广东省深圳第二实验学校2023-2024学年高一下学期期中数学试题
1．（2024高一下·深圳期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一下·深圳期中）如图，石磨是用于把米、麦、豆等粮食加工成粉、浆的一种机械，通常由两个圆石做成．磨是平面的两层，两层的接合处都有纹理，粮食从上方的孔进入两层中间，沿着纹理向外运移，在滚动过两层面时被磨碎，形成粉末．如果一个石磨近似看作两个完全相同的圆柱体拼合而成，每个圆柱体的底面圆的直径是高的2倍，若石磨的侧面积为，则圆柱底面圆的半径为（ ）
A．4 B．2 C．8 D．6
3．（2024高一下·深圳期中）已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高一下·深圳期中）已知向量满足，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高一下·深圳期中）钝角的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，且，则的周长为（ ）
A．9 B． C．6 D．
6．（2024高一下·深圳期中）如图，是正三棱锥且侧棱长为，两侧棱的夹角为分别是上的动点，则三角形的周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一下·深圳期中）平面向量，满足，，，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高一下·深圳期中）“四叶回旋镖”可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，.点在线段与线段上运动，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高一下·深圳期中）若复数（为虚数单位），复数的共轭复数为，则下列结论正确的是（ ）
A．复数所对应的点位于第一象限 B．
C． D．
10．（2024高一下·深圳期中）已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且，，给出下列四个论断：①；②；③；④．以其中三个论断为条件，剩余论断为结论组成四个命题．其中正确的命题是（ ）．
A．①②③④ B．①③④② C．①②④③ D．②③④①
11．（2024高一下·深圳期中）景德镇号称“千年瓷都”，因陶瓷而享誉全世界.景德镇陶瓷以白瓷著称，而白瓷素有“白如玉，明如镜，薄如纸，声如磐”的美誉，如图，某陶瓷展览会举办方计划在长方形空地上举办陶瓷展览会，已知，，E为边的中点.G，F分别为边，上的动点，，举办方计划将区域作为白瓷展览区，则白瓷展览区的面积可能是（ ）
A． B． C． D．
12．（2024高一下·深圳期中）在复平面内，是原点，向量对应的复数为，与关于轴对称，则点对应的复数是 ．
13．（2024高一下·深圳期中）如图，在正三棱柱中，，，则三棱锥的体积为 .
14．（2024高一下·深圳期中）在锐角中，内角，，的边分别对应，，，若，则的取值范围是
15．（2024高一下·深圳期中）若复数，当实数m为何值时
（1）z是实数；
（2）z对应的点在第二象限．
16．（2024高一下·深圳期中）已知向量，满足，，且，的夹角为.
（1）求；
（2）若，求实数的值；
17．（2024高一下·深圳期中）在①，②中任选一个作为已知条件，补充在下列问题中，并作答.
问题：在中，角、、所对的边分别为、、，已知_________.
（1）求；
（2）若的外接圆半径为2，且，求.
注：若选择不同条件分别作答，则按第一个解答计分.
18．（2024高一下·深圳期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为上的点，且，为中点.
（1）证明：平面；
（2）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由.
19．（2024高一下·深圳期中）已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.
（1）设函数，试求的相伴特征向量；
（2）记向量的相伴函数为，求当且，的值；
（3）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】设，则，
因为，所以，
所以，解得，所以.
故选：C.
【分析】本题考查共轭复数的概念，复数的乘法运算.设，利用共轭复数的定义可得：，利用复数的乘法运算可得：，根据复数相等可列出方程组，解方程组可求出a和b的值，进而可求出复数z.
2．【答案】A
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】设圆柱底面圆的半径为，则圆柱的高为，
则石磨的侧面积为，解得.
故选：A.
【分析】本题考查援助的侧面积计算公式.设圆柱底面圆的半径为，根据题意可得：圆柱的高为，利用圆柱的侧面积公式可列出方程：，解方程可求出r的值.
3．【答案】D
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：因为，，
取的中点为坐标原点，以为建立坐标系如下中的左图，
因为斜二测直观图为矩形，，，
则，
可得原图（上图中的右图），，
，
所以，四边形的面积为.
