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《多边形的内角和与外角和》习题
1、选择题
1.一个 四边形的三个内角分别是75°，83°，60°，则第四个角是（ ）
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．平角
2.如果一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，那么这个多边形是（ ）
A．十边形 B．九边形 C．八边形 D．七边形
3.若n边形的内角和与外角和的比为8∶2，则n为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
4.如果一个正多边形的一个内角和它相邻外角的比是3∶1，那么这个多边形是（ ）
A．正六边形 B．正八边形 C．正十边形 D．正十二边形
5.一个多边形的每一个顶点处取一个外角，这些外角中最多有钝角（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6.一个多边形的内角和比它的外角和的4倍少180°，这个多边形的边数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7.下列角度中，不能成为多边形内角和的是（ ）
A．600° B．720° C．900° D．1080°
8.在凸n（n≥3的正整数）边形的所有内角中，锐角的个数最多是（ ）
A．4 B．n C．n-3 D．3
二、填空题
1.十二边形的内角和是 度，若n边形的内角和1080°是则n=
2.四边形的内角和 度，四个内角中最多可有个 锐角
3.若四边形的四个内角之比为1∶3∶5∶6，则这个四边形各内角顺次是 度
4.每个外角都是60°的多边形是 边形
三、解答题
1.己知多边形的每个内角都是120°，求这个多边形的内角和
2.多边形的每一个内角都相等，它的一个外角等于正十边形的一个内角的，求这个多边形的边数．
3.已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC．BE与DF有怎样的位置关系？为什么？21教育网
4.如图，以五边形的每个顶点为圆心，以1为半径画圆，求圆与五边形重合的面积．
( http: / / www.21cnjy.com )
参考答案
一、选择题
1. 答案：C
解析：【解答】360°-（75°+83°+60°）=142°，故选C.
【分析】四边形的内角和等于360，据此求出第4个角的度数即可.
2. 答案：A
解析：【解答】设这个多边形是n边形，根据题意，得
（n-2） 180=360×4，
解得 n=10，即它是十边形．
故选A．21cnjy.com
【分析】直接运用多边形内角和公式即可.
3. 答案：D
解析：【解答】（n-2）×180°：360°=8：2，
解得n=10，
故答案为：10．
【分析】多边形的内角和是（n-2）×180°，多边形的内角和是360°根据n边形的内角和与外角和的比为8∶2即可求出n.21·cn·jy·com
4. 答案：B
解析：【解答】正多边形的每个内角与相邻的 ( http: / / www.21cnjy.com )外角的比是3：1,
则这个正多边形的内角的度数
=180×3/(1+3)
=135°
设这个正多边形的边数为n
180(n-2)/n=135
180n-360=135N
45n=360
n=8
这个正多边形的边数为8，故选B.www.21-cn-jy.com
【分析】正多边形的每个内角与相邻的外角的和是180°，它们的比是3：1，据此可求出内角或外角的度数，然后可求出正多边形的边数.2·1·c·n·j·y
5. 答案：C
解析：【解答】∵多边形的外角和等于360°，
∴外角中钝角最多有3个．故选C．
【分析】根据多边形的外角和等于360°分析即可.
6. 答案：C
解析：【解答】∵一个多边形的内角和比它的外 ( http: / / www.21cnjy.com )角和的4倍少180度，多边形的外角和为 360°，
∴内角和为 4×360-180=1260
则 180×(n-2)=1260
得 n=921世纪教育网版权所有
【分析】先根据多边形的外角和为 360°，求出这个多边形的内角和，然后根据多边形的内角和公式可求出多边形的边数.【来源：21·世纪·教育·网】
7. 答案：A
解析：【解答】∵多边形内角和公式为（n-2）×180，
∴多边形内角和一定是180的倍数．600不是180的倍数，故选A．
【分析】根据多边形内角和公式为（n-2）×180，可知多边形内角和一定是180的倍数．据此分析各选项即可.21·世纪*教育网
8. 答案：D
解析：【解答】∵凸n（n≥3的正整数）边形 ( http: / / www.21cnjy.com )的外角和为360°，
∴n个外角中最多有3个钝角，而每个外角和它对应的内角互补，
∴凸n（n≥3的正整数）边形的所有内角中，锐角的个数最多有3个．
故选D．www-2-1-cnjy-com
【分析】运用凸n（n≥3的 ( http: / / www.21cnjy.com )正整数）边形的外角和为360°，可知n个外角中最多有3个钝角，而每个外角和它对应的内角互补，所以锐角的个数最多有3个．2-1-c-n-j-y
二、填空题
1.答案：1800° ，8；
解析：【解答】（12-2）×180°=1800；
（n-2）×180°=1080°，解得n=8．
【分析】直接运用多边形内角和公式即可.
