上海市上海外国语大学附属外国语学校东校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
1．（2024高一下·上海市期中）函数的最小正周期为 ．
【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数y=Atan（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】函数的最小正周期.
故答案为：.
【分析】
根据正切型函数的周期公式运算求解.
2．（2024高一下·上海市期中）若，，成等比数列，则 .
【答案】
【知识点】等比中项
【解析】【解答】由题设，，可得.
故答案为：.
【分析】
由等比中项的性质列方程求值即可.
3．（2024高一下·上海市期中）已知数列中，，，则通项公式 ．
【答案】
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：因为，所以，
因为，
所以，
所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以.
故答案为：..
【分析】
根据题意可得数列是以1为首项，为公比的等比数列，根据等比数列通项公式可求出数列的通项，即可求解.
4．（2024高一下·上海市期中）等差数列中，，若，则 .
【答案】682
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列概念与表示；等比数列的前n项和
【解析】【解答】根据题意，设等差数列的公差为，
若，则有，解得，
故，
又由，则，
而，所以，
故得数列是首项，公比为4的等比数列，
故.
故答案为：682.
【分析】
利用等差数列的求和公式、通项公式，计算基本量得到，进而求出，用等比数列的定义判定其为等比数列，再利用等比数列求和公式，即可求解.
5．（2024高一下·上海市期中）已知等比数列的前项和，则 .
【答案】160
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】根据题意，等比数列的前项和，
当时，，
有，
，
则有，解得，
故，
故.
故答案为：160.
【分析】
利用通项公式和前项和的关系求出参数，再代值求解即可.
6．（2024高一下·上海市期中）方程的实数解的个数为 个.
【答案】5
【知识点】对数函数的图象与性质；正弦函数的图象；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】方程的实数解的个数，
即为函数与图象交点个数，
作出两函数的图象，如图所示：
由此可得两函数共有5个交点，
所以方程的实数解的个数为5.
故答案为：5.
【分析】
将零点问题转化为函数交点问题，作出函数图象，求出交点个数即可.
7．（2024高一下·上海市期中）若将函数的图象向左平移个单位长度，则平移后得到的函数图象的解析式为 ．
【答案】
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】将函数的图象向左平移个单位后所得到的函数图象对应的解析式为：．
故答案为：．
【分析】
利用左加右减的原则，直接推出平移后的函数解析式即可．
8．（2024高一下·上海市期中）若等差数列 满足 ，则当 时， 的前 项和最大．
【答案】8
【知识点】数列的函数特性；等差数列的性质
【解析】【解答】由等差数列的性质， ， ，又因为 ，所以 ，所以 ，所以 ， ，故数列 的前8项最大，
故答案为：8。
【分析】利用等差数列的性质结合已知条件，从而推出 和 ，进而利用求和的定义推出 ， ，从而得出当n=8时，数列 的前 项和最大 。
9．（2024高一下·上海市期中）如图是一块半径为1的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形、、……、…，记纸板的面积为，则 .
【答案】
【知识点】等比数列的前n项和；数列的极限
【解析】【解答】解：每次剪掉的半圆形面积构成一个以为首项，以为公比的等比数列，
则
故：
故答案为：.
【分析】
由已知每次剪掉的半圆形面积构成一个等比数列，根据已知不难求出该数列的首项和公比，代入等比数列前n项和公式，易得剪去的所有半圆的面积和，从而得到最后纸板的面积.
10．（2024高一下·上海市期中）已知函数在区间上有且仅有两个零点，则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】求解有，即或，解得或.又在区间上有且仅有两个零点，因为在正半轴的零点依次为，，，故，解得
故答案为：.
【分析】
根据正弦函数的性质求解的零点，再根据零点与区间端点的位置关系列式求解范围即可
11．（2024高一下·上海市期中）数列满足，则 ．
【答案】
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和
【解析】【解答】 ，即数列是公比为2的等比数列，
首先，所以， ，
而
，两式相减得
，解得： ，
所以原式等于 ，
故答案为：.
【分析】
先证明数列是公比为2的等比数列，根据等比数列通项公式求出通项，再利用
错位相减法求和即可.
