2025年中考数学复习--二次函数平行四边形存在性问题（含解析）

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二次函数平行四边形存在性问题
1如图，抛物线 与x轴交于A (-3, 0) 、B (1, 0) 两点, 与y轴交于点C，对称轴l与x轴交于点 F，直线l 点E是直线AC上方抛物线上一动点, 过点E作EH⊥m, 垂足为H, 交AC于点G, 连接AE、EC、CH、AH.
(1)抛物线的解析式为 ；
(2)当四边形AHCE 面积最大时，求点E的坐标；
(3)在(2)的条件下，连接EF，点P是x轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以F、E、P、Q为顶点，以EF为一边的四边形是平行四边形.若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由.
2如图，已知抛物线 过点
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知直线l过点.A, 且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：
(3)若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P 点坐标.
3如图所示，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A 的坐标为 点C的坐标为C(0，6)，对称轴为直线 点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为 连接AC,BC, DC,DB.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2) 当的面积等于△AOC 的面积的时，求m的值
(3)在(2)的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
4如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 与直线 都经过A(0, - 3) 、B(3, 0) 两点, 该抛物线的顶点为C.
(1)求此抛物线和直线AB 的解析式；
(2)设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点 M、N、C、E是平行四边形的四个顶点 若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)设点P 是直线AB下方抛物线上的一动点，当 面积最大时，求点 P 的坐标，并求 面积的最大值.
5如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴交于A(- 学习笔记：1, 0) , B(3, 0) 两点, 与y轴交于点C, 连接BC.
(1).求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；
(2).点D为抛物线对称轴上一点，连接CD、BD，若 求点D的坐标；(3).已知F(1, 1) , 若E(x, y) 是抛物线上一个动点(其中 连接CE、CF、EF, 求 面积的最大值及此时点E的坐标.
(4).若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形 若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.
6如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线 经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C.
(1).求该抛物线的解析式；
(2).若点 D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当 时，求点D的坐标；
(3).已知E，F分别是直线AB和抛物线上的动点，当以B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E点的坐标.
7如图1，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与x轴交于点A，与y轴交于B点，抛物线 经过A，B两点，在第一象限的抛物线上取一点 D，过点D作 轴于点C，交直线AB于点E.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2) 是否存在点 D, 使得△BDE和. 相似 若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)如图2，F是第一象限内抛物线上的动点(不与点D重合)，点G是线段AB上的动点.连接DF，FG，当四边形DEGF 是平行四边形且周长最大时，请直接写出点G的坐标.
8如图，已知二次函数 的图象交x轴于点. 和点B，交y轴于点C (0, 4) .
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)若点P在第二象限内的抛物线上，求 面积的最大值和此时点P的坐标；
(3)在平面直角坐标系内，是否存在点Q，使A，B，C，Q四点构成平行四边形 若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由.
9如图，抛物线 交x轴于A，B两点，交 y轴于点C，直线 经过点B, C.
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点A的直线交直线BC 于点M.
①当 时，过抛物线上一动点P (不与点B，C重合)，作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；
②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于. 的2倍时，请直接写出点M的坐标.
10如图，已知抛物线 经过点A(3,0),
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；
(3)若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形 若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
11如图1，抛物线 与x轴交于A (-1, 0) , B (3, 0), 与y轴交于点C.已知直线 过B, C两点.
(1)求抛物线和直线BC 的表达式；
(2)点P 是抛物线上的一个动点.
①如图1，若点P在第一象限内，连接PA，交直线BC于点D.设 的面积为S , △ADC的面积为 求 的最大值；
②如图2，抛物线的对称轴1与x轴交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F.点Q是对称轴1上的一个动点，是否存在以点E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形 若存在，求出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由.
12如图，抛物线 的图象经过A(1, 0) , B(3, 0) , C (0,6) 三点.
(1)求抛物线的解析式.
(2)抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D,直线BE交 AD于点E,若直线BE 将△ABD的面积分为1:2两部分,求点E的坐标.