2. 答案：360，3；
解析：【解答】四边形的内角和是360° ( http: / / www.21cnjy.com )，一个锐角的度数小于90°，如果四个内角均是锐角，则其内角和小于360°，显然是不可能的，所以至少应有一个钝角，所以在四边形的四个内角中，最多能有3个锐角. 21*cnjy*com
【分析】一个锐角的度数小于90度, ( http: / / www.21cnjy.com )如果四个内角均是锐角，则其内角和小于360°(四边形的内角和是360°),显然是不可能的，所以至少应有一个钝角.【来源：21cnj*y.co*m】
3. 答案：24， 72，120，144；
解析：【解答】四边形的四个内角之比分别为1：3：5：6，设最小内角为x°，则其余三个内角依次为3x ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )°，5x°，6x°．则x+3x+5x+6x=360，x=24，所以四个内角依次是24°、72°、120°、144°.【出处：21教育名师】
【分析】四边形的内角和是360°，设最小内角为x，则其余三个内角依次为3x ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )，5x，6x．
据此可求出各内角的度数.
4. 答案：
解析：【解答】360°÷60°=6，故答案是6.
【分析】多边形的外角和是360°，360°÷60°即可.
三、解答题
1. 答案：1800；
解析：【解答】设这个多边形的边数为n，
则 (n-2)×180°=n×120° 解得， n=6
∴6×120°=720°
答：这个多边形的内角和为720°
【分析】设这个多边形的边数为n，直接运用多边形内角和公式即可.
2. 答案：6；
解析：【解答】正10边形的内角：(10-2)×180°÷10=144°
多边形的外角：144°×5/12=60°
多边形的内角：180°-60°=120°
正多边形的边数为n
(n-2)×180°/n=120°
(180°-120°)n=360°
n=6
【分析】运用多边形内角和公式求出正十边形的一个内角的度数，据此求出外角的度数，再根据多边形的每一个内角都相等，它的一个外角等于正十边形的一个内角的即可求出这个多边形的内角的度数，然后运用多边形内角和公式即可求出这个多边形边数.
3. 答案：BE∥DF．
解析：【解答】∵∠A=∠C=90°，
∴∠A+∠C=180°．
∴∠ABC+∠ADC=360°-180°=180°．
∵∠ABE=∠ABC，∠ADF=∠ADC，
∴∠ABE+∠ADF=（∠ABC+∠ADC）=×180°=90°．
又∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠AEB=∠ADF，
∴BE∥DF（同位角相等，两直线平行）．
【分析】运用角平分线的性质和平行线的判定定理即可.
4. 答案：1.5
解析：【解答】（5-2）×180°÷360°×12=1.5．
【分析】不能直接求出扇形的度数，用整体法圆与五边形重合部分的角度和正好是五边形的内角和．
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《多边形的内角和与外角和》教案
教学目标
一、知识与技能
1、会用多边形内角和公式与外角和进行计算.
2、 理解并掌握多边形外角和公式与外角和.
二、过程与方法
经历质疑、猜想、归纳等活动，发展学生的合情推理能力，积累数学活动的经验，在探索中学会与人合作，学会交流自己的思想和方法．www.21-cn-jy.com
三、情感态度和价值观
让学生在观察、合作、讨论、交流中感受数学转化思想和实际应用价值，同时培养学生善于发现、积极思考、合作学习、勇于创新的学习态度.2·1·c·n·j·y
教学重点：
多边形的内角和与外角和的应用.
教学难点：
探索多边形的内角和与外角和公式过程.
教学过程：
1、导入新课
出示图片：
( http: / / www.21cnjy.com )
提出问题：上图中广场中心的边缘是一个五边形，你能设法求出它的五个内角的和吗？
要想解决此问题，就要用到本节课所学的内容-----多边形的内角和与外角和
2、新课学习
（一）探索多边形的内角和
提出问题：三角形的内角和是180 ，你根据三角形的内角和，你能否求出五边形的内角和呢？
学生分组讨论，归纳总结如下：
计算过程如下：
方法1：如图1，连结AD、AC，五边形的内角和为：3×180 =540
方法2：如图2，在AB上任取点F，连FC、FD、FE， 则五边形的内角和为：
4×180-180 =540
方法3：如图3，在五边开外任取一点O，连结OA、 OB、OC、OD、OE，则五边形内角和为：4×180 -180 =540°21cnjy.com
方法4：如图4，在五边形内任取一点O，连结OA、OB、OC、OD、OE，则五边形内角和为：5×180 -360 =540° 【来源：21·世纪·教育·网】
由求五边形的内角和的过程可知，可把求多边形的内角和转化为求多个三角形的内角和.