12．（2024高一下·上海市期中）将正整数分解成两个正整数的积，即，当两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如，其中即为20的最优分解，当是的最优分解时，定义，则数列的前2023项和为 .
【答案】
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】当时，，则，
当时，，则，
故数列的前2023项和为
.
故答案为：.
【分析】
分为奇数和偶数，按照最优分解定义，求数列的通项，再求和即可.
13．（2024高一下·上海市期中）若数列的通项公式为，则这个数列是一个（ ）
A．以2为首项，以3为公比的等比数列
B．以2为首项，以为公比的等比数列
C．以为首项，以3为公比的等比数列
D．以为首项，以为公比的等比数列
【答案】D
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式
【解析】【解答】根据题意，数列的通项公式为，
当时，有，
当时，，
故数列是以为首项，以为公比的等比数列.
故答案为：D.
【分析】
利用等比数列的性质和定义求出首项和公比即可.
14．（2024高一下·上海市期中）下面关于等差 等比数列的说法正确的是（ ）
A．前项和的数列是等差数列
B．证明数列是等比数列时，只需证明
C．若是等差数列，则也一定成等差数列
D．
【答案】C
【知识点】等差数列概念与表示；等比数列概念与表示；数列的求和
【解析】【解答】根据题意，依次分析选项：
对于A，数列的前项和，
则有，数列不是等差数列，A错误；
对于B，证明数列是等比数列时，还需要考虑是否为，B错误；
对于C，由等差数列的性质，若是等差数列，则也一定成等差数列，C正确；
对于D，当时，该等式不成立，D错误.
故答案为：C.
【分析】
根据等比数列、等差数列的相关性质逐一判断各个选项即可求解.
15．（2024高一下·上海市期中）已知等差数列与等比数列的首项均为1，公比且，若集合，则集合元素最多有（ ）个.
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】指数函数单调性的应用；等差数列的通项公式
【解析】【解答】等差数列与等比数列的首项均为1，公比且，
可得，
由得，显然当为一个解；
当时，点在一条上升的直线上，
点在一条上升的指数曲线上，这两条线最多有2个交点，
当时，点在一条下降的直线上，
点在一条下降的指数曲线上，这两条线最多有2个交点，
当或时，直线与曲线只有1个交点，
它们最多有两个交点，即集合元素最多有2个.
故答案为：A.
【分析】
根据一次函数和指数函数的单调性研究方程，根据解的情况确定选项即可.
16．（2024高一下·上海市期中）设数列为：，其中第1项为，接下来2项均为，再接下来4项均为，再接下来8项均为，…，以此类推，记，现有如下命题：①存在正整数，使得；②数列是严格减数列.下列判断正确的是（ ）
A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题
【答案】D
【知识点】数列与函数的综合
【解析】【解答】解：①、由题意得：当时，
其中，，
则不存在正整数，使得，故①为假命题；
②、当时，
，
所以，
当时；
，
则数列是严格减数列，故②为真命题.
故答案为：D.
【分析】由题规律找出的表达式 ，利用不等式的性质即可判断①；对 进行分类讨论写出，从而求出 ，利用即可判断②.
17．（2024高一下·上海市期中）已知等差数列的公差不为零，，且，，成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）计算．
【答案】（1）解：设等差数列的公差为，
则，．
因为，，成等比数列，所以，
即，
代入，解得．
所以，
所以的通项公式为；
（2）解：因为，
所以数列（正整数）是以为首项，为公差的等差数列，
所以.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比中项
【解析】【分析】（1）设出公差，利用，，成等比数列 ，列出方程，求出公差，进而写成通项公式；
（2）在（1）的基础上，得到，即数列（正整数）为等差数列，利用等差数列求和公式进行求解即可.
（1）设等差数列的公差为，
则，．
因为，，成等比数列，所以，
即，
代入，解得．
所以，
所以的通项公式为；
（2）因为，
所以数列（正整数）是以为首项，为公差的等差数列，
所以.
18．（2024高一下·上海市期中）已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）若，求的值域.
【答案】（1）解：函数，
令，
可得，
故函数的单调递增区间为：；
（2）解：由，可得，
结合正弦函数的性质可得，当，即时，有最小值，
当，即时，有最大值2，
即函数的值域为.
