2025年中考数学复习--二次函数三角形相似存在性问题（含解析）

二次函数三角形相似存在性问题
1如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧， ，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C，
(1) 求b, c的值;
(2)求直线BD的函数解析式；
(3)点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上.当 与△BPQ 相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标.
2如图，抛物线 与x轴交于A,B两点,且OA=2OB, 与y轴交于点 C,连接BC，抛物线对称轴为直线 D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作 DE⊥OA于点E,与AC交于点F,设点D的横坐标为m.
(1)求抛物线的表达式；
(2)当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；
(3)抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC 相似 若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
3如图，已知抛物线 经过两点A (-1, 0) , B(3, 0) , C是抛物线与y轴的交点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P(m，n)在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设 的面积为S，求S关于m的函数表达式(指出自变量m的取值范围)和S的最大值；
(3)点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得. 且 与 相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标.
4如图，抛物线 与x轴交于点A (-2, 0) 和点B(8, 0) ,与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E.
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P 是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当 时，求点 P 的坐标；
(3)点N是对称轴1右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似 若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由.
5如图，二次函数 的图象与x轴交于点A (-1, 0) , B (4, 0) , 与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P 和点F，动直线l 在抛物线的对称轴的右侧(不含对称轴)沿x轴正方向移动到B点.
(1)求出二次函数 和BC所在直线的表达式；
(2)在动直线l移动的过程中，试求使四边形DEFP 为平行四边形的点 P 的坐标；
(3)连接CP，CD，在动直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与 相似 如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由.
6已知抛物线 与x轴分别交于A (-3, 0), B (1, 0) 两点, 与y轴交于点 C.
(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
(2)点F是线段AD上一个动点.
①如图1，设 当k为何值时，
②如图2，以A，F，0为顶点的三角形是否与△ABC相似 若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由.
7如图1，直线 与抛物线 交于A，B两点，与y轴于点C，其中点A的坐标为
(1) 求a, b的值;
(2)将点A绕点C逆时针旋转 得到点D.
①试说明点D在抛物线上；
②如图2，将直线AB向下平移，交抛物线于E，F两点 (点E在点F的左侧)，点G在线段OC上.若 (点G, E, F分别与点D, B, A对应) , 求点G的坐标.
8如图，已知抛物线 过点 和点 过点A作直线AC∥x轴,交 y轴于点 C.
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线上，A点右侧取一点 P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D.连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标；
(3)抛物线上是否存在点Q，使得 若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
1 解: (1) ∵BO=3AO=3,
∴点B (3, 0) , 点 A (-1, 0) ,
∴抛物线解析式为：
(2) 如图1, 过点D作DE⊥AB 于 E, ∴CO∥DE,
∴点D 横坐标为
∴点 D 坐标为 设直线BD 的函数解析式为:y=kx+m,把点B (3,0),
代入得： 解得：
∴直线 BD的函数解析式为
(3) .∵点B(3,0), 点A (-1,0) , 点 对称轴为直线x=1， ∵直线BD: 与y轴交于点 C, ∴点 如图1, 过点A作AF⊥BD于F,
∴∠ADB=45°,设对称轴与x轴的交点为N,即点N(1,0) , BN=3-1=2, 现在分两种情况讨论:
第一种情况: 若∠CBO=∠PBO=30°, 如图3:
①当
∴点
②当
∴点
第二种情况: 若∠PBO=∠ADB=45°, 如图3:
③.当 ∴点(
④.当 ∴点 综上所述：满足条件的点 Q 的坐标为 或 0)或 或
2 解: (1) .设OB=t, 则OA=2t, 则点A、B的坐标分别为(2t, 0) 、 (-t, 0) ,则 -t) , 解得: t=1, 故点A、B的坐标分别为(2,0)、(--1,0),则抛物线的表达式为: y=a(x-2) (x+1)
解得: a=-1, b=1,
故抛物线的表达式为：
(2) .对于 令x=0, 则y=2,故点 C (0, 2) , 由点 A、C的坐标得,直线 AC 的表达式为:y=-x+2,设点D 的横坐标为m,则点 则点F(m, - m+2) ,则 ∵--1<0, 故DF 有最大值, DF 最大时m=1,∴点D (1, 2);
(3)存在，理由如下：点 则
以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC 相似，则 或 即 或 即 或
解得:m=1或-2(舍去)或 或 (舍去),经检验m=1或 是方程的解，且符合题意，故m=1或
3解:(1)将A(-1,0)、B(3,0)代入 得： 解得：
∴抛物线的解析式为
(2) 过点P作 PF⊥x轴, 交BC于点 F, 如图1所示.当x=0时, ∴点C的坐标为(0，6) . 设直线 BC 的解析式为y= kx+c,
将B(3,0)、C(0,6)代入y= kx+c,得: 解得： ∴直线 BC 的解析式为y=-2x+6.
