四川省泸州市龙马潭区2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题
1．（2024高一下·龙马潭期中）复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2024高一下·龙马潭期中）设是单位向量，，，，则四边形是（ ）
A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
3．（2024高一下·龙马潭期中）在平行四边形中，为边的中点，记，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024高一下·龙马潭期中）已知向量满足，则（ ）
A． B． C．1 D．2
5．（2024高一下·龙马潭期中）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2024高一下·龙马潭期中）设在 中,角 所对的边分别为 , 若 , 则 的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
7．（2024高一下·龙马潭期中）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高一下·龙马潭期中）已知，，，则的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．4
9．（2024高一下·龙马潭期中）下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024高一下·龙马潭期中）函数（其中A，，是常数，，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．的值域为
B．的最小正周期为π
C．
D．将函数f（x）的图象向左平移个单位，得到函数的图象
11．（2024高一下·龙马潭期中）已知AC为圆锥SO底面圆O的直径（S为顶点，O为圆心），点B为圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的为( )
A．圆锥SO的侧面积为
B．的取值范围为
C．若，E为线段AB上的动点，则
D．过该圆锥顶点S的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为
12．（2024高一下·龙马潭期中）已知平面内三个向量，，，若，则k= .
13．（2024高一下·龙马潭期中）的内角、、所对的边分别为、、，且，，则的面积为 ．
14．（2024高一下·龙马潭期中）在中，，，当取最大值时， ．
15．（2024高一下·龙马潭期中）已知非零向量，不共线．
（1）如果，，，求证：，，三点共线；
（2）欲使和共线，试确定实数的值．
16．（2024高一下·龙马潭期中）设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值.
17．（2024高一下·龙马潭期中）已知函数
（1）求函数的最小正周期及对称轴方程；
（2）将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变 横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，求在[0，2π]上的单调递减区间.
18．（2024高一下·龙马潭期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求B；
（2）已知，D为边上的一点，若，，求的长．
19．（2024高一下·龙马潭期中）如图，在中，，.
（1）若，、分别为、的中点，设、交于点，求的余弦值；
（2）若点满足，，为中点，点在线段上移动（包括端点），求的最小值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：
复数的对应点为：
所以 复数在复平面内对应的点位于第一象限
故答案为：A
【分析】先利用复数的乘法运算先将括号展开求出复数，再找出复数的对应点，根据对应点可找出复数对应点所在的象限.
2．【答案】B
【知识点】平面向量的共线定理；相等向量
【解析】【解答】解：因为，，
所以，所以且，
所以四边形是平行四边形，
又因为，所以，
所以四边形是菱形.
故选：B
【分析】根据已知条件以及共线定理可知四边形是平行四边形，进而利用，即可知四边形ABCD是菱形.
3．【答案】D
【知识点】平面向量减法运算；向量加法的三角形法则
【解析】【解答】解：如图所示，
故选：D．
【分析】结合图形和向量的线性运算法则即可求得 .
4．【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由，可得，
即，解得.
故答案为：C.
【分析】由题意，利用向量的数量积运算求解即可.
5．【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】由题意可得： ，
则： ， ，
从而有： ，
即 .
故答案为：B.
【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.
6．【答案】B
【知识点】三角形的形状判断
【解析】【解答】因为 ，
所以由正弦定理可得 ，
，
所以 ，所以是直角三角形.
【分析】利用正弦定理可得 ，结合三角形内角和定理与诱导公式可得 ，从而可得结果.
7．【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；辅助角公式
【解析】【解答】解：，，
又 ，则，，，
，，
.
故答案为：D.
【分析】利用辅助角公式化简得，再结合得到，所以，再利用二倍角公式和两角和的正弦公式求 .
8．【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量数量积坐标表示的应用；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：由题可知.
因为，所以.
如图所示，建立平面直角坐标系，
不妨设，，
因为，所以，
所以，所以
所以
故选：A
【分析】先根据向量的数量积运算求出，再对进行向量坐标化，利用坐标运算求出的最大值即可.
9．【答案】B,C,D
【知识点】两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：A，，A错误；
B，，B正确；
C，，C正确；
D，，D正确.