【知识点】正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据正弦函数单调性，由即可求出的单调递增区间；
（2）由求出的范围，再结合正弦函数的性质可求出其值域.
（1）函数，
令，
可得，
故函数的单调递增区间为：；
（2）由，可得，
结合正弦函数的性质可得，当，即时，有最小值，
当，即时，有最大值2，
即函数的值域为.
19．（2024高一下·上海市期中）已知函．
（1）当的最小正周期为时，求的值；
（2）当时，设的内角A．B．C对应的边分别为a、b、c，已知，且，，求的面积．
【答案】解：（1）函数.∴
f（x）＝3×＝sin（2ωx+）+，
当f（x）的最小正周期为2π时，
＝2π，解得ω＝；
（2）当ω＝1时，，
∴sin（2×）+＝3，又A为三角形的内角，
解得A＝.
且，
由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bccosA，
∴c2﹣6c+8＝0，
解得c＝2或4.
∴△ABC的面积S＝bcsinA＝3或6.
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用倍角公式、和差公式可得f（x）＝sin（2ωx+）+，根据f（x）的最小正周期为2π，可得ω.
（2）当ω＝1时，，代入可得sin（2×）+＝3，解得角A，利用余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bccosA，解得c，即可得出△ABC的面积S.
20．（2024高一下·上海市期中）设是数列的前项和，且是和2的等差中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）记；
①求数列的前项和；
②设，是否存在常数，使对恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）解：是和2的等差中项，
①，
当时，，
当时，②，
①-②得：，
，
数列是首项为2，公比为2的等比数列，
.
（2）①
，
②由①可得：，
，
由于单调递增，
可得，
即，
则存在常数，使对恒成立，
可得，即的最小值为.
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和；通项与前n项和的关系；等差中项
【解析】【分析】（1）由等差中项的性质可得，再由可证得数列是首项为2，公比为2的等比数列，即可求出数列的通项公式；
（2）①由等比数列的前项和公式求解即可；
②由裂项相消法可求出，再结合的单调性即可求出答案.
（1）是和2的等差中项，
①，
当时，，
当时，②，
①-②得：，
，
数列是首项为2，公比为2的等比数列，
.
（2）①
，
②由①可得：，
，
由于单调递增，
可得，
即，
则存在常数，使对恒成立，
可得，即的最小值为.
21．（2024高一下·上海市期中）对于无穷数列的某一项，若存在，有成立，则称具有性质.
（1）设，若对任意的，都具有性质，求的最小值；
（2）设等差数列的首项，公差为，前项和为，若对任意的数列中的项都具有性质，求实数的取值范围；
（3）设数列的首项，当时，存在满足，且此数列中恰有一项不具有性质，求此数列的前项和的最大值和最小值以及取得最值时对应的的值.
【答案】解：（1）经计算知：，此时；，此时；
当时，，此时.
综上可知，，即对任意的，都具有性质时，的最小值为；
（2）由已知可得，，若对任意的，数列中的都具有性质，则对任意的恒成立，
即，整理得：.
因为，则，所以.
因此，实数的取值范围是；
（3）对于，，
因为、、、都具有性质，所以，
而当时，存在满足，
所以、、、依次为：、、、、，
由已知不具有性质，故的可能值为、、、，
又因为、、、都具有性质，所以，
欲使此数列的前项和最大，、、、依次为：、、、，
欲使此数列的前项和最小，、、、依次为：、、、，
下面分别计算前项和：，
当时，此数列的前项和最大，最大值为；
.
当且仅当时，即时等号成立，但，
这时取或时，此数列的前项和最小，最小值为.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）计算得出、、，求得每种情况下对应的最小值，进而可得出结果；
（2）求得，根据题意得出对任意的恒成立，可得出，由此可得出的取值范围；
（3）根据题意得出，根据存在满足，得出、、、依次为：、、、、，进一步得知：欲使此数列的前项和最大，、、、依次为：、、、，欲使此数列的前项和最小，、、、依次为：、、、，分别计算出两种情况下数列的前项和，根据表达式可求得前项和分别取最大值或最小值时对应的值.
