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《平行四边形的性质》习题
1、填空题
1. 如图，在□ABCD中，∠ACB=∠B=50°，则∠ACD= ．
2.如图所示，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若AO=5，BO=4，则CO=____，BD=_____．21cnjy.com
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1题图 2题图 3题图
3.如图所示，在□ABCD中，两条对角线交于点O，有△AOB≌△_____，△AOD≌△_____．
4.在□ABCD中，∠A的余角与∠B的和为190°，则∠BAD= ．
5.在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若△AOB的面积为4，则□ABCD的面积为______．21·cn·jy·com
6.等腰三角形ABC的一腰AB=4cm， ( http: / / www.21cnjy.com )过底边BC上的任一点D作两腰的平行线，分别交两腰与E、F，则平行四边形AEDF的周长是 .21·世纪*教育网
7.在□ABCD中，∠A：∠B＝2：3，则∠B＝____，∠C＝_____，∠D＝____．
8.在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，周长等于24，则BC＝______，CD＝______，AD＝_______．21世纪教育网版权所有
二、选择题
1. □ABCD的对角线AC、BD相交于O，若AC=10cm，则OA=（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
2.平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对边平行 C．对角线互相垂直 D．对边相等
3. 如图所示，在□ABCD中，EF∥AD，GH∥AB，EF交GH于点O，则该图中的平行四边形的个数为（ ）2-1-c-n-j-y
A．7 B．8 C．9 D．11
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3题图 4题图
4.如图所示，在□ABCD中，对角线AC， ( http: / / www.21cnjy.com )BC相交于点O，已知△BOC与△AOB的周长之差为4， □ABCD的周长为28，则BC的长度为（ ） 21*cnjy*com
A．5 B．6 C．7 D．9
5. □ABCD的周长为40cm， ABC的周长为25cm，则AC得长为（ ）
A．5cm B．6cm C．15cm D．16cm
6.将一张平行四边形纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积，则这样的折纸方法有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．无数种
三、证明题
1. 如图，在□ABCD中，∠A+∠C =160°，求∠A、∠B、∠C、∠D的度数．
2. 如图，在□ABCD中，对角线AC与AB垂直，∠B=72°，BC=，AC=
（1）求∠BCD，∠D的度数．（2）求AB的长及□ABCD的周长．
3. 如图所示，已知□ABCD，对角线AC、BD相交于点O，EF是过点O的任一直线，交AD于点E，交BC于F，试说明OE与OF之间的关系，并说明理由．
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4.如图所示，在形状为平行四边形的一块地A ( http: / / www.21cnjy.com )BCD中，有一条小折路EFG．现在想把它改为经过点E的直路，要求小路两侧土地的面积都不变，请在图中画出改动后的小路．
参考答案
一、填空题
1.答案：80°；
解析：【解答】在□ABCD中，∠B+∠BCD=180°，又∵∠ACB=∠B=50°，∴∠ACD=80°.
【分析】平行四边形的性质定理可得.
2. 答案：4，6；
解析：【解答】∵在□ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D中，对角线AC，BD交于点O；∴AO=CO，BO=DO；又∵AO=5，BO=4，∴CO=5，BD=8．故答案为5，8.【来源：21·世纪·教育·网】
【分析】直接运用平行四边形的性质定理3即可.
3. 答案：△COD，△COB；
解析：【解答】∵在□ABCD中，两条对角线交于点O，∴AB=CD，AD=BC，AO=CO， BO=DO，∴△AOB≌△COD，△AOD≌△COB．故答案为△COD，△COB.【出处：21教育名师】
【分析】运用平行四边形的性质定理和全都三角形的判定定理即可.
4. 答案：40°；
解析：【解答】在□ABCD中，∠A的余 ( http: / / www.21cnjy.com )角与∠B的和为190°，即90°-∠A+∠B=190°，又∵∠A+∠B=180°，∴∠BAD=40°．故答案为40°.www-2-1-cnjy-com
【分析】直接运用平行四边形的性质定理即可.
5. 答案：16；
解析：【解答】∵平行四边形被对角线分得的四个三角形的面积相等，
∴△AOB的面积是□ABCD面积的，
∴□ABCD面积=4×4=12，故答案为16.【来源：21cnj*y.co*m】
【分析】直接运用平行四边形的性质定理即可.
