2025年中考数学复习--二次函数面积问题（含解析）

二次函数面积问题
1如图，已知抛物线经过两点A(-3，0)，B(0，3)，且其对称轴为直线
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点P是抛物线上点A与点B之间的动点(不包括点A，点B)，求 的面积的最大值，并求出此时点P的坐标.
2如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线 与x轴交于另一点(
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线上是否存在一点 P，使 若存在，请求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点， 当 的面积最大时，求 的最小值.
3在平面直角坐标系中，将二次函数 的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)， 经过点A 的一次函数 的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5.
(1)求抛物线和一次函数的解析式；
(2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E 的坐标；
(3)若点P为x轴上任意一点，在(2)的结论下，求 的最小值.
4已知抛物线 经过点A(2, 0) 、B(-4, 0) , 与y轴交于点C.
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)如图1，点P 是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点 P 的坐标；
(3)如图2，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小 若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由.
5如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x 轴交于点 点B(4，0)，与y轴交于点C(0，8)，连接BC.又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从0运动到B(不含0点和B点)，且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点 P,D,E.
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接AC，AP，当直线l运动时，求使得 和 相似的点P 的坐标；
(3) 作 垂足为F，当直线l运动时，求 面积的最大值.
6如图，抛物线 的图象过点A (-1, 0) 、B(3, 0) 、C(0, 3) .
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△PAC的周长；若不存在，请说明理由；
(3)在(2)的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M(不与C点重合)，使得 若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
7如图，抛物线 经过A(-2,0)、B(4,0) 两点, 与y轴交于点C,点D 是抛物线上一动点，设点D的横坐标为 连接AC、BC、DB、DC.
(1)求抛物线的函数表达式.
(2)当 时，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形 若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
8如图，抛物线 与x轴交于点A和点B(点A 在原点的左侧，点B在原点的右侧)，与y轴交于点 C，(
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)连接BC,点D是直线BC上方抛物线上的点,连接OD,CD,OD交BC于点F,当 时，求点D的坐标.
9如图抛物线 经过点 点C(0,3), 且( 9
(1)求抛物线的解析式及其对称轴；
(2)如图1，点D、E是直线x=1上的两个动点，且 ，点D在点E的上方，求四边形ACDE 的周长的最小值.
(3)如图2，点P 为抛物线上一点，连接CP，直线CP 把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，求点P的坐标.
10如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B的坐标为(5, 0) , 点D的坐标为(1, 3).
(1)求该二次函数的表达式；
(2)点E是线段BD上的一点，过点E作x轴的垂线，垂足为F，且ED=EF，求点E的坐标.
(3)试问在该二次函数图象上是否存在点G，使得△ADG的面积是△BDG的面积的 若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由.
11在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△ABC的直角顶点C在 y轴上，另两个顶点A, B在x轴上, 且AB=4, 抛物线经过A, B, C三点, 如图1所示.
(1)求抛物线所表示的二次函数表达式.
(2)过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示.
①求△CMN面积的最小值.
②已知 是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点 P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P 的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由.
12在平面直角坐标系中，抛物线 交x轴于点A(-1,0),B(3,0),过点B的直线 交抛物线于点 C.
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点P是直线BC下方抛物线上的一个动点(P不与点B，C重合)，求△PBC面积的最大值；
(3)若点M在抛物线上，将线段OM绕点O旋转90°，得到线段ON，是否存在点M，使点N恰好落在直线BC上 若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
1 (1)∵抛物线对称轴是直线x=-1且经过点A (-3，0)，由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点(1, 0) , 设抛物线的解析式为y=a(x-x ) (x-x ) (a≠0)
即: y=a(x-1) (x+3)
把B (0, 3) 代入得:3=-3a, ∴a=-1
∴抛物线的解析式为：
(2) 设直线AB的解析式为y= kx+b, ∵A (-3, 0) ,B(0, 3) , ∴直线AB为y=x+3,如图, 作 PM⊥x轴, 交直线AB于 M,
设 则M(x,x+3),
当 时， 此时，
∴△PAB 的面积的最大值为 此时点P的坐标为
2. 解: (1) ∵直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B, ∴点A (4, 0) , 点B (0, - 2) ,∵点C (-1, 0) , 点A (4, 0)
∴ 设抛物线解析式为: y=a(x+1) (x-4) ,
把点B(0, - 2) 代入得:
∴抛物线解析式为：
(2)存在，分两种情况讨论：
①.当点 P在直线AB上方时,过点O作OP∥AB,交抛物线于点 P,如图1中的 P1和 P2,
∵OP∥AB,∴△ABP和△ABO是等底等高的两个三角形，
∵OP∥AB, ∴直线 PO的解析式为
联立方程组可得
解得： 或
∴点 或
②.当点 P在直线AB下方时，在OB的延长线上截取BE=OB=2, 过点E作 EP∥AB, 交抛物线于点 P, 如图1中的P3.