∵点P(m，n)在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，∴点 P 的坐标为
则点 F 的坐标为(m, - 2m+6),
∴当 时，△PBC面积取最大值，最大值为2
∵点P(m，n)在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动, ∴0综上所述，S关于m的函数表达式为： (3) 存在点M、点N使得∠CMN=90°, 且△CMN与△OBC相似.
第一种情况: 如图2, ∠CMN=90°, 当点M位于点C上方,过点 M作 MD⊥y轴于点 D,
∵∠CDM=∠CMN=90° , ∠DCM=∠NCM,
∴△MCD∽△NCM,
若△CMN与△OBC 相似, 则△MCD 与△OBC相似,设 C(0, 6),
当 时, △COB∽△CDM∽△CMN,
解得, a=1, ∴M(1, 8),此时 ∴N (0, ) ,
当 时, △COB∽△MDC∽△NMC, 解得 此时N(0, ) .
第二种情况：如图3，当点 M位于点C 的下方，过点 M作ME⊥y轴于点 E, 设 C(0,6) ,
同理可得： 或 △CMN与△OBC 相似,解得 或：a=3, ∴M( , 或M(3, 0) , 此时N点坐标为(0, 或 综合以上得, 存在M(1, 8) , N(0, 或 或M( , ), N(0, 或M(3, 0), N (0, - ),使得∠CMN=90° ,且△CMN与△OBC 相似.
4 解: (1) ∵抛物线 过点 A(--2, 0) 和点B (8, 0) ,
解得
∴抛物线解析式为：
(2) 当x=0时, y=8, ∴C(0, 8),
∴直线BC解析式为: y=-x+8,
如图1, 过点P作 PG⊥x轴, 交x轴于点G, 交 BC于点F，设p(x,- x +3x+8), ∴F(x, - x+8),
∴P (2, 12), P (6, 8);
(3)存在，理由如下：
∵C(0, 8) , B (8, 0) , ∠COB=90° ,
∴△OBC 为等腰直角三角形，易知抛物线的对称轴为x=3, ∴点E的横坐标为3, 又∵点E在直线BC上,
∴点E 的纵坐标为5, ∴E (3, 5) ,
设M(3, m), 1
①如图2,当MN=EM,∠EMN=90° ,△NME∽△COB,则 解得 或 (舍去),∴此时点M的坐标为(3，8)，
②如图3, 当ME=EN, ∠MEN=90°时,
△MEN∽△COB, 则
解得： 或 (舍去),
∴此时点 M 的坐标为(3，
③如图4, 当MN=EN, ∠MNE=90°时，此时△MNE 与△COB 相似,
此时的点M 与点 E 关于①的结果(3，8)对称，设M(3, m), 则m-8=8-5, 解得m=11,∴M(3, 11) ; 此时点M的坐标为(3, 11) ;
故在射线ED上存在点 M，使得以点 M，N，E为顶点的三角形与△OBC 相似, 点 M 的坐标为: (3, 8) 或(3, 或(3, 11) .
