浙江省绍兴市诸暨中学暨阳分校2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题
1．（2024高一下·诸暨月考）已知，则复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2024高一下·诸暨月考）设，向量，，若，则等于（ ）
A． B． C．-4 D．4
3．（2024高一下·诸暨月考）已知点是的重心，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024高一下·诸暨月考）如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离.已知山高，，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°，山顶C的仰角为60°，，则两山顶A，C之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高一下·诸暨月考）在中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高一下·诸暨月考）瑞士数学家欧拉发现的欧拉公式：，其中为虚数单位，是自然对数的底数．公式非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来．根据欧拉公式，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．2
7．（2024高一下·诸暨月考）已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则（ ）
A． B． C．3 D．7
8．（2024高一下·诸暨月考） 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高一下·诸暨月考）已知满足，则（ ）
A．
B．复平面内对应的点在第一象限
C．
D．的实部与虚部之积为
10．（2024高一下·诸暨月考）设的内角所对的边分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则为钝角三角形
C．若，则符合条件的有两个
D．若，则为等腰三角形
11．（2024高一下·诸暨月考）如图，正方形的中心与圆的圆心重合，是圆上的动点，则下列叙述正确的是（ ）
A．是定值
B．是定值
C．是定值
D．是定值
12．（2024高一下·诸暨月考）已知向量，，若与所成的角为锐角，则实数的取值范围为 .
13．（2024高一下·诸暨月考）已知，且，为虚数单位，则的最大值是 ．
14．（2024高一下·诸暨月考）在中，，点在线段上，且，，则 ；面积的最大值为 .
15．（2024高一下·诸暨月考）已知，（为虚数单位）.
（1）若是纯虚数，求实数的值；
（2）若在复平面上对应的点在第二象限，且，求实数的取值范围.
16．（2024高一下·诸暨月考）已知，，．
（1）求；
（2）当为何值时，与垂直？
（3）求向量与的夹角的余弦值．
17．（2024高一下·诸暨月考）的内角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知.
（1）求角；
（2）若是边的中点，，求.
18．（2024高一下·诸暨月考）如图，在四边形中，，，，.
（1）若，求；
（2）若，，求.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：因为，
所以，
所以复数在复平面对应的点为，位于第三象限．
故答案为：C.
【分析】先根据复数的减法运算法则求出复数，从而求出复数z在复平面对应的点的坐标，从而判断出复数对应的点所在的象限.
2．【答案】B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：因为向量，，且
故可得，解得.
故答案为：.
【分析】根据向量平行的坐标公式，即可列式计算得出实数m的值.
3．【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：延长与交于点，
根据重心的性质，为中点，且，
由，可得.
故答案为：C.
【分析】根据重心的性质和向量的线性运算，从而找出正确的选项.
4．【答案】A
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：因为，，
，，，
，；
在中，由余弦定理得
，
，即两山顶A，C之间的距离为．
故答案为：A．
【分析】利用直角三角形的边角关系，从而求得AE和CE的长，再利用余弦定理求出AC的长，即得出两山顶A，C之间的距离．
5．【答案】B
【知识点】同角三角函数间的基本关系；正弦定理
【解析】【解答】解：根据正弦定理，可得，
注意到，根据大边对大角，则，
于是，则.
故答案为：B.
【分析】根据正弦定理先算出的值，由三角形中大边对大角分析判断出角是锐角，然后根据同角三角函数基本关系式得出角C的余弦值.
6．【答案】D
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；欧拉公式的应用
【解析】【解答】解：
，
因为，
所以，当时，的最大值为2.
故答案为：D.
【分析】现将欧拉公式代入，化简求其模长，再结合余弦型函数的图象求值域的方法，从而得出的最大值.
7．【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解： 向量， ，易知，
向量在上的投影向量为，则，
即，，故.
故答案为：B.
【分析】由题意，根据投影向量的概念求得，可求得的坐标，再求模即可.
8．【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：由，根据余弦的二倍角公式可得：，所以，
即，又因为，所以，即，故，由，
根据余弦定理可得，即，又因为，所以，所以，
根据正弦定理得，所以，设的外接圆的半径为，所以，解得，
所以的外接圆的面积为.