6. 答案：8cm；
解析：【解答】在□AEDF中，DE ( http: / / www.21cnjy.com )∥AF，∠BDE=∠C，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠B=∠BDE，∴BE=DE，同理FD=FC，∴AE+ED+DF+AF=AB+AC=8cm．【版权所有：21教育】
【分析】直接运用平行四边形的性质定理和等腰三角形的性质即可.
7. 答案：108 ，72 ，、108 ；
解析：【解答】∵□ABCD ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )中，∠A+∠B=180°，又∵∠A：∠B=2：3，∴∠A=72°，∠B=108°．∴∠D=∠B=108°，∠C=∠A=72°．21教育名师原创作品
【分析】直接运用平行四边形的性质定理即可.
8.答案：4，8，4
解析：【解答】∵平行四边形ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )，∴AB=CD=8，AD=BC，
∵周长等于24，∴AB+BC+CD+DA=24，
∴AB+BC=12，∴BC=AD=4．21*cnjy*com
【分析】直接运用平行四边形的性质定理即可.
二、选择题
1. 答案：C
解析：【解答】□ABCD的对角线AC、BD相交于O，∴OA=OC，∵AC=10cm，∴OA=5cm，故选C
【分析】直接运用平行四边形的性质定理即可.
2.答案：C；
解析：【解答】∵平行四边形的对角相等，对角线互相平分，对边平行且相等，
∴平行四边形不一定具有的性质是C选项．故选C．2·1·c·n·j·y
【分析】直接运用平行四边形的性质定理分析各选项即可.
3. 答案：C；
解析：【解答】在□ABCD中，EF∥AD，G ( http: / / www.21cnjy.com )H∥AB，EF交GH于点O，∴有□AEOH，□HOFD，□EBGO，□OGCF，□AEFD，□EBCF，□ABGH，□GHCD，□ABCD共9个.
【分析】直接运用平行四边形的性质定理即可
4. 答案：D；
解析：【解答】∵四边形AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD是平行四边形，
∴OA=OC，
∵△BOC与△AOB的周长之差为4，
∴BC-AB=4，
∵平行四边形ABCD的周长为28，
∴BC+AB=14，
∴AB=5，BC=9．故选D．www.21-cn-jy.com
【分析】根据△BOC与△AOB的周长之差为4求出BC-AB=4，在根据平行四边形ABCD的周长为28，求出BC+AB=14，即可.
5. 答案：A；
解析：【解答】平行四边形的周长为40cm，所以AB+BC=20cm，所以AC=25-20=5cm.
【分析】直接运用平行四边形的性质定理即可
6. 答案：D；
解析：【解答】因为平行四边形是中心对称图形，任意一条过平行四边形对角线交点的直线都平分四边形的面积，则这样的折纸方法共有无数种．故选D．
【分析】根据平行四边形是中心对称图形的性质分析即可.
三、证明题
1．答案：∠A=∠C=80°，∠D=∠B=100°.
解析：【解答】在ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D．
又∵∠A+∠C =160°，∴∠A=∠C=80°．
∵在ABCD中，AD∥BC，∴∠D=∠B=100°．
【分析】∵ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C再由∠A+∠C =160°，
可得∠A=∠C=80°，再利用邻角互补求∠B，∠D．
2．答案：(1)BCD=108，D=72，(2)4+2.
解析：【解答】（1）在中，，
．
，
又
．
（2）在中，
的周长为
【分析】利用平行四边形的性质和勾股定理即可.
3. 答案：与相等.
解析：【解答】与相等，理由如下：
四边形 是平行四边形，
．
，在与中，
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【分析】证明△AOE≌△COF即可.
4．答案：证明过程见解析.
解析：【解答】如图，连接EG，过点F作GE的平行线，交AD于点K，连接EK，交GF与点O
∵ KF//EG21教育网
∴ △GFK的面积=△EFK 的面积,
故 △GOK的面积=△EOF 的面积
这样 两侧的面积均没有改变 .
【分析】做辅助线连接EG，过点F作GE的平行线.
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ａ
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《平行四边形的性质》教案
教学目标:
1、知识与技能
1．理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等、对角线互相平分的性质．
2、会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证．
2、过程与方法
在观察、操作、推理、归纳的探索中，进一步培养学生的数学说理能力与习惯．
3、情感态度和价值观
让学生在观察、合作、讨论、交流中感受数学的实际应用价值，同时培养学生善于发现、积极思考、合作学习的学习态度．21世纪教育网版权所有
教学重点：
平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等、对角线互相平分的性质，以及性质的应用．
教学难点：
运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．
教学过程：
1、 导入新课
我们一起来观察下面的图片，想一想它们是什么几何图形的形象？
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学生观察回答：平行四边形.
