云南省昆明市嵩明县昆一中嵩明学校(嵩明县第一中学）2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题
1．（2024高一下·嵩明月考）集合，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】全集及其运算
【解析】【解答】解：集合，则.
故答案为：A.
【分析】根据集合的交集运算求解即可.
2．（2024高一下·嵩明月考）已知向量，若，则（ ）
A． B．2 C． D．-2
【答案】B
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为向量，且，
所以．
故答案为：B.
【分析】根据向量垂直的坐标表示列式求解即可.
3．（2024高一下·嵩明月考）已知为不共线向量，，则（ ）
A．三点共线 B．三点共线
C．三点共线 D．三点共线
【答案】A
【知识点】平面向量加法运算；平面向量的共线定理
【解析】【解答】解：因为，，所以，
所以三点共线.
故答案为：A．
【分析】由题意，根据向量的加法运算，求得，即可判断三点共线.
4．（2024高一下·嵩明月考）在中，三边长分为，则最大角和最小角之和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：设三角形的三边分别为，因为，所以角、分别为的最小角和最大角，
在中，由余弦定理可得，因为，所以，
所以，即最大角和最小角之和是.
故答案为：B.
【分析】由题意，利用余弦定理求解即可.
5．（2024高一下·嵩明月考）已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A． B．9 C． D．
【答案】A
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为正实数，满足，
所以，
当且仅当，即时等号成立，则的最小值为.
故答案为：A.
【分析】由题意，利用基本不等式求解即可.
6．（2024高一下·嵩明月考）在中，内角的对边分别为.已知，则此三角形（ ）
A．无解 B．有一解
C．有两解 D．解的个数不确定
【答案】C
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】解：，由正弦定理，可得，
解得，因为，所以，则或，即三角形有两解.
故答案为：C.
【分析】由题意，利用正弦定理解出再根据，得到，求得角，即可判断三角形解的个数.
7．（2024高一下·嵩明月考）已知是第四象限角，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二倍角的正弦公式；三角函数值的符号；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为时第四象限角，所以，即，
又因为，所以，
所以.
故答案为：B．
【分析】根据是第四象限角，确定的正负号，再根据同角三角函数基本关系以及正弦的二倍角公式化简计算即可.
8．（2024高一下·嵩明月考）如图，在中，，，P为上一点，且满足，若，，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，所以，
又因为，所以，
又因为三点共线，所以，解得，则，
又因为，
所以
.
故答案为：C.
【分析】由题意，结合向量的线性运算以及三点共线求得，再用表示向量、，最后根据向量数量积的运算求解即可.
9．（2024高一下·嵩明月考）下列各式中，值为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】对于A：，所以A符合题意
对于B：，所以B符合题意
对于C：，所以C不正确
对于D：，所以D符合题意，
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件结合诱导公式和二倍角的正弦公式和余弦公式，进而得出值为 的式子。
10．（2024高一下·嵩明月考）如图所示，在正六边形中，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．在上的投影向量为
【答案】A,B,C
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：A、，由正六边形的性质可知：，故A正确；
B、由正六边形的性质可知：，
，故B正确；
C、易知，，
则，故C正确；
D、因为为等腰三角形，且，，
则，故在上的投影向量为，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】根据平面向量的减法以及正六边形的性质即可判断A；根据平面向量的加法结合正六边形的性质即可判断B；利用平面向量数量积的定义即可判断C；利用投影向量的定义即可判断D.
11．（2024高一下·嵩明月考）已知函数，，对，与中的最大值记为，则（ ）
A．函数的零点为，
B．函数的最小值为
C．方程有3个解
D．方程最多有4个解
【答案】B,C,D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、令，解得或，则函数的零点为和3，故A错误；
B、由题意，可得，同一直角坐标系作出函数与的图象，如图所示：
由图像可得：有最小值，故B正确；
C、作出函数的图像，如图所示：
由图可知：函数的图象与有3个交点，则方程有3个解，故C正确；
D、令，因为，由B中的图象可知，
当时，最多有2个解，，
当时，有2个解；而有2个解，
故最多有4个解，故D正确．
故答案为：BCD．
【分析】根据函数解析式，结合函数性质及函数新定义逐项分析判断即可.
