广东省东莞市三校（东莞一中、东莞实验、东莞外国语）2023-2024学年高一下学期期中联考数学试卷
1．（2024高一下·东莞期中）已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由题意可得，，所以，
所以 在复平面内对应的点位于第四象限.
故选：D.
【分析】利用复数的除法运算法则求出复数，进而求得，即可求得其在复平面内对应的点，进而可知其位于哪个象限内.
2．（2024高一下·东莞期中） 已知按从小到大顺序排列的两组数据：
甲组：27，30，37，a，40，50；乙组：24，b，33，44，48，52．
若这两组数据的第30百分位数对应相等，第50百分位数也对应相等，则a+b=（ ）
A．60 B．65 C．70 D．75
【答案】C
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：由题意，可得，解得，故
故答案为：C.
【分析】根据题干数据，分别求两组数据的第30百分位数和第50百分位数，列出方程组求解即可.
3．（2024高一下·东莞期中）某大学共有教师1000人，其中教授、副教授、讲师、助教的人数比为，现用分层抽样的方法从全校所有教师中抽取一个容量为40的样本，如果样本按比例分配，那么讲师应抽取的人数为（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
【答案】B
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：讲师应抽取的人数为，
故选：B．
【分析】根据分层抽样的方法， 样本按比例分配计算得到样本中讲师的人数 .
4．（2024高一下·东莞期中）已知平面向量，的夹角为，且，，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以，
所以在方向上的投影向量为.
故选：D.
【分析】结合已知条件先求出，进而利用数量积的定义求出，再根据投影向量的定义计算可得在方向上的投影向量为.
5．（2024高一下·东莞期中）已知某地区中小学共有学生20000人，各学段学生所占比例如图甲所示，近视情况如图乙所示，则该地区初中生近视的人数为（ ）
A．3150 B．3600 C．5250 D．6000
【答案】C
【知识点】用样本的频率分布估计总体分布
【解析】【解答】解：由题意可得，该地区初中生有人，
而该地区初中生的近视率为70%，所以该地区初中生近视的人数为人.
故选：C.
【分析】根据给定的扇形统计图可先求得初中生人数，再由条形统计图确定初中生的近视率计算即可求得初中生近视的人数.
6．（2024高一下·东莞期中）由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为，腰长为，如图，那么它在原平面图形中，顶点到轴的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：过点作'轴，交'轴于点，如图所示：
在中，，则，，
由正弦定理，可得，
由斜二测画法可知，原平面图形中，顶点到轴的距离为.
故答案为：D.
【分析】过点作'轴，交'轴于点，在中，利用正弦定理求得，再根据斜二测画法求原平面图形中，顶点到轴的距离即可.
7．（2024高一下·东莞期中）记的内角的对边分别为，设向量若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；半角公式；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：因为，所以，
由正弦定理得.
因为在中，所以.
又因为，所以，解得.
故选：C.
【分析】结合平行向量的坐标运算可得，再利用正弦定理进行边化角化简，即可得到，进而可求出B.
8．（2024高一下·东莞期中）《数学汇编》第3卷中记载着一个确定重心的定理：“如果同一平面内的一个闭合图形的内部与一条直线不相交，那么该闭合图形围绕这条直线旋转一周所得到的旋转体的体积等于闭合图形面积乘以该闭合图形的重心旋转所得周长的积”，即（表示平面图形绕旋转轴旋转的体积，表示平面图形的面积，表示重心绕旋转轴旋转一周的周长）．如图，等腰梯形，已知，则其重心到的距离为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】解：设，重心到的距离为，
易知等腰梯形绕旋转一周所得的几何体的体积，
而梯形的面积，重心绕旋转轴旋转一周的周长，
所以，解得.
故选：D．
【分析】空间几何体的相关计算公式可得等腰梯形绕旋转一周所得的几何体的体积，再结合 ，可得，求出h'的值即可求得重心到的距离 .
9．（2024高一下·东莞期中）设是复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A,C
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：设，
A、若，则，即，显然，故选项A正确；
B、若，则，即
则，该值不一定为0，故选项B错误；
C、若，则，而，，所以 ，故选项C正确，
D、，故不一定成立，故选项D错误；
故选：AC.
【分析】设，利用复数的概念，模长公式，相等复数，共轭复数的概念，乘法运算法则逐一判断分析即可.
