第十一章反比例函数期末复习（含解析）

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第十一章反比例函数期末复习苏科版2024—2025学年八年级下册
一、选择题
1．若点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（3，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y3＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1
2．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A（﹣3，1），B（﹣1，3）两点．则不等式的解为（　　）
A．x＜﹣3或x＞﹣1 B．﹣3＜x＜﹣1
C．﹣3＜x＜﹣1或x＞0 D．x＜﹣3或﹣1＜x＜0
3．在平面直角坐标系中，如果反比例函数的图象经过点（2，3），那么此反比例函数的图象也一定经过点（　　）
A．（﹣2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（3，﹣2） D．（﹣3，2）
4．在同一平面直角坐标系中，若反比例函数（a为常数，a≠0）与正比例函数y＝bx（b为常数，b≠0）的图象有公共点，则下列关于a，b之间的关系一定正确的是（　　）
A．a+b＞0 B．a+b＜0 C．ab＜0 D．ab＞0
5．如图，A是反比例函数的图象上一点，AB⊥y轴于B，点C在x轴上，若△ABC面积为2，则k的值为（　　）
A．﹣4 B．1 C．2 D．4
6．如图，直线y＝2x﹣4与x轴，y轴分别交于点A，B，与双曲线（k≠0）在第一象限的分支交于点C，过点C作CD⊥y轴于点D，OB＝2OD，则k的值为（　　）
A．6 B．﹣6 C．6或﹣6 D．
7．已知反比例函数与一次函数y＝k﹣x的图象的一个交点的横坐标为﹣2，则k的值为（　　）
A．﹣5 B．﹣51 C．5 D．3
8．如图，点A，B在反比例函数的图象上，CA⊥y轴，垂足为D，BC⊥AC．若四边形AOBC的面积为8，，则k的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．如图，点A是反比例函数在第一象限图象上的任意一点，点B、C分别在x、y轴正半轴上，且AC∥x轴，若△ABC的面积为2，则k的值为　 　 ．
10．已知直线y＝﹣2x与双曲线的一个交点的坐标为（2，n），则m的值为 　 　 ．
11．如图，点A，B在反比例函数图象上，点A的横坐标为1，连接OA，OB，AB，若OA＝OB，△OAB的面积为4，则k的值为 　 　 ．
12．如图，正方形ABCD的顶点C，D均在双曲线在第一象限的分支上，顶点A，B分别在x轴、y轴上，则此正方形的边长为　 　 ．
三、解答题
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝x﹣4与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为（6n，2n）和（m，﹣6）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）直接写出不等式的解集；
（3）连接OB，求△AOB的面积．
14．如图，一次函数y＝k1x+2的图象与反比例函数的图象相交于A（m，4），B两点，与x，y轴分别相交于点C，D，且2．
（1）分别求这两个函数的表达式；
（2）以点D为圆心，线段DB的长为半径作弧与x轴正半轴相交于点E，连接AE，BE．求△ABE的面积．
15．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A（2，6），B（m，3），与x轴交于点C，与y轴交于点D．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接OA、OB，求△AOB的面积．
16．小明家的电热水壶接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，会沸腾1分钟后自动停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系，直至水温降至20℃时热水壶又自动开机加热，重复上述程序（如图所示）．
（1）求反比例图象CD段的函数关系式，并求自变量x的取值范围．
（2）小明治疗肠胃病需服用地衣芽孢杆菌活菌胶囊，它是活菌制剂，医嘱要求：至少在饭后半小时用温开水（水温不能高于40℃）送服，若小明在早饭后立即通电开机，请问他至少需要等多长时间才可以直接用热水壶的水送服活菌片？
