中点，连接BD、DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若，求AD的长；
（3）若，点F是直线BC上一动点，连接AF交⊙O于点M，连接BM，求的最大值．
参考答案
一、选择题
1．【解答】解：（1）∵AB是直径，
∴的度数为180°，
∵点D是AB的中点，
∴的度数为90°，
∴∠DCB＝45°；
（2）①∵，
设OE＝a，则OD＝2a，
∵，
∴OE＝OD，
∴，
解得，
∵AF⊥CD，
∴∠AFE＝90°，
∵∠AEF＝∠OED，
∴∠FAE＝∠D，
∴
∴，
∴EF＝1，AF＝2，
∵∠ACD＝45°，
∴CF＝AF＝2，
∴CE＝3，
在Rt△OED中，DE2＝OE2+OD2＝25，DE＝5，
∴；
②当时
过点O作OG⊥CD，
∴，
∴EG＝DE﹣DG＝1，
∵EF＝1，
∴GF＝2，
∴△OEG∽△OED，
∴，
∴OG＝2，
在Rt△OGF中，，
当时，
过点O作OG⊥CD，
∵∠BAF＝∠D，
∴，
设OE＝b，OD＝OA＝2b，
∵，
∴，
∴，
∴EF＝1，AF＝2，
∵△OEG∽△AEF，
∴，
∴OG，
在Rt△ODG中，，
在Rt△ODE中，，
∴，
∴，
∴．
2．【解答】（1）证明：∵将△ABC沿直线AB翻折到△ABD，点D在⊙O上，
∴AB⊥CD，
∵AB为⊙O的直径，AG是切线，
∴AG⊥AB，
∴AG∥CD；
（2）证明：∵AG∥CD，
∴∠PAG＝∠PCD，
∵∠PCD＝∠PBA，
∴∠PAG＝∠PBA，
又∵∠APG＝∠BPA，
∴△APG∽△BPA，
∴，即PA2＝PG PB；
（3）解：∵，设AD＝a，则AP＝3a，
∴，
∴，
∵将△ABC沿直线AB翻折到△ABD，点D在⊙O上，
∴AC＝AD＝a，
∴PC＝PA+AC＝3a+a＝4a，
在Rt△PCB中，，
∴，
∵AD⊥BD，GA⊥AB，
∴∠AGB＝90°﹣∠GAD＝∠DAB，
∴．
3．【解答】（1）证明：如图，连接OA．
∵点E是AC的中点，OA＝OC，
∴OD⊥AC．
∵DF∥AC，
∴OD⊥DF．
∵OD是⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线．
（2）证明：由（1）可知，OD⊥AC，
∴．
∵点A为BD的中点，
∴，
∴，
∴∠ACB＝∠CAD，
∴AD∥CF．
又∵DF∥AC，
∴四边形ACFD是平行四边形．
（3）解：如图，连接CD，过点E作EH⊥BC于点H．
由（2）可知，，
∴AD＝CD，．
∵OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴CD＝OC＝4，
∴AD＝OC＝4．
∵∠EAD＝∠ECO，∠AED＝∠CEO，
∴△DAE≌△OCE（AAS），
∴OE＝ED．
∵在Rt△OEH中，∠EOH＝60°，OE＝2，
∴，
∴BH＝OB+OH＝4+1＝5，
∴，
∴tan∠OBE的值为．
4．【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵E，F分别是AD，BD的中点，且OE，OF经过圆心O，
∴OE⊥AD，OF⊥BD，
∴∠EDF＝∠DFO＝90°，
∴∠EDF＝∠DEO＝∠DFO＝90°，
∴四边形OFDE是矩形．
（2）证明：如图，连接OD．
∵OD＝OA，
∴∠ADO＝∠DAO，
∵OE⊥AD，
∴∠AEO＝90°，
∴∠EAO+∠EOA＝90°，
∵∠ADC＝∠EOA，∠ADO＝∠DAO，
∴∠ADC+∠ADO＝90°，
即∠ODC＝90°，
∴OD⊥CD，
又∵OD为半径，
∴CD是⊙O的切线．
（3）解：∵∠ODC＝90°，
∴tanC，
设OA＝OD＝3x，CD＝4x，
在 Rt△ODC 中，根据勾股定理，得，
∴AC＝OC﹣OA＝2x，
∵OF⊥BD，
∴∠DFP＝90°，
∴∠ADF＝∠DFP＝90°，