5解: (1) 将点A (-1, 0) , B (4, 0), 代入y 得： 解得：
∴二次函数的表达式为：
当x=0时, y=4, ∴C(0, 4) ,
设BC 所在直线的表达式为:y=mx+n,
将C (0, 4)、B (4, 0) 代入y= mx+n,
得： 解得：
∴BC所在直线的表达式为: y=-x+4;
(2) ∵DE⊥x轴, PF⊥x轴, ∴DE∥PF,
只要DE=PF，四边形DEFP 即为平行四边形，
∴点 D 的坐标为： 将 代入y=-x+4,即 ∴点E 的坐标为： 设点 P 的横坐标为t，则 P的坐标为： F的坐标为: (t,-t+4) ,
由DE=PF得: 解得： (不合题意舍去)， 当 时， ∴点P的坐标为
(3)存在，理由如下：如下图，连接CD，连接CP：
由 (2) 得: PF∥DE, ∴∠CED=∠CFP,
又∵∠PCF与∠DCE有共同的顶点C, 且∠PCF 在∠DCE的内部, ∴∠PCF≠∠DCE,
∴只有∠PCF=∠CDE时, △PCF∽△CDE,∴BE==π/5,∵C(0,4)、E( , ),∴CE= 由(2) 得:
F的坐标为： (t, - t+4) , ∴CF= t,
解得： 当 时， ∴点P的坐标为：
6解: (1)∵抛物线 过点A(-3,0),B(1, 0), 解得：
∴抛物线解析式为
∴顶点D 的坐标为(-1, 4);
(2) ①∵在Rt△AOC中, OA=3, OC=3,
∵D (-1, 4) , C(0, 3) , A (-3, 0) ,
∴△ACD为直角三角形, 且∠ACD=90°.
当F为AD的中点，
②在Rt△ACD中,
在 Rt△OBC中,
∴∠CAD=∠OCB, ∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA=45° , ∴∠FAO=∠ACB,
若以A，F，O为顶点的三角形与△ABC 相似，则可分两种情况考虑：
第一种情况: 当∠AOF=∠ABC时, △AOF∽△CBA,∴OF∥BC, 设直线BC的解析式为y= kx+b,
解得：
∴直线 BC 的解析式为y=-3x+3,
∴直线OF 的解析式为y=-3x,
设直线 AD的解析式为y= mx+n, 解得： ∴直线AD 的解析式为y=2x+6,联立方程组，并解得：
第二种情况: 当∠AOF=∠CAB=45°时, △AOF∽△CAB, ∵∠CAB=45°, ∴OF⊥AC, 即OF是∠AOC的角平分线， ∴直线 OF 的解析式为y=-x， ∴联立得： 解得： ∴F(-2, 2) .综合以上可得F点的坐标为 或(-2, 2).
7解: (1)由题意,得 解得
(2) ①如图, 分别过点 A, D作AM⊥y轴于点 M, DN⊥y轴于点 N. 由 (1)可知,
直线AB的解析式为 ∴C(0, 6),
∵∠AMC=∠DNC=∠ACD=90° ,
∴∠ACM+∠DCN=90° , ∠DCN+∠CDN=90° ,
∴∠ACM=∠CDN,
∵CA=CD, ∴△AMC≌△CND (SAS)
∴AN=AM=4, DN=CM=2, ∴D(-2, 2),当x=-2时,
∴点 D 在抛物线 上.
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②由解得 或 ∴点 B 的坐标为 ∴直线AD的解析式为y=-3x-4,直线 BD的解析式为 设E(t, ),
∴直线 EF 的解析式为
解得
或
∵△GEF∽△DBA, EF∥AB, 由题意可知, EG∥DB,GF∥AD, ∴直线EG 的解析式为 直线FG 的解析式为 联立，解得：
令 解得
7. 解: (1) 把. 和点 代入抛物线得： 解得： 则抛物线解析式为
(2)存在，分两种情况讨论：
第一种情况：当P在直线AD上方时，设P坐标为 则有 ①.当△OCA∽△ADP时, 即
整理得：
即 解得： 或 (舍去)，此时
②.当△OCA∽△PDA时, 即
整理得：
即 解得： 或 (舍去),此时
第二种情况，当P在直线AD下方时，同理可得：P的坐标为
综上所述，P的坐标为 或(4 , 6) 或
(3) 在 Rt△AOC中, 根据勾股定理得：
Q边 OA 上的高为 过O作OM⊥OA, 截取 过M作MN∥OA,交y轴于点 N，如下图所示：
在Rt△OMN中, ON=2OM=9, 即N(0, 9) ,过M作 MH⊥x轴, 在 Rt△OMH中, 即
设直线 MN解析式为y= kx+9,
把 代入得： 即 即 联立得：
解得： 或
即 (此时与B点重合)或 则抛物线上存在点Q，使得 此时点Q的坐标为(3 , 0) 或