据此完成下表：
( http: / / www.21cnjy.com )
归纳小结：从多边形的一个顶点 ( http: / / www.21cnjy.com )可以引出（n-3) 条对角线，把n 边形分成(n-2) 个三角形,从而得出：n 边形的内角和是(n-2)·180°21·cn·jy·com
定理：n边形的内角和等于(n-2)·180°
想一想：正三角形（等边三角形）、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形、正八边形的内角分别是多少度？ 21·世纪*教育网
学生自主完成，结果如下：
60 90 108 120 135
例1:已知四边形ABCD，∠A+∠C=180°，求∠B+∠D=？
学生自主完成解题过程：
解：∵ ∠A+∠B +∠C+∠D
=（4-2）×180 = 360°
∴ ∠B +∠D
=360 -（∠A+∠C）
=360 -180°
=180
(点评：四边形的一组对角互补，另一组对角也互补。)
议一议:
剪掉一张长方形纸片的一个角后,纸片还剩几个角 这个多边形的内角和是多少度 与同伴交流.
学生分组讨论，归纳结论如下：
五边形： 540 四边形：360 三角形：180
（二）探索多边形的外角和
出示图片：
提出问题：清晨，小刚沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步.
（1）小刚从一条小路转到下一条小路时，跑步方向改变的角是哪个角？在图上标出这些角．
（2）他每跑完一圈，跑步方向改变的角一共有几个？它们的和是多少？
学生仔细观察上图，分组讨论，归纳总结如下：
（1）如图：
跑步方向改变的角是：∠1、∠2、∠3、∠4、∠5.
（2）它们的和是：360.
解题过程如下：
∵ ∠1+∠EAB =180 ，
∠2+∠ABC=180 ，
∠3+∠BCD=180 ，
∠4+∠CDE=180 ，
∠5+∠DEA = 180 ，
∴ ∠1+∠EAB+∠2+∠ABC+∠3+∠BCD+
∠4+∠CDE+∠5+∠DEA=900 .
∵ 五边形的内角和为(5-2)×180 =540 ，
即 ∠EAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEA=540°，
∴ ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=900 -540 =360 ．
想一想：如果广场的形状是六边形，那么还有类似的结论吗？如果广场的形状是八边形呢？如果广场的形状是n边形呢？21世纪教育网版权所有
学生分组讨论，计算结果：
6×180 -(6-2)×180 =360
8×180 -(8-2)×180 =360
n×180 -(n-2)×180 =360
归纳小结：
多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角.
在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和.
定理：多边形的外角和等于360°
例2.一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？
学生自主完成解题过程：
解：设这个多边形是n边形， 则它的内角和为:(n-2)×180 ，外角和为360°
则根据题意，
得(n-2)×180 =3×360°
解得n=8
所以这个多边形是八边形.
三、课堂练习
1、填空题
（1）如果一个多边形的每一个外角等于30°,则这个多边形的边数是_____。
（2）一个多边形的每一个外角都是60 ，这个多边形是____边形，它的内角和为______.
（3）内角和等于外角和的多边形是________.
（4）八边形的内角和是 ；
2、一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是几边形 如果这个多边形的每个内角都相等，那么每个内角等于多少度？21教育网
拓展：
3、如图所示的模板,按规定AB,CD的延长线相交成80°
的角, 因交点不在板上, 不便测量，质检员测得∠BAE=122 ，
∠DCF=155 . 如果你是质检员,如何知道模板是否合格 为什么
四、 结论总结
1、通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
（1）n边形的内角和等于(n-2)×1800；
（2）多边形的外角和是360度；
（3）会运用多边形的内角和与外角和解决有关问题.
2、在学习多边形的有关概念时，我们使用了由特殊到一般的数学方法，并运用了类比、转化的思想方法.
