2025年中考数学复习--二次函数等腰三角形存在性问题（含解析）

二次函数等腰三角形存在性问题
1如图，在平面直角坐标系中，二次函数 交x轴于点 B(2, 0) , 交y轴于点C(0, 6) , 在y轴上有一点 连接AE.
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求 面积的最大值；
(3)抛物线对称轴上是否存在点 P，使 为等腰三角形 若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在，请说明理由.
2如图，已知二次函数 的图象与x轴相交于A (-1, 0) , B (3, 0)两点, 与y轴相交于点C (0, - 3) .
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与线段BC交于点M, 连接PC.
①求线段PM的最大值；
②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标.
3如图，抛物线 与x轴交于A (-1, 0) , B (4, 0) , 与y轴交于点 C.连接AC,BC,点 P 在抛物线上运动.
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图①，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上， 当 时，求点P 的坐标；
(3)如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P 作x轴的垂线交BC于点H，当 为等腰三角形时，求线段PH的长.
4如图，二次函数 的图象与一次函数 的图象交于A、B两点， 点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中
(1)求A、B两点的横坐标；
(2) 若 是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；
(3)二次函数图象的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC=2 若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
5如图，抛物线 交x轴于A(-3, 0) , B(4,0) 两点, 与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m，过点P作 轴, 垂足为点 M, PM交BC于点 Q.
(1)求此抛物线的表达式：
(2)过点P作 垂足为点N，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少
(3)试探究点P 在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，说明理由.
6如图，开口向上的抛物线与x轴交于 两点，与y轴交于点C, 且AC⊥BC, 其中x , x 是方程 的两个根.
(1)求点C 的坐标，并求出抛物线的表达式；
(2)垂直于线段BC的直线l交x轴于点 D，交线段BC于点E，连接CD，求△CDE 的面积的最大值及此时点D 的坐标；
(3)在(2)的结论下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使得 是等腰三角形 若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
1解: (1)∵二次函数. 经过点A(-4,0) 、B(2, 0) , C(0, 6),. 解得：
所以二次函数的解析式为：
(2) 由A(-4, 0) , E(0, - 2) , 可求AE所在直线解析式为 如图, 过点 D作DG⊥x轴于G,交AE于点F, 交x轴于点 G, 过点 E作 EH⊥DF, 垂足为H,
设 则点
∴当 时，△ADE 的面积取得最大值为
(3) 易知 的对称轴为x=-1，设P (-1, n), 又E(0, - 2) , A (-4, 0) ,可求 P ),
①.当. 时， 解得, n=1, 此时P (-1, 1) ;
②.当 时， 解得， 此时点
③.当. 时， 解得， 此时点
综上所述，P点的坐标为： (--1, 1) , (-1, ) ,
2. 解: (1) 将A, B, C代入函数解析式, 得:
解得：
∴ 这个二次函数的表达式为：
(2) ①.设BC的解析式为y= kx+b, 将 B, C的坐标代入函数解析式，得： 解得：
∴BC的解析式为y=x-3,
设M(n, n-3) , P (n, n -2n-3) ,
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当 时，
②: 同理, 设M(n, n-3), P (n, n -2n-3) ,当PM=PC时, 解得 (不符合题意, 舍) , n =2,n -2n-3=-3, P (2, - 3) .
当PM=MC时, ( 解得 (不合题意，舍)， (不合题意，舍)，n -2n-3=2-4 , P(3-
综上所述： 或(2, - 3) .
3.解: (1) ∵A(-1, 0), B (4, 0) 是抛物线y 与x轴的两个交点，∴根据抛物线的两点式知，
(2) 根据抛物线表达式可求C(0, 2) , 即OC=2.
∴OC/O =OBO =2, ∵∠AOC=∠COB=90°,
∴△AOC∽△COB, ∴∠ACO=∠CBO,
∴∠QAB=∠CAQ+∠CAO=∠CBA+45°+∠CAO
=∠ACO+∠CAO+45°=135° ,
设P (m, n) , 且过点 P作 PD⊥x轴于D, 则△ADP是等腰直角三角形, ∴AD=PD, 即m+1=-n①,又∵P在抛物线上，
联立①②两式,解得m=6(-1舍去),此时n=-7,∴点 P的坐标是 (6, - 7) .