12．（2024高一下·嵩明月考）在中，，，其面积为，则 ．
【答案】
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：在中，，， 面积为 ，
则，解得，
由余弦定理得，解得，
由正弦定理可得：.
故答案为：.
【分析】由题意，利用三角形的面积公式求得，在根据余弦定理求得，最后利用正弦定理求解即可.
13．（2024高一下·嵩明月考）已知与的夹角为．若为钝角，则的取值范围是 ．
【答案】且
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；相反向量
【解析】【解答】解：因为，的夹角为钝角，所以，
即，解得，且，则的取值范围为且．
故答案为：且．
【分析】根据的夹角为钝角，可得，求解即可得的取值范围.
14．（2024高一下·嵩明月考）某地为了更好地开发当地的旅游资源，决定在两座山头建一条索道，现测得两座山高分别为米，米．从山脚下的处测得处的仰角为，处的仰角为，，点，，在同一水平面内，，，则两座山的山顶，之间的距离是 米．（参考数据：，）
【答案】
【知识点】正弦定理；余弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【解答】在中，，所以米，
在中，米，
在中，
，则米．
故答案为：
【分析】在直角三角形中根据正余弦定理及已知条件，求出、，再由余弦定理计算可得.
15．（2024高一下·嵩明月考）已知指数函数的图象过点．
（1）求的值；
（2）求关于的不等式的解集．
【答案】（1）因为函数 为指数函数，所以，解得，即，又因为指数函数的图象过点，所以，解得，
则，；
（2）因为，所以对数函数在定义域内单调递增，
则不等式等价于，解得，即，
故不等式的解集为．
【知识点】指数函数的概念与表示；指数函数的图象与性质；指、对数不等式的解法
【解析】【分析】（1）根据指数函数的概念结合图象过点列式求解即可；
（2）由（1）得，根据对数函数的单调性列不等式组求解即可．
16．（2024高一下·嵩明月考）已知的内角的对边分别为，且．
（1）求角；
（2）若的面积为，求的周长．
【答案】（1）因为，所以，
由正弦定理可得，即，
由余弦定理可得，
又以为，所以；
（2）由（1）可得，则，
因为，所以，所以，解得，
则的周长为．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据向量平行的坐标表示，结合正弦定理和余弦定理求解即可；
（2）由（1）的结论，结合三角形的面积公式计算即可.
17．（2024高一下·嵩明月考）已知向量，若与的夹角为．
（1）求；
（2）当为何值时，向量与向量互相垂直？
【答案】（1）因为，且与的夹角为60°，
所以，
则；
（2）若向量与向量互相垂直，则，
即，即，解得，
故当时，向量与向量互相垂直.
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）由题意，利用向量的数量积公式以及向量的模长公式求解即可；
（2）根据两向量垂直数量积为，列式计算即可.
18．（2024高一下·嵩明月考）设函数.
（1）求的图象的对称轴方程和对称中心的坐标；
（2）求在上的最值.
【答案】（1）因为，
令，解得，
所以的对称轴方程为，
令，得，
可得函数图象的对称中心的坐标为
（2），.
因为，所以，
令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，，，故.
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；余弦函数的图象；余弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简，再利用三角函数的对称轴及对称中心性质求得答案；
（2）利用三角函数的单调性性质，结合题目中已知范围缩小范围求出最值．
19．（2024高一下·嵩明月考）如图，在四边形中，，，是以为直角顶点的等腰直角三角形，，
（1）当时，求；
（2）当四边形的面积取最大值时，求.
【答案】（1）在中，因为，，，
所以余弦定理可得：，
解得，又因为，所以，
由正弦定理，可得，解得，
又因为是以为直角顶点的等腰直角三角形，所以，且，
所以，
在中，由余弦定理可得，即；
（2）由（1）得，
，
此时，，且，
当时，四边形的面积最大，即，此时，，
则，即.
【知识点】正弦函数的性质；正弦定理；余弦定理；辅助角公式
【解析】【分析】（1）在中，利用余弦定理求得，再由正弦定理求得，结合诱导公式求得，最后在中，利用余弦定理求解即可；
（2）结合（1）得，由结合面积公式表示出四边形的面积，再利用辅助角公式结合正弦函数的性质求解即可.