故选：D.
【分析】根据斜二测画法，再结合勾股定理，从而画出复原图，再由平行四边形的面积公式得出四边形的面积.
4．【答案】D
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】因为，
所以，所以，
所以，所以，
因为，所以
所以与的夹角为．
故选：D
【分析】本题考查平面向量的数量积，平面向量的夹角计算公式.由两边平方，利用完全平方公式进行计算可得：，再利用平面向量数量积的定义可求出，进而可求出与的夹角.
5．【答案】A
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：因为，
所以，
又因为，
所以，为锐角，
所以，，
因为由余弦定理得，解得或，
因为当时，，此时一定不是钝角，故舍去.
所以
所以的周长为．
故选：A
【分析】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形.根据，利用边化角公式进行计算可得：，又因为，据此可求出，利用同角三角函数基本关系可求出，再利用余弦定理可列出方程，解方程可求出c的值，再根据钝角可判断出c的值，进而可求出的周长.
6．【答案】A
【知识点】棱锥的结构特征；多面体和旋转体表面上的最短距离问题
【解析】【解答】解：将正三棱锥侧棱剪开并展开在同一平面，形成三个全等的等腰三角形：、、，
易知，，
连接，交于，交于，如图所示：
由图可知：线段就是的最小周长，
因为，所以，解得，
即三角形的周长的最小值为.
故答案为：A.
【分析】将正三棱锥侧棱剪开并展开在同一平面，结合勾股定理求解即可.
7．【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】由可得，
而在方向上的投影向量为.
故选：C.
【分析】本题考查平面向量的数量积，平面向量的投影向量.根据，再结合， 利用平面向量的数量积可求出，再根据在方向上的投影向量，利用平面向量的投影公式可得：，代入数据进行计算可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】如图，以为原点建立平面直角坐标系，
易知，，，
当在线段上运动，设，其中，
所以，，
则，
因为，所以，
当在线段上运动，设，则，且，
则，故，，
则，
因为，所以，综上，的取值范围为.
故选：C.
【分析】本题考查平面向量的数量积.先以为原点建立平面直角坐标系，写成对应点的坐标，当在线段上运动，设，其中，进而可求出，，利用平面向量的数量积进行计算可得：，再根据可求出的取值范围；同理当在线段上运动，设，则，进而可求出，利用平面向量的数量积进行计算可得：，再根据，可求出的取值范围，综合两种情况可求出答案.
9．【答案】A,C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数；复数运算的几何意义
【解析】【解答】因为，所以，
所以，
A，复数在复平面内对应的点在第一象限，A正确；
B，由，可得，B错误；
C，，C正确；
D，，D错误.
故选：AC
【分析】本题考查复数的几何意义，共轭复数的定义，复数的乘除运算.根据可得：，据此可求出的值，进而可得：，再利用复数的除法运算可求出复数，据此可求出复数z的对应点的坐标，进而可求出所对应的象限，据此可判断A选项；利用共轭复数的定义可得：，据此可判断B选项；利用复数的乘法运算可得：，再利用平方差公式进行计算可判断C选项；利用复数的除法运算可求出，再进行计算可判断D选项.
10．【答案】A,C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】A，若①，②，③，且，所以有④成立，A正确；
B，若①，③，④，则可能相交、平行或异面，B错误；
C，若①，②，④，且，所以有③成立，C正确；
D，若②，③，④，则平面，可能相交、平行，D错误．
故选：AC
【分析】本题考查空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系.根据①，②，③，利用平面与平面平行的性质可得④成立，据此可判断A选项；根据①，③，④，利用直线与平面平行的性质可推出：可能相交、平行或异面，据此可判断B选项；根据①，②，④，且，利用平面与平面平行的性质，直线与平面平行的判定定理可推出③成立，据此可判断C选项；根据②，③，④，利用平面与平面平行的判定定理可推出平面，可能相交、平行，据此可判断D选项.
11．【答案】B,C
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；三角形中的几何计算；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：设，则，
由，，得，
易得，，
则，
，
由，得，得，
则.
因为，，
所以白瓷展览区的面积可能是，.
