第六章平行四边形期末复习练习（含解析）

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第六章平行四边形期末复习练习北师大版2024—2025学年八年级下册
一、选择题
1．如果一个正多边形的内角和是外角和的4倍，那么这个正多边形的边数为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
2．观察图，根据所标注的数据能判断其一定是平行四边形的是（　　）
A．只有③ B．只有② C．①② D．①②③
3．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且 ABCD的周长为40，则 ABCD的面积为（　　）
A．24 B．36 C．40 D．48
4．下列关于平行四边形的说法中错误的是（　　）
A．平行四边形的对角相等，邻角互补
B．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
5．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB＝BC B．AD＝BC
C．∠A＝∠C D．∠B+∠C＝180°
6．在平面直角坐标系中， PQMN的三个顶点坐标分别是P（﹣5，﹣10），Q（15，﹣3），M（6，8），则N点坐标是（　　）
A．（﹣15，5） B．（﹣14，1） C．（﹣14，5） D．（﹣15，1）
7．如图，点D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，AC的中点，分别连接DE，EF，DF，AE，AE与DF相交于点O．有下列四个结论：
①；
②S△DEFS△ABC；
③当AB＝AC时，点O到四边形ADEF四条边的距离相等；
④当∠ABC＝90°时，点O到四边形ADEF四个顶点的距离相等．
其中正确的结论是（　　）
A．①② B．③④ C．②③ D．①④
8．如图，点O是 ABCD的对角线的交点，∠ABC＝120°，∠ADC的平分线DE交AB于点E，AB＝2AD，连接OE．下列结论：①S ABCD＝AD BD；②DB平分∠CDE；③AO＝DE；④OE：BD：6；⑤S△ADE＝5S△OFE，其中正确的个数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
9．在平面直角坐标系中， ABCD的顶点坐标分别是A（0，1），C（3，﹣2），B（a，b），则D的坐标为　 　 ．
10．如图，四边形ABCD为长方形，点E、F分别为AD、BC边上一点，将长方形ABCD沿EF翻折，点A、B分别落在G、H处，若∠1＝α，则∠2＝ 　 　 .（用含α的代数式表示）
11．一个正五边形与一个正六边形按如图所示方式放置，若AB、AC分别平分正五边形与正六边形的一个内角，则∠BAC的度数为　 　 ．
12．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，若AC＝3，BD＝5，则四边形OCED的周长为　 　 ．
三、解答题
13．如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD中点，连接CF并延长交BA的延长线于点E．
（1）求证：AB＝AE．
（2）若BC＝2AE，∠E＝31°，求∠DAB的度数．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，延长DC到点E，使CE＝CD．过点E作EF∥AD交AC的延长线于点F，连接AE，DF．
（1）求证：四边形ADFE是平行四边形；
（2）过点E作EG⊥DF于点G，若BD＝2，AE＝6，求EG的长．
15．如图，在四边形ABCD中，AB＝8cm，BC＝6cm，∠B＝90°，CD∥AB，O是AC的中点，连结DO并延长，交AB于点E，连结CE．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形．
（2）若CE平分∠ACB，求AD的长．
16．如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CFBC，连接CD和EF．
（1）求证：DE＝CF；
（2）求EF的长；
（3）求四边形DEFC的面积．
17．如图，四边形ABCD为平行四边形，线段AC为对角线，点E、F分别为线段BC、AD的中点，连接EF交AC于点O．
（1）求证：四边形AECF为平行四边形；
（2）若OF＝3，求CD的长．
18．【建立模型】如图1，在∠A内部有一点P，连接BP、CP，求证：∠P＝∠1+∠A+∠2；
【尝试应用】如图2，利用上面的结论，直接写出五角星中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝ 　 　 度；
【拓展创新】如图3，将五角星截去一个角后多出一个角，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠G的度数．
【提升思维】如图4，将五角星的每个角都截去，则一共得到10个角，则这10个角的和∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠J的度数是 　 　 度．
参考答案
一、选择题
1．【解答】解：设正多边形的边数为n，由题意得：
（n﹣2） 180°＝4×360°，
解得：n＝10，
故选：D．
2．【解答】解：①、由同旁内角互补，两直线平行，只能判定四边形的上下一组对边平行，不能判定四边形是平行四边形，故①不符合题意；