故答案为：BCD
【分析】直接利用余弦二倍角公式进行计算可判断A选项；直接利用正弦二倍角公式进行计算可判断B选项；利用两角差的正弦公式和三角函数诱导公式进行计算可判断C选项；将换为，再利用两角差的正切公式进行计算可判断D选项.
10．【答案】A,B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：A、由图可知：，即，因为，所以，即的值域为，故选项A正确；
B、由图可得：，故最小正周期为，故选项B正确；
C、因为，且，所以，所以，
由图可得：的图象过点，
即，所以，
所以，解得
因为，所以，故选项C错误；
D、可知，
将函数f（x）的图象向左平移个单位，得到，
故选项D错误；
故选：AB.
【分析】根据函数图象求，即可分析判断选项A，B，C；求出函数f(x)的解析式，再根据图象变换结合诱导公式求g(x)的解析式即可判断选项D.
11．【答案】A,C
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；多面体和旋转体表面上的最短距离问题
【解析】【解答】解：对于A，母线长则侧面积为所以A对；
对于B，在中，则当AB=2时，，所以B错；
对于C，如图1，
为等腰直角三角形，将放平得到
如图2所示，
当三点共线时最小，F为AB的中点，连接，
则
所以C对；
对于D，如图3，
设截面为SMN，Q为MN的中点，连接OQ，SQ，设
则
当且仅当时等号成立，即当时等号成立，所以D错。
故答案为：AC.
【分析】利用已知条件结合勾股定理得出圆锥的母线的长，再结合圆锥的侧面积公式判断出选项A；利用母线相等和AB的取值范围，进而得出的取值范围，从而判断出选项B；利用等腰三角形的结构特征和三点共线得出SE+CE最小，再结合中点的性质、勾股定理、正弦函数的定义和余弦定理得出的最小值，从而判断出选项C；利用已知条件结合三角形的面积公式和均值不等式求最值的方法得出过该圆锥顶点S的平面截此圆锥所得截面面积的最大值，从而判断出选项D，进而找出结论正确的选项。
12．【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：由题可知，，
，
因为，所以，
所以，解得.
故答案为：
【分析】先求出的坐标表示，再由平行向量的坐标表示化简可得，解方程求出k的值即可.
13．【答案】
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】因为，
所以，
，
因为、、，则，所以，，
由正弦定理可得，
因为，所以，，则，可得.
由余弦定理可得，
因此，.
故答案为：.
【分析】利用三角恒等变换以及正弦定理化简可得出，可得，利用余弦定理可求得，再利用三角形的面积公式可求得结果.
14．【答案】
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：设，，，
，，
，
，
，
，
，
，其中，
，，，
当时取最大值，
，
，
，
，
即的值为.
故答案为：
【分析】设，，，先利用正弦定理进行边化角，再应用辅助角公式可将化简为：，再根据用余弦定理可列出方程组，解方程组可求出的值.
15．【答案】（1）证明：因为，
所以，共线，且有公共点，所以，，三点共线.
（2）解：因为与共线，所以存在实数，使，
所以，
又因为向量，不共线，只能有，
解得：
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【分析】（1）根据向量的线性运算可知，用，表示，可知，且有公共点，即可证，，三点共线；
（2）根据向量的共线定理可知，整理可得，进而可知，解方程组即可求出的值.
（1）证明：因为，，
所以，共线，且有公共点，所以，，三点共线.
（2）因为与共线，所以存在实数，使，
则，又由于向量，不共线，只能有，
解得：
16．【答案】解：（1），
则，
则函数的最小正周期为：；
（2）函数
，
因为，所以，
所以当，即时，函数取最大值，且最大值为.
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用辅助角公式化简函数，根据三角恒等变换求得，再由三角函数最小正周期公式求解即可；
（2）由三角恒等变换可得，再由三角函数的图象与性质求解即可.
17．【答案】（1），
，
所以函数的最小正周期为，
令，，得函数的对称轴方程为，
（2）将函数的图象向左平移个单位后所得图象的解析式为，
所以，
令，
所以.又，
所以在上的单调递减区间为.
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【分析】本题考查余弦函数的图象和性质，三角函数的图象变换.