故选：BC
【分析】本题考查正弦函数的图象和性质.设，则，由，，利用不等式的性质可得：，再利用余弦的定义可得：，，利用三角形的面积计算公式和辅助角公式进行化简可得：，再根据，利用正弦的性质可得：，进而可求出取值范围，进而可求出白瓷展览区的面积可能的值.
12．【答案】
【知识点】复数运算的几何意义
【解析】【解答】设向量对应的复数为，对应复平面的坐标为，
因为向量对应的复数为，所以对应复平面的坐标为，
因为与关于轴对称，所以．
即向量对应的复数为，因为点为坐标原点，所以点对应的复数是．
故答案为：.
【分析】本题考查复数的几何意义.设向量对应的复数为，进而可找出对应复平面的坐标，据此可求出向量对应的复数，对应复平面的坐标，再根据与关于轴对称，利用对称性可求出a和b的值，据此可求出量对应的复数，进而可求出点对应的复数.
13．【答案】
【知识点】锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】因为三棱柱为正三棱柱，，
所以，
则
.
故答案为：.
【分析】本题考查三棱锥的体积计算公式.先利用三角形的面积计算公式进行计算可求出，观察图形可得，进而可得，再利用冷战的体积计算公式进行计算可得：，代入数据进行计算可求出答案.
14．【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；正弦定理
【解析】【解答】解：因为，由正弦定理得，，
即，化简得，
在中，则，则，
所以锐角中，，解得，
所以，
故答案为：.
【分析】本题考查利用正弦定理解三角形.先将利用边化角公式化简可得：，进而可得，据此可化简为，再根据三角形为锐角可列出不等式组，解不等式组可得：，再化简式子可得，结合，利用余弦的性质可求出取值范围.
15．【答案】（1）解：因为，是实数，
则，解得或
（2）解：若对应的点在第二象限，
则，
解得，
即的取值范围为．
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示
【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合复数的分类，即可求解；
（2）根据复数的几何意义，即可列不等式求解.
16．【答案】（1）由向量，，且，的夹角为，可得，
则.
（2）解：因为，所以，
即，即，
可得，即，解得.
【知识点】平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】本题考查平面向量的数量积，平面向量垂直的数量积转化.（1）先利用平面向量的数量积求出，再利用乘法分配律可得：，再代入数据进行计算可求出答案.
（2）根据，利用平面向量垂直的数量积转化可得：，将括号进行展开可得：，代入数据可列出方程，解方程可求出实数的值.
（1）解：由向量，，且，的夹角为，可得，
则.
（2）解：因为，所以，
即，即，
可得，即，解得.
17．【答案】（1）选择条件①：因为，
在中，由余弦定理可得，
由余弦定理可得，
则，
因为，所以.
选择条件②：因为，由正弦定理得，
.
即，
则，
因为，所以，
因为，所以
（2）因为，所以，即，
即，又因为，
所以.
由于的外接圆半径为，由正弦定理可得，
可得，
所以，
由余弦定理可得，
所以.
【知识点】简单的三角恒等变换；解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形.（1）选择条件①：利用余弦定理进行化简可得：，进而可得，据此可求出cosB，据此可反推出角B；
选择条件②：根据，利用边化角公式进行化简可得：，据此可求出cosB，据此可反推出角B；
（2）根据，再结合 ，利用余弦的和差角公式可求出，再根据的外接圆半径为，利用正弦定理可求出，进而可求出b，再利用余弦定理可列出方程：，解方程可求出a+c的值.
（1）选择条件①：因为，
在中，由余弦定理可得，
由余弦定理可得，
则，
因为，所以.
选择条件②：因为，由正弦定理得，
.
即，
则，
因为，所以，
因为，所以.
（2）因为，所以，即，
即，又因为，
所以.
由于的外接圆半径为，由正弦定理可得，
可得，
所以，
由余弦定理可得，
所以.
18．【答案】（1）证明：连交于O，因为底面为平行四边形，
所以O为的中点，而E为的中点，
所以，
又平面，平面；
所以平面；
（2）在棱上存在点G，且，使得平面，
证明：上取点，且，因为F为上的点，且，
所以在中，，所以，
因为平面，平面，所以平面，
又在中，，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为，平面，
所以平面平面.