②、由同旁内角互补，两直线平行，只能判定四边形的左右一组对边平行，不能判定四边形是平行四边形，故②不符合题意；
③、由同旁内角互补，两直线平行，判定四边形的上下一组对边平行，并且上下一组对边相等，判定四边形是平行四边形，故③符合题意．
∴判定四边形一定是平行四边形的只有③．
故选：A．
3．【解答】解：设BC＝x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵ ABCD的周长为40，
∴BC+CD＝20，
∴CD＝20﹣x，
∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∵ ABCD的面积＝BC AE＝CD AF，
∴4x＝6（20﹣x），
解得：x＝12，
∴ ABCD的面积＝BC AE＝12×4＝48．
故选：D．
4．【解答】解：∵平行四边形的对角相等，且两组对边分别平行，
∴平行四边形的邻角互补，
故A不符合题意；
如图1，△ABE中，AE＝AB，在BE上取一点C，使CE≠BC，作AC的垂直平分线交AE于点F，连接并延长CF到点D，使DF＝EF，连接AD，
∵CF＝AF，DF＝EF，
∴CF+DF＝AF+EF，
∴CD＝AE＝AB，
在△AFD和△CFE中，
，
∴△AFD≌△CFE（SAS），
∴∠D＝∠E＝∠B，
∴四边形ABCD是一组对边相等，一组对角相等的四边形，但四边形ABCD不是平行四边形，
∴一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，
故B符合题意；
如图2，AD∥BC，∠A＝∠C，∵∠A+∠B＝180°，
∴∠C+∠B＝180°，
∴CD∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴一组对平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，
故C不符合题意；
根据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
故D不符合题意，
故选：B．
5．【解答】解：一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是∠A＝∠C，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠A+∠D＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠C+∠D＝180°，
∴AD∥BC，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故选：C．
6．【解答】解：设N（x，y），
∵四边形PQMN是平行四边形，P（﹣5，﹣10），Q（15，﹣3），M（6，8），
∴|x﹣6|＝|﹣5﹣15|，|y+10|＝|8+3|，
∵N点在第二象限，
∴x＜0，y＞0，
∴x＝﹣14，y＝1，
∴N（﹣14，1），
故选：B．
7．【解答】解：①∵点D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，AC的中点，
∴DFBC，BEAC，DF∥BC，
∴AO＝EO，
∴OD是△ABE的中位线，
∴ODBE，故①错误；
②∵点D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，AC的中点，
∴DF∥BC，DFBC，BE＝CE，DE∥AF，EF∥AD，
∴四边形ADEF和四边形DBEF和四边形DECF是平行四边形，
∴S△ADF＝S△DEF＝S△BDE＝S△CEF，
∴S△DEFS△ABC，故②正确；
③∵AB＝AC，
∴AD＝AF，
∵四边形ADEF是平行四边形，
∴四边形ADEF是菱形，
∴AE，DF是菱形两组对角的平分线，
∴点O到四边形ADEF四条边的距离相等，故③正确；
④∵∠ABC＝90°，四边形ADEF是平行四边形，
∴点O到四边形ADEF四个顶点的距离不相等，故④错误．
综上所述：正确的是②③，共2个，
故选：C．
8．【解答】解：在 ABCD中，
∵∠BAD＝∠BCD＝60°，∠ADC＝120°，DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠DAE＝∠AED＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴，
∴E是AB的中点，
∴DE＝BE，
∴，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BD，
∴S ABCD＝AD BD，故①正确；
∵∠CDE＝60°，∠BDE＝30°，
∴∠CDB＝∠CDE﹣∠BDE＝60°﹣30°＝30°，
∴∠CDB＝BDE，
故DB平分∠CDE，故②正确；
依据Rt△AOD中，AO＞AD，即可得到AO＞DE，故③错误；
∵O是BD中点，E为AB中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴，OE∥AD，
在Rt△ABD中，，
∴，
∴，故④正确；
∵OE∥AD，
∴△ADF∽△OEF，
∴，
∴S△ADF＝4S△OEF，S△AEF＝2S△OEF
∴S△ADE＝S△ADF+S△AEF＝6S△OEF，故⑤错误；
∴正确的有3个，
故选：B．
二、填空题
9．【解答】解：∵A（0，1），C（3，﹣2），
∴AC的中点坐标为（，），
即（，），
设点D（x，y），
∵B（a，b），