（1）先利用两角和差的正余弦公式，辅助角公式化简函数解析可得，利用周期的计算公式可求出周期，利用余弦函数图象和性质可列出方程，解方程可求出对称轴；
（2）利用三角函数的图象和变换可求出，再利用余弦函数的图象和性质可列出不等式，解不等式可求出函数的单调递减区间，再与取交集可求出答案.
18．【答案】（1）解：由正弦定理得，，
因为，所以
所以，
所以，
因为，所以，
所以，所以，
又因为，所以．
（2）解：由余弦定理得，
所以．
因为，所以．
在中，由正弦定理知，，
所以，解得，
因为，所以
所以，所以．
【知识点】简单的三角恒等变换；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据正弦定理边角化可得，再结合三角形的内角的关系和两角和的正弦公式可得，进而即可求出B的值，
（2）根据余弦定理先求得，再利用和正弦定理求出，进而由锐角三角函数即可求出AC的长.
（1）∵，根据正弦定理得，，
即，
所以，因为，
所以，所以，
因为，所以．
（2）因为，，，根据余弦定理得
，∴．
∵，∴．
在中，由正弦定理知，，∴，
∴，，所以
∴，∴．
19．【答案】（1）解：如图所示，以为原点，所在直线为轴，过B作的垂线为y轴建立直角坐标系，
，，，，
，，
，，
由题意知即为，的夹角，设=，
.
∴的余弦值为.
（2）解：如图所示，以为原点，所在直线为轴，过B作的垂线为y轴建立直角坐标系，
由题易知，，设，，，
，，
，，，
∴，.
，
，，
，即，解得（负值舍去），
，
∵为中点，，
设，，，，
，
，
所以当时，，
所以的最小值为.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）建立平面直角坐标系，结合已知条件求出相关点的坐标和向量以及模长，进而利用向量的夹角公式即可求得的余弦值 ；
（2）设，，结合即可用t表示出M点坐标，利用求出t的值，设，表示出的表达式，结合一次函数的性质，即可求得的最小值.
（1）以为原点，所在直线为轴，过B作的垂线为y轴，建立如图所示直角坐标系，
，，，，，，
，，
，，
由题意知即为，的夹角，设为，
.
（2）设，，
，，，
设，，，
，，，则，.
，
，，
，即，解得（负值舍去），
，因为为中点，，
设，，，，
，
，
所以当时，即.
1 / 1四川省泸州市龙马潭区2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题
1．（2024高一下·龙马潭期中）复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：
复数的对应点为：
所以 复数在复平面内对应的点位于第一象限
故答案为：A
【分析】先利用复数的乘法运算先将括号展开求出复数，再找出复数的对应点，根据对应点可找出复数对应点所在的象限.
2．（2024高一下·龙马潭期中）设是单位向量，，，，则四边形是（ ）
A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【答案】B
【知识点】平面向量的共线定理；相等向量
【解析】【解答】解：因为，，
所以，所以且，
所以四边形是平行四边形，
又因为，所以，
所以四边形是菱形.
故选：B
【分析】根据已知条件以及共线定理可知四边形是平行四边形，进而利用，即可知四边形ABCD是菱形.
3．（2024高一下·龙马潭期中）在平行四边形中，为边的中点，记，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量减法运算；向量加法的三角形法则
【解析】【解答】解：如图所示，
故选：D．
【分析】结合图形和向量的线性运算法则即可求得 .
4．（2024高一下·龙马潭期中）已知向量满足，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由，可得，
即，解得.
故答案为：C.
【分析】由题意，利用向量的数量积运算求解即可.
5．（2024高一下·龙马潭期中）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】由题意可得： ，
则： ， ，
从而有： ，
即 .
故答案为：B.
【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.
6．（2024高一下·龙马潭期中）设在 中,角 所对的边分别为 , 若 , 则 的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
【答案】B
【知识点】三角形的形状判断
【解析】【解答】因为 ，
所以由正弦定理可得 ，
，
所以 ，所以是直角三角形.
【分析】利用正弦定理可得 ，结合三角形内角和定理与诱导公式可得 ，从而可得结果.
7．（2024高一下·龙马潭期中）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；辅助角公式
【解析】【解答】解：，，
又 ，则，，，
，，
.
故答案为：D.
【分析】利用辅助角公式化简得，再结合得到，所以，再利用二倍角公式和两角和的正弦公式求 .