1 / 1上海市上海外国语大学附属外国语学校东校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
1．（2024高一下·上海市期中）函数的最小正周期为 ．
2．（2024高一下·上海市期中）若，，成等比数列，则 .
3．（2024高一下·上海市期中）已知数列中，，，则通项公式 ．
4．（2024高一下·上海市期中）等差数列中，，若，则 .
5．（2024高一下·上海市期中）已知等比数列的前项和，则 .
6．（2024高一下·上海市期中）方程的实数解的个数为 个.
7．（2024高一下·上海市期中）若将函数的图象向左平移个单位长度，则平移后得到的函数图象的解析式为 ．
8．（2024高一下·上海市期中）若等差数列 满足 ，则当 时， 的前 项和最大．
9．（2024高一下·上海市期中）如图是一块半径为1的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形、、……、…，记纸板的面积为，则 .
10．（2024高一下·上海市期中）已知函数在区间上有且仅有两个零点，则的取值范围是 .
11．（2024高一下·上海市期中）数列满足，则 ．
12．（2024高一下·上海市期中）将正整数分解成两个正整数的积，即，当两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如，其中即为20的最优分解，当是的最优分解时，定义，则数列的前2023项和为 .
13．（2024高一下·上海市期中）若数列的通项公式为，则这个数列是一个（ ）
A．以2为首项，以3为公比的等比数列
B．以2为首项，以为公比的等比数列
C．以为首项，以3为公比的等比数列
D．以为首项，以为公比的等比数列
14．（2024高一下·上海市期中）下面关于等差 等比数列的说法正确的是（ ）
A．前项和的数列是等差数列
B．证明数列是等比数列时，只需证明
C．若是等差数列，则也一定成等差数列
D．
15．（2024高一下·上海市期中）已知等差数列与等比数列的首项均为1，公比且，若集合，则集合元素最多有（ ）个.
A．2 B．3 C．4 D．5
16．（2024高一下·上海市期中）设数列为：，其中第1项为，接下来2项均为，再接下来4项均为，再接下来8项均为，…，以此类推，记，现有如下命题：①存在正整数，使得；②数列是严格减数列.下列判断正确的是（ ）
A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题
17．（2024高一下·上海市期中）已知等差数列的公差不为零，，且，，成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）计算．
18．（2024高一下·上海市期中）已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）若，求的值域.
19．（2024高一下·上海市期中）已知函．
（1）当的最小正周期为时，求的值；
（2）当时，设的内角A．B．C对应的边分别为a、b、c，已知，且，，求的面积．
20．（2024高一下·上海市期中）设是数列的前项和，且是和2的等差中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）记；
①求数列的前项和；
②设，是否存在常数，使对恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由.
21．（2024高一下·上海市期中）对于无穷数列的某一项，若存在，有成立，则称具有性质.
（1）设，若对任意的，都具有性质，求的最小值；
（2）设等差数列的首项，公差为，前项和为，若对任意的数列中的项都具有性质，求实数的取值范围；
（3）设数列的首项，当时，存在满足，且此数列中恰有一项不具有性质，求此数列的前项和的最大值和最小值以及取得最值时对应的的值.
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数y=Atan（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】函数的最小正周期.
故答案为：.
【分析】
根据正切型函数的周期公式运算求解.
2．【答案】
【知识点】等比中项
【解析】【解答】由题设，，可得.
故答案为：.
【分析】
由等比中项的性质列方程求值即可.
3．【答案】
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：因为，所以，
因为，
所以，
所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以.
故答案为：..
【分析】
根据题意可得数列是以1为首项，为公比的等比数列，根据等比数列通项公式可求出数列的通项，即可求解.
4．【答案】682
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列概念与表示；等比数列的前n项和
【解析】【解答】根据题意，设等差数列的公差为，
若，则有，解得，
故，
又由，则，
而，所以，
故得数列是首项，公比为4的等比数列，
故.
故答案为：682.
【分析】
利用等差数列的求和公式、通项公式，计算基本量得到，进而求出，用等比数列的定义判定其为等比数列，再利用等比数列求和公式，即可求解.
5．【答案】160
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】根据题意，等比数列的前项和，
当时，，
有，
，
则有，解得，
故，
故.
故答案为：160.
