吉林省白山市第七中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
1．（2024高一下·白山期中）设点O是正三角形ABC的中心，则向量，，是（ ）
A．相同的向量 B．模相等的向量
C．共线向量 D．共起点的向量
【答案】B
【知识点】向量的模；共线（平行）向量；相等向量
【解析】【解答】解：因为是正的中心，所以向量，，的模相等，但方向不同，不是相等、共线向量， 向量，， 起点不同.
故答案为：B.
【分析】根据正三角形的中心性质，结合向量的模长判断即可.
2．（2024高一下·白山期中）已知复数满足（是虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数代数形式的混合运算；共轭复数
【解析】【解答】解：设，则
因为，所以
解得，所以.
故答案为：A.
【分析】设，利用共轭复数可得，根据对应系数对应相等即可求解.
3．（2024高一下·白山期中）若直线平面，则下列说法正确的是（ ）
A．l仅垂直平面内的一条直线
B．l仅垂直平面内与l相交的直线
C．l仅垂直平面内的两条直线
D．l与平面内的任意一条直线垂直
【答案】D
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：若直线平面，则l垂直于平面内的任意一条直线．
故答案为：D.
【分析】根据线面垂直的定义判断即可.
4．（2024高一下·白山期中）工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格.工人师傅运用的数学原理是（ ）
A．两条相交直线确定一个平面
B．两条平行直线确定一个平面
C．四点确定一个平面
D．直线及直线外一点确定一个平面
【答案】A
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【解答】由于连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格，
所以工人师傅运用的数学原理是“两条相交直线确定一个平面”.
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合平面的确定方法，进而找出正确的选项。
5．（2024高一下·白山期中）在中，内角的对边分别为.已知，则此三角形（ ）
A．无解 B．有一解
C．有两解 D．解的个数不确定
【答案】C
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】解：，由正弦定理，可得，
解得，因为，所以，则或，即三角形有两解.
故答案为：C.
【分析】由题意，利用正弦定理解出再根据，得到，求得角，即可判断三角形解的个数.
6．（2024高一下·白山期中）已知向量，，且，，，则（ ）
A．8 B．9 C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】因为，所以，
所以
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积求向量的模的公式和数量积的运算法则和数量积的定义，进而得出的值。
7．（2024高一下·白山期中）在中，角的对边分别为，且，则为（ ）
A．等腰三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【知识点】余弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：在中，由余弦定理得，，，
因为，
所以，
即，即，
又因为，
所以，
所以为等腰三角形.
故答案为：A.
【分析】l利用余弦定理进行角化边可得即可求解.
8．（2024高一下·白山期中）如图所示，在正方体中，E，F分别为，AB上的中点，且，P点是正方形内的动点，若平面，则P点的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定
【解析】【解答】解：取的中点，的中点为，连接，如图所示：
易知∥，，且∥，，
则∥，且，即四边形是平行四边形，∥，
且平面，平面，可得∥平面，
同理可得：∥平面，
且，平面，可知平面∥平面，
又因为P点是正方形内的动点，平面，所以点在线段上，
由题意可知：，则，即P点的轨迹长度为.
故答案为：C.
【分析】取的中点，的中点为，连接，可得四边形是平行四边形，得∥，同理可得∥，推出面面平行，据此求P点的轨迹长度即可.
9．（2024高一下·白山期中）下列命题错误的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
【答案】C,D
【知识点】虚数单位i及其性质；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：，故A对，因为，故，故B对，
虚数不能比较大小，故C错，设仍为虚数，不能与0比较大小，故D错.
故答案为：C、D.
【分析】
根据复数的运算法则，逐一分析即可.
10．（2024高一下·白山期中）已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题中是真命题的是（ ）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果，那么
D．如果，那么与所成的角和与所成的角相等
【答案】B,C,D
【知识点】平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：已知如图所示：
A、可运用长方体举反例证明其错误，如图，不妨设为直线为直线，
四边形所在的平面为，四边形所在的平面为，
显然这些直线和平面满足题目条件，但不成立，故A错选项误；
B、证明如下：设过直线的某平面与平面相交于直线，
则，由可得，从而；故B选项正确
C、由平面与平面平行的定义知，如果，那么故C选项正确；
D、由平行的传递性及线面角的定义知，如果，那么与所成的角和与所成的角相等，故D正确．
故答案为：BCD．
【分析】运用长方体举反例证明即可判断A；利用直线与平面平行的性质定理得到线线平行，再得到线线垂直即可判断B；由平面与平面平行的性质定理判断C；由平行的传递性及线面角的定义判断D.