10．（2024高一下·东莞期中）在中，内角，，的对边分别为，，，下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若为锐角三角形，则
C．若，则一定是等腰直角三角形
D．若，，则一定是等边三角形
【答案】A,B,D
【知识点】正弦定理的应用；三角形的形状判断；利用三角函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：A、根据大角对大边，因为，所以，
根据正弦定理可得，其中为三角形外接圆半径，所以，故选项A正确；
B、若为锐角三角形，则，所以，
所以，故选项B正确；
C、因为，由余弦定理得，
整理可得，所以或，
所以为等腰三角形或直角三角形，故选项C错误；
D、由余弦定理，可得，所以，解得，
所以，所以是等边三角形，故选项D正确.
故选：ABD.
【分析】根据大边对大角可知，再利用正弦定理分析即可判断选项A；由题可知，即，利用正弦函数的单调性和诱导公式即可判断选项B；利用余弦定理角化边化简后可判断选项C；利用余弦定理整理可得a=c，进而即可判断选项D.
11．（2024高一下·东莞期中）已知正方体的棱长为分别为的中点.下列说法正确的是（ ）
A．点到平面的距离为
B．正方体外接球的体积为
C．面截正方体外接球所得圆的面积为
D．以顶点为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于
【答案】B,C,D
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球内接多面体；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】A、由题意可得，所以，设到平面的距离为，由，可得，即，解得，故选项错误；
B、正方体外接球的半径为，外接球的体积为，故选项B正确；
C、易得面经过正方体外接球的球心，故其截外接球所得圆的半径为外接球的半径，其圆的面积为，故选项C正确；
D、如图所示，
球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点所在的三个面上，即面 面和面上；
另一类在不过顶点的三个面上，即面 面和面上.在面上，交线为弧且在过球心的大圆上，
因为，则，同理，所以，故弧的长为，而这样的弧共有三条.
在面上，交线为弧且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为，半径为，所以弧的长为，这样的弧也有三条.
所得的曲线长，故选项D正确.
故选：BCD.
【分析】等体积法求得点到平面的距离即可判断选项A；由外接球的直径为正方体的体对角线，求出外接球的半径，进而求出球的体积即可判断选项B；由面经过外接球球心，求得其外接圆圆心，其截外接球所得圆的半径为外接球的半径，进而求圆的面积即可判断选项C；将球面与正方体的表面相交所得的曲线分为两类，一类在顶点所在的三个面上，即面 面和面上；另一类在不过顶点的三个面上，即面 面和面上.在面上，交线为弧且在过球心的大圆；对应的弧各自都有3条，进而按照弧长公式计算即可判断选项D.
12．（2024高一下·东莞期中）写出一个同时满足①②的复数 .①；②.
【答案】(或)
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为，不妨设，
因为，所以，
所以，解得，，
所以或，
故答案为：或.
【分析】根据题意，设，结合条件，列出方程，求出a和b的值，进而写出复数z即可.
13．（2024高一下·东莞期中）已知正四棱台的上下底边长分别为，正四棱台体积为，则此表面积为
【答案】512
【知识点】棱台的结构特征；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设正四棱台的高为，由V=，解得，
令正四棱台上下底面中心为，一个侧面等腰梯形上下底边中点分别为，
则四边形为直角梯形，，，
所以该正四棱台的斜高，
所以该正四棱台的表面积（）.
故答案为：512.
【分析】根据给定条件结合棱台的体积公式先求出棱台的高，进而求出正四棱台的斜高，再利用棱台的表面积公式求出正四棱台的表面积即可.
14．（2024高一下·东莞期中）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图2中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：如图所示，取的中点，连接.
所以，
因为为圆的直径，长度为4，，所以，
根据正六边形的性质，结合图形可知，当点与正六边形的顶点重合时，
当点为正六边形的边的中点时(如图点)，
所以，所以，所以.
故答案为：.
【分析】根据向量的线性运算和数量积运算可得，结合已知条件可进一步化简为，从而只需求的取值范围，由图易得的最大最小值，代入即得的取值范围 .
15．（2024高一下·东莞期中）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）求样本成绩的第75百分位数；
（3）已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差.
