新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市天山区新疆实验中学2023-2024学年高一下学期7月期中考试数学试题
1．（2024高一下·天山期中）已知复数在复平面内对应的向量为，为坐标原点，则为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】由图，，所以，
故答案为：B.
【分析】
根据复数在复平面上的表示，结合复数的模求解.
2．（2024高一下·天山期中）平面内顺次连接，，，，所组成的图形是（ ）
A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．以上都不对
【答案】B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，，
，
因为，所以⊥，
又，故，且，
所以四边形为直角梯形.
故答案为：B．
【分析】利用向量得到⊥，，且，故得到四边形为直角梯形.
3．（2024高一下·天山期中）如图，是的斜二测直观图，其中为正三角形，，则的面积是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：在直观图中，，
在三角形中，过点作⊥于点，则，，
故，
还原直观图得原图如下，
，
由得，
所以的面积为.
故答案为：D.
【分析】在直观图中求出，画出原图形，求出边长和面积.
4．（2024高一下·天山期中）已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算；共轭复数
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以，所以在复平面内对应的点位于第一象限.
故答案为：A.
【分析】借助向量的乘方运算与除法运算计算可得复数，即可得其共轭复数，即可得其在复平面内对应的点所处象限.
5．（2024高一下·天山期中）如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底B在同一平面内的两个观测点C与D，现测得，，米，在点C处测得塔顶A的仰角为，则该铁塔的高度约为（ ）．（参考数据：，，，）
A．42米 B．47米 C．38米 D．52米
【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：在中，由题意可得，
则，
，
由正弦定理可得，
在中，可得，
所以该铁塔的高度约为47米.
故答案为：B.
【分析】在中利用正弦定理求，再在中求.
6．（2024高一下·天山期中）已知向量与且则一定共线的三点是（ ）
A．A，C，D三点 B．A，B，C三点 C．A，B，D三点 D．B，C，D三点
【答案】C
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】解：A、易知，
若三点共线，则，即，无解，则A，C，D三点不共线，故A错误；
B、，若共线，则，即，无解，则A，B，C三点不共线，故B错误；
C、易知，若三点共线，则，
即，解得，即，则三点共线，故C正确；
D、，若三点共线，则，即，无解，
则三点不共线，故D错误.
故答案为：C.
【分析】利用向量的线性运算及共线定理求解判断即可.
7．（2024高一下·天山期中）将一个棱长为1的正方体放入一个圆柱内，正方体可自由转动，则该圆柱体积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】柱体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由题意知，当圆柱底面直径和高刚好等于正方体的的体对角线时体积最小，
正方体的体对角线长为
所以，此时圆柱的底面半径为，高为，
所以该圆柱体积的最小值为.
故答案为：B.
【分析】当圆柱底面直径和高刚好等于正方体的的体对角线时体积最小，然后可解.
8．（2024高一下·天山期中）我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设的三个内角所对的边分别为，，，面积为S，则“三斜求积”公式为若，，则用“三斜求积”公式求得的面积为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【知识点】正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为， 所以由正弦定理得：，所以，
因为，所以，所以，
所以的面积为.
故选：A.
【分析】由条件式和正弦定理求出，再代入条件式计算可得，再代值到“三斜求积”公式计算即可求得.
9．（2024高一下·天山期中）已知向量，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的值为
B．若，则与的夹角为锐角
C．若，则的值为
D．若，则在方向上的投影向量为
【答案】A,C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的投影向量；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：A、由，则，解得，A正确；
B、当时，有，此时与共线，B错误；
C、若，则有，解得，C正确；
D、当时，有，D错误.
故答案为：AC.
【分析】借助向量垂直的性质计算可得A；借助时，与共线可得B；借助向量平行的性质计算可得C；借助投影向量定义计算可得D.
10．（2024高一下·天山期中）下列说法正确的是（ ）
A．复数的虚部为
B．，若，则或
C．若，则的最小值为1
D．若是关于的方程的根，则
【答案】B,C,D
【知识点】复数的基本概念；复数的模；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：A、复数的虚部为，A错误；
B、，，则或，B正确；
C、，在复平面内复数对应的点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆，
是该圆上的点与点的距离，而点到原点的距离为2，因此的最小值为1，C正确；
D、由是关于的方程的根，得该方程另一根为，
因此，解得，D正确.