(3)P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形 若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
13在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A，B两点.与y轴交于点C. 且点A的坐标为(-1, 0) , 点C的坐标为(0, 5) .
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1.若点P 是第一象限内抛物线上的一动点.当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；
(3)如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形 若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
14将抛物线 向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H: 抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C. 已知A(--3，0)，点P 是抛物线H上的一个动点.
(1)求抛物线H的表达式；
(2)如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动(不与A，C重合)，过点P作PD⊥AB, 垂足为D, PD交AC于点E. 作PF⊥AC, 垂足为F, 求△PEF的面积的最大值；
(3)如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形 若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由.
1 解: ( 与x轴交于(-3, 0)、B(1, 0), 解得：
∴抛物线的解析式为
故答案为：
(2) 如图1中, 连接OE. 设. ∵A(-3,0), C(0,3), ∴OA=OC=3,AC=3 ∵AC∥直线m,∴当直线m的位置确定时, △ACH的面积是定值，
∴当△AEC的面积最大时，四边形AECH 的面积最大，
时，△AEC的面积最大，
(3)存在.因为点 Q 在抛物线上 EF是平行四边形的边，观察图象可知，满足条件的点 Q 的纵坐标为 如图2中，有3种情况满足题意：
对于抛物线 当 时， 解得 (舍去)或
当 时， 解得 综上所述，满足条件的点 Q 坐标为 或 或
2 解: (1) 把点 代入 得到 ∴抛物线的解析式为
(2) 设直线l的解析式为y= kx+b,把A、C点坐标代入,则有 解得：
∴直线l的解析式为 令x=0,得到 由 解得 或 如图1, 过点A作AE⊥x轴于E, 过B作BF⊥x轴于F, 则 BF∥OC∥AE,
同理
∴MB==MCA, ∴ MC =MA·MB.
(5)如图2中，一共有3种情况，符合题意.
∵OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形, ∴ PD∥OC, PD=OC,
∴设
又∵
整理得： 或
解得 或 或-2或0(舍弃) ,
或
或 (-2, 1) .
3解:(1)由题意得: 解得
∴抛物线的函数表达式为：
(2) 过点D作DE⊥x轴于E,交BC于G,过点 C作CF⊥ED 交 ED的延长线于F,如图1所示:
∵点A的坐标为(-2, 0) , 点C的坐标为(0, 6),
当y=0时, 解得：x =-2, x =4,∴点B 的坐标为(4，0)，设直线BC 的函数表达式为：y= kx+n, 则 解得：
∴直线BC的函数表达式为：
∵点D的横坐标为m(1解得: m =1(不合题意舍去) , m =3, ∴m的值为3;
(3)由(2)得: ∴点D 的坐标为： 因为B,D,M,N四边满足平行四边形，则N点到x轴的距离为
①当N在 x轴上方时，如图2所示，有M 和M 两种情况: ∵四边形BDNM是平行四边形, ∴DN∥BM,∴DN∥x轴, ∴点D与点N关于直线x=1对称,
∵B(4, 0) , ∴M (0, 0)(与原点重合),
②当N在x轴下方时，如上图所示，有 和 两种情况：∵四边形 BDNM 是平行四边形，
∴点 D 与点N的纵坐标互为相反数，
∵点 ∴点 N 的纵坐标为：
将 代入 中，得：
解得：
当 时， 则