8．（2024高一下·龙马潭期中）已知，，，则的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量数量积坐标表示的应用；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：由题可知.
因为，所以.
如图所示，建立平面直角坐标系，
不妨设，，
因为，所以，
所以，所以
所以
故选：A
【分析】先根据向量的数量积运算求出，再对进行向量坐标化，利用坐标运算求出的最大值即可.
9．（2024高一下·龙马潭期中）下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：A，，A错误；
B，，B正确；
C，，C正确；
D，，D正确.
故答案为：BCD
【分析】直接利用余弦二倍角公式进行计算可判断A选项；直接利用正弦二倍角公式进行计算可判断B选项；利用两角差的正弦公式和三角函数诱导公式进行计算可判断C选项；将换为，再利用两角差的正切公式进行计算可判断D选项.
10．（2024高一下·龙马潭期中）函数（其中A，，是常数，，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．的值域为
B．的最小正周期为π
C．
D．将函数f（x）的图象向左平移个单位，得到函数的图象
【答案】A,B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：A、由图可知：，即，因为，所以，即的值域为，故选项A正确；
B、由图可得：，故最小正周期为，故选项B正确；
C、因为，且，所以，所以，
由图可得：的图象过点，
即，所以，
所以，解得
因为，所以，故选项C错误；
D、可知，
将函数f（x）的图象向左平移个单位，得到，
故选项D错误；
故选：AB.
【分析】根据函数图象求，即可分析判断选项A，B，C；求出函数f(x)的解析式，再根据图象变换结合诱导公式求g(x)的解析式即可判断选项D.
11．（2024高一下·龙马潭期中）已知AC为圆锥SO底面圆O的直径（S为顶点，O为圆心），点B为圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的为( )
A．圆锥SO的侧面积为
B．的取值范围为
C．若，E为线段AB上的动点，则
D．过该圆锥顶点S的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为
【答案】A,C
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；多面体和旋转体表面上的最短距离问题
【解析】【解答】解：对于A，母线长则侧面积为所以A对；
对于B，在中，则当AB=2时，，所以B错；
对于C，如图1，
为等腰直角三角形，将放平得到
如图2所示，
当三点共线时最小，F为AB的中点，连接，
则
所以C对；
对于D，如图3，
设截面为SMN，Q为MN的中点，连接OQ，SQ，设
则
当且仅当时等号成立，即当时等号成立，所以D错。
故答案为：AC.
【分析】利用已知条件结合勾股定理得出圆锥的母线的长，再结合圆锥的侧面积公式判断出选项A；利用母线相等和AB的取值范围，进而得出的取值范围，从而判断出选项B；利用等腰三角形的结构特征和三点共线得出SE+CE最小，再结合中点的性质、勾股定理、正弦函数的定义和余弦定理得出的最小值，从而判断出选项C；利用已知条件结合三角形的面积公式和均值不等式求最值的方法得出过该圆锥顶点S的平面截此圆锥所得截面面积的最大值，从而判断出选项D，进而找出结论正确的选项。
12．（2024高一下·龙马潭期中）已知平面内三个向量，，，若，则k= .
【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：由题可知，，
，
因为，所以，
所以，解得.
故答案为：
【分析】先求出的坐标表示，再由平行向量的坐标表示化简可得，解方程求出k的值即可.
13．（2024高一下·龙马潭期中）的内角、、所对的边分别为、、，且，，则的面积为 ．
【答案】
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】因为，
所以，
，
因为、、，则，所以，，
由正弦定理可得，
因为，所以，，则，可得.
由余弦定理可得，
因此，.
故答案为：.
【分析】利用三角恒等变换以及正弦定理化简可得出，可得，利用余弦定理可求得，再利用三角形的面积公式可求得结果.
14．（2024高一下·龙马潭期中）在中，，，当取最大值时， ．
【答案】
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：设，，，
，，
，
，
，
，
，
，其中，
，，，
当时取最大值，
，
，
，
，
即的值为.
故答案为：
【分析】设，，，先利用正弦定理进行边化角，再应用辅助角公式可将化简为：，再根据用余弦定理可列出方程组，解方程组可求出的值.