11．（2024高一下·白山期中）如图为清代官员夏日所用官帽 凉帽的形制，无檐，形如圆锥，俗称喇叭式．材料多为藤 竹制成．外裹绫罗，多用白色，也有用湖色 黄色等．不同型号的官帽大小经常用帽坡长（母线长）和帽底宽（底面圆的直径长）两个指标进行衡量．现有一个官帽，帽坡长，帽底宽，关于此官帽，下面说法正确的是（ ）
A．官帽轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为
B．过官帽顶点和官帽侧面上任意两条母线的截面三角形的最大面积为
C．若此官帽顶点和底面圆上所有点都在同一个球上，则该球的表面积为
D．此官帽放在平面上，可以盖住的球（保持官帽不变形）的最大半径为
【答案】A,C,D
【知识点】球内接多面体；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】已知如图所示：
A、，，，，，故选项正确；
B、，所以最大面积应为，故选项错误；
C、设外接球的球心为，则，，，可见球心在延长线上，，故C选项正确；
D、设是内切球的球心，则，，，得到最大半径为，故选项正确．
故答案为：.
【分析】作圆锥的轴截面图，通过题中数据即可判断可A；截面三角形的面积，再利用正弦函数的值域即可判断B；设外接球的球心为，则，，再计算即可判断C；设是内切球的球心，则，可求得，再解三角形即可判断D.
12．（2024高一下·白山期中）已知是虚数单位，复数z满足，则复数z的模为 .
【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：由，可得，即，
即，故.
故答案为：.
【分析】由化简求出，再根据复数的模长公式求解即可.
13．（2024高一下·白山期中）已知平面向量满足，且，则向量与的夹角为 .
【答案】150°
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：由，且， 可得，
则，即，
则，因为，所以向量与的夹角为150°.
故答案为：150°.
【分析】由题意，根据向量垂直求出的值，再利用向量夹角公式求解即可.
14．（2024高一下·白山期中）一个钢筋混凝土预制件可看成一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体，其尺寸如图所示（单位：米），浇制一个这样的预制件需要 立方米混凝土（钢筋体积略去不计）．
【答案】324
【知识点】柱体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：易知长方体的体积为：（立方米），
等腰梯形的四棱柱得体积为：（立方米），
则该预制件的体积（立方米），
故浇制一个这样的预制件需要约324立方米的混凝土．
故答案为：324.
【分析】由题意，利用长方体体积减去底面为等腰梯形的四棱柱体积，即可求得预制件的体积.
15．（2024高一下·白山期中）已知是虚数单位，复数，．
（1）当复数为实数时，求的值；
（2）当复数为纯虚数时，求的值；
【答案】（1）解：为实数，，解得：或.
（2）解：为纯虚数，，解得：.
【知识点】复数的基本概念
【解析】【分析】（1）实数时虚部b=0即可求解；
（2）利用为纯虚数定义列出方程即可求解.
（1）为实数，，解得：或.
（2）为纯虚数，，解得：.
16．（2024高一下·白山期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足.
（1）求的值
（2）若，求的值.
【答案】解：（1）由，可得，则；
（2）由（1），可得，因为，所以，
由正弦定理得.
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理
【解析】【分析】（1）由题意，利用正弦定理化简求值即可；
（2）由（1），结合同角三角函数基本关系求得，再由三角恒等变换求得，最后利用正弦定理求解即可.
17．（2024高一下·白山期中）如图，在直三棱柱中，，侧棱，分别是的中点.
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）证明：取的中点，连如图所示：
且，
且，
四边形为平行四边形，，
平面平面，
平面.
（2）解：取中点，连，
且为直三棱柱，
为直角三角形且，平面，
平面，，
由（1）知，
为直三棱柱，为中点，，
，
，
平面，平面，
，
，
设点到平面的距离为，
，
，
有，得，
故点到平面的距离为.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）取的中点，连，利用中位线可得，证明四边形为平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证明.
（2）先利用线面垂直的判定定理可得平面 ，再利用即可求解.
（1）证明：如图，取的中点，连，
且，
且，
四边形为平行四边形，，
平面平面，
平面.
（2）解：取中点，连，
且为直三棱柱，
为直角三角形且，平面，
平面，，
由（1）知，
为直三棱柱，为中点，，
，
，
平面，平面，
，
，
设点到平面的距离为，
，
，
有，得，
故点到平面的距离为.