【答案】（1）解：由频率分布直方图中每组小矩形的面积之和为1，可得，解得；
（2）解：由频率分布直方图可知：成绩落在内的频率为，
落在内的频率为，
显然第75百分位数，由，解得，则第75百分位数为84；
（3）解：由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，则；
由样本方差计算总体方差公式，得总方差为.
【知识点】频率分布直方图；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中各组的频率和为1，列方程求的值即可；
（2）先判断第75百分位数，再列方程求第75百分位数即可；
（3）先根据频率分布直方图计算出成绩在和的人数，再根据平均数的定义和方差公式求解即可.
（1）由每组小矩形的面积之和为1得，，解得.
（2）成绩落在内的频率为，
落在内的频率为，
显然第75百分位数，
由，解得，
所以第75百分位数为84；
（3）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，所以；
由样本方差计算总体方差公式，得总方差为
16．（2024高一下·东莞期中）已知的内角所对的边分别为，且满足.
（1）求角B的大小；
（2）若，，点D在边上，且，求的长.
【答案】（1）解：由余弦定理可得，
整理可得，
所以，
又因为，
所以.
（2）解：由正弦定理可得，
由，可得A为锐角，可得，
由余弦定理可得
整理可得解得或(舍去)，
又点D在边AC上， 且所以
所以在中，由余弦定理可得 .
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）利用余弦定理角化边，化简可求得cosB，进而求得角B即可.
（2）利用正弦定理先求得sinA，再结合同角三角函数的基本关系求出，进而利用余弦定理求得c的值，结合已知条件可求得，最后再利用余弦定理求解即可求出BD.
（1）
因为，
由余弦定理得，
整理可得，
所以，又，
所以.
（2）因为
所以由正弦定理可得，
由，可得A为锐角，可得，
由余弦定理得故
整理可得解得或(舍去)，
又点D在边AC上， 且所以
所以在中，由余弦定理可得 .
17．（2024高一下·东莞期中）如图，在中，，点满足．
（1）若点是线段上一点，且，求实数的值；
（2）若，求的余弦值．
【答案】（1）解：设，，
因为，所以，
所以
，
又，
所以，解得，
所以实数的值为；
（2）解：因为，所以，
由题意设，所以，
在中，由正弦定理可得①，
在中，由正弦定理可得②，
由①②可得，
所以，
所以，
又，，所以，
所以的余弦值为.
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理；同角三角函数间的基本关系；解三角形
【解析】【分析】（1）设，，结合图形以及平面向量的线性运算可得，再结合 ，列方程组，求解即可得m的值；
（2）设，在和中利用正弦定理可得，即，利用两角差的正弦公式化简可得，利用平方和公式即可求出，即可求的余弦值.
（1）设，，
因为，所以，
，
又，
所以，所以，所以实数的值为；
（2）因为，所以，
由题意设，所以，
在中，①，
在中，②，
由①②可得，
所以，
所以，又，，所以，
所以的余弦值为.
18．（2024高一下·东莞期中）如图，以AD所在直线为轴将直角梯形ABCD旋转得到三棱台，其中，．
（1）求证：；
（2）若，求直线AD与平面CDF所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：如图所示，连接BD，DE，
设，则，
取AB的中点G，连接DG，则四边形BCDG为正方形，所以，
所以，所以，所以
同理可得，，
因为平面BDE，
所以平面BDE，
又因为平面BDE，所以；
（2）解：由（1）知，
又因为，所以，
因为，所以．
又因为，平面ABCD，所以平面ABCD，
因为面ABCD，所以，
如图所示，过点D作交AB于点M，连接EM．
因为，平面DEM，
所以平面DEM，
又因为平面ABE，所以平面平面ABE．
过点D作交EM于点N，连接AN．
所以就是直线AD与平面ABE所成的线面角．
因为平面平面ADE，所以就是直线AD与平面CDF所成的线面角．
因为，，，所以，
又因为，所以，
即直线AD与平面CDF所成线面角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）如图，取AB的中点G，连接DG，BD，DE，设，由勾股定理的逆定理可得，同理可得，结合线面垂直的判定定理可得平面BDE，进而利用线面垂直的性质即可证得 ；
（2）由（1）和勾股定理的逆定理可得，又，可得平面ABCD，进而可得，过点D作交AB于点M，连接EM．根据线面垂直的判定定理可得平面DEM，根据面面垂直的判定定理可得平面平面ABE，则为题意所求的线面角，解三角形即可求得直线AD与平面CDF所成线面角的正弦值.