设M3 点的坐标为(m, 0), 又∵
B(4, 0) : 解得：
当 时，则
同理可得：
综上所述, 点 M 的坐标为(8,0)或(0,0)或 0) 或
4. 解: (1)∵抛物线 经过A(0, - 3)、B(3, 0)两点,
∴抛物线的解析式为
∵直线y= kx+b经过A(0, - 3) 、B(3, 0) 两点,
解得：
∴直线AB 的解析式为y=x-3,
(2)存在，一共分两种情况，如图1，四边形 和四边形( 就是存在的平行四边形。
∴抛物线的顶点 C的坐标为(1, - 4) , ∵CE∥y轴,
∴E(1, - 2) , ∴CE=2,
①若点 M在 x轴下方，四边形 为平行四边形，则 设 则
解得： (舍),
②若点M在 x轴上方，四边形 为平行四边形，则 设 则 ∴
解得： (舍去),
综合可得M点的坐标为( 或
(3) 如图2, 作 轴交直线AB于点G，
设 则
∴当 时，△PAB面积的最大值是 此时P点坐标为
5.解: (1)将点A(-1,0),B(3,0)代入 可得
∴对称轴x=1;
(2).设点 D (1, y) , ∵C (0, 2) , B (3, 0) ,∴ 2,在△BCD中, ∵∠DCB=∠CBD, ∴CD=BD,
∴CD =BD , ∴ (2-y) +1=4+y ,
(3).如图: 过点E 作. 轴于点 Q，过点F作直线 y轴于R,
∵E(x, y) , C (0, 2) , F(1, 1) ,
∴当 时，面积有最大值4948,此时
(4)存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，
设N(1, n) , M(x, y) , 且已知B(3, 0), C(0, 2)
①四边形CMNB 是平行四边形时,CM∥NB,CB∥MN,由平行四边形中心点坐标公式得：
②四边形CNBM是平行四边形时,CN∥BM,CM∥BN,由平行四边形中心点坐标公式得： ∴x=2, ∴M(2, 2);
③四边形CNMB 是平行四边形时,CB∥MN,NC∥BM,由平行四边形中心点坐标公式得：
综上所述: M(2, 2) 或 或M(-2,
6 解: (1) 在 中, 令y=0, 得x=4,令x=0, 得y=2∴A (4, 0) , B (0, 2)
把A (4, 0) , B (0, 2) , 代入
得： 解得：
∴抛物线的解析式为
(2)如图1，过点 B作x轴得平行线交抛物线于点E，过点D作BE 的垂线，垂足为F，交AB于点 G
∵BE∥x轴, ∴∠BAC=∠ABE
∵∠ABD=2∠BAC, ∴∠ABD=2∠ABE
即∠DBE+∠ABE=2∠ABE
∴∠DBE=∠ABE, ∴∠DBE=∠BAC
设D点的坐标为 易证F是 DG的中点，
则F 点的坐标是
又∵F 点纵坐标和B 点纵坐标相同，为2，
解得x =0(舍去) ,
∴点D的坐标为(2, 3)
(3) 当BO为边时, OB∥EF, OB=EF, 如图2所示,有3种情况，设 解得
当BO为对角线时，OB与EF互相平分，如图3，有2种情况，符合题意：
过点O作OF∥AB, 直线OF: 交抛物线于点 F5 和
取BO的中点M, 则M (0,1) 由题意得, M是E F 的中点，也是E F 的中点， 由中点坐标公式可以求出： ∴E 点的坐标为(2,1)或 或 或 或
7. 解: (1) 在 中, 令x=0, 得y=3,令y=0, 得x=4, ∴A(4, 0), B(0, 3) ,将A(4,0), B(0,3)分别代入抛物线. 中， 得： 解得：
∴抛物线的函数表达式为：
(2) 存在. ∵△BDE和△ACE相似, ∠BED=∠AEC∴△BDE∽△ACE 或△DBE∽△ACE
①当△BDE∽△ACE时,如图1,∠BDE=∠ACE=90°,此时BD∥AC，此时D点纵坐标为3，代入二次函数解析式，可得
②当△DBE∽△ACE时,∠BDE=∠CAE,如图2所示,过点B作 BH⊥CD于H∴∠BHD=90°,
t
解得：x =0(舍), (舍),
综上所述，点D 的坐标为 或
如图2， ∵四边形DEGF是平行四边形
设 (n, 则：
即: (m-n) (m+n-4) =0, ∵m-n≠0
∴m+n-4=0, 即:
过点 G作 于K,则GK∥AC,∴∠EGK=∠BAO
即: GK·AB=AO·EG, ∴5 (n-m) =4EG,
即：
∴DEGF周长
∵--2<0, ∴当 时， 周长最大值 此时 则
当E，G互换时，结论也成立，此时 综上所述. 或
8. 解: (1) ∵二次函数 的图象交x轴于点 和点B, 交y轴于点C (0, 4) .