∴，，
解得：x＝﹣a+3，y＝﹣b﹣1，
∴点D的坐标为（﹣a+3，﹣b﹣1），
故答案为：（﹣a+3，﹣b﹣1）．
10．【解答】解：如图，由折叠可知，∠2＝∠4，∠H＝∠B＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠2＝∠3，
∵∠1+∠5＝180°，
∴∠5＝180°﹣∠1＝180°﹣α，
∵∠4+∠3+∠5+∠H＝360°，
∴2∠2+180°﹣α+90°＝360°，
即∠2＝45α，
故答案为：45α．
11．【解答】解：根据题意可知，正五边形的内角为：，
正六边形的内角为：，
AB、AC分别平分正八边形与正六边形的一个内角，
∴．
故答案为：114°．
12．【解答】解：∵ ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝3，BD＝5，
∴，
∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∴四边形OCED的周长，
故答案为：8．
三、解答题
13．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，BC＝AD，
∴∠E＝∠DCF，
∵点F是AD中点，
∴AF＝DF，
∵∠EFA＝∠CFD，
∴△AFE≌△DFC（AAS），
∴CD＝AE，
∴AB＝AE；
（2）解：由（1）可得AF＝DF，BC＝AD，
∵BC＝2AE，
∴AE＝AF，
∵∠E＝31°，
∴∠AFE＝∠E＝31°，
∴∠DAB＝2∠E＝62°．
14．【解答】（1）证明：∵EF∥AD，
∴∠FEC＝∠ADC，
又∵CE＝CD，∠FCE＝∠ACD，
∴△FCE≌△ACD（ASA），
∴EF＝AD，
∴四边形ADFE是平行四边形；
（2）解：如图，
由（1）可知，四边形ADFE是平行四边形，
∴DF＝AE＝6，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴CD＝BD＝2，
∴CE＝CD＝2，
∴DE＝2CD＝4，
∵EF∥AD，
∴EF⊥BC，
∴∠DEF＝90°，
∴EF2，
∵EG⊥DF，
∴S△DEFDF EG EF，
∴EG，
即EG的长为．
15．【解答】（1）证明：∵CD∥AB，
∴∠ACD＝∠CAE，
∵O是AC的中点，
∴AO＝CO，
在△AOE与△COD中，
，
∴△AOE≌△COD（ASA），
∴AE＝CD，又AE∥CD，
∴四边形AECD是平行四边形；
（2）解：如图，过点E作EF⊥AC于F，
在Rt△ABC中，AB＝8cm，BC＝6cm，∠B＝90°，
由勾股定理得：AC10（cm），
∵CE平分∠ACB，∠B＝90°，EF⊥AC，
∴EF＝EB，
则，
∴，
∵AB＝8cm，
∴BE＝3cm，
∴CE3（cm），
由（1）可知：四边形AECD是平行四边形，
∴AD＝CE＝3cm．
16．【解答】解：（1）在△ABC中，
∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DEBC，
∵CFBC，
∴DE＝CF．
（2）∵AC＝BC，AD＝BD，
∴CD⊥AB，
∵BC＝4，BD＝2，
∴CD2，
∵DE∥CF，DE＝CF，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴EF＝CD＝2．
（3）过点D作DH⊥BC于H．
∵∠DHC＝90°，∠DCB＝30°，
∴DHDC，
∵DE＝CF＝2，
∴S四边形DEFC＝CF DH＝22．
17．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵点E、F分别为线段BC、AD的中点，
∴AFAD，CEBC，
∴AF＝CE，
∵AF∥CE，
∴四边形AECF为平行四边形；
（2）解：∵四边形AECF为平行四边形，
∴OA＝OC，
∵AF＝DF，
∴OF为△ACD的中位线，
∴CD＝2OF＝2×3＝6．
18．【解答】【建立模型】证明：延长BP交AC于点M，如图1所示：
由三角形外角性质得：∠BPC＝∠1+∠PMC，∠PMC＝∠A+∠2，
∴∠BPC＝∠1+∠A+∠2；
【尝试应用】解：设BD与CE相交于点N，如图2所示：
由【建立模型】得：∠CND＝∠A+∠C+∠D，
∵∠BNE＝∠CND，
∴∠BNE＝∠A+∠C+∠D，
在△BEN中，∠BNE+∠B+∠E＝180°，
∴∠A+∠C+∠D+∠B+∠E＝180°，
故答案为：180；
【拓展创新】解：延长CA与DG的延长线相交于点K，如图3所示：
∵∠CAG＝180°﹣∠KAG，∠DGA＝180°﹣∠KGA，
∴∠CAG+∠DGA＝360°﹣（∠KAG+∠KGA），
在△KAG中，∠KAG+∠KGA＝180°﹣∠K，
∴∠CAG+∠DGA＝360°﹣（180°﹣∠K）＝180°+∠K，
由【尝试应用】得：∠K+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，
∴∠CAG+∠B+∠C+∠D+∠E+∠∠DGA
＝∠CAG+∠DGA+∠B+∠C+∠D+∠E
＝180°+∠K+∠B+∠C+∠D+∠E
＝180°+180°
＝360°；
【提升思维】解：由【拓展创新】得：当五角星去掉一个角后多出一个角时，此时所有角的和的度数比五角星的内角和多出180°，
∴当五角星去掉五个角后多出五个角，此时所有角的和的度数为：180°+5×180°＝1080°．
故答案为：1080．
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