故答案为：BCD.
【分析】求出复数的虚部判断A；利用乘法的意义判断B；利用复数的几何意义求解判断C；求出实系数一元二次方程另一根，再利用韦达定理计算判断D.
11．（2024高一下·天山期中）在中，角的边分别为，知，，则下列判断中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，该三角形只有一解
C．周长的最小值为12 D．面积的最大值
【答案】A,D
【知识点】解三角形；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：A、，，，在中，正弦定理得，
则，A正确；
B、由正弦定理得，所以，
又因为，所以，故有两个解，B错误；
C、由余弦定理得，
即，
所以，当且仅当时等号成立，此时三角形为等边三角形，周长取得最大值，为12，C错误；
D、由选项C得，即，当且仅当时等号成立，
所以，
所以面积的最大值，D正确，
故答案为：AD.
【分析】应用正弦定理求出判断A；根据正弦定理求出，结合大边对大角，确定三角形解的个数判断B；借助于余弦定理和基本不等式求出的取值范围，从而确定出周长判断C；借助于余弦定理和基本不等式表示出面积，从而判断D.
12．（2024高一下·天山期中）在复平面内，是原点，向量对应的复数是，若点关于实轴的对称点为，则向量对应的复数是 .
【答案】
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：因为平面内，是原点，向量对应的复数是，则，
因为点关于实轴的对称点为，所以，
所以向量对应的复数为.
故答案为：.
【分析】根据向量对应的复数求得的坐标.再根据题意求得点，即可得向量对应的复数.
13．（2024高一下·天山期中）在中，，为边的中点，为的中点.相交于点.则的余弦值为 .
【答案】
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：
，，
则
，
，
，
故.
故答案为：.
【分析】借助向量的线性运算将、用、表示后，借助向量夹角公式求出与的夹角的余弦值即可得.
14．（2024高一下·天山期中）已知圆锥的侧面积为，且圆锥的侧面展开图恰好为半圆，则该圆锥外接球的表面积为 ．
【答案】
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，
则侧面积为，底面圆的周长为，解得，，
所以，
设圆锥外接球的半径为，画出轴截面图形，如图，
由勾股定理得，解得，
所以外接球的表面积为.
故答案为：.
【分析】根据圆锥的侧面积和侧面展开图是半圆，求出底面圆的半径和母线长与高，再求圆锥外接球的半径和表面积．
15．（2024高一下·天山期中）已知复数.
（1）求；
（2）在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是原点，求的大小.
【答案】（1）解：由已知得，
，
又
所以.
（2）解：依题意向量，
于是有，
，
，
因为为与的夹角，
所以，
因为，
所以.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；复数代数形式的混合运算；复数运算的几何意义
【解析】【分析】（1）计算出；
（2）得到，利用向量夹角余弦公式求出答案.
（1）由已知得，
，
又
所以
（2）依题意向量，
于是有，
，
，
因为为与的夹角，
所以，
因为，
所以
16．（2024高一下·天山期中）某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为．
（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到）；
（2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？（结果精确到1元）
【答案】（1）解：设圆柱的底面半径为，高为，圆锥的母线长为，高为，则，解得，
则，
所以“笼具”的体积．
（2）解：圆柱的侧面积，圆柱的底面积，
圆锥的侧面积为，
所以“笼具”的表面积为，
所以制造50个这样的“笼具”总造价为：元．
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用；柱体的体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）由题意求出圆柱的底面半径和圆锥的高，再根据圆柱和圆锥的体积公式，即可计算“笼具”的体积；
（2）根据圆柱的侧面积，底面积和圆锥的侧面积公式直接计算即可．
（1）设圆柱的底面半径为，高为，圆锥的母线长为，高为，
则，解得，
则，
所以“笼具”的体积．
（2）圆柱的侧面积，
圆柱的底面积，
圆锥的侧面积为，
所以“笼具”的表面积为，
所以制造50个这样的“笼具”总造价为：元．
17．（2024高一下·天山期中）如图，在中，是的中点，．
（1）若，，求；
（2）若，求的值．
【答案】（1）解：为中点，，
，.