故答案为：B.
【分析】根据余弦的二倍角公式将化简，再根据两角和的正弦公式结合角的取值范围，可得到，最后利用余弦定理和正弦定理将化简可得，从而求出结果.
9．【答案】A,C,D
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：设，
则由已知得，
即，
所以解得
所以，则，故选项A正确、选项B错误；
因为，的实部为，虚部为1，
所以的实部与虚部之积为，故选项C、选项D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用复数代数形式的运算法则进行运算，从而求出复数，则判断出选项A；再利用共轭复数的定义和复数的几何意义，则判断出选项B；利用复数的乘法运算法则，则判断出选项C；利用复数的实部和虚部的定义，则判断出选项D，进而找出正确的选项.
10．【答案】A,B
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：对于A，根据大角对大边，，
根据正弦定理可得，其中为三角形外接圆半径，
则，故A正确；
对于B，根据余弦定理结合已知条件可知，，
由，则，故B正确；
对于C，根据正弦定理，，结合已知条件得出，
故这样的三角形不存在，故选项C错误；
对于D，若，由正弦定理得，
则，则或者，
即或者，即是等腰三角形或者直角三角形，故选项D错误.
故答案为：AB.
【分析】根据三角形中大边对大角结合正弦定理，则判断出选项A；根据余弦定理判断出角是钝角，则判断出选项B；根据正弦定理判断出选项C；利用正弦定理边角互化和等腰三角形的定义，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：根据题意，以为坐标原点建立平面直角坐标系，如下图所示：
不妨设正方形边长为，圆的半径为，点坐标为；
则可得，且，易知.
对于选项A，因为为定值，故A正确；
对于选项B，因为
为定值，故B正确；
对于选项C，易知表达式中不能表示成只含有边长和半径的式子，
即与有关，则其不是定值，故C错误；
对于选项D，因为
为定值，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】依题意建立以为原点的坐标系，设正方形边长为，圆的半径为，点坐标为，对选项中的表达式进行化简可得选项A、选项B和选项D中的表达式可写成只含有和的式子，结果为定值，而选项C中的结果最终含有，即与点位置有关，不是定值，从而找出叙述正确的选项.
12．【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：因为与所成的角为锐角，故且不共线同向，
故，即，
若共线，则即，
故实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】根据数量积为正可求出参数m的取值范围，注意与不共线.
13．【答案】6
【知识点】复数的模；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：设，由，
则，表示的是圆心为，半径为的圆，
而表示的是圆上一点到的距离，
如图所示，显然最大距离是与圆心的连线加上半径长，
即最大值为.
故答案为：.
【分析】设，根据得出满足的关系，再表示出后根据复数的几何意义，从而求出的最大值.
14．【答案】；
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；含三角函数的复合函数的值域与最值；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由正弦定理：，则，
又因为，所以，即.
法一：因为，则，
所以，
则，
即，
由基本不等式知：，即，
得，当且仅当时取等号，
所以.
法二：设，，
则，，，
在和中，由正弦定理得：
，
又因为，则，
所以，
则，
即，
则，
又因为，即，
所以，得，则，
所以，
因为，则，所以，
因此，即面积的最大值为.
故答案为：；
【分析】根据式子的特点选择正弦定理化简，利用余弦定理和三角形中角A的取值范围，从而得出的值；利用两种方法求解面积的最大值.方法一：利用题中条件得出，平方后得b，c的关系式 ，再利用基本不等式求最值的方法和三角形的面积公式得出面积的最大值；方法二：将三角形面积表示为角的关系式，利用角的取值范围和三角恒等变换，则根据余弦型函数的图象求值域的方法，从而得出面积的最大值.
15．【答案】（1）解：因为，
根据题意，是纯虚数，故，解得：.
（2）解：由，得，即，
又因为，由于在复平面上对应的点在第二象限，
故，解得：，
综上所述，实数的取值范围为.
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【分析】（1）根据复数的乘法运算法则，再结合纯虚数的判断方法，则得出实数a的值.