18．（2024高一下·白山期中）如图，在菱形中，，是的中点，且．
（1）求；
（2）以为圆心，2为半径作圆弧，点是弧上的一点，求的最小值．
【答案】（1）解：因为，，
所以，
所以，
所以，又，所以．
为等边三角形，又是中点，
，是直角三角形，，，
，；
（2）解：以为坐标原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
则，，设，
所以，，
所以，
其中，，，故，
故当时，取最小值，
所以，此时．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用向量的线性运算和数量积的运算律，利用夹角公式可得，再利用锐角三角函数求解即可；
（2）以A为坐标原点建立直角坐标系，设，利用向量的坐标运算结合三角恒等变换以及三角函数的性质求解最值.
（1）因为，，
所以，
所以，
所以，又，所以．
为等边三角形，又是中点，
，是直角三角形，，，
，；
（2）以为坐标原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示．
则，，设，
所以，，
所以，
其中，，，故，
故当时，取最小值，
所以，此时．
19．（2024高一下·白山期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，是棱上一点，且平面.
（1）证明：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）解：在矩形中，所以，
平面平面平面，
，
在中，为中点，
，
，即，
又平面平面，
平面，
又平面平面平面；
（2）解：由（1）知，，
平面平面，
又平面，
平面，又平面，
又平面，
，平面平面平面，
平面，由（1）知为中点，
所以到平面距离为，
设到平面的距离为，由，
即，解得，
设直线与平面所成的角为，则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）根据勾股定理及线面垂直的性质，再利用勾股定理的逆定理、矩形的定义及线面垂直的判定定理，结合面面垂直的判定定理即可求解；
（2）根据线面垂直的性质定理及矩形的定义，再利用线面垂直的判定定理及等体积法，结合线面角的定义即可求解.
（1）在矩形中，所以，
平面平面平面，
，
在中，为中点，
，
，即，
又平面平面，
平面，
又平面平面平面；
（2）由（1）知，，
平面平面，
又平面，
平面，又平面，
又平面，
，平面平面平面，
平面，由（1）知为中点，
所以到平面距离为，
设到平面的距离为，由，
即，解得，
设直线与平面所成的角为，则
则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
1 / 1吉林省白山市第七中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
1．（2024高一下·白山期中）设点O是正三角形ABC的中心，则向量，，是（ ）
A．相同的向量 B．模相等的向量
C．共线向量 D．共起点的向量
2．（2024高一下·白山期中）已知复数满足（是虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高一下·白山期中）若直线平面，则下列说法正确的是（ ）
A．l仅垂直平面内的一条直线
B．l仅垂直平面内与l相交的直线
C．l仅垂直平面内的两条直线
D．l与平面内的任意一条直线垂直
4．（2024高一下·白山期中）工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格.工人师傅运用的数学原理是（ ）
A．两条相交直线确定一个平面
B．两条平行直线确定一个平面
C．四点确定一个平面
D．直线及直线外一点确定一个平面
5．（2024高一下·白山期中）在中，内角的对边分别为.已知，则此三角形（ ）
A．无解 B．有一解
C．有两解 D．解的个数不确定
6．（2024高一下·白山期中）已知向量，，且，，，则（ ）
A．8 B．9 C． D．
7．（2024高一下·白山期中）在中，角的对边分别为，且，则为（ ）
A．等腰三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
8．（2024高一下·白山期中）如图所示，在正方体中，E，F分别为，AB上的中点，且，P点是正方形内的动点，若平面，则P点的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高一下·白山期中）下列命题错误的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
10．（2024高一下·白山期中）已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题中是真命题的是（ ）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果，那么
D．如果，那么与所成的角和与所成的角相等
11．（2024高一下·白山期中）如图为清代官员夏日所用官帽 凉帽的形制，无檐，形如圆锥，俗称喇叭式．材料多为藤 竹制成．外裹绫罗，多用白色，也有用湖色 黄色等．不同型号的官帽大小经常用帽坡长（母线长）和帽底宽（底面圆的直径长）两个指标进行衡量．现有一个官帽，帽坡长，帽底宽，关于此官帽，下面说法正确的是（ ）
A．官帽轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为
B．过官帽顶点和官帽侧面上任意两条母线的截面三角形的最大面积为
C．若此官帽顶点和底面圆上所有点都在同一个球上，则该球的表面积为
D．此官帽放在平面上，可以盖住的球（保持官帽不变形）的最大半径为
12．（2024高一下·白山期中）已知是虚数单位，复数z满足，则复数z的模为 .