平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？
这节课我们一起来探讨平行四边形的定义及其性质.
二、新课学习
1、定义
你能总结出平行四边形的定义吗？
（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
（2）表示：平行四边形用符号“”来表示．
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如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．21cnjy.com
①∵AB∥DC ，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形（判定）；
②∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥DC，AD∥BC（性质）．
注意：平行四边形中对边是指无公共点的边 ( http: / / www.21cnjy.com )，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角．2·1·c·n·j·y
2、探究1
平行四边形是一种特殊的四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外，还有什么特殊的性质呢？我们一起来探究一下．【来源：21·世纪·教育·网】
让学生根据平行四边形的定义画一个一个平行 ( http: / / www.21cnjy.com )四边形，观察这个四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外以，它的边和角之间有什么关系？度量一下，是不是和你猜想的一致？21·世纪*教育网
（1）由定义知道，平行四边形的对边平行．根据平行线的性质可知，在平行四边形中，相邻的角互为补角．
（2）猜想：平行四边形的对边相等、对角相等．
下面证明这个结论的正确性．
已知：如图ABCD，
求证：AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD．
证明：连接AC，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．
又AC＝CA，
∴△ABC≌△CDA （ASA）．
∴AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D．
又∠1＋∠4＝∠2＋∠3，
∴∠BAD＝∠BCD．
由此得到：
平行四边形性质1：平行四边形的对边相等．
平行四边形性质2：平行四边形的对角相等．
几何语言：
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AB=DC , AD=BC.
∠A=∠C , ∠B=∠D
OA=OC，OB=OD
3、探究2
请学生在纸上画两个全等的ABCD和EFGH，并连接对角线AC、BD和EG、HF，设它们分别交于点O．把这两个平行四边形落在一起，在点O处www-2-1-cnjy-com
钉一个图钉，将ABCD绕点O旋转，观察它还和EFGH
重合吗？你能从子中看出前面所得到的平行四边形的边、角关
系吗？进一步，你还能发现平行四边形的什么性质吗？
学生讨论归纳总结如下:
结论1：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；
结论2：平行四边形的对角线互相平分．
提出问题：你能用别的方法验证你的结论2吗？
学生自主完成证明过程如下：
已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC、 BD相交于点O.
求证:OA=OC,OB=OD.
证明:∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AB=CD AB//DC
∴ ∠BAO=∠DCO ∠ABO=∠CDO
∴ △AOB≌△COD
∴ OA=OC,OB=OD.
4、例题讲解
例1、已知：如图，在平行四边形ABCD中， E，F 是对角线AC上的两点，且AE=CF．
求证：BE = DF．
师生共同完成证明过程如下：
证明:∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB = CD AB // CD
∴∠BAE=∠DCF
又∵AE=CF
∴△BAE≌△DCF
∴BE=DF
例2、如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O的直线分别与AD、BC交于点E、F. 21教育网
求证:OE=OF.
学生自主完成证明过程如下：
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AD=CB AD//BC OA=OC
∴ ∠DAC=∠ACB
又∵ ∠AOE=∠COF
∴ △AOE≌△COF
∴ OE=OF
三、课堂练习
1、如图，在□ABCD中
A:基础知识：
若∠A=130°，则∠B=______ 、 ∠C=______ 、∠D=______
B:变式训练：
若∠A+∠C= 200 ，则∠A=_____、∠B=____
C:拓展延伸：
连接AC,若∠D=80 , ∠DAC=40 则, ∠B=___ ∠BAC=____,
2、如图，在□ABCD中，BC=10cm，AC=8cm，BD=14cm，
（1）△BOC的周长是多少？说明理由？
（2） △ ABC与△ DBC的周长哪个长，长多少？
3、如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ADB=900，OA=6，0B=3.
求AD和AC的长度.（图见课件）
拓展：
4、如图□ABCD中，△ABE的面积S，△ADE，△BCE面积分别是S1S2，则S与S1+S2的大小关系是____（图见课件）21·cn·jy·com
5、等边△ABC的边长为10，P为△ABC内一点，PD∥AB，PE∥AC，PF∥BC，则PD+PE+PF的值为______（图见课件）www.21-cn-jy.com
四、结论总结
本节课主要学习了哪些知识
(1)平行四边形定义：
有两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
(2)平行四边形的性质：
定理1：平行四边形的对边相等.
定理2：平行四边形的对角相等．
定理3：平行四边形的对角线互相平分.