∴AB∥EP3∥OP, OB=BE, ∴S△AP3B=S△ABO,
∵EP"∥AB, 且过点E (0, - 4) ,
∴直线EP3 解析式为 联立方程组可得： 解得 ∴点 P3 (2, - 3) ,综上所述：点P 坐标为 或 或(2, - 3);
(3) 如图2, 过点M作MF⊥AC, 交AB于F,设点 则点 = - (m-2) +4,
∴当m=2时, △MAB的面积有最大值,
∴点 M (2, - 3) ,
再过点O作∠HOB=30°, 过点N作GN⊥OH于G点,则
当M、N、G三点共线，且垂直OH时， 最小，作MH⊥OH于H点，，MH即为所求的最小值，
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设OH与MF交于点Q, 则 又易得
的最小值为
3. 解: (1) 将二次函数 的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为
∵OA=1, ∴点A的坐标为(-1, 0), 代入抛物线的解析式得，
∴抛物线的解析式为： 即
令y=0, 解得x =-1, x =3, ∴B (3, 0) ,∴AB=OA+OB=4,
∵△ABD的面积为5,
把 代入抛物线解析式
得： 解得：x =-2, x =4,
设直线AD的解析式为y= kx+b,
把A(-1, 0)、D (4, 代入得：
解得： ∴直线AD的解析式为
(2)过点E作 EM⊥x轴交AD于M,如图1, 设E(x, 则
∴当 时，△ACE的面积有最大值，最大值是 此时 E 点坐标为
(3).作E关于x轴的对称点 F,连接EF交x轴于点 G,
过点P作 PQ⊥AF于点 Q, 则
当E、P、Q三点共线，且垂直AF时， 有最小值,作EH⊥AF,则 EH 即为所求.
由三角形面积得：
解得: EH=3
的最小值是3.
4解: (1) ∵抛物线y= ax+ bx-4经过点A (2,0),B (-4, 0) , . 解得 ∴抛物线解析式为
(2) 如图1, 连接OP, 设点 其中-4由题意得(
∵--1<0,开口向下, S有最大值, ∴当x=-2时, 四边形ABPC的面积最大, 此时, y=-4, 即 P(-2, -4) .
因此当四边形ABPC的面积最大时，
点P 的坐标为(-2, - 4) .
解法二：连接BC，过点P作x轴的垂线，交 BC 于点 E，用铅垂定理也可.
∴顶点 如图2，连接AM交直线DE于点 G，此时，△CMG的周长最小.设直线AM的解析式为y= kx+b, 且过点A (2, 0) , 解得： ∴直线AM的解析式为
在 Rt△AOC中,
∵D为AC的中点,
∴AE=5, ∴OE=AE-AO=5-2=3, ∴E(-3,0),由图可知D (1， -2)，设直线DE 的函数解析式为y= mx+n,把D(1,-2)、E(-3,0),代入得: 解得： 直线 DE的解析式为 . ∴联立得： 解得：
5解： (1)将点A、B、C的坐标代入二次函数表达式
得： 解得：
故抛物线的表达式为：
(2) ∵点A(-2, 0)、 C(0, 8), ∴OA=2, OC=8,∵l⊥x轴, ∴∠PEA=∠AOC=90° ,
∵∠PAE≠∠CAO,
∴只有当∠PAE=∠ACO时, △PEA∽△AOC,此时 即： 设点 P 的纵坐标为k, 则 PE=k, AE=4k,
∴OE=4k-2, 将点 P坐标(4k-2, k) 代入二次函数表达式并解得：k=0(舍去)或 则点
(3) 在 Rt△PFD中, ∠PFD=∠COB=90°,
∵l∥y轴, ∴∠PDF=∠OCB, ∴Rt△PFD∽Rt△BCO,
而
即当PD取得最大值时，S△PDF最大,
将B、C坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为: y=-2x+8,
设点 则点 D (m, - 2m+8),则 当m=2时, PD的最大值为4, 故当PD=4时,
6 解: (1) ∵抛物线与x轴交于点A(-1,0) 、B(3, 0) ∴可设交点式y=a(x+1) (x-3)
把点 C(0, 3)代入得: - 3a=3, ∴a=-1
∴y= - (x+1) (x-3) =-x +2x+3
∴抛物线解析式为