（2）根据复数模长公式，从而整理不等式，再根据复数的几何意义，从而建立不等式组，解不等式组得出实数的取值范围.
（1）根据题意是纯虚数，故，解得：；
（2）由，得：，即，从而，
由于在复平面上对应的点在第二象限，
故，解得：，
综上，实数的取值范围为.
16．【答案】（1）解：依题意，，
所以.
（2）解：若与垂直，
则，
解得.
（3）解：因为，
设向量与的夹角为，
所以.
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）先由向量的数量积运算法则求得，然后通过平方的方法求得.
（2）根据向量垂直则数量积为0，列方程，化简求得的值.
（3）根据向量的夹角公式即可求解.
（1）依题意，，
所以.
（2）若与垂直，
则，
解得.
（3），
设向量与的夹角为，
则.
17．【答案】（1）解：，
由正弦定理得，
，
，
，
又因为，，
.
（2）解：在中，，
由余弦定理得，
，
即，解得或，
当时，，
所以，，
当时，，
，，
综上所述，或.
【知识点】简单的三角恒等变换；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）利用正弦定理的边角互化与三角恒等变换，从而化简得到的值，再根据三角形中角C的取值范围，从而得出角C的值.
（2）在中，根据余弦定理求出的长，在中利用余弦定理求出边的值.
（1），
由正弦定理得，
，
，
，又，，
.
（2）在中，，
由余弦定理得，
，即，解得或，
当时，，
所以，；
当时，，
，；
综上，或.
18．【答案】（1）解：由题意得，
在中，由余弦定理得
，得，
由正弦定理，
得，
故.
（2）解：在中，由余弦定理，
得①，
在中，由正弦定理，
得，
所以，代入①式得，
得，
则，即.
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）由余弦定理可得的长，由正弦定理和两角互补的诱导公式，从而得出的值.
（2）由余弦定理得，再由正弦定理得，两式结合得出的值.
（1）由题意得，
在中，由余弦定理得，得，
由正弦定理，得.
故.
（2）在中，由余弦定理，
得①，
在中，由正弦定理，得.
所以，代入①式得，得，
则，即.
1 / 1浙江省绍兴市诸暨中学暨阳分校2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题
1．（2024高一下·诸暨月考）已知，则复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：因为，
所以，
所以复数在复平面对应的点为，位于第三象限．
故答案为：C.
【分析】先根据复数的减法运算法则求出复数，从而求出复数z在复平面对应的点的坐标，从而判断出复数对应的点所在的象限.
2．（2024高一下·诸暨月考）设，向量，，若，则等于（ ）
A． B． C．-4 D．4
【答案】B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：因为向量，，且
故可得，解得.
故答案为：.
【分析】根据向量平行的坐标公式，即可列式计算得出实数m的值.
3．（2024高一下·诸暨月考）已知点是的重心，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：延长与交于点，
根据重心的性质，为中点，且，
由，可得.
故答案为：C.
【分析】根据重心的性质和向量的线性运算，从而找出正确的选项.
4．（2024高一下·诸暨月考）如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离.已知山高，，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°，山顶C的仰角为60°，，则两山顶A，C之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：因为，，
，，，
，；
在中，由余弦定理得
，
，即两山顶A，C之间的距离为．
故答案为：A．
【分析】利用直角三角形的边角关系，从而求得AE和CE的长，再利用余弦定理求出AC的长，即得出两山顶A，C之间的距离．
5．（2024高一下·诸暨月考）在中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同角三角函数间的基本关系；正弦定理
【解析】【解答】解：根据正弦定理，可得，
注意到，根据大边对大角，则，
于是，则.
故答案为：B.
【分析】根据正弦定理先算出的值，由三角形中大边对大角分析判断出角是锐角，然后根据同角三角函数基本关系式得出角C的余弦值.
6．（2024高一下·诸暨月考）瑞士数学家欧拉发现的欧拉公式：，其中为虚数单位，是自然对数的底数．公式非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来．根据欧拉公式，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；欧拉公式的应用
【解析】【解答】解：
，
因为，
所以，当时，的最大值为2.
故答案为：D.