∴二次函数的表达式为
(2) 如图1, 连接AC, AP, PC, 过点 P作 轴，
交AC于点E, 由点 A (-4, 0) , 点C(0, 4),
可得直线 AC的解析式为：
设
则
当 时， 面积最大值是8，
此时P点的坐标是
(3)存在点Q，使A，B，C，Q四点构成平行四边形，如下三种情况，理由：
①以AB为边时,有 Q1 和Q2 两种情况:
∵CQ∥AB, CQ=AB=5
∵C(0, 4), Q (-5, 4) 或(5, 4) ,
②以AB为对角线时，有 Q3一种情况：
CQ 必过线段AB 中点，且被AB平分，即：AB 的中点也是CQ的中点, ∵A (-4, 0), B (1, 0),
∴线段AB中点坐标为 设Q(a, b)
由平行四边形中心点坐标公式可得：
解得: a=-3,
解得：b=-4, ∴Q (-3, - 4) ,
综上所述，满足条件的点Q 的坐标为Q(-5，4)或(5，4) 或(-3, - 4) .
当AB为对角线时，解法二：过点Q作QM⊥x轴于点M, 则△AQM≌△BCO, 则AM=BO=1, QM=CO=4,∴OM=OA-AM=3, ∴∴Q (-3, - 4) ,
综上所述，满足条件的点Q 的坐标为Q(-5，4)或(5，4) 或(-3, - 4) .
9. 解: (1) 当x=0时, y=x-5=-5, 则C(0,-5), 当y=0时,x-5=0,解得x=5, 则B(5,0),把B (5, 0) , C (0, - 5) 代入 得： 解得：
∴抛物线解析式为
(2)①令y=0,解方程 得x =1,x =5,则A(1, 0), ∵B(5, 0), C(0, - 5) ,
∴△OCB为等腰直角三角形,∴∠OBC=∠OCB=45°,∵AM⊥BC, ∴△AMB 为等腰直角三角形,
∵以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，AM
作PD⊥x轴交直线BC于 D, 则
设 则D(m, m-5),
①.当 P 点在直线BC上方时，P1符合题意
解得m =1 (舍去) , m =4,
②.当 P 点在直线BC下方时,P2和P3 符合题意,
解得
综上所述，P点的横坐标为4或 或
②.如图2, 作AN⊥BC于N, NH⊥x轴于H, 作AC的垂直平分线交BC于 M , 交AC于E,
∵M A=M C, ∴∠ACM =∠CAM ,
∴∠AM B=2∠ACB, ∵△ANB为等腰直角三角形,
∴AH=BH=NH=2, ∴N(3, - 2) ,
易得AC的解析式为y=5x-5，E 点坐标为 设直线EM 的解析式为
把 代入得 解得 ∴直线 EM 的解析式为 解方程组：
得： 则
在直线BC上作点 M 关于 N点的对称点 M ，则 设M (x,x-5), 由中点坐标公式得， 综上所述，点M的坐标为 或
10. 解: (1) 把A(3, 0) , B (-1, 0) , C(0,-3)代入抛物线解析式得： 解得： 则该抛物线解析式为
(2) 设直线 BC解析式为y= kx-3,把B(-1, 0) 代入得: - k-3=0, 即k=-3,
∴直线 BC解析式为y=-3x-3,
∵以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M ∴AM⊥BC
∴设直线AM解析式为
把A (3, 0) 代入得: 1+m=0, 即 m=-1,
∴直线 AM 解析式为 联立得： 解得： 则 如图1：
(3)以点 B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形时，只有 BC为边一种情况，易知P到x轴的距离和CO的值相等，等于3，则分两种情况讨论，如下图2：
①当P在x轴的下方，则P 点的纵坐标为-3，则. -3=-3, 解得: (舍去), 此时P(2,-3)②.当P在x轴的上方，则P 点的纵坐标为3，则. -3=3,解得: 此时 3)或
综上所述，存在以点 B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，且P 的坐标为： 或 3)或(2, - 3).