(3)设PH与x轴的交点为Q, 则
分三种情况讨论：
①.若FP=FH, 则∠FPH=∠FHP=∠BHQ=∠BCO,
∴tan∠APQ=tan∠BCO=2, ∴AQ=2PQ,
即
解得a=3(-1舍去) , 此时
②.若PF=PH, 如图2-1, 过点F作 FM⊥y轴于点M,
∴∠PFH=∠PHF,
∵∠CFA=∠PFH, ∠QHB=∠PHF,
∴∠CFA=∠QHB, 又∵∠ACF=∠BQH=90°,
在Rt△CMF中,
∴AF 将上式和抛物线解析式联立，并解得： (舍去负值)，此时
③.若HF=HP,如图2-2,过点C作CE∥AB交AP于点E,∵∠CAF+∠CFA=90°, ∠PAQ+∠HPF=90°,
∠CFA=∠HFP=∠HPF, ∴∠CAF=∠PAQ,
即 AP 平分∠CAB, ∴CE=CA= , ∴E( , 2) , 联立抛物线解析式，解得x (舍去负值).此时
综上所述, 当FP=FH时, 当PF=PH时, PH 当HF=HP时,
4. 解: (1) 将二次函数与一次函数联立得: k(x-1) 解得: x=1和2,
故点 A、B的坐标横坐标分别为1和2；
(2) 由题意得: A 点坐标是 (1, 2)
则
①当OA=AB时, 即: 解得: k=±2(舍去2);
②当OA=OB时, 4+(k+2) =5, 解得: k=-1或-3; 故k的值为: - 1或-2或-3;
(3) 存在, 理由:
①当点B在x轴上方时，过点 A 作AE⊥x轴于点E，过点 B作 BH⊥AE于点 H,作∠HAB 的角平分线交 BH于点M,过点 M作 于点 N，过点 B作 轴于点K, 已知点A (1, 2), 则点 B (2, k+2), 则. -k, HB=1, 设: 则BM=1-m,
则
由勾股定理得：
即：
解得：
在△AHM中,
解得：
此时k+2>0,则-2②当点B在x轴下方时，
同理可得： 解得： 或 此时
故k的值为： 或
5.解: (1)由二次函数交点式表达式得: y=a(x+3)
即: - 12a=4, 解得:
则抛物线的表达式为
(2).当x=0, y=4, 所以C(0, 4).由 B(4, 0) 、C(0,4)得直线CB的解析式为: y=-x+4.
设点 则点Q (m, - m+4),
∴PN有最大值，当m=2时，PN的最大值为
(3) 存在, 理由: 设(
∵A (-3,0) , C (0,4)
①.当 时，则 解得： (舍) 此时点Q (1, 3),
②.当 时，则 解得： (舍去负值).此时点
③.当 时，则
解得： (不符合题意，舍去).综上所述，点Q的坐标为：Q(1，3)或Q
6 解: (1)由 得
∴A (-4,0), B (1,0), ∴OA=4, OB=1,
即
设抛物线解析式为
将 代入得
∴ 抛物线解析式为：
(2)如图1: 由A(-4, 0), B(1, 0), C(0, - 2)
得：
∵
设D(t, 0), 则BD=1-t,
而
时， 最大为 此时
(3) 由 知抛物线对称轴为直线：x= - 而 ∴D在对称轴上，
∴D是AB的中点, DE∥AC,
∴DE是△ABC的中位线, 所以存在，现分三种情况讨论：
①第一种情况: .当DE=DP时, 如图2中的P 和P : 或
②.第二种情况: 当DE=PE时, 如图3中的P :过E作EH⊥x轴于 H,
∵∠HDE=∠EDB, ∠DHE=∠BED=90°, 即
∵E在 DP的垂直平分线上，
③.第三种情况: 当PD=PE时, 如图4中的P :
设 则 解得
综上所述，P的坐标为 或 或 或