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初中数学北师大版八年级下册第六章平行四边形1平行四边形的性质观察下面的图片中，有你熟悉的哪些图形？
导入
一、 平行四边形的概念：
1、定义：有两组对边分别平行的四边形叫平行四边形.
2、特征：有两组对边分别平行.
4、有关名称：
（3）对角，（4）邻角；
3、符号：“□”如平行四边形ABCD
记作： □ ABCD； 读作：平行四边形ABCD
A
D
C
B
（1）对边，
（2）邻边；
新课
二、平行四边形性质探究
1、画一个□ ABCD
2、度量对边AB与CD的长，BC与DA的长，可得什么结论？
AB=CD BC=DA
3、度量对角∠A与∠C， ∠B与∠D的大小，可得什么结论？
∠A=∠C ∠B=∠D
新课
上列结论一定成立吗？怎样证明？
已知：如图，在 □ABCD中
求证：AB=CD，BC=DA，
∠A=∠C，∠B=∠D.
A
B
C
D
证明：
连接AC
在□ABCD中，有AD∥BC、AB∥CD
∴∠1=∠2，∠3=∠4
1
2
3
4
∵AC=AC
∴⊿ABC≌⊿CDA
∴AD=BC，AB=CD，∠B=∠D
又∵∠1=∠2，∠3 =∠4 ∴∠1+∠3=∠2+∠4
即∠BAD=∠BCD
新课
平行四边形性质
定理1：平行四边形的对边相等.
定理2：平行四边形的对角相等．
新课
几何语言：
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AB=DC , AD=BC.
∠A=∠C , ∠B=∠D
A
B
C
D
看一看CABDOABCD你有什么发现？(1)□ABCD绕O点旋转180°与原图形重合.(2)OA=OC OB=OD新课结论1：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心．结论2：平行四边形的对角线互相平分.能用别的方法验证你的结论2吗？已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.求证:OA=OC,OB=OD.新课证明:∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD AB//DC∴∠BAO=∠DCO∠ABO=∠CDO∴△AOB≌△COD∴OA=OC,OB=OD.定理3：平行四边形的对角线互相平分.新课例1、已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF．求证：BE = DF．证明:∵四边形ABCD是平行四边形∴AB = CDAB // CD∴∠BAE=∠DCF又∵AE=CF∴△BAE≌△DCF∴BE=DF例题例2、如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O的直线分别与AD、BC交于点E、F.求证:OE=OF.证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD=CBAD//BC OA=OC∴∠DAC=∠ACB又∵∠AOE=∠COF∴△AOE≌△COF∴OE=OF例题1、如图，在□ ABCD中
若∠A=130°，则∠B=______ 、
∠C=______ 、∠D=______
A:基础知识：
B:变式训练：
若∠A+∠C= 200 ，则∠A=_____、∠B=____
C
D
A
B
50°
130°
50°
100°
80°
C:拓展延伸：
连接AC,若∠D=80 , ∠DAC=40 则, ∠B=___
∠BAC=____,
80°
60°
习题
2、如图，在□ABCD中，BC=10cm，AC=8cm，BD=14cm，
（1）△BOC的周长是多少？说明理由？
（2） △ ABC与△ DBC的周长哪个长，长多少？
A
B
D
C
O
10+4+7=21cm（平行四边形的对角线互相平分）
△ABC的周长=AB+BC+AC
△DBC的周长=BC+DC+BD
所以△ABC的周长比△DBC的周长小6cm ．
习题
3、如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD
相交于点O，∠ADB=900，OA=6，0B=3.
求AD和AC的长度.
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ OA=OC=6 OB=OD=3
∴ AC=12
又∵ ∠ADB=900
∴ 在Rt△ADO中，
根据勾股定理得:
OA2=0D2+AD2 ∴ AD=
习题
4.如图□ ABCD中，△ABE的面积S，△ADE，△BCE面积分别是S1、S2，则S与S1+S2的大小关系是_______.
B
E
D
C
A
S1
S
S2
拓展
相等
5.等边△ABC的边长为10，P为△ABC内一点，PD∥AB，PE∥AC，PF∥BC，则PD+PE+PF的值为______
D
F
P
C
E
B
A
PD+PE+PF=10
本节课主要学习了哪些知识
(2)平行四边形的性质：
(1)平行四边形定义：
有两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
定理1：平行四边形的对边相等.
定理2：平行四边形的对角相等．
定理3：平行四边形的对角线互相平分.
平行四边形是中心对称图形.
小结
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