(2)在抛物线的对称轴上存在一点 P，使得△PAC的周长最小. 如图1, 连接PB、BC
∵点P在抛物线对称轴直线x=1上，点A、B关于对称轴对称, ∴PA=PB, ∴C△PAC=AC+PC+PA=AC+PC+PB
∵当C、P、B在同一直线上时, PC+PB=CB 最小,
∵A(-1, 0) 、B (3, 0) 、 C(0, 3)
∴由两点距离公式可得：
最小
设直线 BC解析式为y= kx+3, 把点 B 代入得: 3k+3=0,解得: k=-1, ∴直线.BC: y=-x+3, ∴yp=-1+3=2∴点 P(1,2)使△PAC的周长最小,最小值为
(3)存在满足条件的点 M，使得
∵ 当以PA为底时，两个三角形等高时，两个三角形面积相等，
∴点 M 和点 C到直线 PA距离相等时，现在，分两种情况讨论：
①若点M在点 P 上方,过点 C作CM∥PA,交抛物线于点 M,如图2中的M1, ∵A(-1,0), P(1,2),设直线AP 解析式为
解得： ∴直线AP: y=x+1
∴直线 CM解析式为:y=x+3,联立得:
解得： (即点C), ∴点 M 坐标(1, 4)
②若点 M在点 P 下方,如图3中的 M ,
同理, C'M ∥PA, 由题意可知, 且直线C'M 到PA的距离等于直线y=x+3到PA的距离，
∴直线 AP: y=x+1向下平移2个单位得y=x-1即为直线C'M 的解析式，联立得：
解得： 或
∵点M在x轴上方∴y>0
∴点M坐标为
综上所述，点M 坐标为(1，4)或 时，
7 解: (1) 由抛物线交点式表达式得: y=a(x+2)
即--8a=6, 解得:
故抛物线的表达式为：
(2) 由抛物线的表达式知, 点C (0, 6),
由点B、C的坐标，得直线BC的表达式为： 如图1, 过点D作DH⊥x轴, 交直线BC于点 H,
设点 则点 则
解得: m=1或3(舍去1) , 故m=3;
(3)当m=2时, 点D (2, 6), 设点M(x, 0), 点N(t, n) , 则
第一种情况：当BD是边时，则N的纵坐标为6或者-6，点B 向左平移2个单位向上平移6个单位得到点 D，同样点M (N)向左平移2个单位向上平移6个单位得到点N(M), 故 或
解得: x=2或 (不合题意的值已舍去)；
故点 M的坐标为 )或 或(2, 0);
第二种情况：当BD 是对角线时，由中点公式得：
联立①③并解得x=6, 故点M的坐标为(6, 0),综上，点M 的坐标为 或 或(2, 0) 或(6, 0).
8. 解: (1) ∵OB=OC=3. ∴c=3, .点B (3, 0) ,将点 B 的坐标代入抛物线表达式： 并解得：a= - 1,故抛物线的表达式为：
(2) 如图, 过点D作DH⊥x轴于点H, 交BC于点 M,
则OF: FD=3: 2,
∵DH∥CO, 故CO: DM=3: 2, 则 由 B、C的坐标得：直线BC的表达式为： y=-x+3,
设点 则点 M (x, - x+3) ,
解得: x=1或2, 故点D (1, 4) 或(2, 3).
9解: (1) ∵OB=OC, ∴点B (3, 0),则抛物线的表达式为: y=a(x+1) (x-3) =a(x - 故-3a=3, 解得: a=-1,故抛物线的表达式为： 函数的对称轴为：x=1；
(2) 四边形ACDE的周长=AC+DE+CD+AE, 其中AC 是定值，故CD+AE 最小时，周长最小.取点C关于直线x=1对称点C' (2,3),则CD=C' D, 取点A' (-1, 1) , 则A' D=AE,
故： 则当A′、D、C′三点共线时， 最小，周长也最小，
四边形 ACDE 的周长的最小值=AC+DE+CD+AE=
(3) 设直线 CP交x轴于点 E,
直线 CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，又∵ -yp) =BE: AE, 则BE: AE=3: 5或5: 3, 则AE= 或
即：点E的坐标为( , 0) 或( ,0),将点 E 的坐标代入直线CP的表达式：y=kx+3，解得: k=-6或-2,
故直线CP 的表达式为: y=-2x+3或y=-6x+3…②联立①②并解得：x=4或8(不合题意值已舍去)，故点 P的坐标为(4, - 5) 或 (8, - 45) .