【分析】现将欧拉公式代入，化简求其模长，再结合余弦型函数的图象求值域的方法，从而得出的最大值.
7．（2024高一下·诸暨月考）已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则（ ）
A． B． C．3 D．7
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解： 向量， ，易知，
向量在上的投影向量为，则，
即，，故.
故答案为：B.
【分析】由题意，根据投影向量的概念求得，可求得的坐标，再求模即可.
8．（2024高一下·诸暨月考） 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：由，根据余弦的二倍角公式可得：，所以，
即，又因为，所以，即，故，由，
根据余弦定理可得，即，又因为，所以，所以，
根据正弦定理得，所以，设的外接圆的半径为，所以，解得，
所以的外接圆的面积为.
故答案为：B.
【分析】根据余弦的二倍角公式将化简，再根据两角和的正弦公式结合角的取值范围，可得到，最后利用余弦定理和正弦定理将化简可得，从而求出结果.
9．（2024高一下·诸暨月考）已知满足，则（ ）
A．
B．复平面内对应的点在第一象限
C．
D．的实部与虚部之积为
【答案】A,C,D
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：设，
则由已知得，
即，
所以解得
所以，则，故选项A正确、选项B错误；
因为，的实部为，虚部为1，
所以的实部与虚部之积为，故选项C、选项D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用复数代数形式的运算法则进行运算，从而求出复数，则判断出选项A；再利用共轭复数的定义和复数的几何意义，则判断出选项B；利用复数的乘法运算法则，则判断出选项C；利用复数的实部和虚部的定义，则判断出选项D，进而找出正确的选项.
10．（2024高一下·诸暨月考）设的内角所对的边分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则为钝角三角形
C．若，则符合条件的有两个
D．若，则为等腰三角形
【答案】A,B
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：对于A，根据大角对大边，，
根据正弦定理可得，其中为三角形外接圆半径，
则，故A正确；
对于B，根据余弦定理结合已知条件可知，，
由，则，故B正确；
对于C，根据正弦定理，，结合已知条件得出，
故这样的三角形不存在，故选项C错误；
对于D，若，由正弦定理得，
则，则或者，
即或者，即是等腰三角形或者直角三角形，故选项D错误.
故答案为：AB.
【分析】根据三角形中大边对大角结合正弦定理，则判断出选项A；根据余弦定理判断出角是钝角，则判断出选项B；根据正弦定理判断出选项C；利用正弦定理边角互化和等腰三角形的定义，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
11．（2024高一下·诸暨月考）如图，正方形的中心与圆的圆心重合，是圆上的动点，则下列叙述正确的是（ ）
A．是定值
B．是定值
C．是定值
D．是定值
【答案】A,B,D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：根据题意，以为坐标原点建立平面直角坐标系，如下图所示：
不妨设正方形边长为，圆的半径为，点坐标为；
则可得，且，易知.
对于选项A，因为为定值，故A正确；
对于选项B，因为
为定值，故B正确；
对于选项C，易知表达式中不能表示成只含有边长和半径的式子，
即与有关，则其不是定值，故C错误；
对于选项D，因为
为定值，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】依题意建立以为原点的坐标系，设正方形边长为，圆的半径为，点坐标为，对选项中的表达式进行化简可得选项A、选项B和选项D中的表达式可写成只含有和的式子，结果为定值，而选项C中的结果最终含有，即与点位置有关，不是定值，从而找出叙述正确的选项.
12．（2024高一下·诸暨月考）已知向量，，若与所成的角为锐角，则实数的取值范围为 .
【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：因为与所成的角为锐角，故且不共线同向，
故，即，
若共线，则即，
故实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】根据数量积为正可求出参数m的取值范围，注意与不共线.
13．（2024高一下·诸暨月考）已知，且，为虚数单位，则的最大值是 ．
【答案】6
【知识点】复数的模；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：设，由，
则，表示的是圆心为，半径为的圆，
而表示的是圆上一点到的距离，
如图所示，显然最大距离是与圆心的连线加上半径长，
即最大值为.
故答案为：.