11.解: (1)把A(-1,0),B(3,0)代入 得： 解得：
∴抛物线的表达式为 ∴点C坐标为(0,3),把B (3, 0), C (0,3) 代入y= kx+n得: 解得： ∴直线 BC的表达式为y=-x+3.
(2)①∵PA交直线BC于点D, ∴设点 D 的坐标为(m,-m+3) , 设直线AD 的表达式为y=k x+b ,
解得：
∴直线AD 的表达式，
∴联立得： 整理得，
解得 或 (不合题意，舍去)，∴点 D 的横坐标为m，点P 的横坐标为 分别过点 D、P作x轴的垂线，垂足分别为M、N，如图1：
设 则
整理得，
∵△≥0, ∴ (2t-3) -4t(t+1) ≥0,
解得 有最大值，最大值为
②存在, 理由如下: 如图2, 过点F作 FG⊥OB 于 G,∵y=-x +2x+3的对称轴为x=1, ∴OE=1,∵B(3, 0), C(0, 3)∴OC=OB=3,又∵∠COB=90°, ∴△OCB是等腰直角三角形,
∵∠EFB=90° , BE=OB-OE=2,
∴△EFB 是等腰直角三角形, ∴FG=GB=EG=1,
∴点F的坐标为(2, 1),
第一种情况: 当EF为边时, ∵四边形EFPQ为平行四边形, ∴QE=PF, QE∥PF∥y轴,
∴点 P 的横坐标与点 F的横坐标同为2，
当x=2时,.
∴点 P 的坐标为(2, 3),
∴QE=PF=3-1=2, 点Q的坐标为(1, 2),根据对称性当P(0,3)时,Q(1,4)时, 四边形EFQP也是平行四边形.
第二种情况：当EF为对角线时，如图2中的P EQ F，∵四边形PEQF为平行四边形, ∴QE=PF, QE∥PF∥y轴,同理求得:点P 的坐标为(2,3),∴QE=PF=3-1=2, 点Q的坐标为(1, - 2) ;综上, 点 P 的坐标为(2,3)时, 点Q 的坐标为(1,2)或(1, - 2) , P (0, 3)时, Q (1, 4) .
12. 解: (1) ∵抛物线 的图象经过A(1, 0) , B (3, 0) ,
∴设抛物线解析式为: y=a(x-1) (x-3),
∵抛物线y=a(x-1) (x-3) (a≠0)的图象经过点C(0, 6), ∴6=a(0-1) (0-3), ∴a=2,
∴抛物线解析式为：
∴顶点 M的坐标为(2, - 2) ,
∵抛物线的顶点 M与对称轴l上的点N关于x轴对称，
∴点 N (2, 2) , 设直线AN解析式为: y= kx+b,
由题意可得： 解得：
∴直线AN解析式为: y=2x-2,
联立方程组得： 解得：
∴点D (4, 6),
设点E (m, 2m-2),
∵直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，
或
或
∴m=2或3, ∴点E (2, 2) 或(3, 4) ;
(3)存在，分两种情况讨论：
①.若AD为平行四边形的边，
∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，
∴AD=PQ, ∴xD-xA=xP-xQ或xD-xA=xQ-xP,
∴xp=4-1+2=5或 xp=2-4+1=-1,
∴点 P坐标为(5, 16) 或(-1, 16) ;
②.若AD为平行四边形的对角线，
∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，
∴AD与PQ互相平分,
∴xp=3, ∴点 P 坐标为(3, 0) ,
综上所述: 当点 P 坐标为(5,16)或(-1,16)或(3,0)时，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形.