因为平面，
所以平面.
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的性质
【解析】【分析】本题考查直线与平面平行的判定，平面与平面平行的性质.（1）连交于O，利用平行四边形的性质可得O为的中点，再根据E为的中点，利用三角形中位线定理可得，利用直线与平面平行的判定定理可证明结论；
（2）上取点，且，通过计算可得，利用平行线段的性质可证明，利用直线与平面平行的判定定理可证明平面，同理通过计算可得，进而可证明，利用直线与平面平行的判定定理可证明平面，利用平面与平面平行的判定定理可证明平面平面.利用直线与平面平行的判定定理可证明结论.
（1）证明：连交于O，因为底面为平行四边形，
所以O为的中点，而E为的中点，
所以，
又平面，平面；
所以平面；
（2）在棱上存在点G，且，使得平面，
证明：上取点，且，因为F为上的点，且，
所以在中，，所以，
因为平面，平面，所以平面，
又在中，，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为，平面，
所以平面平面.
因为平面，
所以平面.
19．【答案】解：（1）
的相伴特征向量.
（2）向量的相伴函数为，
，.
，，.
.
（3）由为的相伴特征向量知：
.
所以.
设，，
，，
又，.
，
，，
.
又，
当且仅当时，和同时等于，这时式成立.
在图像上存在点，使得.
【知识点】平面向量的数量积运算；同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】本题考查三角函数诱导公式、三角恒等变换，三角函数图象变换，向量垂直的数量积关系.
（1）利用两角和与差的正弦公式进行化简可得：，利用辅助角公式进行化简可得：，根据题意可求出特征向量；
（2）根据特征向量，利用题目的定义可求出相伴函数，进而可得：，求出.利用同角三角函数的基本关系可得：，由，代入数据可求出答案；
（3）根据三角函数图象变换规则求出的解析式为：，进而可求出m的值，求出解析式为：，设，进而可求出对应的向量，利用，据此可列出方程，通过配方可得，再根据可推出，据此可得当时，和同时等于，这时式成立，进而可求出点P的坐标.
1 / 1广东省深圳第二实验学校2023-2024学年高一下学期期中数学试题
1．（2024高一下·深圳期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】设，则，
因为，所以，
所以，解得，所以.
故选：C.
【分析】本题考查共轭复数的概念，复数的乘法运算.设，利用共轭复数的定义可得：，利用复数的乘法运算可得：，根据复数相等可列出方程组，解方程组可求出a和b的值，进而可求出复数z.
2．（2024高一下·深圳期中）如图，石磨是用于把米、麦、豆等粮食加工成粉、浆的一种机械，通常由两个圆石做成．磨是平面的两层，两层的接合处都有纹理，粮食从上方的孔进入两层中间，沿着纹理向外运移，在滚动过两层面时被磨碎，形成粉末．如果一个石磨近似看作两个完全相同的圆柱体拼合而成，每个圆柱体的底面圆的直径是高的2倍，若石磨的侧面积为，则圆柱底面圆的半径为（ ）
A．4 B．2 C．8 D．6
【答案】A
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】设圆柱底面圆的半径为，则圆柱的高为，
则石磨的侧面积为，解得.
故选：A.
【分析】本题考查援助的侧面积计算公式.设圆柱底面圆的半径为，根据题意可得：圆柱的高为，利用圆柱的侧面积公式可列出方程：，解方程可求出r的值.
3．（2024高一下·深圳期中）已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：因为，，
取的中点为坐标原点，以为建立坐标系如下中的左图，
因为斜二测直观图为矩形，，，
则，
可得原图（上图中的右图），，
，
所以，四边形的面积为.
故选：D.
【分析】根据斜二测画法，再结合勾股定理，从而画出复原图，再由平行四边形的面积公式得出四边形的面积.
4．（2024高一下·深圳期中）已知向量满足，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】因为，
所以，所以，
所以，所以，
因为，所以
所以与的夹角为．
故选：D
【分析】本题考查平面向量的数量积，平面向量的夹角计算公式.由两边平方，利用完全平方公式进行计算可得：，再利用平面向量数量积的定义可求出，进而可求出与的夹角.