【分析】设，根据得出满足的关系，再表示出后根据复数的几何意义，从而求出的最大值.
14．（2024高一下·诸暨月考）在中，，点在线段上，且，，则 ；面积的最大值为 .
【答案】；
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；含三角函数的复合函数的值域与最值；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由正弦定理：，则，
又因为，所以，即.
法一：因为，则，
所以，
则，
即，
由基本不等式知：，即，
得，当且仅当时取等号，
所以.
法二：设，，
则，，，
在和中，由正弦定理得：
，
又因为，则，
所以，
则，
即，
则，
又因为，即，
所以，得，则，
所以，
因为，则，所以，
因此，即面积的最大值为.
故答案为：；
【分析】根据式子的特点选择正弦定理化简，利用余弦定理和三角形中角A的取值范围，从而得出的值；利用两种方法求解面积的最大值.方法一：利用题中条件得出，平方后得b，c的关系式 ，再利用基本不等式求最值的方法和三角形的面积公式得出面积的最大值；方法二：将三角形面积表示为角的关系式，利用角的取值范围和三角恒等变换，则根据余弦型函数的图象求值域的方法，从而得出面积的最大值.
15．（2024高一下·诸暨月考）已知，（为虚数单位）.
（1）若是纯虚数，求实数的值；
（2）若在复平面上对应的点在第二象限，且，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：因为，
根据题意，是纯虚数，故，解得：.
（2）解：由，得，即，
又因为，由于在复平面上对应的点在第二象限，
故，解得：，
综上所述，实数的取值范围为.
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【分析】（1）根据复数的乘法运算法则，再结合纯虚数的判断方法，则得出实数a的值.
（2）根据复数模长公式，从而整理不等式，再根据复数的几何意义，从而建立不等式组，解不等式组得出实数的取值范围.
（1）根据题意是纯虚数，故，解得：；
（2）由，得：，即，从而，
由于在复平面上对应的点在第二象限，
故，解得：，
综上，实数的取值范围为.
16．（2024高一下·诸暨月考）已知，，．
（1）求；
（2）当为何值时，与垂直？
（3）求向量与的夹角的余弦值．
【答案】（1）解：依题意，，
所以.
（2）解：若与垂直，
则，
解得.
（3）解：因为，
设向量与的夹角为，
所以.
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）先由向量的数量积运算法则求得，然后通过平方的方法求得.
（2）根据向量垂直则数量积为0，列方程，化简求得的值.
（3）根据向量的夹角公式即可求解.
（1）依题意，，
所以.
（2）若与垂直，
则，
解得.
（3），
设向量与的夹角为，
则.
17．（2024高一下·诸暨月考）的内角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知.
（1）求角；
（2）若是边的中点，，求.
【答案】（1）解：，
由正弦定理得，
，
，
，
又因为，，
.
（2）解：在中，，
由余弦定理得，
，
即，解得或，
当时，，
所以，，
当时，，
，，
综上所述，或.
【知识点】简单的三角恒等变换；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）利用正弦定理的边角互化与三角恒等变换，从而化简得到的值，再根据三角形中角C的取值范围，从而得出角C的值.
（2）在中，根据余弦定理求出的长，在中利用余弦定理求出边的值.
（1），
由正弦定理得，
，
，
，又，，
.
（2）在中，，
由余弦定理得，
，即，解得或，
当时，，
所以，；
当时，，
，；
综上，或.
18．（2024高一下·诸暨月考）如图，在四边形中，，，，.
（1）若，求；
（2）若，，求.
【答案】（1）解：由题意得，
在中，由余弦定理得
，得，
由正弦定理，
得，
故.
（2）解：在中，由余弦定理，
得①，
在中，由正弦定理，
得，
所以，代入①式得，
得，
则，即.
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）由余弦定理可得的长，由正弦定理和两角互补的诱导公式，从而得出的值.
（2）由余弦定理得，再由正弦定理得，两式结合得出的值.
（1）由题意得，
在中，由余弦定理得，得，
由正弦定理，得.
故.
（2）在中，由余弦定理，
得①，
在中，由正弦定理，得.
所以，代入①式得，得，
则，即.
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