2025年中考数学复习--二次函数特殊角存在性问题（含解析）

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二次函数特殊角存在性问题
1如图，抛物线 与x轴交于点 A、B，与y轴交于点C，已知B(3, 0).
(1)求m的值和直线BC对应的函数表达式；
(2)P为抛物线上一点，若 请直接写出点P的坐标；
(3)Q为抛物线上一点，若 求点Q的坐标.
2如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点 B，抛物线 经过坐标原点和点A，顶点为点 M.
(1)求抛物线的关系式及点M的坐标；
(2)点E 是直线AB下方的抛物线上一动点，连接EB，EA，当△EAB的面积等于 时，求E点的坐标；
(3)将直线AB向下平移，得到过点M的直线y=mx+n，且与x轴负半轴交于点C, 取点D (2, 0) , 连接DM, 求证:
3如图，抛物线 与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为(
(1)请直接写出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式；
(2)若点 P 是抛物线上的点，点P 的横坐标为 过点P作 轴，垂足为M. PM与直线l交于点N，当点N是线段PM的三等分点时，求点P的坐标；
(3)若点Q是y轴上的点，且. 求点Q的坐标.
4如图，抛物线 经过点A (-1, 0) , B(4, 0) , 交y轴于点C;
(1)求抛物线的解析式 (用一般式表示)；
(2)点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使 若存在请直接给出点D坐标；若不存在，请说明理由；
(3)将直线BC绕点B顺时针旋转 ，与抛物线交于另一点E，求BE的长.
5如图，抛物线 过点A (3, 2) , 且与直线 交于B、C两点, 点B的坐标为(4, m) .
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作 轴交直线BC于点E，点P 为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求 的最小值；
(3)设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点 Q，使 若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
6如图，抛物线 与x轴交于A(-2,0)、B(6,0) 两点, 与y轴交于点C.直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为(4，3).
(1)求抛物线的解析式与直线l的解析式；
(2)若点P 是抛物线上的点且在直线1上方，连接PA、PD，求当 面积最大时点 P 的坐标及该面积的最大值；
(3)若点Q是y轴上的点，且 求点Q的坐标.
1解:(1)将B(3,0)代入 化简得， 则m=0(舍)或m=-1, ∴m=-1,
设直线 BC的函数表达式为y= kx+b, 将B (3, 0),C(0, - 3)代入表达式,可得, 解得 ∴直线 BC的函数表达式为y=x-3.
(2) 如图1, 过点A作 ，设直线AP 交y轴于点 G，将直线BC向下平移GC个单位，得到直线P P .
由(1) 得直线BC的表达式为y=x-3, A (1,0),
∴直线AG的表达式为y=x-1，联立得：
解得 或 或(1, 0),由直线AG的表达式可得G (0, - 1) ,
∴GC=2, CH=2,
∴直线 P P 的表达式为: y=x-5, 联立得:
解 得
综上可得，符合题意的点 P 的坐标为： (2，1)， (1，
(3)如图2,取点Q使∠ACQ=45°, 作直线CQ, 过点A作AD⊥CQ于点 D, 过点D作 DF⊥x轴于点 F,过点C作CE⊥DF于点E，则△ACD是等腰直角三角形，∴AD=CD, ∴△CDE≌△DAF (AAS) ,
∴AF=DE, CE=DF.
设DE=AF=a, 则CE=DF=a+1,由OC=3, 则DF=EF-DE=3-a, ∴a+1=3-a,解得a=1. ∴D(2, - 2) , 又C(0, - 3) ,∴直线 CD对应的表达式为 设 代人 整理得 又n≠0,则
2. 解: (1) 对于 令 解得x=6, 令x=0, 则y=3,
故点A、B的坐标分别为(6, 0) 、 (0, 3) ,∵抛物线 经过坐标原点，故c=0，将点 A 的坐标代入抛物线表达式得： 解得b=-2，故抛物线的表达式为
则抛物线的对称轴为x=3，当x=3时，
则点M的坐标为(3, - 3);
(2) 如图1, 过点E作EH⊥x轴交AB于点 H,或
设点E 的坐标为 则点 则△EAB 的面积 解得x=1或
故点E的坐标为 或
(3) ∵直线AB 向下平移后过点 M(3, - 3),故直线CM的表达式为
令 解得x=-3, 故点C(-3, 0);过点D作DH⊥CM于点 H,
∵直线CM的表达式为 故 则 则DH=CD·sin∠MCD= (2+3) 由点 D、M的坐标得， 则
故∠HMD=45° =∠DMC=∠ADM--∠ACM=45°,∴∠ADM--∠ACM=45° .