10解： (1)设二次函数的解析式为 将点B代入得0=a(5-1) +3,得
∴二次函数的表达式为：
(2) 依题意, 点B (5, 0) , 点D (1, 3) , 设直线BD 的解析式为y= kx+b, 代入得 解得： ∴线段BD 所在的直线为
设点 E的坐标为： 则F (x, 0)
整理得 解得 (舍去).
故点 E的纵坐标为
∴点E 的坐标为(
(3)存在满足条件的点G，分两种情况讨论：
①.当点 G在x轴的上方时，如图1，设直线DG交x轴于P, 设P (t, 0) , 作AE⊥DG于E, BF⊥DG于F.
由题意: AE: BF=3: 5,
∵BF∥AE, ∴AP: BP=AE: BF=3: 5,
∴ (-3-t) : (5-t) =3: 5, 解得t=-15,
∴ P (-15, 0) , 由点 P (-15, 0) , 点D (1, 3) 可
得：直线DG 的解析式为
联立方程组得：
解得或
②当点G在x轴下方时，如图2，令y=0，
解得: x =-3, x =5,
∴A(-3, 0)、B(5, 0), ∴AO: OB=3: 5
当点 G 在 DO的延长线上与抛物线的交点时，存在点G使得 此时，DG的直线经过原点，设直线 DG的解析式为y= kx, 将点 D (1, 3) 代入得:k=3, 故y=3x, 则有
整理得, (x-1) (x+15) =0,
得x =1(舍去),x =-15, 当x=-15时, y=-45,故点G为(-15, - 45).
综上所述，点G的坐标为(0, 或(-15, - 45).
11.解： (1)设抛物线的解析式为 0), 在等腰Rt△ABC中, OC 垂直平分AB, 且AB=4,∴OA=OB=OC=2,
∴A (-2, 0) , B (2, 0), C(0, - 2) ,
代入得： 解得，
∴抛物线的解析式为
(2) ①设直线l的解析式为y= kx, M(x , y ) , N(x , y ) , 由可得
∴x +x =2k, x ·x =-4,
∴当k=0时 取最小值为4.此时直线1与x轴重合，∴△CMN面积的最小值为4.
②假设抛物线上存在点 使得点 P与点 Q关于直线l对称，
∴OQ=OP, 即 解得， ∵m =1, m =-1不合题意，舍去，
当 时，点 线段PQ的中点为 代入 y= kx得:
∴直线l的表达式为： 当 时，点 线段PQ的中点为 代入y= kx得: ∴直线l的解析式为
综上，点 直线l解析式为 点 直线l解析式为
12解: (1)将点A(-1,0),B(3,0)代入 -3 中, 得: 解得：
∴该抛物线表达式为
(2) 如图1, 过点 P作 PE⊥x轴, 交 BC于点 E, 连接PB, PC,
设点. 则点
联立方程组：
解得： 或
∵点B 坐标为(3,0), ∴点 C 的坐标为
∴B、C之间的水平宽度为
(其中
∴当 时，S△PBC的最大值为
(3)分两种情况讨论：
①.如图2，线段OM 绕点 O逆时针旋转90°，得到线段ON, 设.M(t, t -2t-3), N (n, n-2),作MG⊥y轴于点 G, NH⊥x轴于H,
∴∠OGM=∠OHN=90° ,
∴OM=ON, ∠MON=90° ,
∵∠GOH=90° , ∴∠MOG=∠NOH,
在△OGM与△OHN中,
∴△OGM≌△OHN(AAS) , ∴GM=NH, OG=OH,
解得： 或
②.如图3，线段OM绕点O顺时针旋转90°，得到线段ON, 设.M(t,t -2t-3), N(n, n-2),作MG⊥x轴于点 G, NH⊥x轴于 H,
∴∠OGM=∠OHN=90° ,
∵线段OM 绕点 O 旋转90°, 得到线段ON,
∴OM=ON, ∠MON=90° ,
∵∠GOH=90°, ∴∠MOG=∠NOH,在△OGM与△OHN中,
∴△OGM≌△OHN (AAS) , ∴GM=NH, OG=OH, 解得：
综上所述，点M的坐标为M (0, - 3), M (