【分析】
利用通项公式和前项和的关系求出参数，再代值求解即可.
6．【答案】5
【知识点】对数函数的图象与性质；正弦函数的图象；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】方程的实数解的个数，
即为函数与图象交点个数，
作出两函数的图象，如图所示：
由此可得两函数共有5个交点，
所以方程的实数解的个数为5.
故答案为：5.
【分析】
将零点问题转化为函数交点问题，作出函数图象，求出交点个数即可.
7．【答案】
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】将函数的图象向左平移个单位后所得到的函数图象对应的解析式为：．
故答案为：．
【分析】
利用左加右减的原则，直接推出平移后的函数解析式即可．
8．【答案】8
【知识点】数列的函数特性；等差数列的性质
【解析】【解答】由等差数列的性质， ， ，又因为 ，所以 ，所以 ，所以 ， ，故数列 的前8项最大，
故答案为：8。
【分析】利用等差数列的性质结合已知条件，从而推出 和 ，进而利用求和的定义推出 ， ，从而得出当n=8时，数列 的前 项和最大 。
9．【答案】
【知识点】等比数列的前n项和；数列的极限
【解析】【解答】解：每次剪掉的半圆形面积构成一个以为首项，以为公比的等比数列，
则
故：
故答案为：.
【分析】
由已知每次剪掉的半圆形面积构成一个等比数列，根据已知不难求出该数列的首项和公比，代入等比数列前n项和公式，易得剪去的所有半圆的面积和，从而得到最后纸板的面积.
10．【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】求解有，即或，解得或.又在区间上有且仅有两个零点，因为在正半轴的零点依次为，，，故，解得
故答案为：.
【分析】
根据正弦函数的性质求解的零点，再根据零点与区间端点的位置关系列式求解范围即可
11．【答案】
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和
【解析】【解答】 ，即数列是公比为2的等比数列，
首先，所以， ，
而
，两式相减得
，解得： ，
所以原式等于 ，
故答案为：.
【分析】
先证明数列是公比为2的等比数列，根据等比数列通项公式求出通项，再利用
错位相减法求和即可.
12．【答案】
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】当时，，则，
当时，，则，
故数列的前2023项和为
.
故答案为：.
【分析】
分为奇数和偶数，按照最优分解定义，求数列的通项，再求和即可.
13．【答案】D
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式
【解析】【解答】根据题意，数列的通项公式为，
当时，有，
当时，，
故数列是以为首项，以为公比的等比数列.
故答案为：D.
【分析】
利用等比数列的性质和定义求出首项和公比即可.
14．【答案】C
【知识点】等差数列概念与表示；等比数列概念与表示；数列的求和
【解析】【解答】根据题意，依次分析选项：
对于A，数列的前项和，
则有，数列不是等差数列，A错误；
对于B，证明数列是等比数列时，还需要考虑是否为，B错误；
对于C，由等差数列的性质，若是等差数列，则也一定成等差数列，C正确；
对于D，当时，该等式不成立，D错误.
故答案为：C.
【分析】
根据等比数列、等差数列的相关性质逐一判断各个选项即可求解.
15．【答案】A
【知识点】指数函数单调性的应用；等差数列的通项公式
【解析】【解答】等差数列与等比数列的首项均为1，公比且，
可得，
由得，显然当为一个解；
当时，点在一条上升的直线上，
点在一条上升的指数曲线上，这两条线最多有2个交点，
当时，点在一条下降的直线上，
点在一条下降的指数曲线上，这两条线最多有2个交点，
当或时，直线与曲线只有1个交点，
它们最多有两个交点，即集合元素最多有2个.
故答案为：A.
【分析】
根据一次函数和指数函数的单调性研究方程，根据解的情况确定选项即可.
16．【答案】D
【知识点】数列与函数的综合
【解析】【解答】解：①、由题意得：当时，
其中，，
则不存在正整数，使得，故①为假命题；
②、当时，
，
所以，
当时；
，
则数列是严格减数列，故②为真命题.
故答案为：D.
【分析】由题规律找出的表达式 ，利用不等式的性质即可判断①；对 进行分类讨论写出，从而求出 ，利用即可判断②.