5．（2024高一下·深圳期中）钝角的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，且，则的周长为（ ）
A．9 B． C．6 D．
【答案】A
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：因为，
所以，
又因为，
所以，为锐角，
所以，，
因为由余弦定理得，解得或，
因为当时，，此时一定不是钝角，故舍去.
所以
所以的周长为．
故选：A
【分析】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形.根据，利用边化角公式进行计算可得：，又因为，据此可求出，利用同角三角函数基本关系可求出，再利用余弦定理可列出方程，解方程可求出c的值，再根据钝角可判断出c的值，进而可求出的周长.
6．（2024高一下·深圳期中）如图，是正三棱锥且侧棱长为，两侧棱的夹角为分别是上的动点，则三角形的周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】棱锥的结构特征；多面体和旋转体表面上的最短距离问题
【解析】【解答】解：将正三棱锥侧棱剪开并展开在同一平面，形成三个全等的等腰三角形：、、，
易知，，
连接，交于，交于，如图所示：
由图可知：线段就是的最小周长，
因为，所以，解得，
即三角形的周长的最小值为.
故答案为：A.
【分析】将正三棱锥侧棱剪开并展开在同一平面，结合勾股定理求解即可.
7．（2024高一下·深圳期中）平面向量，满足，，，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】由可得，
而在方向上的投影向量为.
故选：C.
【分析】本题考查平面向量的数量积，平面向量的投影向量.根据，再结合， 利用平面向量的数量积可求出，再根据在方向上的投影向量，利用平面向量的投影公式可得：，代入数据进行计算可求出答案.
8．（2024高一下·深圳期中）“四叶回旋镖”可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，.点在线段与线段上运动，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】如图，以为原点建立平面直角坐标系，
易知，，，
当在线段上运动，设，其中，
所以，，
则，
因为，所以，
当在线段上运动，设，则，且，
则，故，，
则，
因为，所以，综上，的取值范围为.
故选：C.
【分析】本题考查平面向量的数量积.先以为原点建立平面直角坐标系，写成对应点的坐标，当在线段上运动，设，其中，进而可求出，，利用平面向量的数量积进行计算可得：，再根据可求出的取值范围；同理当在线段上运动，设，则，进而可求出，利用平面向量的数量积进行计算可得：，再根据，可求出的取值范围，综合两种情况可求出答案.
9．（2024高一下·深圳期中）若复数（为虚数单位），复数的共轭复数为，则下列结论正确的是（ ）
A．复数所对应的点位于第一象限 B．
C． D．
【答案】A,C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数；复数运算的几何意义
【解析】【解答】因为，所以，
所以，
A，复数在复平面内对应的点在第一象限，A正确；
B，由，可得，B错误；
C，，C正确；
D，，D错误.
故选：AC
【分析】本题考查复数的几何意义，共轭复数的定义，复数的乘除运算.根据可得：，据此可求出的值，进而可得：，再利用复数的除法运算可求出复数，据此可求出复数z的对应点的坐标，进而可求出所对应的象限，据此可判断A选项；利用共轭复数的定义可得：，据此可判断B选项；利用复数的乘法运算可得：，再利用平方差公式进行计算可判断C选项；利用复数的除法运算可求出，再进行计算可判断D选项.
10．（2024高一下·深圳期中）已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且，，给出下列四个论断：①；②；③；④．以其中三个论断为条件，剩余论断为结论组成四个命题．其中正确的命题是（ ）．
A．①②③④ B．①③④② C．①②④③ D．②③④①
【答案】A,C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】A，若①，②，③，且，所以有④成立，A正确；
B，若①，③，④，则可能相交、平行或异面，B错误；
C，若①，②，④，且，所以有③成立，C正确；
D，若②，③，④，则平面，可能相交、平行，D错误．
故选：AC
【分析】本题考查空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系.根据①，②，③，利用平面与平面平行的性质可得④成立，据此可判断A选项；根据①，③，④，利用直线与平面平行的性质可推出：可能相交、平行或异面，据此可判断B选项；根据①，②，④，且，利用平面与平面平行的性质，直线与平面平行的判定定理可推出③成立，据此可判断C选项；根据②，③，④，利用平面与平面平行的判定定理可推出平面，可能相交、平行，据此可判断D选项.