13．（2024高一下·白山期中）已知平面向量满足，且，则向量与的夹角为 .
14．（2024高一下·白山期中）一个钢筋混凝土预制件可看成一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体，其尺寸如图所示（单位：米），浇制一个这样的预制件需要 立方米混凝土（钢筋体积略去不计）．
15．（2024高一下·白山期中）已知是虚数单位，复数，．
（1）当复数为实数时，求的值；
（2）当复数为纯虚数时，求的值；
16．（2024高一下·白山期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足.
（1）求的值
（2）若，求的值.
17．（2024高一下·白山期中）如图，在直三棱柱中，，侧棱，分别是的中点.
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离.
18．（2024高一下·白山期中）如图，在菱形中，，是的中点，且．
（1）求；
（2）以为圆心，2为半径作圆弧，点是弧上的一点，求的最小值．
19．（2024高一下·白山期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，是棱上一点，且平面.
（1）证明：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】向量的模；共线（平行）向量；相等向量
【解析】【解答】解：因为是正的中心，所以向量，，的模相等，但方向不同，不是相等、共线向量， 向量，， 起点不同.
故答案为：B.
【分析】根据正三角形的中心性质，结合向量的模长判断即可.
2．【答案】A
【知识点】复数代数形式的混合运算；共轭复数
【解析】【解答】解：设，则
因为，所以
解得，所以.
故答案为：A.
【分析】设，利用共轭复数可得，根据对应系数对应相等即可求解.
3．【答案】D
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：若直线平面，则l垂直于平面内的任意一条直线．
故答案为：D.
【分析】根据线面垂直的定义判断即可.
4．【答案】A
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【解答】由于连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格，
所以工人师傅运用的数学原理是“两条相交直线确定一个平面”.
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合平面的确定方法，进而找出正确的选项。
5．【答案】C
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】解：，由正弦定理，可得，
解得，因为，所以，则或，即三角形有两解.
故答案为：C.
【分析】由题意，利用正弦定理解出再根据，得到，求得角，即可判断三角形解的个数.
6．【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】因为，所以，
所以
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积求向量的模的公式和数量积的运算法则和数量积的定义，进而得出的值。
7．【答案】A
【知识点】余弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：在中，由余弦定理得，，，
因为，
所以，
即，即，
又因为，
所以，
所以为等腰三角形.
故答案为：A.
【分析】l利用余弦定理进行角化边可得即可求解.
8．【答案】C
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定
【解析】【解答】解：取的中点，的中点为，连接，如图所示：
易知∥，，且∥，，
则∥，且，即四边形是平行四边形，∥，
且平面，平面，可得∥平面，
同理可得：∥平面，
且，平面，可知平面∥平面，
又因为P点是正方形内的动点，平面，所以点在线段上，
由题意可知：，则，即P点的轨迹长度为.
故答案为：C.
【分析】取的中点，的中点为，连接，可得四边形是平行四边形，得∥，同理可得∥，推出面面平行，据此求P点的轨迹长度即可.
9．【答案】C,D
【知识点】虚数单位i及其性质；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：，故A对，因为，故，故B对，
虚数不能比较大小，故C错，设仍为虚数，不能与0比较大小，故D错.
故答案为：C、D.
【分析】
根据复数的运算法则，逐一分析即可.
10．【答案】B,C,D
【知识点】平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：已知如图所示：
A、可运用长方体举反例证明其错误，如图，不妨设为直线为直线，
四边形所在的平面为，四边形所在的平面为，
显然这些直线和平面满足题目条件，但不成立，故A错选项误；
B、证明如下：设过直线的某平面与平面相交于直线，
则，由可得，从而；故B选项正确
C、由平面与平面平行的定义知，如果，那么故C选项正确；
D、由平行的传递性及线面角的定义知，如果，那么与所成的角和与所成的角相等，故D正确．
故答案为：BCD．
【分析】运用长方体举反例证明即可判断A；利用直线与平面平行的性质定理得到线线平行，再得到线线垂直即可判断B；由平面与平面平行的性质定理判断C；由平行的传递性及线面角的定义判断D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】球内接多面体；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】已知如图所示：
A、，，，，，故选项正确；
B、，所以最大面积应为，故选项错误；
C、设外接球的球心为，则，，，可见球心在延长线上，，故C选项正确；
D、设是内切球的球心，则，，，得到最大半径为，故选项正确．
故答案为：.