3. 解: (1) 令y=0, 得 解得, x=-2, 或x=6, ∴A (-2, 0) , B(6, 0) ,设直线l的解析式为y= kx+b(k≠0) , 则 解得， ∴直线l的解析式为：
(2)如图1，根据题意可知，点P与点N的坐标分别为P
现在分两种情况讨论：
①当PM=3MN时, 得 解得, m=0, 或m=-2(舍), ∴P(0, - 3);
②当PM=3NP时, 得:
解得, m=3, 或m=-2(舍),
∴当点N是线段 PM的三等分点时，点P 的坐标为(3， 或(0, - 3);
(3) ∵直线l: 与y轴交于点E，
∴点E 的坐标为(0， -1)，如图2，分两种情况讨论：
①当点 Q 在y轴的正半轴上时，记为点 Q ，过Q 作Q H⊥AD于点H, 则∠Q HE=∠AOE=90°,
∵∠Q EH=∠AEO, ∴△Q EH∽△AEO,
∵∠Q DH=45°, ∠Q HD=90°, ∴Q H=DH,
∴DH=2EH, ∴HE=ED,
连接CD, ∵C(0, - 3), D(4, - 3) , ∴CD⊥y轴,
∴点 E 的坐标为(0, - 1) , ∴ Q (0, 9) ;
②当点Q在y轴的负半轴上时，记为点 Q ，过Q 作Q G⊥AD于 G,则∠Q GE=∠AOE=90°,
∵∠Q EG=∠AEO, ∴△Q GE∽△AOE,
∴ED=EG+DG=3EG, 由①可知,
综上，点Q 的坐标为(0，9)或
4. 解: (1)∵抛物线 经过点A(-1,0),B (4, 0) ,. 解得
∴抛物线解析式为
(2) 由题意可知C(0, 2) , A(-1, 0) , B (4,0),
设.D(x, y), 解得|y|=3,当y=3时, 由 解得x=1或x=2, 此时D点坐标为(1, 3) 或(2, 3) ;
当y=-3时,由 解得x=-2(舍去)或x=5, 此时D点坐标为(5, - 3);
综上可知存在满足条件的点 D，其坐标为(1，3)或(2，3) 或(5, - 3) ;
(3) ∵AO=1, OC=2, OB=4, AB=5,
C为直角三角形, 即BC⊥AC,
如图,设直线AC 与直线BE交于点 F,过F作 FM⊥x轴于点 M, 由题意可知∠FBC=45°, ∴∠CFB=45°,
∵ FM⊥x轴
解得OM=2, 即 解得FM=6,
∴F(2, 6), 且B(4, 0) ,
设直线BE解析式为y= kx+m, 则把F(2, 6), B (4,0)代入，可得 解得：
∴直线 BE解析式为y=-3x+12,联立直线 BE 和抛物线解析式可得 解得 或 ∴E(5, - 3) ,∴由两点距离公式可得：
5.解: (1)将点B的坐标为(4,m)代入入 ∴B的坐标为 将A(3,2), 代入 解得
∴抛物线的解析式
(2)设 则
∴当m=2时, DE有最大值为2, 此时,D(2, ), C和D关于抛物线对称轴对称，如图1，连接AC，于抛物线对称轴交于点 P，此时 AC 即为PD+PA所求的最小值.∵A (3, 2),C(0, ), 即 PD+PA的最小值为
(3) 如图2, 作AH⊥对称轴于点 H,
∵抛物线的解析式 ∴M(1, 4),
∵A (3, 2) , ∴H(1, 2) , ∴AH=2, MH=2,
∴△AHM 是等腰直角三角形，以点H 为圆心，AH为半径画圆, 与y轴的交点 Q1 与Q2, 满足∠AQM=45°.
∴QH=HA=HM=2, 设Q (0, t) ,
解得： 或 ∴符合题意的点 Q 的坐标： 或
6. 解: (1)∵抛物线 与x轴交于A(-2,0)、B(6, 0) 两点,
∴设抛物线的解析式为y=a(x+2) (x-6) ,
∵D (4,3)在抛物线上,
∴3=a(4+2) × (4-6),解得
∴抛物线的解析式为
∵直线l经过A (-2, 0)、D (4, 3),设直线l的解析式为y= kx+m(k≠0),则 解得， ∴直线l的解析式为
(2) 如图1中, 过点 P作PQ⊥x轴交AD于点Q. 设P 则
∴m=1时，此时△PAD的面积的最大值为
(3)如图2中，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE, 则E(-5, 6),
设DE交y轴于点 Q1, 则∠ADQ=45°,
∵D (4, 3) , ∴直线 DE 的解析式为
作点E 关于AD的对称点F (1, - 6),则直线DF解析式为y=3x-9, 设DF交y轴于点 Q2,则∠ADQ2=45°, ∴Q2(0, - 9) ,
综上所述，点Q 的坐标为 或(0, - 9) .