1 / 1云南省昆明市嵩明县昆一中嵩明学校(嵩明县第一中学）2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题
1．（2024高一下·嵩明月考）集合，则等于（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高一下·嵩明月考）已知向量，若，则（ ）
A． B．2 C． D．-2
3．（2024高一下·嵩明月考）已知为不共线向量，，则（ ）
A．三点共线 B．三点共线
C．三点共线 D．三点共线
4．（2024高一下·嵩明月考）在中，三边长分为，则最大角和最小角之和是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高一下·嵩明月考）已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A． B．9 C． D．
6．（2024高一下·嵩明月考）在中，内角的对边分别为.已知，则此三角形（ ）
A．无解 B．有一解
C．有两解 D．解的个数不确定
7．（2024高一下·嵩明月考）已知是第四象限角，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高一下·嵩明月考）如图，在中，，，P为上一点，且满足，若，，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．
9．（2024高一下·嵩明月考）下列各式中，值为的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024高一下·嵩明月考）如图所示，在正六边形中，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．在上的投影向量为
11．（2024高一下·嵩明月考）已知函数，，对，与中的最大值记为，则（ ）
A．函数的零点为，
B．函数的最小值为
C．方程有3个解
D．方程最多有4个解
12．（2024高一下·嵩明月考）在中，，，其面积为，则 ．
13．（2024高一下·嵩明月考）已知与的夹角为．若为钝角，则的取值范围是 ．
14．（2024高一下·嵩明月考）某地为了更好地开发当地的旅游资源，决定在两座山头建一条索道，现测得两座山高分别为米，米．从山脚下的处测得处的仰角为，处的仰角为，，点，，在同一水平面内，，，则两座山的山顶，之间的距离是 米．（参考数据：，）
15．（2024高一下·嵩明月考）已知指数函数的图象过点．
（1）求的值；
（2）求关于的不等式的解集．
16．（2024高一下·嵩明月考）已知的内角的对边分别为，且．
（1）求角；
（2）若的面积为，求的周长．
17．（2024高一下·嵩明月考）已知向量，若与的夹角为．
（1）求；
（2）当为何值时，向量与向量互相垂直？
18．（2024高一下·嵩明月考）设函数.
（1）求的图象的对称轴方程和对称中心的坐标；
（2）求在上的最值.
19．（2024高一下·嵩明月考）如图，在四边形中，，，是以为直角顶点的等腰直角三角形，，
（1）当时，求；
（2）当四边形的面积取最大值时，求.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】全集及其运算
【解析】【解答】解：集合，则.
故答案为：A.
【分析】根据集合的交集运算求解即可.
2．【答案】B
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为向量，且，
所以．
故答案为：B.
【分析】根据向量垂直的坐标表示列式求解即可.
3．【答案】A
【知识点】平面向量加法运算；平面向量的共线定理
【解析】【解答】解：因为，，所以，
所以三点共线.
故答案为：A．
【分析】由题意，根据向量的加法运算，求得，即可判断三点共线.
4．【答案】B
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：设三角形的三边分别为，因为，所以角、分别为的最小角和最大角，
在中，由余弦定理可得，因为，所以，
所以，即最大角和最小角之和是.
故答案为：B.
【分析】由题意，利用余弦定理求解即可.
5．【答案】A
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为正实数，满足，
所以，
当且仅当，即时等号成立，则的最小值为.
故答案为：A.
【分析】由题意，利用基本不等式求解即可.
6．【答案】C
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】解：，由正弦定理，可得，
解得，因为，所以，则或，即三角形有两解.
故答案为：C.
【分析】由题意，利用正弦定理解出再根据，得到，求得角，即可判断三角形解的个数.
7．【答案】B
【知识点】二倍角的正弦公式；三角函数值的符号；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为时第四象限角，所以，即，
又因为，所以，
所以.
故答案为：B．
【分析】根据是第四象限角，确定的正负号，再根据同角三角函数基本关系以及正弦的二倍角公式化简计算即可.
8．【答案】C
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，所以，
又因为，所以，
又因为三点共线，所以，解得，则，
又因为，
所以
.
故答案为：C.
【分析】由题意，结合向量的线性运算以及三点共线求得，再用表示向量、，最后根据向量数量积的运算求解即可.
