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《三角形中位线》习题
1、填空题
1.如图，D、E、F分别为△ABC三边上的中点.
①线段AD叫做△ABC的 ，线段DE叫做△ABC的 ，DE与AB的位置和数量关系是 _________ ;21·世纪*教育网
②图中全等三角形有 _________________ ;
③图中平行四边形有 ___________ .
2.三角形各边长为8、11、15，则连结各边中点所构成的三角形的周长是 .
1题 4题 5题
3.顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是__ ___.
4.在四边形ABCD中，AC=6cm，BD=8cm，分别是边的中点，则四边形EFGH的周长为 . 2-1-c-n-j-y
5. 如图，A、B两处被池塘隔开，为了测 ( http: / / www.21cnjy.com )量A、B两处的距离，在AB外选一适当的点C，连接AC、BC，并分别取线段AC、BC的中点E、F，测得EF=22m，则AB=__________m．
2、选择题
1.△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，若BC=8，则DE等于（ ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2【出处：21教育名师】
2.三角形的三条中位线长分别为3cm，4cm，6cm，则原三角形的周长为( )
A. 6. 5cm B. 34cm C 26cm D. 52cm
3.如图，在四边形ABCD 中，AB=CD，M，N，P分别AD，BC，BD的中点，若∠MPN=130°，则∠NMP=（ ）【版权所有：21教育】
A. 25° B. 30° C. 35° D. 50°
第3题 第4题
4.如图所示，已知点E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点，BE、CF相交于点G，FG=3，则CF的长为（ ） 【来源：21·世纪·教育·网】
A．4 B．4.5 C．6 D．9
三、证明题：
1.如图，四边形各边中点及对角线中点共六个点中，任取四个点连成四边形中，最多可以有几个平行四边形，证明你的结论.21教育名师原创作品
2.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是DC的中点，EF∥AB交BC于F，若EF=4，求AB的长.21*cnjy*com
3.如图，△ABC中，D是AB上一点，且AD=AC，AE⊥CD于E，F是BC中点.
求证：BD=2EF.
4.如图，AD是∠BAC的外角平分线，CD⊥AD于点D，E是BC的中点.
求证：DE=(AB+AC).
5.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E，F，G分别是BC，AC，AB的中点. 若AB=BC=3DE=12，21·cn·jy·com
求四边形DEFG的周长.
参考答案
一、填空题
1.答案：①中线，中位线，DE∥AB，DE=AB.
②△AEF≌△DEF≌△FBD≌△EDC.
③□AFDE，□FBDE，□FDCE.
解析：【解答】解：（1）D、E、F分别为△ABC三边上的中点，根据中线的定义知，线段AD叫做△ABC的中线，根据中位线的定义知，线段DE叫做△ABC的中位线，再根据中位线的性质知，中位线的长是第三边的长的一半且平行于第三边，∴DE∥AB，DE=AB；
（2）∵DE，DF，EF是三角形的中位线，∴DF∥AC，DE∥AB，EF∥BC，∴四边形AEDF，BFED，CEFD是平行四边形，∴DE=AF=BF，DF=AE=EC，EF=BD=DC，∴△AEF≌△DEF≌△FBD≌△EDC．
故答案为：（1）中点，中位线，DE∥AB，DE=AB；（2）△AEF≌△DEF≌△FBD≌△EDC；（3）□AFDE，□FBDE，□FDCE．21教育网
【分析】根据三角形的中线、中位线的定义以及中位线的性质可知答案
2.答案：17；
解析：【解答】（8+11+15）=17，故答案为17.
【分析】直接运用三角形中位线的性质即可.
3.答案：平行四边形；
解析：【解答】∵这个四边形的两组对边分别是原4边形对角线连线构成的三角形的中位线，
∴这个四边形两对边相等
∴四边形一定是平行四边形2·1·c·n·j·y
【分析】直接运用三角形中位线的性质即可.
4.答案：14cm；
解析：【解答】∵四边形ABCD中，AC=6cm，BD=8cm，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EH=FG=BD，EF=HG=AC，
∴四边形EFGH的周长为：（EH+FG）+（EF+HG）=×2BD+×2AC=BD+AC=8+6
=14．故答案为14．
【分析】直接运用三角形中位线的性质即可.
5.答案：44.
解析：【解答】∵E、F是AC，AB的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=AB
∵EF=22cm，
∴AB=44cm．故答案为44．www-2-1-cnjy-com
【分析】直接运用三角形中位线的性质即可.
二、选择题
1.答案：C
解析：【解答】△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，∴DE是△ABC的中位线，又∵BC=8，∴DE=4，故选C. 21*cnjy*com
【分析】直接运用三角形中位线的性质即可.