（1）连接BD，DE，设，则，
取AB的中点G，连接DG，则四边形BCDG为正方形，故，
得，∴，∴
同理可得，，又面BDE，
∴面BDE，又面BDE，；
（2）由（1）知，
又∵，∴，
由，得．
又∵，面ABCD，∴面ABCD，
过点D作交AB于点M，连接EM．
因为面ABCD，所以，又因为，且面DEM，
则面DEM，又面ABE，∴面面ABE．
过点D作交EM于点N，连接AN．
∴就是直线AD与面ABE所成的线面角．
∵面面ADE，∴就是直线AD与面CDF所成的线面角．
∵，又，，∴，
又，∴，
即直线AD与平面CDF所成线面角的正弦值为.
19．（2024高一下·东莞期中）由于2020年1月份国内疫情爆发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影响.3月份复工复产工作逐步推进，居民生活逐步恢复正常.李克强总理在6月1日考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济 小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机.某商场经营者陈某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意.已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中，且在该区域内点处有一个路灯，经测量点到区域边界、的距离分别为，，（m为长度单位）.陈某准备过点修建一条长椅（点，分别落在、上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息.
（1）求点到点的距离；
（2）为优化经营面积，当等于多少时，该三角形区域面积最小？并求出面积的最小值.
【答案】（1）解：如图所示，连接，
在中，因为，，，所以，
由余弦定理得，，
所以，即点到点的距离为.
（2）解：因为
，
所以，
化简得，当且仅当时取等号，
所以，
故当时，三角形面积最小，最小值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）连接，在中，根据已知条件先求得∠SRT，进而利用余弦定理求解的值，即可知 点到点的距离 ；
（2）由三角形面积公式和，可推出，再结合基本不等式求解的最小值，进而可求解出面积的最小值.
（1）连接，在中，因为，，，
所以，由余弦定理得，，
所以，即点到点的距离为.
（2）由，
，
，
化简得，当且仅当，
即时取等号，，
故当时，三角形面积最小，最小值为.
1 / 1广东省东莞市三校（东莞一中、东莞实验、东莞外国语）2023-2024学年高一下学期期中联考数学试卷
1．（2024高一下·东莞期中）已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2024高一下·东莞期中） 已知按从小到大顺序排列的两组数据：
甲组：27，30，37，a，40，50；乙组：24，b，33，44，48，52．
若这两组数据的第30百分位数对应相等，第50百分位数也对应相等，则a+b=（ ）
A．60 B．65 C．70 D．75
3．（2024高一下·东莞期中）某大学共有教师1000人，其中教授、副教授、讲师、助教的人数比为，现用分层抽样的方法从全校所有教师中抽取一个容量为40的样本，如果样本按比例分配，那么讲师应抽取的人数为（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
4．（2024高一下·东莞期中）已知平面向量，的夹角为，且，，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高一下·东莞期中）已知某地区中小学共有学生20000人，各学段学生所占比例如图甲所示，近视情况如图乙所示，则该地区初中生近视的人数为（ ）
A．3150 B．3600 C．5250 D．6000
6．（2024高一下·东莞期中）由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为，腰长为，如图，那么它在原平面图形中，顶点到轴的距离是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一下·东莞期中）记的内角的对边分别为，设向量若，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高一下·东莞期中）《数学汇编》第3卷中记载着一个确定重心的定理：“如果同一平面内的一个闭合图形的内部与一条直线不相交，那么该闭合图形围绕这条直线旋转一周所得到的旋转体的体积等于闭合图形面积乘以该闭合图形的重心旋转所得周长的积”，即（表示平面图形绕旋转轴旋转的体积，表示平面图形的面积，表示重心绕旋转轴旋转一周的周长）．如图，等腰梯形，已知，则其重心到的距离为（ ）
A． B． C．2 D．
9．（2024高一下·东莞期中）设是复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．（2024高一下·东莞期中）在中，内角，，的对边分别为，，，下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若为锐角三角形，则
C．若，则一定是等腰直角三角形
D．若，，则一定是等边三角形
11．（2024高一下·东莞期中）已知正方体的棱长为分别为的中点.下列说法正确的是（ ）
A．点到平面的距离为
B．正方体外接球的体积为
C．面截正方体外接球所得圆的面积为
D．以顶点为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于
12．（2024高一下·东莞期中）写出一个同时满足①②的复数 .①；②.