9．【答案】A,B,D
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】对于A：，所以A符合题意
对于B：，所以B符合题意
对于C：，所以C不正确
对于D：，所以D符合题意，
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件结合诱导公式和二倍角的正弦公式和余弦公式，进而得出值为 的式子。
10．【答案】A,B,C
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：A、，由正六边形的性质可知：，故A正确；
B、由正六边形的性质可知：，
，故B正确；
C、易知，，
则，故C正确；
D、因为为等腰三角形，且，，
则，故在上的投影向量为，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】根据平面向量的减法以及正六边形的性质即可判断A；根据平面向量的加法结合正六边形的性质即可判断B；利用平面向量数量积的定义即可判断C；利用投影向量的定义即可判断D.
11．【答案】B,C,D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、令，解得或，则函数的零点为和3，故A错误；
B、由题意，可得，同一直角坐标系作出函数与的图象，如图所示：
由图像可得：有最小值，故B正确；
C、作出函数的图像，如图所示：
由图可知：函数的图象与有3个交点，则方程有3个解，故C正确；
D、令，因为，由B中的图象可知，
当时，最多有2个解，，
当时，有2个解；而有2个解，
故最多有4个解，故D正确．
故答案为：BCD．
【分析】根据函数解析式，结合函数性质及函数新定义逐项分析判断即可.
12．【答案】
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：在中，，， 面积为 ，
则，解得，
由余弦定理得，解得，
由正弦定理可得：.
故答案为：.
【分析】由题意，利用三角形的面积公式求得，在根据余弦定理求得，最后利用正弦定理求解即可.
13．【答案】且
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；相反向量
【解析】【解答】解：因为，的夹角为钝角，所以，
即，解得，且，则的取值范围为且．
故答案为：且．
【分析】根据的夹角为钝角，可得，求解即可得的取值范围.
14．【答案】
【知识点】正弦定理；余弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【解答】在中，，所以米，
在中，米，
在中，
，则米．
故答案为：
【分析】在直角三角形中根据正余弦定理及已知条件，求出、，再由余弦定理计算可得.
15．【答案】（1）因为函数 为指数函数，所以，解得，即，又因为指数函数的图象过点，所以，解得，
则，；
（2）因为，所以对数函数在定义域内单调递增，
则不等式等价于，解得，即，
故不等式的解集为．
【知识点】指数函数的概念与表示；指数函数的图象与性质；指、对数不等式的解法
【解析】【分析】（1）根据指数函数的概念结合图象过点列式求解即可；
（2）由（1）得，根据对数函数的单调性列不等式组求解即可．
16．【答案】（1）因为，所以，
由正弦定理可得，即，
由余弦定理可得，
又以为，所以；
（2）由（1）可得，则，
因为，所以，所以，解得，
则的周长为．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据向量平行的坐标表示，结合正弦定理和余弦定理求解即可；
（2）由（1）的结论，结合三角形的面积公式计算即可.
17．【答案】（1）因为，且与的夹角为60°，
所以，
则；
（2）若向量与向量互相垂直，则，
即，即，解得，
故当时，向量与向量互相垂直.
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）由题意，利用向量的数量积公式以及向量的模长公式求解即可；
（2）根据两向量垂直数量积为，列式计算即可.
18．【答案】（1）因为，
令，解得，
所以的对称轴方程为，
令，得，
可得函数图象的对称中心的坐标为
（2），.
因为，所以，
令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，，，故.
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；余弦函数的图象；余弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简，再利用三角函数的对称轴及对称中心性质求得答案；
（2）利用三角函数的单调性性质，结合题目中已知范围缩小范围求出最值．
19．【答案】（1）在中，因为，，，
所以余弦定理可得：，
解得，又因为，所以，
由正弦定理，可得，解得，
又因为是以为直角顶点的等腰直角三角形，所以，且，
所以，
在中，由余弦定理可得，即；
（2）由（1）得，
，
此时，，且，
当时，四边形的面积最大，即，此时，，
则，即.
【知识点】正弦函数的性质；正弦定理；余弦定理；辅助角公式
【解析】【分析】（1）在中，利用余弦定理求得，再由正弦定理求得，结合诱导公式求得，最后在中，利用余弦定理求解即可；
（2）结合（1）得，由结合面积公式表示出四边形的面积，再利用辅助角公式结合正弦函数的性质求解即可.
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