（2）解：，，，
三点共线，，解得：.
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）根据向量线性运算和向量数量积的运算律直接求解即可；
（2）利用向量线性运算可得，根据三点共线可构造方程求得结果.
（1）为中点，，
，.
（2），，，
三点共线，，解得：.
18．（2024高一下·天山期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
（1）求角B的大小；
（2）若，D为AC边上的一点，，且______________，求△ABC的面积．
请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题．
①BD是∠ABC的平分线；②D为线段AC的中点．
（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．）
【答案】（1）解：由正弦定理知，，
∵，
代入上式得，
∵，
∴，，
∵，∴.
（2）解：若选①：
由平分得，，
∴，
即．
在中，由余弦定理得，
又，∴，
联立得，
解得，（舍去），
∴．
若选②：
因为，，
，得，
在中，由余弦定理得，
即，
联立，可得，
∴．
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)首先由正弦定理以及两角和的正弦公式整理化简，计算出cosB的取值，从而得出角B的大小。
(2) 若选①： 由已知条件结合三角形面积公式整理化简计算出a与c的关系，并代入到余弦定理由此计算出ac的取值，结合三角形面积公式计算出结果即可。 若选②： 首先由向量加减运算性质整理化简即可得出a与c的关系，并代入到余弦定理由此计算出ac的取值，结合三角形面积公式代入数值计算出结果即可。
19．（2024高一下·天山期中）解决问题
（1）如图1，正四棱锥，．
（ⅰ）求此四棱锥的外接球的体积；
（ⅱ）为上一点，求的最小值；
（2）将边长为4a的正方形铁皮用剪刀剪切后，焊接成一个正四棱锥（含底面），并保持正四棱锥的表面与正方形的面积相等，在图2中用虚线画出剪刀剪切的轨迹，并求焊接后的正四棱锥的体积．
【答案】解： （1）（ⅰ）如图4，设外接球半径为，则（ⅱ）如图5，将三角形展开到与平面在同一平面，此时，在三角形中：，所以．（2）正四棱锥的剪拼几种可以剪拼成正四棱锥的方法如图6，若以正方形各边中点连结而成的小正方形边为裁剪线，不能拼接成正四棱锥.因为沿裁剪线翻折后，原正方形各顶点重合于一点，这点即为原正方形的中心，就不存在四棱锥了．图7是以为底面边长，高为的正四棱锥，则图8，联想到勾股定理的证明，可设直角三角形的两条直角边长分别为，（），于是，所以，则构造成以为底面边长，高为的正四棱锥，．
（1）解： （ⅰ）如图4，设外接球半径为，
则
（ⅱ）如图5，将三角形展开到与平面在同一平面，此时，
在三角形中：，
所以．
（2）解： （1）（ⅰ）如图4，设外接球半径为，
则
（ⅱ）如图5，将三角形展开到与平面在同一平面，此时，
在三角形中：，
所以．
（2）正四棱锥的剪拼
几种可以剪拼成正四棱锥的方法
如图6，若以正方形各边中点连结而成的小正方形边为裁剪线，不能拼接成正四棱锥.
因为沿裁剪线翻折后，原正方形各顶点重合于一点，这点即为原正方形的中心，就不存在四棱锥了．
图7是以为底面边长，高为的正四棱锥，则
图8，联想到勾股定理的证明，可设直角三角形的两条直角边长分别为，（），于是，所以，则构造成以为底面边长，高为的正四棱锥，．
【知识点】棱锥的结构特征；球的表面积与体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）（ⅰ）容易判断球心在线段PO1上，根据勾股定理即可解得；
（ⅱ）将三角形展开到与平面在同一平面，即AB的长度；
（2）列举出所有焊接的可能性，算出每种情况的体积即可.