13．（2024高一下·东莞期中）已知正四棱台的上下底边长分别为，正四棱台体积为，则此表面积为
14．（2024高一下·东莞期中）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图2中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是 ．
15．（2024高一下·东莞期中）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）求样本成绩的第75百分位数；
（3）已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差.
16．（2024高一下·东莞期中）已知的内角所对的边分别为，且满足.
（1）求角B的大小；
（2）若，，点D在边上，且，求的长.
17．（2024高一下·东莞期中）如图，在中，，点满足．
（1）若点是线段上一点，且，求实数的值；
（2）若，求的余弦值．
18．（2024高一下·东莞期中）如图，以AD所在直线为轴将直角梯形ABCD旋转得到三棱台，其中，．
（1）求证：；
（2）若，求直线AD与平面CDF所成角的正弦值．
19．（2024高一下·东莞期中）由于2020年1月份国内疫情爆发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影响.3月份复工复产工作逐步推进，居民生活逐步恢复正常.李克强总理在6月1日考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济 小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机.某商场经营者陈某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意.已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中，且在该区域内点处有一个路灯，经测量点到区域边界、的距离分别为，，（m为长度单位）.陈某准备过点修建一条长椅（点，分别落在、上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息.
（1）求点到点的距离；
（2）为优化经营面积，当等于多少时，该三角形区域面积最小？并求出面积的最小值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由题意可得，，所以，
所以 在复平面内对应的点位于第四象限.
故选：D.
【分析】利用复数的除法运算法则求出复数，进而求得，即可求得其在复平面内对应的点，进而可知其位于哪个象限内.
2．【答案】C
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：由题意，可得，解得，故
故答案为：C.
【分析】根据题干数据，分别求两组数据的第30百分位数和第50百分位数，列出方程组求解即可.
3．【答案】B
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：讲师应抽取的人数为，
故选：B．
【分析】根据分层抽样的方法， 样本按比例分配计算得到样本中讲师的人数 .
4．【答案】D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以，
所以在方向上的投影向量为.
故选：D.
【分析】结合已知条件先求出，进而利用数量积的定义求出，再根据投影向量的定义计算可得在方向上的投影向量为.
5．【答案】C
【知识点】用样本的频率分布估计总体分布
【解析】【解答】解：由题意可得，该地区初中生有人，
而该地区初中生的近视率为70%，所以该地区初中生近视的人数为人.
故选：C.
【分析】根据给定的扇形统计图可先求得初中生人数，再由条形统计图确定初中生的近视率计算即可求得初中生近视的人数.
6．【答案】D
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：过点作'轴，交'轴于点，如图所示：
在中，，则，，
由正弦定理，可得，
由斜二测画法可知，原平面图形中，顶点到轴的距离为.
故答案为：D.
【分析】过点作'轴，交'轴于点，在中，利用正弦定理求得，再根据斜二测画法求原平面图形中，顶点到轴的距离即可.
7．【答案】C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；半角公式；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：因为，所以，
由正弦定理得.
因为在中，所以.
又因为，所以，解得.
故选：C.
【分析】结合平行向量的坐标运算可得，再利用正弦定理进行边化角化简，即可得到，进而可求出B.
8．【答案】D
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】解：设，重心到的距离为，
易知等腰梯形绕旋转一周所得的几何体的体积，
而梯形的面积，重心绕旋转轴旋转一周的周长，
所以，解得.
故选：D．
【分析】空间几何体的相关计算公式可得等腰梯形绕旋转一周所得的几何体的体积，再结合 ，可得，求出h'的值即可求得重心到的距离 .
9．【答案】A,C
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：设，
A、若，则，即，显然，故选项A正确；
B、若，则，即
则，该值不一定为0，故选项B错误；
C、若，则，而，，所以 ，故选项C正确，
D、，故不一定成立，故选项D错误；
故选：AC.
【分析】设，利用复数的概念，模长公式，相等复数，共轭复数的概念，乘法运算法则逐一判断分析即可.