【分析】作圆锥的轴截面图，通过题中数据即可判断可A；截面三角形的面积，再利用正弦函数的值域即可判断B；设外接球的球心为，则，，再计算即可判断C；设是内切球的球心，则，可求得，再解三角形即可判断D.
12．【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：由，可得，即，
即，故.
故答案为：.
【分析】由化简求出，再根据复数的模长公式求解即可.
13．【答案】150°
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：由，且， 可得，
则，即，
则，因为，所以向量与的夹角为150°.
故答案为：150°.
【分析】由题意，根据向量垂直求出的值，再利用向量夹角公式求解即可.
14．【答案】324
【知识点】柱体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：易知长方体的体积为：（立方米），
等腰梯形的四棱柱得体积为：（立方米），
则该预制件的体积（立方米），
故浇制一个这样的预制件需要约324立方米的混凝土．
故答案为：324.
【分析】由题意，利用长方体体积减去底面为等腰梯形的四棱柱体积，即可求得预制件的体积.
15．【答案】（1）解：为实数，，解得：或.
（2）解：为纯虚数，，解得：.
【知识点】复数的基本概念
【解析】【分析】（1）实数时虚部b=0即可求解；
（2）利用为纯虚数定义列出方程即可求解.
（1）为实数，，解得：或.
（2）为纯虚数，，解得：.
16．【答案】解：（1）由，可得，则；
（2）由（1），可得，因为，所以，
由正弦定理得.
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理
【解析】【分析】（1）由题意，利用正弦定理化简求值即可；
（2）由（1），结合同角三角函数基本关系求得，再由三角恒等变换求得，最后利用正弦定理求解即可.
17．【答案】（1）证明：取的中点，连如图所示：
且，
且，
四边形为平行四边形，，
平面平面，
平面.
（2）解：取中点，连，
且为直三棱柱，
为直角三角形且，平面，
平面，，
由（1）知，
为直三棱柱，为中点，，
，
，
平面，平面，
，
，
设点到平面的距离为，
，
，
有，得，
故点到平面的距离为.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）取的中点，连，利用中位线可得，证明四边形为平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证明.
（2）先利用线面垂直的判定定理可得平面 ，再利用即可求解.
（1）证明：如图，取的中点，连，
且，
且，
四边形为平行四边形，，
平面平面，
平面.
（2）解：取中点，连，
且为直三棱柱，
为直角三角形且，平面，
平面，，
由（1）知，
为直三棱柱，为中点，，
，
，
平面，平面，
，
，
设点到平面的距离为，
，
，
有，得，
故点到平面的距离为.
18．【答案】（1）解：因为，，
所以，
所以，
所以，又，所以．
为等边三角形，又是中点，
，是直角三角形，，，
，；
（2）解：以为坐标原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
则，，设，
所以，，
所以，
其中，，，故，
故当时，取最小值，
所以，此时．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用向量的线性运算和数量积的运算律，利用夹角公式可得，再利用锐角三角函数求解即可；
（2）以A为坐标原点建立直角坐标系，设，利用向量的坐标运算结合三角恒等变换以及三角函数的性质求解最值.
（1）因为，，
所以，
所以，
所以，又，所以．
为等边三角形，又是中点，
，是直角三角形，，，
，；
（2）以为坐标原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示．
则，，设，
所以，，
所以，
其中，，，故，
故当时，取最小值，
所以，此时．
19．【答案】（1）解：在矩形中，所以，
平面平面平面，
，
在中，为中点，
，
，即，
又平面平面，
平面，
又平面平面平面；
（2）解：由（1）知，，
平面平面，
又平面，
平面，又平面，
又平面，
，平面平面平面，
平面，由（1）知为中点，
所以到平面距离为，
设到平面的距离为，由，
即，解得，
设直线与平面所成的角为，则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）根据勾股定理及线面垂直的性质，再利用勾股定理的逆定理、矩形的定义及线面垂直的判定定理，结合面面垂直的判定定理即可求解；
（2）根据线面垂直的性质定理及矩形的定义，再利用线面垂直的判定定理及等体积法，结合线面角的定义即可求解.
（1）在矩形中，所以，
平面平面平面，
，
在中，为中点，
，
，即，
又平面平面，
平面，
又平面平面平面；
（2）由（1）知，，
平面平面，
又平面，
平面，又平面，
又平面，
，平面平面平面，
平面，由（1）知为中点，
所以到平面距离为，
设到平面的距离为，由，
即，解得，
设直线与平面所成的角为，则
则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
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