2.答案：C
解析：【解答】∵三角形的三条中位线分别为4 ( http: / / www.21cnjy.com )cm、5cm、8cm，
∴三角形的三边分别为8cm，10cm，16cm，
∴这个三角形的周长=8+10+16=34cm．
故选B．
【分析】直接运用三角形中位线的性质即可.
3. 答案：A
解析：【解答】∵在四边形ABCD ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )中，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，
∴PN，PM ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PM ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )=AB，PN=DC，
∵AB=CD，
∴PM ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )=PN，
∴△PMN是等腰三角形，
∵PM∥AB，PN∥DC，
∴∠MPD ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )=∠ABD ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )=35°，∠BPN=∠BDC ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )=85°，
∴∠MPN ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )=∠MPD ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )+∠NPD ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )=35°+95°=130°，
∴∠PMN=25°，故选A．【来源：21cnj*y.co*m】
【分析】运三角形中位线的性质，先证明△PMN是等腰三角形，然后在求出∠PMN=25°即可.
4.答案：D
解析：【解答】∵点E、F分别是△ABC中A ( http: / / www.21cnjy.com )C、AB边的中点，BE、CF相交于点G，
∴G为△ABC的重心，∴2FG=GC，
∵FG=3，∴GC=6，∴CF=9．
故选D.．
【分析】
三、证明题
1. 答案：3个.
解析：【解答】
在四边形ABCD中F,G,H,E,M,N分别是AB,BC,CD,DA,BD,AC的中点
1 FG∥AC,EH∥AC；FG＝1/2AC,EH＝1/2AC
∴FG∥EH,FG＝EH
∴四边形FGHE是平行四边形
2 MG∥CD,EN∥CD;MG＝1/2CD,EN＝1/2CD
∴MG∥EN,MG＝EN
∴四边形MGNE是平行四边形
3 FM∥AD,NH∥AD；FM＝1/2AD,NH＝1/2AD
∴FM∥NH；FM＝NH
∴四边形FMHN是平行四边形
∴最多可以有3个平行四边形
【分析】直接运用三角形中位线性质定理即可.
2.答案：8
解析：【解答】过D作DG∥AB交BC于G，∵AD∥BC，AB∥DG，
∴四边形ABGD是平行四边形，∴AB=DG.
∵EF∥AB，∴EF∥DG，∵DE=CE，∴GF=CF.
∴EF是△CDG的中位线，∴EF=DG.
∴DG=2EF=8，即AB=8.
【分析】过D作DG∥AB交BC于G，利用三角形中位线性质定理即可.
3.答案：证明过程见解析.
解析：【解答】证明：∵AD=AC，AE⊥CD，∴CE=DE.
又∵F是BC中点，∴BD=2EF.
【分析】要证BD=2EF，由于F是BC的中点，根据三角形的中位线定理只需证E是CD中点即可，这易从已知证得.21世纪教育网版权所有
4．答案：证明过程见解析.
解析：【解答】证明：延长CD与BA交于F点.
∵AD是∠BAC的外角平分线，∴∠CAD=∠EAD.
∵CD⊥AD，∴∠ADC=∠ADF=90°，∴∠ACD=∠F，
∴AC=AF，∴CD=DF.
∵E是BC的中点，∴DE=BF=(AB+AC).
【分析】直接证明DE=(AB+AC)比较困难，注意到E是BC的中点，联想到三角形的中位线定理，于是延长CD与BA交于F点，只需证D是CF的中点及AF=AC即可，这容易从题设证得.www.21-cn-jy.com
5．答案：25
解析：【解答】∵AB=BC=3DE=12，∴BC=18，DE=4.
∵AD⊥BC，G是AB的中点，∴DG=AB=6.
∵E，F，G分别是BC，AC，AB的中点，
∴FG=BC=9，EF=AB=6.
∴四边形DEFG的周长为4+6+9+6=25.
【分析】直接运用三角形中位线性质定理求出GE和EF的值，利用直角三角形的性质求出DG的值，即可求出周长.21cnjy.com
A
B
C
D
E
F
G
H
A
F
E
C
B
G
F
E
D
C
B
A
F
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《三角形的中位线》教案
教学目标:
1、知识与技能
1、理解和领会三角形中位线的概念．
2、理解并掌握三角形中位线定理及其应用．
2、过程与方法
经过探索三角形中位线定理的过程，理解它与平行四边形的内在联系，感悟几何学的推理方法．
3、情感态度和价值观
培养学生合情推理意识，形成几何思维分析思路，体会几何学在日常生活中的应用价值．
教学重点：
理解并应用三角形中位线定理．
教学难点：
三角形中位线定理的探索与推导．
教学过程：
1、 导入新课
出示图片提出问题：A、B两点被池塘隔开,如何测量A、B两点距离呢？为什么
( http: / / www.21cnjy.com )
解决这个问题就要用到我们今天要学习的知识： 三角形的中位线
二、新课学习
(一)探究三角形的中位线的性质：
1.提出问题：
问题1：你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗
问题2：你能通过剪拼的方式，将一个三角形拼成一个与其面积相等的平行四边形吗？
这是两个问题如何解决呢？
老师引导学生提出假设的解决方案：
（1）连接三角形每两边的中点，看上去就得到了四个全等的三角形（如图）
指出DE是三角形的中位线。
提出问题：根据图形你总结三角形的中位线的定义吗？
学生讨论归纳总结：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
分析三角形的中位线定义的两层含义：
①∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线．
②∵ DE为△ABC的中位线， ∴ D、E分别为AB、AC的中点．
由定义可知：三角形的中位线有三条.