10．【答案】A,B,D
【知识点】正弦定理的应用；三角形的形状判断；利用三角函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：A、根据大角对大边，因为，所以，
根据正弦定理可得，其中为三角形外接圆半径，所以，故选项A正确；
B、若为锐角三角形，则，所以，
所以，故选项B正确；
C、因为，由余弦定理得，
整理可得，所以或，
所以为等腰三角形或直角三角形，故选项C错误；
D、由余弦定理，可得，所以，解得，
所以，所以是等边三角形，故选项D正确.
故选：ABD.
【分析】根据大边对大角可知，再利用正弦定理分析即可判断选项A；由题可知，即，利用正弦函数的单调性和诱导公式即可判断选项B；利用余弦定理角化边化简后可判断选项C；利用余弦定理整理可得a=c，进而即可判断选项D.
11．【答案】B,C,D
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球内接多面体；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】A、由题意可得，所以，设到平面的距离为，由，可得，即，解得，故选项错误；
B、正方体外接球的半径为，外接球的体积为，故选项B正确；
C、易得面经过正方体外接球的球心，故其截外接球所得圆的半径为外接球的半径，其圆的面积为，故选项C正确；
D、如图所示，
球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点所在的三个面上，即面 面和面上；
另一类在不过顶点的三个面上，即面 面和面上.在面上，交线为弧且在过球心的大圆上，
因为，则，同理，所以，故弧的长为，而这样的弧共有三条.
在面上，交线为弧且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为，半径为，所以弧的长为，这样的弧也有三条.
所得的曲线长，故选项D正确.
故选：BCD.
【分析】等体积法求得点到平面的距离即可判断选项A；由外接球的直径为正方体的体对角线，求出外接球的半径，进而求出球的体积即可判断选项B；由面经过外接球球心，求得其外接圆圆心，其截外接球所得圆的半径为外接球的半径，进而求圆的面积即可判断选项C；将球面与正方体的表面相交所得的曲线分为两类，一类在顶点所在的三个面上，即面 面和面上；另一类在不过顶点的三个面上，即面 面和面上.在面上，交线为弧且在过球心的大圆；对应的弧各自都有3条，进而按照弧长公式计算即可判断选项D.
12．【答案】(或)
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为，不妨设，
因为，所以，
所以，解得，，
所以或，
故答案为：或.
【分析】根据题意，设，结合条件，列出方程，求出a和b的值，进而写出复数z即可.
13．【答案】512
【知识点】棱台的结构特征；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设正四棱台的高为，由V=，解得，
令正四棱台上下底面中心为，一个侧面等腰梯形上下底边中点分别为，
则四边形为直角梯形，，，
所以该正四棱台的斜高，
所以该正四棱台的表面积（）.
故答案为：512.
【分析】根据给定条件结合棱台的体积公式先求出棱台的高，进而求出正四棱台的斜高，再利用棱台的表面积公式求出正四棱台的表面积即可.
14．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：如图所示，取的中点，连接.
所以，
因为为圆的直径，长度为4，，所以，
根据正六边形的性质，结合图形可知，当点与正六边形的顶点重合时，
当点为正六边形的边的中点时(如图点)，
所以，所以，所以.
故答案为：.
【分析】根据向量的线性运算和数量积运算可得，结合已知条件可进一步化简为，从而只需求的取值范围，由图易得的最大最小值，代入即得的取值范围 .
15．【答案】（1）解：由频率分布直方图中每组小矩形的面积之和为1，可得，解得；
（2）解：由频率分布直方图可知：成绩落在内的频率为，
落在内的频率为，
显然第75百分位数，由，解得，则第75百分位数为84；
（3）解：由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，则；
由样本方差计算总体方差公式，得总方差为.
【知识点】频率分布直方图；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中各组的频率和为1，列方程求的值即可；
（2）先判断第75百分位数，再列方程求第75百分位数即可；
（3）先根据频率分布直方图计算出成绩在和的人数，再根据平均数的定义和方差公式求解即可.
（1）由每组小矩形的面积之和为1得，，解得.
（2）成绩落在内的频率为，
落在内的频率为，
显然第75百分位数，
由，解得，
所以第75百分位数为84；
（3）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，所以；
由样本方差计算总体方差公式，得总方差为
16．【答案】（1）解：由余弦定理可得，
整理可得，
所以，
又因为，
所以.
（2）解：由正弦定理可得，
由，可得A为锐角，可得，
由余弦定理可得
整理可得解得或(舍去)，
又点D在边AC上， 且所以
所以在中，由余弦定理可得 .