15．（2024高一下·龙马潭期中）已知非零向量，不共线．
（1）如果，，，求证：，，三点共线；
（2）欲使和共线，试确定实数的值．
【答案】（1）证明：因为，
所以，共线，且有公共点，所以，，三点共线.
（2）解：因为与共线，所以存在实数，使，
所以，
又因为向量，不共线，只能有，
解得：
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【分析】（1）根据向量的线性运算可知，用，表示，可知，且有公共点，即可证，，三点共线；
（2）根据向量的共线定理可知，整理可得，进而可知，解方程组即可求出的值.
（1）证明：因为，，
所以，共线，且有公共点，所以，，三点共线.
（2）因为与共线，所以存在实数，使，
则，又由于向量，不共线，只能有，
解得：
16．（2024高一下·龙马潭期中）设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值.
【答案】解：（1），
则，
则函数的最小正周期为：；
（2）函数
，
因为，所以，
所以当，即时，函数取最大值，且最大值为.
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用辅助角公式化简函数，根据三角恒等变换求得，再由三角函数最小正周期公式求解即可；
（2）由三角恒等变换可得，再由三角函数的图象与性质求解即可.
17．（2024高一下·龙马潭期中）已知函数
（1）求函数的最小正周期及对称轴方程；
（2）将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变 横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，求在[0，2π]上的单调递减区间.
【答案】（1），
，
所以函数的最小正周期为，
令，，得函数的对称轴方程为，
（2）将函数的图象向左平移个单位后所得图象的解析式为，
所以，
令，
所以.又，
所以在上的单调递减区间为.
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【分析】本题考查余弦函数的图象和性质，三角函数的图象变换.
（1）先利用两角和差的正余弦公式，辅助角公式化简函数解析可得，利用周期的计算公式可求出周期，利用余弦函数图象和性质可列出方程，解方程可求出对称轴；
（2）利用三角函数的图象和变换可求出，再利用余弦函数的图象和性质可列出不等式，解不等式可求出函数的单调递减区间，再与取交集可求出答案.
18．（2024高一下·龙马潭期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求B；
（2）已知，D为边上的一点，若，，求的长．
【答案】（1）解：由正弦定理得，，
因为，所以
所以，
所以，
因为，所以，
所以，所以，
又因为，所以．
（2）解：由余弦定理得，
所以．
因为，所以．
在中，由正弦定理知，，
所以，解得，
因为，所以
所以，所以．
【知识点】简单的三角恒等变换；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据正弦定理边角化可得，再结合三角形的内角的关系和两角和的正弦公式可得，进而即可求出B的值，
（2）根据余弦定理先求得，再利用和正弦定理求出，进而由锐角三角函数即可求出AC的长.
（1）∵，根据正弦定理得，，
即，
所以，因为，
所以，所以，
因为，所以．
（2）因为，，，根据余弦定理得
，∴．
∵，∴．
在中，由正弦定理知，，∴，
∴，，所以
∴，∴．
19．（2024高一下·龙马潭期中）如图，在中，，.
（1）若，、分别为、的中点，设、交于点，求的余弦值；
（2）若点满足，，为中点，点在线段上移动（包括端点），求的最小值.
【答案】（1）解：如图所示，以为原点，所在直线为轴，过B作的垂线为y轴建立直角坐标系，
，，，，
，，
，，
由题意知即为，的夹角，设=，
.
∴的余弦值为.
（2）解：如图所示，以为原点，所在直线为轴，过B作的垂线为y轴建立直角坐标系，
由题易知，，设，，，
，，
，，，
∴，.
，
，，
，即，解得（负值舍去），
，
∵为中点，，
设，，，，
，
，
所以当时，，
所以的最小值为.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）建立平面直角坐标系，结合已知条件求出相关点的坐标和向量以及模长，进而利用向量的夹角公式即可求得的余弦值 ；
（2）设，，结合即可用t表示出M点坐标，利用求出t的值，设，表示出的表达式，结合一次函数的性质，即可求得的最小值.
（1）以为原点，所在直线为轴，过B作的垂线为y轴，建立如图所示直角坐标系，
，，，，，，
，，
，，
由题意知即为，的夹角，设为，
.
（2）设，，
，，，
设，，，
，，，则，.
，
，，
，即，解得（负值舍去），
，因为为中点，，
设，，，，
，
，
所以当时，即.
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