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《探索三角形全等的条件》习题
一、选择题
1．如图，AE∥DF，AE=DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（ ）
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A．AB=CD B．EC=BF C．∠A=∠D D．AB=BC
2．如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ）
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A．∠A=∠D B．AB=DC C．∠ACB=∠DBC D．AC=BD
3．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形” ( http: / / www.21cnjy.com )，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：2·1·c·n·j·y
①AC⊥BD；②AO=CO=AC；③△ABD≌△CBD，
其中正确的结论有（ ）
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A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．如图，点E，F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是（ ）2-1-c-n-j-y
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A．∠A=∠C B．∠D=∠B C．AD∥BC D．DF∥BE
5．如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（ ）
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A．BD=DC，AB=AC B．∠ADB=∠ADC，BD=DC
C．∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D．∠B=∠C，BD=DC
6．如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．BD=CD B．AB=AC C．∠B=∠C D．∠BAD=∠CAD
二、填空题
7．如图，在△ABC和△BAD中，BC=A ( http: / / www.21cnjy.com )D，请你再补充一个条件，使△ABC≌△BAD．你补充的条件是 （只填一个）． 21*cnjy*com
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8．如图，AD=AB，∠C=∠E，∠CDE=55°，则∠ABE= ．
( http: / / www.21cnjy.com )
9．如图，有一个直角三角形ABC，∠C=9 ( http: / / www.21cnjy.com )0°，AC=8，BC=3，P、Q两点分别在边AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，且PQ=AB．问当AP= 时，才能使△ABC和△PQA全等．www-2-1-cnjy-com
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10．如图，∠1=∠2．
（1）当BC=BD时，△ABC≌△ABD的依据是 ；
（2）当∠3=∠4时，△ABC≌△ABD的依据是 ．
( http: / / www.21cnjy.com )
三、解答题
11．已知，如图，B、C、D三点共线，AB⊥BD，ED⊥CD，C是BD上的一点，且AB=CD，∠1=∠2，请判断△ACE的形状并说明理由．【来源：21cnj*y.co*m】
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12．已知：如图，AB=CD，AD=CB．求证：△ABC≌△CDA．
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13．已知：如图，AD为∠BAC的平分线，且DF⊥AC于F，∠B=90°，DE=DC．试问BE与CF的关系，并加以说明．21·cn·jy·com
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14．已知：如图，点E、C、D、A在同一条直线上，AB∥DF，ED=AB，∠E=∠CPD．
求证：△ABC≌△DEF．
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15．如图，点A、C、D、B 四点共线，且AC=DB，∠A=∠B，∠E=∠F．求证：DE=CF．
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参考答案
一、选择题
1．答案：A
解析：【解答】∵AE∥FD，
∴∠A=∠D，
∵AB=CD，
∴AC=BD，
在△AEC和△DFB中，
，
∴△EAC≌△FDB（SAS），
故选：A．
【分析】添加条件AB=CD可证明AC=BD，然后再根据AE∥FD，可得∠A=∠D，再利用SAS定理证明△EAC≌△FDB即可．21cnjy.com
2．答案：D
解析：【解答】A、可利用AAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
B、可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
C、利用ASA判定△ABC≌△DCB，故此选项不符合题意；
D、SSA不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；
故选：D．
【分析】本题要判定△ABC ( http: / / www.21cnjy.com )≌△DCB，已知∠ABC=∠DCB，BC是公共边，具备了一组边对应相等，一组角对应相等，故添加AB=CD、∠ACB=∠DBC、∠A=∠D后可分别根据SAS、ASA、AAS能判定△ABC≌△DCB，而添加AC=BD后则不能．21·世纪*教育网