1 / 1新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市天山区新疆实验中学2023-2024学年高一下学期7月期中考试数学试题
1．（2024高一下·天山期中）已知复数在复平面内对应的向量为，为坐标原点，则为（ ）
A．1 B． C． D．2
2．（2024高一下·天山期中）平面内顺次连接，，，，所组成的图形是（ ）
A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．以上都不对
3．（2024高一下·天山期中）如图，是的斜二测直观图，其中为正三角形，，则的面积是（ ）
A． B． C．2 D．
4．（2024高一下·天山期中）已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2024高一下·天山期中）如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底B在同一平面内的两个观测点C与D，现测得，，米，在点C处测得塔顶A的仰角为，则该铁塔的高度约为（ ）．（参考数据：，，，）
A．42米 B．47米 C．38米 D．52米
6．（2024高一下·天山期中）已知向量与且则一定共线的三点是（ ）
A．A，C，D三点 B．A，B，C三点 C．A，B，D三点 D．B，C，D三点
7．（2024高一下·天山期中）将一个棱长为1的正方体放入一个圆柱内，正方体可自由转动，则该圆柱体积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高一下·天山期中）我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设的三个内角所对的边分别为，，，面积为S，则“三斜求积”公式为若，，则用“三斜求积”公式求得的面积为（ ）
A． B． C． D．1
9．（2024高一下·天山期中）已知向量，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的值为
B．若，则与的夹角为锐角
C．若，则的值为
D．若，则在方向上的投影向量为
10．（2024高一下·天山期中）下列说法正确的是（ ）
A．复数的虚部为
B．，若，则或
C．若，则的最小值为1
D．若是关于的方程的根，则
11．（2024高一下·天山期中）在中，角的边分别为，知，，则下列判断中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，该三角形只有一解
C．周长的最小值为12 D．面积的最大值
12．（2024高一下·天山期中）在复平面内，是原点，向量对应的复数是，若点关于实轴的对称点为，则向量对应的复数是 .
13．（2024高一下·天山期中）在中，，为边的中点，为的中点.相交于点.则的余弦值为 .
14．（2024高一下·天山期中）已知圆锥的侧面积为，且圆锥的侧面展开图恰好为半圆，则该圆锥外接球的表面积为 ．
15．（2024高一下·天山期中）已知复数.
（1）求；
（2）在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是原点，求的大小.
16．（2024高一下·天山期中）某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为．
（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到）；
（2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？（结果精确到1元）
17．（2024高一下·天山期中）如图，在中，是的中点，．
（1）若，，求；
（2）若，求的值．
18．（2024高一下·天山期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
（1）求角B的大小；
（2）若，D为AC边上的一点，，且______________，求△ABC的面积．
请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题．
①BD是∠ABC的平分线；②D为线段AC的中点．
（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．）
19．（2024高一下·天山期中）解决问题
（1）如图1，正四棱锥，．
（ⅰ）求此四棱锥的外接球的体积；
（ⅱ）为上一点，求的最小值；
（2）将边长为4a的正方形铁皮用剪刀剪切后，焊接成一个正四棱锥（含底面），并保持正四棱锥的表面与正方形的面积相等，在图2中用虚线画出剪刀剪切的轨迹，并求焊接后的正四棱锥的体积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】由图，，所以，
故答案为：B.
【分析】
根据复数在复平面上的表示，结合复数的模求解.
2．【答案】B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，，
，
因为，所以⊥，
又，故，且，
所以四边形为直角梯形.
故答案为：B．
【分析】利用向量得到⊥，，且，故得到四边形为直角梯形.
3．【答案】D
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：在直观图中，，
在三角形中，过点作⊥于点，则，，
故，
还原直观图得原图如下，
，
由得，
所以的面积为.
故答案为：D.
【分析】在直观图中求出，画出原图形，求出边长和面积.
4．【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算；共轭复数
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以，所以在复平面内对应的点位于第一象限.
故答案为：A.
【分析】借助向量的乘方运算与除法运算计算可得复数，即可得其共轭复数，即可得其在复平面内对应的点所处象限.
5．【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：在中，由题意可得，
则，
，
由正弦定理可得，
在中，可得，
所以该铁塔的高度约为47米.