17．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交于A（1，m），B（n，1）两点，与y轴交于点M，与x轴交于点N．
（1）求直线AB的解析式；
（2）当时，x的取值范围为　 　 ；
（3）如图，y轴正半轴上有一点P，OP＝2，连接AP，OB，求四边形OPAB的面积．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x﹣4与反比例函数y的图象交于A，B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为（5n，n）和（m，﹣5）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点P为反比例函数y图象上任意一点，若S△POC＝2S△AOC，求点P的坐标．
参考答案
一、选择题
1．【解答】解：当x＝﹣3时，y1＝﹣1，
当x＝1时，y2＝3，
当x＝3时，y3＝1，
∴y1＜y3＜y2．
故选：A．
2．【解答】解：由图象可知：当﹣3＜x＜﹣1或x＞0时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，
∴不等式的解为：﹣3＜x＜﹣1或x＞0．
故选：C．
3．【解答】解：由条件可知k＝2×3＝6；
A．﹣2×3＝﹣6≠6，此反比例函数的图象不经过此点，故选项不符合题意；
B．﹣2×（﹣3）＝6，此反比例函数的图象也一定经过此点，故选项符合题意；
C．3×（﹣2）＝﹣6≠6，此反比例函数的图象不经过此点，故选项不符合题意；
D．﹣3×2＝﹣6≠6，此反比例函数的图象不经过此点，故选项不符合题意；
故选：B．
4．【解答】解：∵正比例函数y＝bx的图象与反比例函数y的图象有公共点，
∴a、b同号，
∴ab＞0．
故选：D．
5．【解答】解：连接OA，
∵AB⊥y轴，
∴AB∥x轴，
∴S△AOB＝S△ABC＝2．
又∵点A在反比例函数y的图象上，
∴．
又∵k＞0，
∴k＝4．
故选：D．
6．【解答】解：将x＝0代入y＝2x﹣4得，
y＝﹣4，
所以点B的坐标为（0，﹣4），
则OB＝4．
又因为OB＝2OD，
所以OD＝2，
所以点D的坐标为（0，2）．
又因为CD⊥y轴，
所以yC＝2，
则，
所以点C的坐标为（）．
将点C坐标代入一次函数解析式得，
，
解得k＝6．
故选：A．
7．【解答】解：∵反比例函数与一次函数y＝k﹣x的图象的一个交点的横坐标为﹣2，
在中，当x＝﹣2时，y＝﹣3，
∴交点坐标是：（﹣2，﹣3），
代入y＝k﹣x，得﹣3＝k+2．
解得k＝﹣5．
故选：A．
8．【解答】解：设A（a，），则AD＝a，OD，
∵，
∴AC＝2a，CD＝3a，
∵CA⊥y轴，BC⊥AC，
∴BC∥y轴，
∴B（3a，），
∴BC，
∵S梯形OBCD＝S△AOD+S四边形AOBC，四边形AOBC的面积为8，
∴（）×3ak+8，
解得k＝4．
故选：D．
二、填空题
9．【解答】解：如图，连接OA，
∵AC∥x轴，
∴S△ABC＝S△AOC＝2，
∵点A在反比例函数图象上，
∴k＝2S△AOC＝2×2＝4．
故答案为：4．
10．【解答】解：把x＝2代入y＝﹣2x得：y＝﹣2×2＝﹣4，
∴直线y＝﹣2x与双曲线y的一个交点坐标为（2，﹣4），
把（2，﹣4）代入双曲线y得：m＝2×（﹣4）＝﹣8．
故答案为：﹣8．
11．【解答】解：过点A作AC⊥y轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，过点A作AE⊥OD于E，
∵点A，B在反比例函数图象上，点A的横坐标为1，
∴A（1，k），
∴AC＝OE＝1，OC＝AE＝k，
设，则a＞1，
∵OA＝OB，
∴AC2+OC2＝BD2+OD2，
∴，
整理得，即，
∵a＞1，
∴a2﹣1≠0，
∴a2＝k2，
∴a＝±k，
∵图象在第一象限，
∴k＞0，
∴a＝k，
∴B（k，1），
∴BD＝AC＝1，OD＝OC＝k，
∵，S四边形OABD＝S梯形AEDB+S△AEO＝S△BDO+S△AOB，
∴S△AOB＝S梯形AEDB，
∵S△AOB＝4，
∴，
∴k2﹣1＝8，
∴k＝±3
∵k＞0，
∴k＝3，
故答案为：3．
12．【解答】解：作DE⊥x轴于E，作CF⊥y轴于F，则∠DEA＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠BAO+∠DAE＝90°，∠DAE+∠ADE＝90°，
∴∠DAE＝∠ABO，
又∵AB＝AD，
∴△ABO≌△DAE（AAS）．
同理，△ABO≌△BCF．
设OA＝a，AE＝b，则OB＝b，BF＝a，DE＝a，CF＝b．
则D的坐标是（a+b，a），C的坐标是（b，a+b）．