11．（2024高一下·深圳期中）景德镇号称“千年瓷都”，因陶瓷而享誉全世界.景德镇陶瓷以白瓷著称，而白瓷素有“白如玉，明如镜，薄如纸，声如磐”的美誉，如图，某陶瓷展览会举办方计划在长方形空地上举办陶瓷展览会，已知，，E为边的中点.G，F分别为边，上的动点，，举办方计划将区域作为白瓷展览区，则白瓷展览区的面积可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,C
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；三角形中的几何计算；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：设，则，
由，，得，
易得，，
则，
，
由，得，得，
则.
因为，，
所以白瓷展览区的面积可能是，.
故选：BC
【分析】本题考查正弦函数的图象和性质.设，则，由，，利用不等式的性质可得：，再利用余弦的定义可得：，，利用三角形的面积计算公式和辅助角公式进行化简可得：，再根据，利用正弦的性质可得：，进而可求出取值范围，进而可求出白瓷展览区的面积可能的值.
12．（2024高一下·深圳期中）在复平面内，是原点，向量对应的复数为，与关于轴对称，则点对应的复数是 ．
【答案】
【知识点】复数运算的几何意义
【解析】【解答】设向量对应的复数为，对应复平面的坐标为，
因为向量对应的复数为，所以对应复平面的坐标为，
因为与关于轴对称，所以．
即向量对应的复数为，因为点为坐标原点，所以点对应的复数是．
故答案为：.
【分析】本题考查复数的几何意义.设向量对应的复数为，进而可找出对应复平面的坐标，据此可求出向量对应的复数，对应复平面的坐标，再根据与关于轴对称，利用对称性可求出a和b的值，据此可求出量对应的复数，进而可求出点对应的复数.
13．（2024高一下·深圳期中）如图，在正三棱柱中，，，则三棱锥的体积为 .
【答案】
【知识点】锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】因为三棱柱为正三棱柱，，
所以，
则
.
故答案为：.
【分析】本题考查三棱锥的体积计算公式.先利用三角形的面积计算公式进行计算可求出，观察图形可得，进而可得，再利用冷战的体积计算公式进行计算可得：，代入数据进行计算可求出答案.
14．（2024高一下·深圳期中）在锐角中，内角，，的边分别对应，，，若，则的取值范围是
【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；正弦定理
【解析】【解答】解：因为，由正弦定理得，，
即，化简得，
在中，则，则，
所以锐角中，，解得，
所以，
故答案为：.
【分析】本题考查利用正弦定理解三角形.先将利用边化角公式化简可得：，进而可得，据此可化简为，再根据三角形为锐角可列出不等式组，解不等式组可得：，再化简式子可得，结合，利用余弦的性质可求出取值范围.
15．（2024高一下·深圳期中）若复数，当实数m为何值时
（1）z是实数；
（2）z对应的点在第二象限．
【答案】（1）解：因为，是实数，
则，解得或
（2）解：若对应的点在第二象限，
则，
解得，
即的取值范围为．
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示
【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合复数的分类，即可求解；
（2）根据复数的几何意义，即可列不等式求解.
16．（2024高一下·深圳期中）已知向量，满足，，且，的夹角为.
（1）求；
（2）若，求实数的值；
【答案】（1）由向量，，且，的夹角为，可得，
则.
（2）解：因为，所以，
即，即，
可得，即，解得.
【知识点】平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】本题考查平面向量的数量积，平面向量垂直的数量积转化.（1）先利用平面向量的数量积求出，再利用乘法分配律可得：，再代入数据进行计算可求出答案.
（2）根据，利用平面向量垂直的数量积转化可得：，将括号进行展开可得：，代入数据可列出方程，解方程可求出实数的值.
（1）解：由向量，，且，的夹角为，可得，
则.
（2）解：因为，所以，
即，即，
可得，即，解得.
17．（2024高一下·深圳期中）在①，②中任选一个作为已知条件，补充在下列问题中，并作答.