3．答案：D
解析：【解答】在△ABD与△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
故③正确；
∴∠ADB=∠CDB，
在△AOD与△COD中，
，
∴△AOD≌△COD（SAS），
∴∠AOD=∠COD=90°，AO=OC，
∴AC⊥DB，
故①②正确；
故选D
【分析】先证明△ABD与△CBD全等，再证明△AOD与△COD全等即可判断．
4．答案：B
解析：【解答】当∠D=∠B时，
在△ADF和△CBE中
∵，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
故选：B．
【分析】利用全等三角形的判定与性质进而得出当∠D=∠B时，△ADF≌△CBE．
5．答案：D
解析：【解答】A、∵在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD（SSS），故本选项错误；
B、∵在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD（SAS），故本选项错误；
C、∵在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD（AAS），故本选项错误；
D、不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABD≌△ACD，故本选项正确；
故选D
【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．21世纪教育网版权所有
6．答案：B
解析：【解答】A、∵∠1=∠2，AD为公共边，若BD=CD，则△ABD≌△ACD（SAS）；
B、∵∠1=∠2，AD为公共边，若AB=AC，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD；
C、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠B=∠C，则△ABD≌△ACD（AAS）；
D、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠BAD=∠CAD，则△ABD≌△ACD（ASA）；
故选：B．
【分析】利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS对各个选项逐一分析即可得出答案．
二、填空题
7．答案：AC=BD（或∠CBA=∠DAB）
解析：【解答】欲证两三角形全等，已有条件：BC=AD，AB=AB，
所以补充两边夹角∠CBA=∠DAB便可以根据SAS证明；
补充AC=BD便可以根据SSS证明．
故补充的条件是AC=BD（或∠CBA=∠DAB）．
【分析】根据已知条件在三角形中位置结合三角形全等的判定方法寻找条件．已知给出了一边对应相等，由一条公共边，还缺少角或边，于是答案可得．www.21-cn-jy.com
8．答案：125°
解析：【解答】∵在△ADC和△ABE中
∴△ADC≌△ABE（AAS）
∴∠ADC=∠ABE
∵∠CDE=55°
∴∠ADC=125°
∴∠ABE=125°
【分析】在△ADC和△ABE中，由∠C ( http: / / www.21cnjy.com )=∠E，∠A=∠A和AD=AB证明△ADC≌△ABE，得到∠ADC=∠ABE，由∠CDE=55°，得到∠ADC=125°，即可求出∠ABE的度数．
9．答案：8或3．
解析：【解答】①当P与C重合时，AC=AP=8时，△BCA≌△QAP，
在Rt△BCA和Rt△QAC中，
，
∴Rt△BCA≌Rt△QAC（HL）；
②当AP=BC=3时，△BCA≌△PAQ，
在Rt△BCA和Rt△QAC中，
，
∴Rt△BCA≌Rt△PAQ（HL）
【分析】此题要分情况讨论：①当P与C重合时，AC=AP=8时，△BCA≌△QAP；②当AP=BC=3时，△BCA≌△PAQ．【来源：21·世纪·教育·网】
10．答案：SAS、ASA
解析：【解答】（1）∵∠1=∠2，AB=AB，BC=BD
∴△ABC≌△ABD（SAS）；
（2）∵∠1=∠2，AB=AB，∠3=∠4
∴△ABC≌△ABD（ASA）．
【分析】（1）因为∠1=∠2，AB共边，当BC=BD时，能根据SAS判定△ABC≌△ABD；
（2）因为∠1=∠2，AB共边，当∠3=∠4时，能根据ASA判定△ABC≌△ABD．
三、解答题
11．答案：见解答过程．
解析：【解答】∵∠1=∠2，
∴AC=CE，
∵AB⊥BD，ED⊥CD，
在△ABC与△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE，
∴∠ACB=∠CED，
∵∠CED+∠ECD=90°，
∴∠ACD+∠ECD=90°，
∴∠ACE=90°，
∴△ACE是等腰直角三角形．
【分析】由∠1=∠2可得AC=CE ( http: / / www.21cnjy.com )，再加上AB=CD，AB⊥BD，ED⊥CD，可直接证明三角形ABC与三角形CDE全等，从而易得三角形ACE是等腰直角三角形．
12．答案：见解答过程．
解析：【解答】证明：在△ABC和△CDA中，
，
∴△ABC≌△CDA（SSS）．
【分析】根据“SSS”可判断△ABC≌△CDA．
13．答案：BE=CF．
解析：【解答】BE=CF．
理由：∵∠B=90°，
∴BD⊥AB．
∵AD为∠BAC的平分线，且DF⊥AC，
∴DB=DF．
在Rt△BDE和Rt△FDC中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△FDC（HL），
∴BE=CF．
【分析】先由角平分线的性质就可以得出DB=DF，再证明△BDE≌△FDC就可以求出结论．
14．答案：见解答过程．
解析：【解答】证明：∵AB∥DF，
∴∠B=∠CPD，∠A=∠FDE，
∵∠E=∠CPD．
∴∠E=∠B，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
【分析】首先根据平行线的性质可得∠B=∠CPD，∠A=∠FDE，再由∠E=∠CPD可得∠E=∠B，再利用ASA证明△ABC≌△DEF．21教育网