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初中数学北师大版八年级下册
第六章 平行四边形
4 多边形的内角和与外角和
上图中广场中心的边缘是一个五边形，你能设法求出它的五个内角的和吗？
导入
三角形的内角和是180 ，你根据三角形的内角和，你能否求出五边形的内角和呢？
方
法
总
结
①
②
方法1：如图1，连结AD、AC，五边形的内角和为:
3×180 =540
方法2：如图2，在AB上任取点F，连FC、FD、FE，
则五边形的内角和为：4×180-180 =540
新课
方法4：如图4，在五边形内任取一点O，连结OA、
OB、OC、OD、OE，则五边形内角和为：
5×180 -360 =540°
方法3：如图3，在五边开外任取一点O，连结OA、
OB、OC、OD、OE，则五边形内角和为：
4×180 -180 =540°
④
③
新课
小组合作，完成下面的表格：
0
1
180°
1
2
2×180°
2
3
3×180°
3
4
4×180°
(n-3)
(n-2)
(n-2)×180°
新课
归纳小结：
从多边形的一个顶点可以引出（n-3) 条对角线，把n 边形分成(n-2) 个三角形,从而得出：n 边形的内角和是(n-2)·180°
定理：n边形的内角和等于(n-2)·180°
想一想：正三角形（等边三角形）、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形、正八边形的内角分别是多少度？
60 90 108 120 135
新课
例1、如图，在四边形ABCD中，已知∠A+∠C=180 ，
那么∠B与∠D有什么关系？为什么？
A
C
B
D
解：∵ ∠A+∠B +∠C+∠D
=（4-2）×180 = 360°
∴ ∠B +∠D
=360 -（∠A+∠C）
=360 -180°
=180
例1说明：如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补．
例题
议一议:
剪掉一张长方形纸片的一个角后,纸片还剩几个角 这个多边形的内角和是多少度 与同伴交流.
三角形
180
五边形
540
四边形
360
新课
清晨，小刚沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步.
新课
(1)小刚每从一条小路转到下一条小路时，跑步方向改变的角是哪个角？在图上标出这些角．
5
1
2
3
4
新课
（2）他每跑完一圈，跑步方向改变的角一共有几个？它们的和是多少？
小刚是这样思考的：如图，跑步方向改变的角分别是
∠1，∠2，∠3，∠4，∠5．
∵ ∠1+∠EAB =180 ，
∠2+∠ABC=180 ，
∠3+∠BCD=180 ，
∠4+∠CDE=180 ，
∠5+∠DEA = 180 ，
∴ ∠1+∠EAB+∠2+∠ABC+∠3+∠BCD+
∠4+∠CDE+∠5+∠DEA=900 .
∵ 五边形的内角和为(5-2)×180 =540 ，
即 ∠EAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEA=540°，
∴ ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=900 -540 =360 ．
新课
1、如果广场的形状是六边形，那么还有类似的结论吗？
2、如果广场的形状是八边形呢？
3、如果广场的形状是八边形呢？
想一想
6×180 -(6-2)×180 =360
8×180 -(8-2)×180 =360
12×180 -(12-2)×180 =360
新课
多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角.
在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和.
归纳小结：
定理：多边形的外角和等于360°
新课
例2.一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？
解：设这个多边形是n边形，
则它的内角和为:(n-2)×180 ，外角和为360°
则根据题意，
得(n-2)×180 =3×360°
解得n=8
所以这个多边形是八边形.
例题
1、填空题
（1）如果一个多边形的每一个外角等于30°,则这个多边形的边数是_____。
（2）一个多边形的每一个外角都是60 ，这个多边形是____边形，它的内角和为______.
（3）内角和等于外角和的多边形是________.
（4）八边形的内角和是 ；
12
六
四边形
720
1080°
习题
2、一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是几边形 如果这个多边形的每个内角都相等，那么每个内角等于多少度？
解：设多边形的边数为n
多边形外角和等于360
∴(n-2) 180 =2×360
解得: n=6
∴这个多边形的边数为6
由n边形内角和= (n-2) 180°
∴ 每个内角等于=720 ÷6=120
习题
3、如图所示的模板,按规定AB,CD的延长线相交成80°的角, 因交点不在板上, 不便测量，质检员测得∠BAE=122 ，∠DCF=155 . 如果你是质检员,如何知道模板是否合格 为什么
解：∵五边形内角和为540°，
∴∠G=540 -122 -155 -180
=83 ≠80°
因此这个模板不合格
拓展
1、通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
（1）n边形的内角和等于(n-2)×1800；
（2）多边形的外角和是360度；
（3）会运用多边形的内角和与外角和解决有关问题.
2、在学习多边形的有关概念时，我们使用了由特殊到一般的数学方法，并运用了类比、转化的思想方法.
小结