13 解: (1)将A的坐标(-1,0), 点C的坐(0,5)代入 得： 解得 ∴抛物线的解析式为
(2) 过P作PD⊥x轴于D, 交 BC于Q, 过P作 PH⊥BC于 H, 如图1:
在 中，令y=0得 解得x=5或x=-1, ∴B(5, 0) ,
∴OB=OC,△BOC是等腰直角三角形,∴∠CBO=45°,∵PD⊥x轴, ∴∠BQD=45° =∠PQH,
∴△PHQ 是等腰直角三角形，
∴当PQ最大时, PH最大,
设直线BC解析式为y= kx+5, 将 B(5, 0) 代入得:0=5k+5, ∴k=-1, ∴直线BC解析式为y=-x+5,设 则Q(m, -m+5),
∴当 时，PQ最大为 时, PH 最大,即点 P 到直线 BC的距离最大，此时
(3)存在，理由如下：
抛物线 对称轴为直线x=2，设1 , N(2, t) ,而B (5, 0) , C (0, 5) ,
①以MN、BC为对角线，则MN、BC的中点重合，如图2，由平行四边形的性质可知，E是BC的中点，也是MN的中点： 解得： ∴M(3，8)， (解法二，可以用三角形全等来做，可得M的横坐标为3)
②以MB、NC为对角线，如图3(此种情况，我们也可以用①中的方法一，但是为了同学们的方法学习，就用方法二来解)：过点M 作 MD⊥对称轴与点D，
易证△MDN≌△BOC∴MD=OB=5,
∵对称轴是x=2， ∴M点的横坐标为-3，代入二次函数解析式，可得M(-3， -16)，
③以MC、NB为对角线,如图4:同理可得,ME=BO=5,∴M点的横坐标是7∴M (7, - 16) ;
综上所述, M的坐标为: (3, 8) 或(-3, - 16) 或(7, - 16) .
14. 解: (1)由题意得抛物线的顶点坐标为(-1,4),∴抛物线.H:
将A (-3,0) 代入, 得:
解得：a=-1，∴抛物线H的表达式为
(2) 由 (1) 知:
令x=0, 得y=3, ∴C(0, 3) ,
设直线AC的解析式为y= mx+n,
∵A(-3,0),C(0,3), 解得：
∴直线AC的解析式为y=x+3,设. 则E(m, m+3) ,
∵--1<0, ∴当 时，PE有最大值
∵OA=OC=3, ∠AOC=90° ,
∴△AOC是等腰直角三角形, ∴∠ACO=45°,
∵PD⊥AB, ∴∠ADP=90°, ∴∠ADP=∠AOC,
∴PD∥OC, ∴∠PEF=∠ACO=45° ,
∵PF⊥AC, ∴△PEF 是等腰直角三角形,
∴当 时，
(3)①如图1，当AC为平行四边形的边时，则有PQ∥AC,且PQ=AC,过点 P作对称轴的垂线,垂足为G,设AC交对称轴于点 H, 则∠AHG=∠ACO=∠PQG,在△PQG和△ACO中, 易证△PQG≌△ACO (AAS) ,∴PG=AO=3, ∴点 P到对称轴的距离为3,
又：
∴抛物线对称轴为直线x=-1，则P点有两种情况符合题意，它们的横坐标分别为2或者-4
当x=2时, y=-5, 当x=-4时, y=-5,
∴点P 坐标为(2, - 5) 或 (-4, - 5) ;
②当AC为平行四边形的对角线时，如图2，设AC的中点为M, ∵A(-3, 0) , C(0, 3), ∵点Q在对称轴上，∴点Q 的横坐标为-1，设点 P 的横坐标为x，根据中点公式得： -3, ∴x=-2, 此时y=3, ∴P (-2, 3) ;
综上所述, 点P 的坐标为(2, - 5)或(-4, - 5)或(-2, 3) .