∴AD∥OP，
∴，
即，
∴DP＝6x，
∵OD⊥CD，
∴∠ODP＝90°，
在Rt△ODP中，根据勾股定理，得，
即．
解得x＝1，
∴OD＝3x＝3，
∴⊙O的半径为3．
5．【解答】（1）证明：∵AB是半圆O的直径，动点C在半圆上，OD平分∠COB与圆O交于点D，
∴，
∵，
∴∠COD＝∠BOE＝∠CAO，
∴OD∥AC；
（2）解：①过C作CH⊥AO于H，如图2：
∵，
∴，
∴，
∵∠A＝∠BOE，
∴tan∠A＝tan∠BOE，
∴，
∴，
设AH＝m，则BO＝2m＝AO＝CO，
∴OH＝2m﹣m＝m，
在直角三角形CHO中，由勾股定理得：，
∴，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∴；
②tan∠ACO＝1；理由如下：
同①可知：当S1＝S2时，则：，
∴AH＝OB＝OA，
∴点H与点O重合，
∴△AOC为等腰直角三角形，
∴∠ACO＝∠A＝45°，
∴tan∠ACO＝tan45°＝1．
故答案为：1．
6．【解答】（1）证明：BG⊥AE于点G，如图1，连接EF，则EF是⊙O的直径，
∴∠ECF＝90°，
∴∠BGE＝∠BCF，
又∵∠GBE＝∠CBF，
∴△BEG∽△BFC；
（2）解：①如图2，
∵DF∥BC，
∴△DHF∽△CHB，
∴，
∴HFBF，
∵FC＝3，BC＝6，
∴BF3，则HFBF，
∴BH＝BF﹣HF＝2，
由（1）可得△BEG∽△BFC，
∴，
∴BG，
∴FG＝BF﹣BG＝3，
∴；
（3）点D是等腰Rt△ABC斜边AC上的中点，如图3，连接BD，DE，EF，DF，
∴BD＝CD，BD⊥AC，
∵，
∴∠DFE＝∠DCE＝45°，
又∵EF是⊙O的直径，
∴∠FDE＝90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DE＝DF，
在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（SAS），
∴BE＝CF，
设BE＝x，则CF＝BE＝x，EC＝BC﹣BE＝6﹣x，
在Rt△ECF中，由勾股定理得：EF2＝EC2+FC2＝（6﹣x）2+x2，
在Rt△BCF中，由勾股定理得：BF2＝FC2+BC2＝62+x2，
∵，
∴CG＝CDAC＝3，
∵，
∴∠BFE＝∠BCG，
又∵∠FBE＝∠CBG，
∴△FBE∽△CBG，
∴，
∴，即，
∴2，
∴2，
解得：x1＝2，x2＝6（舍去），
∴BE＝2，
∴tan∠BAE．
7．【解答】解：（1）BD是⊙O的切线．
证明： AB是⊙O的直径．
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠ABC＝90°，
又∠DBC＝∠CAB，
∴∠DBC+∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝90°．
即AB⊥BD，
∵OD为半径，
∴BD是⊙O的切线．
（2）①BD＝AC，理由如下：
由题意得，S1BC CD，S2BC AC，SAD BC．
∵，
∵．
∴CD AD＝AC2，
∵，
即CD AD＝BD2，
∴BD＝AC；
②∵CD AD＝AC．
∴CD（CD+AC）＝AC2．
又∵∠D+∠DBC＝90°，∠ABC+∠A＝90°，∠DBC＝∠A，
∴∠D＝∠ABC．
∵．
∴，
∴CD（CD+AC）＝AC2，
∴，
∴BC4+AC2 BC2＝AC4．
∴，
由题意，设（tan∠D）2＝m，
∴．
∴1+m＝m2
∴，
∵m＞0，
∴，
∴；
（3），0＜x≤1．
设∠A＝α，
∵∠A+∠ABC＝∠ABC+∠DBC＝∠ABC+∠N＝90°，
∴∠A＝∠DBC＝∠N＝α．
如图，连接OM．
∴．
∴，，
∴BF AF＝x2，
∴．
∵BC＝AB sinα＝2sinα．r＝1，
∴AB＝2，