故答案为：B.
【分析】在中利用正弦定理求，再在中求.
6．【答案】C
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】解：A、易知，
若三点共线，则，即，无解，则A，C，D三点不共线，故A错误；
B、，若共线，则，即，无解，则A，B，C三点不共线，故B错误；
C、易知，若三点共线，则，
即，解得，即，则三点共线，故C正确；
D、，若三点共线，则，即，无解，
则三点不共线，故D错误.
故答案为：C.
【分析】利用向量的线性运算及共线定理求解判断即可.
7．【答案】B
【知识点】柱体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由题意知，当圆柱底面直径和高刚好等于正方体的的体对角线时体积最小，
正方体的体对角线长为
所以，此时圆柱的底面半径为，高为，
所以该圆柱体积的最小值为.
故答案为：B.
【分析】当圆柱底面直径和高刚好等于正方体的的体对角线时体积最小，然后可解.
8．【答案】A
【知识点】正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为， 所以由正弦定理得：，所以，
因为，所以，所以，
所以的面积为.
故选：A.
【分析】由条件式和正弦定理求出，再代入条件式计算可得，再代值到“三斜求积”公式计算即可求得.
9．【答案】A,C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的投影向量；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：A、由，则，解得，A正确；
B、当时，有，此时与共线，B错误；
C、若，则有，解得，C正确；
D、当时，有，D错误.
故答案为：AC.
【分析】借助向量垂直的性质计算可得A；借助时，与共线可得B；借助向量平行的性质计算可得C；借助投影向量定义计算可得D.
10．【答案】B,C,D
【知识点】复数的基本概念；复数的模；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：A、复数的虚部为，A错误；
B、，，则或，B正确；
C、，在复平面内复数对应的点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆，
是该圆上的点与点的距离，而点到原点的距离为2，因此的最小值为1，C正确；
D、由是关于的方程的根，得该方程另一根为，
因此，解得，D正确.
故答案为：BCD.
【分析】求出复数的虚部判断A；利用乘法的意义判断B；利用复数的几何意义求解判断C；求出实系数一元二次方程另一根，再利用韦达定理计算判断D.
11．【答案】A,D
【知识点】解三角形；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：A、，，，在中，正弦定理得，
则，A正确；
B、由正弦定理得，所以，
又因为，所以，故有两个解，B错误；
C、由余弦定理得，
即，
所以，当且仅当时等号成立，此时三角形为等边三角形，周长取得最大值，为12，C错误；
D、由选项C得，即，当且仅当时等号成立，
所以，
所以面积的最大值，D正确，
故答案为：AD.
【分析】应用正弦定理求出判断A；根据正弦定理求出，结合大边对大角，确定三角形解的个数判断B；借助于余弦定理和基本不等式求出的取值范围，从而确定出周长判断C；借助于余弦定理和基本不等式表示出面积，从而判断D.
12．【答案】
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：因为平面内，是原点，向量对应的复数是，则，
因为点关于实轴的对称点为，所以，
所以向量对应的复数为.
故答案为：.
【分析】根据向量对应的复数求得的坐标.再根据题意求得点，即可得向量对应的复数.
13．【答案】
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：
，，
则
，
，
，
故.
故答案为：.
【分析】借助向量的线性运算将、用、表示后，借助向量夹角公式求出与的夹角的余弦值即可得.
14．【答案】
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，
则侧面积为，底面圆的周长为，解得，，
所以，
设圆锥外接球的半径为，画出轴截面图形，如图，
由勾股定理得，解得，
所以外接球的表面积为.
故答案为：.
【分析】根据圆锥的侧面积和侧面展开图是半圆，求出底面圆的半径和母线长与高，再求圆锥外接球的半径和表面积．
15．【答案】（1）解：由已知得，
，
又
所以.
（2）解：依题意向量，
于是有，
，
，
因为为与的夹角，
所以，
因为，
所以.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；复数代数形式的混合运算；复数运算的几何意义
【解析】【分析】（1）计算出；
（2）得到，利用向量夹角余弦公式求出答案.