问题：在中，角、、所对的边分别为、、，已知_________.
（1）求；
（2）若的外接圆半径为2，且，求.
注：若选择不同条件分别作答，则按第一个解答计分.
【答案】（1）选择条件①：因为，
在中，由余弦定理可得，
由余弦定理可得，
则，
因为，所以.
选择条件②：因为，由正弦定理得，
.
即，
则，
因为，所以，
因为，所以
（2）因为，所以，即，
即，又因为，
所以.
由于的外接圆半径为，由正弦定理可得，
可得，
所以，
由余弦定理可得，
所以.
【知识点】简单的三角恒等变换；解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形.（1）选择条件①：利用余弦定理进行化简可得：，进而可得，据此可求出cosB，据此可反推出角B；
选择条件②：根据，利用边化角公式进行化简可得：，据此可求出cosB，据此可反推出角B；
（2）根据，再结合 ，利用余弦的和差角公式可求出，再根据的外接圆半径为，利用正弦定理可求出，进而可求出b，再利用余弦定理可列出方程：，解方程可求出a+c的值.
（1）选择条件①：因为，
在中，由余弦定理可得，
由余弦定理可得，
则，
因为，所以.
选择条件②：因为，由正弦定理得，
.
即，
则，
因为，所以，
因为，所以.
（2）因为，所以，即，
即，又因为，
所以.
由于的外接圆半径为，由正弦定理可得，
可得，
所以，
由余弦定理可得，
所以.
18．（2024高一下·深圳期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为上的点，且，为中点.
（1）证明：平面；
（2）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明：连交于O，因为底面为平行四边形，
所以O为的中点，而E为的中点，
所以，
又平面，平面；
所以平面；
（2）在棱上存在点G，且，使得平面，
证明：上取点，且，因为F为上的点，且，
所以在中，，所以，
因为平面，平面，所以平面，
又在中，，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为，平面，
所以平面平面.
因为平面，
所以平面.
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的性质
【解析】【分析】本题考查直线与平面平行的判定，平面与平面平行的性质.（1）连交于O，利用平行四边形的性质可得O为的中点，再根据E为的中点，利用三角形中位线定理可得，利用直线与平面平行的判定定理可证明结论；
（2）上取点，且，通过计算可得，利用平行线段的性质可证明，利用直线与平面平行的判定定理可证明平面，同理通过计算可得，进而可证明，利用直线与平面平行的判定定理可证明平面，利用平面与平面平行的判定定理可证明平面平面.利用直线与平面平行的判定定理可证明结论.
（1）证明：连交于O，因为底面为平行四边形，
所以O为的中点，而E为的中点，
所以，
又平面，平面；
所以平面；
（2）在棱上存在点G，且，使得平面，
证明：上取点，且，因为F为上的点，且，
所以在中，，所以，
因为平面，平面，所以平面，
又在中，，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为，平面，
所以平面平面.
因为平面，
所以平面.
19．（2024高一下·深圳期中）已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.
（1）设函数，试求的相伴特征向量；
（2）记向量的相伴函数为，求当且，的值；
（3）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.
【答案】解：（1）
的相伴特征向量.
（2）向量的相伴函数为，
，.
，，.
.
（3）由为的相伴特征向量知：
.
所以.
设，，
，，
又，.
，
，，
.
又，
当且仅当时，和同时等于，这时式成立.
在图像上存在点，使得.
【知识点】平面向量的数量积运算；同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】本题考查三角函数诱导公式、三角恒等变换，三角函数图象变换，向量垂直的数量积关系.
（1）利用两角和与差的正弦公式进行化简可得：，利用辅助角公式进行化简可得：，根据题意可求出特征向量；
（2）根据特征向量，利用题目的定义可求出相伴函数，进而可得：，求出.利用同角三角函数的基本关系可得：，由，代入数据可求出答案；
（3）根据三角函数图象变换规则求出的解析式为：，进而可求出m的值，求出解析式为：，设，进而可求出对应的向量，利用，据此可列出方程，通过配方可得，再根据可推出，据此可得当时，和同时等于，这时式成立，进而可求出点P的坐标.
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