∴AC＝AB cosα＝2cosα．
∵，
∴y＝AF BFx2
＝x2x2x2，
即y＝x2，
∵FM⊥AB，
∴FM最大值为F与O重合时，即为1．
∴0＜x≤1．
8．【解答】解：（1）过点C作CH⊥AB于点H，如图，
∵CH⊥AB，sin∠AOC，
∴，
∴，
∴CH＝6．
∴点C到OA的距离为6；
（2）∵PC与⊙O相切，
∴PC⊥OC，
∴sin∠AOC，
设PC＝3k，则OP＝5k，
∴OC4k，
∵⊙O的半径为10，
∴4k＝10，
∴k，
∴OP＝5k，
∴AP＝OP﹣OA；
（3）过点C作CH⊥AB于点H，过点O作OE⊥AC于点E，如图，
由（1）知：CH＝6，
∴OH8，
∴AH＝OA﹣OH＝2，
∴AC2．
∵，
∴OE3，
∵AC∥OQ，平行线之间的距离相等，
∴AC与OQ之间的距离为3；
（4）当tan∠OCP时，OP的长为5或25．理由：
①点P在点O的右侧时，过点P作PM⊥OC于点M，如图，
∵tan∠OCP，PM⊥OC，
∴，
设PM＝m．则CM＝2m，
∵sin∠AOC，PM⊥OC，
∴，
∴OPm，
∴OMm，
∴OC＝OM+CMm，
∴m＝10，
∴m＝3，
∴OPm＝5．
②点P在点O的左侧时，过点P作PN⊥OC交CO的延长线于点N，如图，
∵tan∠OCP，PN⊥OC，
∴，
设PN＝n．则CN＝2n，
∵sin∠AOC，∠AOC＝∠PON，
∴sin∠PON，
∵PN⊥OC，
∴，
∴OPn，
∴ONn，
∴CN＝ON+OC，
∴n+10＝2n，
∴n＝15，
∴OPn＝25．
综上，当tan∠OCP时，OP的长为5或25．
9．【解答】解：（1）∵直线y交x轴于点E，交y轴于点F，
令y＝0得，0，
解得x＝5，
∴OE＝5；
令x＝0得，y，
∴OF；
∵tan∠OEF，
∴∠OEF＝30°，
连接MH，则∠MHE＝90°，
∵M（1，0），
∴OM＝1，
∴EM＝4，
∴MHEM＝2，即⊙M的半径为2；
∵MC＝MH，∠CMH＝90°﹣30°＝60°，
∴△MCH是等边三角形，
∴CH＝2；
故答案为：5，，2，2；
（2）①连接DQ、CQ，
∵，
∴∠QDC＝∠QHC，
∵∠QPD＝∠CPH，
∴△DPQ∽△HPC，
∴，
∵CH＝2，
∴DQ＝3，
∵CD为直径，
∴CD＝4，∠DQC＝90°，
∴cos∠QDC，
∴cos∠QHC；
②由①知∠QDC＝∠QHC，
∴tan∠QHC＝tan∠QDCx，
如图，作QK⊥x轴于点K，HJ⊥x轴于点J，则HJ∥KQ，
∵∠MCH＝60°，CM＝2，
∴HJ＝CH cos30°，
∵HJ∥KQ，
∴y，
∴KQy，
在Rt△DKQ中，tan∠KDQx，
∴DK，
∵CD＝4，
∴CK＝CD﹣DK＝4，
∵∠DQC＝90°，
∴∠KQC＝90°﹣∠KQD＝∠KDQ，
在Rt△KCQ中，tan∠KQCx，
∴CK＝KQ x，即4y x，
整理得（x2+1）y＝4x，
∴y与x的函数关系式为y．
10．【解答】（1）证明：如图1，连接AO并延长交BC于M，连接OB、OC，
在△AOB和△AOC中，
，
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴∠BAM＝∠CAM，
∵AB＝AC，
∴AM⊥BC，
∴∠AMC＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠DAM＝∠AMC＝90°，
∴OA⊥AD，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：如图2，过点C作CQ⊥PA交PA的延长线于点Q，
∵ADPD，BP＝PD，
∴，，
∴，
又∵∠ADP＝∠BDA，
∴△DAP∽△DBA，
∴，
∴，
设AP＝a，则ACa，
∵∠APC＝∠ABC，
∴tan∠APC＝tan∠ABC，
∵PC，
∴QC＝1，QP＝2，