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）利用余弦定理角化边，化简可求得cosB，进而求得角B即可.
（2）利用正弦定理先求得sinA，再结合同角三角函数的基本关系求出，进而利用余弦定理求得c的值，结合已知条件可求得，最后再利用余弦定理求解即可求出BD.
（1）
因为，
由余弦定理得，
整理可得，
所以，又，
所以.
（2）因为
所以由正弦定理可得，
由，可得A为锐角，可得，
由余弦定理得故
整理可得解得或(舍去)，
又点D在边AC上， 且所以
所以在中，由余弦定理可得 .
17．【答案】（1）解：设，，
因为，所以，
所以
，
又，
所以，解得，
所以实数的值为；
（2）解：因为，所以，
由题意设，所以，
在中，由正弦定理可得①，
在中，由正弦定理可得②，
由①②可得，
所以，
所以，
又，，所以，
所以的余弦值为.
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理；同角三角函数间的基本关系；解三角形
【解析】【分析】（1）设，，结合图形以及平面向量的线性运算可得，再结合 ，列方程组，求解即可得m的值；
（2）设，在和中利用正弦定理可得，即，利用两角差的正弦公式化简可得，利用平方和公式即可求出，即可求的余弦值.
（1）设，，
因为，所以，
，
又，
所以，所以，所以实数的值为；
（2）因为，所以，
由题意设，所以，
在中，①，
在中，②，
由①②可得，
所以，
所以，又，，所以，
所以的余弦值为.
18．【答案】（1）证明：如图所示，连接BD，DE，
设，则，
取AB的中点G，连接DG，则四边形BCDG为正方形，所以，
所以，所以，所以
同理可得，，
因为平面BDE，
所以平面BDE，
又因为平面BDE，所以；
（2）解：由（1）知，
又因为，所以，
因为，所以．
又因为，平面ABCD，所以平面ABCD，
因为面ABCD，所以，
如图所示，过点D作交AB于点M，连接EM．
因为，平面DEM，
所以平面DEM，
又因为平面ABE，所以平面平面ABE．
过点D作交EM于点N，连接AN．
所以就是直线AD与平面ABE所成的线面角．
因为平面平面ADE，所以就是直线AD与平面CDF所成的线面角．
因为，，，所以，
又因为，所以，
即直线AD与平面CDF所成线面角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）如图，取AB的中点G，连接DG，BD，DE，设，由勾股定理的逆定理可得，同理可得，结合线面垂直的判定定理可得平面BDE，进而利用线面垂直的性质即可证得 ；
（2）由（1）和勾股定理的逆定理可得，又，可得平面ABCD，进而可得，过点D作交AB于点M，连接EM．根据线面垂直的判定定理可得平面DEM，根据面面垂直的判定定理可得平面平面ABE，则为题意所求的线面角，解三角形即可求得直线AD与平面CDF所成线面角的正弦值.
（1）连接BD，DE，设，则，
取AB的中点G，连接DG，则四边形BCDG为正方形，故，
得，∴，∴
同理可得，，又面BDE，
∴面BDE，又面BDE，；
（2）由（1）知，
又∵，∴，
由，得．
又∵，面ABCD，∴面ABCD，
过点D作交AB于点M，连接EM．
因为面ABCD，所以，又因为，且面DEM，
则面DEM，又面ABE，∴面面ABE．
过点D作交EM于点N，连接AN．
∴就是直线AD与面ABE所成的线面角．
∵面面ADE，∴就是直线AD与面CDF所成的线面角．
∵，又，，∴，
又，∴，
即直线AD与平面CDF所成线面角的正弦值为.
19．【答案】（1）解：如图所示，连接，
在中，因为，，，所以，
由余弦定理得，，
所以，即点到点的距离为.
（2）解：因为
，
所以，
化简得，当且仅当时取等号，
所以，
故当时，三角形面积最小，最小值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）连接，在中，根据已知条件先求得∠SRT，进而利用余弦定理求解的值，即可知 点到点的距离 ；
（2）由三角形面积公式和，可推出，再结合基本不等式求解的最小值，进而可求解出面积的最小值.
（1）连接，在中，因为，，，
所以，由余弦定理得，，
所以，即点到点的距离为.
（2）由，
，
，
化简得，当且仅当，
即时取等号，，
故当时，三角形面积最小，最小值为.
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