（2）将△ADE绕点E按顺时针方向旋转180 到△CFE 的位置（如图），这样就得到了一个与△ABC 面积相等的□DBCF．21教育网
2.提出问题：从上述做法中，你能猜想出三角形
两边中点的连线与第三边有怎样的关系？
能证明你的猜想吗？
学生观察分析、讨论归纳得出结论：
结论:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.
根据结论，写出已知、求证并加以证明
已知:如图,DE是△ABC的中位线.
求证:DE∥BC,DE=1/2B
教师引导学生分析：根据第二个 ( http: / / www.21cnjy.com )问题的解决方案可知DE=EF,DE∥BC,因此证明此结论，可将DE加倍后证明与BC相等.从而转化为证明平行四边形的对边的关系,于是可作辅助线,利用全等三角形来证明相应的边相等.www.21-cn-jy.com
学生自主完成证明过程：
证明:如图,延长DE至F,使EF=DE,连接CF.
∵ AE=CE,∠AED=∠CEF,
∴△ABC≌△CDA(SAS).
∴AD=CF,∠ADE=∠F.
∴BD∥CF.
∵AD=BD,
∴BD=CF.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴DF∥BC,DF=BC.
∴DE∥BC,DE=1/2DF=1/2BC
归纳：三角形中位线的性质：
三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.
几何语言：
∵DE是△ABC的中位,
∴DE∥BC,ED=1/2BC
这个定理提供了证明线段平行,和线段成倍分关系的根据.
（二）实际运用
1.利用定理“三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半”,你可以证明分割出的四个小三角形全等吗？.21世纪教育网版权所有
学生根据题意，写出已知、求证，并加以证明：
已知:如图,D,E,F分别是△ABC各边的中点.
求证: △ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED.
证明:
∵ D,E,F分别是△ABC各边的中点.
DE=BF=FC,DF=AE=EC,EF=AD=BD
(三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半)
∴△ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED(SSS).
2.议一议：
如图（图见课件），任意画一个四边形，以四边的中点为顶点组成一个新四边形，这个新四边形的形状有什么特征？请证明你的结论，并与同伴交流．21cnjy.com
学生观察讨论回答：新四边形是平行四边形.
根据题意，学生写出已知、求证并加以证明：
已知：如图所示，在四边形ABCD中，E、F、H、M分别是AB、BC、CD、DA的中点．
求证：四边形EFHM是平行四边形．
分析：因为已知点分别是四边形各边中点， ( http: / / www.21cnjy.com )如果连结对角线就可以把四边形分成三角形，这样就可以用三角形中位线定理来证明出四边形EFGM对边的关系，从而证出四边形EFGH是平行四边形．21·cn·jy·com
证明：连结AC．
∵AM=MD，CH=HD
∴HM//AC，HM=1/2AC（三角形中位线定理）．
同理，EF//AC，EF=1/2AC
∴HMEF
∴四边形EFGH是平行四边形．
三、课堂练习
1、如左图，MN 为△ABC 的中位线 ( http: / / www.21cnjy.com )，若∠ABC=61 ，则∠AMN = ，若MN=12 ，则BC= . 2、如右图，已知△ABC中，AB=3㎝，BC=3.4㎝，AC=4㎝且D，E，F分别为AB，BC，AC边的中点，则△DEF的周长是 ㎝.2·1·c·n·j·y
3、已知:如图,A,B两地被池塘隔开,在 ( http: / / www.21cnjy.com )没有任何测量工具的情况下,有通过学习方法估测出了A,B两地之间的距离:先在AB外选一点C,然后步测出AC,BC的中点M,N,并测出MN的长,由此他就知道了A,B间的距离.你能说出其中的道理吗 【来源：21·世纪·教育·网】
4、如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE=EB，
求证：OE∥BC．
拓展：
5、如图所示，已知在平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，
求证：MN∥BC．
1题 2题 3题 4题 5题
四、结论总结
1、三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段．
2、三角形中位线性质定理：三角形中位线平行于第三边并等于第三边的一半．
顺次连接四边形各边中点的线段组成一个平行四边形.