∵C、D的两个顶点在双曲线在第一象限的分支上，
∴a（a+b）＝b（a+b）＝8，
∴a＝b，
∴△ABO是等腰直角三角形．
∴D的坐标是（2a，a），
∵D在双曲线在第一象限的分支上，
∴2a2＝8，
∴a2＝4，
∴OB2+OA2＝4+4＝8，
∴，
故答案为：．
三、解答题
13．【解答】解：（1）直线AB：y＝x﹣4与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为（6n，2n）和（m，﹣6），
∴把点A（6n，2n）代入y＝x﹣4得，2n＝6n﹣4，
解得：n＝1，
∴点A的坐标为：（6，2），
∵反比例函数的图象过点A，
∴k＝6×2＝12，
∴反比例函数的解析式为；
（2）把点B（m，﹣6）代入直线y＝x﹣4得，﹣6＝m﹣4，
解得m＝﹣2，
∴B（﹣2，﹣6），
由函数图象可知：当﹣2＜x＜0或x＞6时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，
∴不等式的解集为﹣2≤x＜0或x≥6．
（3）连接OB，如图所示，
∵直线AB：y＝x﹣4与x轴相交于点C，
当y＝0时，x＝4，
∴C（4，0），
∴OC＝4，
∴．
14．【解答】解：（1）由y＝k1x+2得D（0，2），
∴DO＝2，
∴2，
∴CO＝1，
∴C（﹣1，0），
代入y＝k1x+2得k1＝2，
∴一次函数解析式为y＝2x+2；
过A作AM⊥x轴，如图：
∵AM＝4，
∴CM＝2，
∴OM＝1，
∴A（1，4），
把（1，4）代入y得：k2＝4，
∴反比例函数解析式为y；
如图：过A作AN∥y轴，交BE于N，
联立y＝2x+2和y得x2+x﹣2＝0，
∴x＝﹣2或1，
∴B（﹣2，﹣2），
∴BD2，
∴DE＝DB＝2，
∴OE4，
∴E（4，0），
设直线BE解析式为y＝mx+n，
∴，
解得：，
∴直线BE解析式为yx，
∴N（1，﹣1），
∴AN＝4+1＝5，
∴△ABE面积（4+2）×5＝15．
15．【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入反比例函数表达式得：k＝2×6＝3m，
则m＝4，k＝12，
则反比例函数的表达式为：y；
（2）设直线A、B的表达式为：y＝s（x﹣2）+6，
将点B（4，3）代入上式得：3＝s（4﹣2）+6，则s，
则直线AB的表达式为：y（x﹣2）+6x+9，则点D（0，9），
则△AOB的面积＝S△ODB﹣S△ODAOD×（xB﹣xA）9×（3﹣2）．
16．【解答】解：（1）由题意可得：开机加热到 100°C 所需时间为： （分钟），
∴点B坐标为（4，100），
∵加热到100℃，会沸腾1分钟后自动停止加热，
∴点C坐标为（5，100），
设反比例图象CD段的函数关系式 ，把点C（5，100）代入得：
，
解得：k＝500，
，
令y＝20时，代入 ，
解得：x＝25，
∴点D（25，20），
∴反比例图象CD段的函数关系式 ；
（2）由（1）可知：从水温20°C开机加热到100°C、沸腾停止加热、再到水温下降回20°C 为一个周期共用时25分钟，
∵25＜30，
∴小明在第一个周期还不能服药，
当水温第二次加热到40°C所需时间为：，
当水温第二次下降到 40°C 所需时间为：2537.5（分），
∴他至少需要等37.5分钟才可以直接用热水壶的水送服活菌片．
17．【解答】解：（1）把A（1，m），B（n，1）两点坐标分别代入反比例函数，可得，，
∴m＝3，n＝3，
∴A（1，3），B（3，1）．
把A（1，3），B（3，1）代入一次函数y＝kx+b，
可得，解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4．
（2）由图象可知不等式的解集为：0＜x＜1或x＞3．
（3）如图，过点B作BE⊥y轴于点E，过点A作AF⊥y轴于点F，
∵直线AB的解析式为y＝﹣x+4，
∴M点坐标为（0，4），
∴PM＝OM﹣OP＝4﹣2＝2，
∵A（1，3），B（3，1），
∴AF＝1，BE＝3，
∴四边形OPAB的面积＝S△OBM﹣S△PAM
＝5．
18．【解答】解：（1）把A（5n，n）代入y＝x﹣4中得：5n﹣4＝n，
解得n＝1，
∴A（5，1），
把A（5，1）代入中得：，
解得k＝5，
∴反比例函数解析式为；
（2）在y＝x﹣4中，当y＝x﹣4＝0时，x＝4，
∴C（4，0），
∴OC＝4，
∴S△AOC4×1＝2，
∴S△POC＝2S△AOC＝4，
∴OC |yP|＝4，
∴|yP|＝2，
∴yP＝±2，
在中，当y＝2时，，
当y＝﹣2时，，
∴点P的坐标为或．
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