17．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，
则，．
因为，，成等比数列，所以，
即，
代入，解得．
所以，
所以的通项公式为；
（2）解：因为，
所以数列（正整数）是以为首项，为公差的等差数列，
所以.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比中项
【解析】【分析】（1）设出公差，利用，，成等比数列 ，列出方程，求出公差，进而写成通项公式；
（2）在（1）的基础上，得到，即数列（正整数）为等差数列，利用等差数列求和公式进行求解即可.
（1）设等差数列的公差为，
则，．
因为，，成等比数列，所以，
即，
代入，解得．
所以，
所以的通项公式为；
（2）因为，
所以数列（正整数）是以为首项，为公差的等差数列，
所以.
18．【答案】（1）解：函数，
令，
可得，
故函数的单调递增区间为：；
（2）解：由，可得，
结合正弦函数的性质可得，当，即时，有最小值，
当，即时，有最大值2，
即函数的值域为.
【知识点】正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据正弦函数单调性，由即可求出的单调递增区间；
（2）由求出的范围，再结合正弦函数的性质可求出其值域.
（1）函数，
令，
可得，
故函数的单调递增区间为：；
（2）由，可得，
结合正弦函数的性质可得，当，即时，有最小值，
当，即时，有最大值2，
即函数的值域为.
19．【答案】解：（1）函数.∴
f（x）＝3×＝sin（2ωx+）+，
当f（x）的最小正周期为2π时，
＝2π，解得ω＝；
（2）当ω＝1时，，
∴sin（2×）+＝3，又A为三角形的内角，
解得A＝.
且，
由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bccosA，
∴c2﹣6c+8＝0，
解得c＝2或4.
∴△ABC的面积S＝bcsinA＝3或6.
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用倍角公式、和差公式可得f（x）＝sin（2ωx+）+，根据f（x）的最小正周期为2π，可得ω.
（2）当ω＝1时，，代入可得sin（2×）+＝3，解得角A，利用余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bccosA，解得c，即可得出△ABC的面积S.
20．【答案】（1）解：是和2的等差中项，
①，
当时，，
当时，②，
①-②得：，
，
数列是首项为2，公比为2的等比数列，
.
（2）①
，
②由①可得：，
，
由于单调递增，
可得，
即，
则存在常数，使对恒成立，
可得，即的最小值为.
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和；通项与前n项和的关系；等差中项
【解析】【分析】（1）由等差中项的性质可得，再由可证得数列是首项为2，公比为2的等比数列，即可求出数列的通项公式；
（2）①由等比数列的前项和公式求解即可；
②由裂项相消法可求出，再结合的单调性即可求出答案.
（1）是和2的等差中项，
①，
当时，，
当时，②，
①-②得：，
，
数列是首项为2，公比为2的等比数列，
.
（2）①
，
②由①可得：，
，
由于单调递增，
可得，
即，
则存在常数，使对恒成立，
可得，即的最小值为.
21．【答案】解：（1）经计算知：，此时；，此时；
当时，，此时.
综上可知，，即对任意的，都具有性质时，的最小值为；
（2）由已知可得，，若对任意的，数列中的都具有性质，则对任意的恒成立，
即，整理得：.
因为，则，所以.
因此，实数的取值范围是；
（3）对于，，
因为、、、都具有性质，所以，
而当时，存在满足，
所以、、、依次为：、、、、，
由已知不具有性质，故的可能值为、、、，
又因为、、、都具有性质，所以，
欲使此数列的前项和最大，、、、依次为：、、、，
欲使此数列的前项和最小，、、、依次为：、、、，
下面分别计算前项和：，
当时，此数列的前项和最大，最大值为；
.
当且仅当时，即时等号成立，但，
这时取或时，此数列的前项和最小，最小值为.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）计算得出、、，求得每种情况下对应的最小值，进而可得出结果；
（2）求得，根据题意得出对任意的恒成立，可得出，由此可得出的取值范围；
（3）根据题意得出，根据存在满足，得出、、、依次为：、、、、，进一步得知：欲使此数列的前项和最大，、、、依次为：、、、，欲使此数列的前项和最小，、、、依次为：、、、，分别计算出两种情况下数列的前项和，根据表达式可求得前项和分别取最大值或最小值时对应的值.
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