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初中数学北师大版八年级下册
第六章 平行四边形
3 三角形的中位线
问题：A、B两点被池塘隔开,如何测量A、B两点距离呢？为什么
A
B
导入
解决这个问题就要用到我们今天要学习的知识：
三角形的中位线
导入
问题1：你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗
问题2：你能通过剪拼的方式，将一个三角形拼成一个与其面积相等的平行四边形吗？
B
C
A
新课
B
C
A
D·
·E
·F
小明是这样做的：
（1）连接三角形每两边的中点，看上去就得到了四个全等的三角形
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形的中位线定义的两层含义：
（2）∵ DE为△ABC的中位线，
（1）∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线．
∴ D、E分别为AB、AC的中点．
新课
（2）将△ADE绕点E按顺时针方向旋转180 到△CFE 的位置（如图），这样就得到了一个与△ABC 面积相等的□DBCF．
A
B
C
D
F
E
从小明的上述做法中，你能猜想出三角形两边中点的连线与第三边有怎样的关系？能证明你的猜想吗？
新课
猜想:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.
已知:如图,DE是△ABC的中位线.
分析:要证明线段的倍分关系到,可将DE加倍后证明与BC相等.从而转化为证明平行四边形的对边的关系,于是可作辅助线,利用全等三角形来证明相应的边相等.
D
E
B
C
A
求证:DE∥BC,DE= BC
新课
证明:如图,延长DE至F,使EF=DE,连接CF.
∵ AE=CE,∠AED=∠CEF,
∴△ABC≌△CDA(SAS).
∴AD=CF,∠ADE=∠F.
∴BD∥CF.
∵AD=BD,
∴BD=CF.
D
E
B
C
A
F
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴DF∥BC,DF=BC.
∴DE∥BC,
新课
三角形中位线的性质
定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.
这个定理提供了证明线段平行,和线段成倍分关系的根据.
∵DE是△ABC的中位,
D
E
B
C
A
几何语言：
∴DE∥BC,ED= BC
新课
利用定理“三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半”,可以证明小明分割出的四个小三角形全等.
已知:如图,D,E,F分别是△ABC各边的中点.
求证: △ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED.
B
C
A
D
E
F
新课
证明:
∵ D,E,F分别是△ABC各边的中点.
(三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半)
∴△ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED(SSS).
分析:利用三角形中位线性质,可转化用(SSS)来证明三角形全等.
新课
如图,四边形ABCD四边的中点分别为E,F,G,H,四边形EFGH是怎样四边形 你的结论对所有的四边形ABCD都成立吗
猜想:四边形EFGH是平行四边形.这个结论对所有的四边形ABCD都成立.
求证:四边形EFGH是平行四边形.
A
B
C
H
D
E
F
G
已知:如图,在四边形ABCD中, E,F,G,H分别为各边的中点.
新课
分析:将四边形ABCD分割为三角形,利用三角形的中位线可转化两组对边分别平行或一组对边平行且相等来证明.
证明:连接AC.
∵E,F,G,H分别为各边的中点,
∴ EF∥HG, EF=HG.
∴四边形EFGH是平行四边形.
A
B
C
H
D
E
F
G
∴EF∥AC,EF= AC
HG∥AC,HG= AC
新课
三角形中位线的概念：
连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线.
三角形中位线的性质：
三角形的中位线平行与第三边，并且等于它的一半.
顺次连接四边形各边中点的线段组成一个平行四边形
小结
1、如左图，MN 为△ABC 的中位线，若∠ABC=61 ，则∠AMN =____，若MN=12 ，则BC= .
A
M
B
C
N
61
24
2、如右图，已知△ABC中，AB=3㎝，BC=3.4㎝，AC=4㎝且D，E，F分别为AB，BC，AC边的中点，则△DEF的周长是_____㎝.
A
B
C
D
E
F
5.2
习题
3、已知:如图,A,B两地被池塘隔开,在没有任何测量工具的情况下,有通过学习方法估测出了A,B两地之间的距离:先在AB外选一点C,然后步测出AC,BC的中点M,N,并测出MN的长,由此他就知道了A,B间的距离.你能说出其中的道理吗
C
M
B
A
N
其中的道理是:
连结A、B,
∵MN是△ABC的的中位线,
∴AB=2MN.
习题
证明： ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴点O是AC的中点， ∵ AE=EB， ∴ EO是△ABC的中位线， ∴ OE∥BC。
4、如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE=EB，
求证：OE∥BC．
习题
证明：在△MBF和△MEA中： ∵AD∥BC ∴∠MBF =∠MEA , ∠MFB =∠MAE 又 E、F分别是AD、BC的中点 ∴BF = EA ∴△MBF≌△MEA ∴BM = ME 同理：CN =NE ∴MN是△EBC的中位线 ∴MN∥BC
5、如图所示，已知在平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，
求证：MN∥BC．
拓展