（1）由已知得，
，
又
所以
（2）依题意向量，
于是有，
，
，
因为为与的夹角，
所以，
因为，
所以
16．【答案】（1）解：设圆柱的底面半径为，高为，圆锥的母线长为，高为，则，解得，
则，
所以“笼具”的体积．
（2）解：圆柱的侧面积，圆柱的底面积，
圆锥的侧面积为，
所以“笼具”的表面积为，
所以制造50个这样的“笼具”总造价为：元．
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用；柱体的体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）由题意求出圆柱的底面半径和圆锥的高，再根据圆柱和圆锥的体积公式，即可计算“笼具”的体积；
（2）根据圆柱的侧面积，底面积和圆锥的侧面积公式直接计算即可．
（1）设圆柱的底面半径为，高为，圆锥的母线长为，高为，
则，解得，
则，
所以“笼具”的体积．
（2）圆柱的侧面积，
圆柱的底面积，
圆锥的侧面积为，
所以“笼具”的表面积为，
所以制造50个这样的“笼具”总造价为：元．
17．【答案】（1）解：为中点，，
，.
（2）解：，，，
三点共线，，解得：.
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）根据向量线性运算和向量数量积的运算律直接求解即可；
（2）利用向量线性运算可得，根据三点共线可构造方程求得结果.
（1）为中点，，
，.
（2），，，
三点共线，，解得：.
18．【答案】（1）解：由正弦定理知，，
∵，
代入上式得，
∵，
∴，，
∵，∴.
（2）解：若选①：
由平分得，，
∴，
即．
在中，由余弦定理得，
又，∴，
联立得，
解得，（舍去），
∴．
若选②：
因为，，
，得，
在中，由余弦定理得，
即，
联立，可得，
∴．
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)首先由正弦定理以及两角和的正弦公式整理化简，计算出cosB的取值，从而得出角B的大小。
(2) 若选①： 由已知条件结合三角形面积公式整理化简计算出a与c的关系，并代入到余弦定理由此计算出ac的取值，结合三角形面积公式计算出结果即可。 若选②： 首先由向量加减运算性质整理化简即可得出a与c的关系，并代入到余弦定理由此计算出ac的取值，结合三角形面积公式代入数值计算出结果即可。
19．【答案】解： （1）（ⅰ）如图4，设外接球半径为，则（ⅱ）如图5，将三角形展开到与平面在同一平面，此时，在三角形中：，所以．（2）正四棱锥的剪拼几种可以剪拼成正四棱锥的方法如图6，若以正方形各边中点连结而成的小正方形边为裁剪线，不能拼接成正四棱锥.因为沿裁剪线翻折后，原正方形各顶点重合于一点，这点即为原正方形的中心，就不存在四棱锥了．图7是以为底面边长，高为的正四棱锥，则图8，联想到勾股定理的证明，可设直角三角形的两条直角边长分别为，（），于是，所以，则构造成以为底面边长，高为的正四棱锥，．
（1）解： （ⅰ）如图4，设外接球半径为，
则
（ⅱ）如图5，将三角形展开到与平面在同一平面，此时，
在三角形中：，
所以．
（2）解： （1）（ⅰ）如图4，设外接球半径为，
则
（ⅱ）如图5，将三角形展开到与平面在同一平面，此时，
在三角形中：，
所以．
（2）正四棱锥的剪拼
几种可以剪拼成正四棱锥的方法
如图6，若以正方形各边中点连结而成的小正方形边为裁剪线，不能拼接成正四棱锥.
因为沿裁剪线翻折后，原正方形各顶点重合于一点，这点即为原正方形的中心，就不存在四棱锥了．
图7是以为底面边长，高为的正四棱锥，则
图8，联想到勾股定理的证明，可设直角三角形的两条直角边长分别为，（），于是，所以，则构造成以为底面边长，高为的正四棱锥，．
【知识点】棱锥的结构特征；球的表面积与体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）（ⅰ）容易判断球心在线段PO1上，根据勾股定理即可解得；
（ⅱ）将三角形展开到与平面在同一平面，即AB的长度；
（2）列举出所有焊接的可能性，算出每种情况的体积即可.
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