∴AQ＝2﹣a，
在Rt△ACQ中，AQ2+CQ2＝AC2，
∴12+（2﹣a）2＝（a）2，
解得：a1＝﹣5（舍去），a2＝1，
∴PA＝AQ＝QC＝1，AC，
由∠DAP＝∠DBA＝∠ACP，
∴△DPA∽△APC，
∴，
∴，
∴DA
∴AD的长为．
11．【解答】（1）解：连接OB，如图，
∵D是BC的中点，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，
∴BD＝CDBC，OD⊥BD，
∵OB＝OC，
∴∠DOC∠BOC，
∵∠BOC＝2∠BAC＝120°，
∴∠DOC＝60°．
在Rt△ODC中，
∵sin∠DOC，
∴，
∴OC＝2；
（2）①证明：∵CG为圆的直径，
∴∠GAC＝90°，
∴∠AGC+∠ACG＝90°，
∵∠AGC＝∠B，
∴∠B+∠ACG＝90°，
由（1）知：OD⊥BD，
∴∠B+∠BFD＝90°，
∴∠BFD＝∠ACG．
∵∠BDF＝∠GAC＝90°，
∴△BDF∽△GAC；
②解：连接OB，过点C作CH⊥AB于点H，如图，
设BD＝CD＝a，则BC＝2a，
由（1）知：∠DOCBOC＝∠BAC＝45°，OD⊥BC，
∴OD＝CD＝a，
∴OCCDa，
∴GC＝2OG＝2OC＝2a，
∵FG与⊙O相切，OG为圆的半径，
∴OG⊥FG，
∵∠GOF＝∠DOC＝45°，
∴FOOG＝2a，
∴FD＝OD+FO＝3a，
∴tanB3．
∵CH⊥AB，
∴tanB3，
∴CH＝3BH，
设BH＝b，则CH＝3b，
∵BH2+CH2＝BC2，
∴b2+（3b）2＝（2a）2，
∵b＞0，
∴ba，
∴AH＝CHa，BHa．
∴AB＝AH+BHa．
∵BFa，
∴AF＝BF﹣ABa．
∵∠BAC＝∠DOC＝45°，
∴∠FAE＝∠COE＝135°，
由（2）①知：∠BFD＝∠ACG，
∴△FAE∽△COE，
∴．
∵CH⊥AB，∠BAC＝45°，
∴ACCHa．
设OE＝x，AE＝y，则EF＝2a﹣x，EC＝AC﹣AEa﹣y，
∴，
∴，
∴EF＝a，
由（2）①知：△BDF∽△GAC，
∴，
∴AGACa，
∴．
12．【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴，
∴∠C＝∠ADC，
∵∠DAF＝∠C，
∴∠DAF＝∠ADC，
∴AF＝DF．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠APD＝∠FDP，
∴，
即F为AP的中点．
（2）解：①∵，且∠DAF＝∠C＝∠ADC，
∴，
设AE＝3a，则AD＝5a，
∴CE＝DE＝4a，
∵△DAF∽△DCA，
∴，
∴AD2＝DF CD，
∴（5a）2＝DF 8a，
解得，
∴．
②（i）当∠PCD＝90°时，PC∥AE，
∴∠FAE＝∠FPC，
由（1）得FA＝FP，
∴△AEF≌△PCF（AAS），
∴CF＝EF，AE＝PC，
设CF＝EF＝b，
∴DE＝CE＝2b，DF＝3b，
由（1）知，FD＝FA＝3b，
∴AE＝2b，
∴．
（ii）当∠CPD＝90°时，CP∥AD，
∴∠APC＝∠PAD．
∵FA＝FP，∠AFD＝∠PFC，
∴△ADF≌△PCF（ASA），
∴PC＝AD，
∴四边形ACPD为平行四边形，
又AC＝AD，
∴四边形ACPD为正方形，
∴∠DAF＝45°，
∴tan∠DAF＝1．
综上，∠DAF的正切值为或1．
13．【解答】（1）解：∵BD平分∠ABC，∠ABC＝100°，
∴∠ABD＝∠CBD＝50°，
∴∠ACD＝∠ABD＝50°，
∵EF∥AC，
∴∠CFE＝∠ACD＝50°；
（2）①证明：如图1，连接AD，
∵∠ABD＝∠CBD，
∴，
∴AD＝CD，
∵CD＝CE，
∴AD＝CE，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠FCE＝∠BAD，
由（1）知：∠CFE＝∠ABD，
∴△DAB≌△ECF（AAS），
∴BD＝EF；
②解：如图2，连接AD，DE，过点F作FH⊥DE于点H，
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDC，
∴，
∴AD＝BC，
∵AD＝CE＝CD，
∴BC＝CD＝CE，
∴∠CBD＝∠CDB，∠CDE＝∠CED，
∵∠CBD+∠CDB+∠CDE+∠CED＝180°，
∴∠CDB+∠CDE＝90°，
即∠BDE＝90°，
∵tan∠CBD，
∴设DE＝4a，BD＝3a，则BE＝5a，
∴CDBE＝2.5a，
∵∠CBD+∠BED＝90°，∠FDH+∠DFH＝90°，
∴∠DFH＝∠CBD，
∴tan∠DFH，
∴设DH＝4x，FH＝3x，则DF＝5x，
∴EH＝4a﹣4x，
在Rt△EHF中，FH2+EH2＝EF2，
∴（3x）2+（4a﹣4x）2＝（3a）2，
∴25x2﹣32ax+7a2＝0，
（x﹣a）（25x﹣7a）＝0，
a1＝x（舍），a2，
∴CF＝DC﹣DF＝2.5a﹣5xx﹣5xx，
∴．
14．【解答】（1）证明：⊙O是△ABC的外接圆，
∴∠ACE＝∠ABE，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠ACE＝∠ADE．
（2）解：①已知AB＝AC＝AD，如图2，连接AO，CO，
∵OB＝OC，
∴∠AOB＝∠AOC．
∵AO＝BO＝CO，
∴∠OBA＝∠OAB＝∠OAC＝∠OCA，
∴．
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC．
∵∠ACE＝∠ADE，
∴．
∵∠BAC＝∠BEC，
∴∠OBA＝∠OAB＝∠ECD＝∠EDC，
∴△ABO∽△CDE，
∴，
∵AB＝2CD，
∴BO＝2EC，
∴BE＝4EC，
∵BD经过圆心O，
∴BD是⊙O的直径，
∴∠BCE＝90°，
∴；
②已知AB＝AC，∠OAB＝∠OAC，如图3，延长AO交BC于点F，
∴AF⊥BC，
∴∠AFB＝90°，BF＝CF，
∵O为BE的中点，
∴，
由（2）①可得BO＝AO＝2CE，
在Rt△BFO中，由勾股定理理：，
在Rt△BFA中，由勾股定理得：，
∴，
∴（负根舍去），
∴．
15．【解答】（1）证明：设AB中点为O，连接OD，如图1，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠CDB＝90°，
∵∠CBD+∠ABD＝∠CAB+∠ABD＝90°，
∴∠CBD＝∠CAB，
∵AO＝DO，
∴∠CAB＝∠ADO，
在Rt△BCD中，点E是BC的中点，
∴DE＝BE＝CE，
∴∠CBD＝∠BDE，
∴∠ADO＝∠BDE，
∵∠ADO+∠BDO＝90°，
∴∠BDE+∠BDO＝90°，
∴DE⊥OD，
∵OD是⊙O半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△BCD中，点E是BC的中点，DE＝5，
∴DE＝BE＝CE＝5，
∴BC＝10，
∵，
∴AB＝20，
∵，
∴AD＝2BD，
∴即，
∴（负值舍去）；
（3）解：过点M作MG⊥AB，交AB于点G，如图2，
则∠AGM＝90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AMB＝90°，
∵∠AMG+∠MAB＝∠AMG+∠BMG＝90°，
∴∠MAB＝∠BMG，
∵∠AGM＝∠ABF＝90°，
∴△MGB∽△ABF，
∴，
∵，
∴AB＝8，
∴，
∴当MG最大时，有最大值，则当G点与O点重合时，即MG最大，为⊙O的半径，
∴此时，
∴，
∴的最大值为．
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