15．答案：见解答过程
解析：【解答】证明：∵AC=DB，
∴AC+CD=DB+CD，即AD=BC，
在△AED和△BFC中，
∴△AED≌△BFC．
∴DE=CF．
【分析】根据条件可以求出AD=BC，再证明△AED≌△BFC，由全等三角形的性质就可以得出结论．
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《探索三角形全等的条件》教案
教学目标
一、知识与技能
1．掌握三角形全等的条件；
2．会证明简单的三角形全等问题；
二、过程与方法
1．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；
2．通过观察、动手操作、类比、推断等数学活动，积累数学活动经验，感受数学思考过程的条理性，发展形象思维；【来源：21·世纪·教育·网】
三、情感态度和价值观
1．通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受，培养学生勇于创新，多方位审视问题的创
造技巧；
2．通过分组讨论学习，体会合作学习的兴趣；
教学重点
探究三角形全等的条件；
教学难点
寻求三角形全等的条件；
教学方法
引导发现法、启发猜想
课前准备
教师准备
课件、多媒体
学生准备
练习本
课时安排
3课时
教学过程
一、导入
小明作业本上画的三角形被墨迹污染了，她想画一个与原来完全一样的三角形，她该怎么办？请你帮助小颖想一个办法，并说明你的理由？21·世纪*教育网
注意：与原来完全一样的三角形，即是与原来三角形全等的三角形.
要画一个三角形与小明画的三角形全等.需要几个与边或角的大小有关的条件呢？一个条件？两个条件？三个条件？···www-2-1-cnjy-com
让我们一起来探索三角形全等的条件
二、新课
做一做
1．只给一个条件（一条边或一个角）画三角形时，大家画出的三角形一定全等吗？
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2．给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况？每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按照下面的条件做一做．2-1-c-n-j-y
（1）三角形的一个内角为30° ，一条边为3cm；
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（2）三角形的两个内角分别为30°和50° ；
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（3）三角形的两条边分别为4cm，6cm.
( http: / / www.21cnjy.com )
结论：只给出一个条件或两个条件时，都不能保证所画出的三角形一定全等．
议一议
如果给出三个条件画三角形，你能说出有哪几种可能的情况？
有四种可能：三条边、三个角、两边一角和两角一边．
做一做
（1）已知一个三角形的三个内角分别为40° ，60°和80° ，你能画出这个三角形吗？把你画的三角形与同伴画的进行比较，它们一定全等吗？ 21·cn·jy·com
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结论：三个内角对应相等的两个三角形不一定全等.
（2）已知一个三角形的三条边分别为4 cm，5cm和7cm，你能画出这个三角形吗？把你画的
三角形与同伴画的进行比较，它们一定全等吗？
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三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”.
由上面的结论可知，只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了．图
4-26是用三根木条钉成的一个三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，三角形的这个性质叫做
三角形的稳定性．图 4-27 是用四根木条钉成的框架，它的形状是可以改变的，它不具有稳定性．
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在生活中，我们经常会看到应用三角形稳定性的例子．
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
由前面的讨论我们知道，如果给出一个三角形三条边的长度，那么由此得到的三角形都是全等
的．如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢？每种情况下得到的三角形都全
等吗？
做一做
如果“两角及一边”条件中的边是两角所夹的边，比如三角形的两个内角分别是60°和80°，
它们所夹的边为2cm，你能画出这个三角形吗？你画的三角形与同伴画的一定全等吗？
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两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或 “ASA ” .
如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边，情况会怎样呢？你能将它转化为“做一做”
中的条件吗？
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成 “角角边”或“AAS ” .
想一想
如图4-29所示，AB 与CD 相交于点O，O 是 AB的中点，∠A = ∠B，△AOC 与△BOD 全21世纪教育网版权所有
等吗？为什么？
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我的思考过程如下：
因为点O 是AB的中点，所以OA = OB.又已知∠A = ∠B，且∠AOC = ∠BOD，
所以△AOC ≌ △BOD.
做一做
如果“两边及一角”条件中的角是两边的夹角，比如三角形两条边分别为2.5 cm，3.5 cm，它们21cnjy.com
所夹的角为40° ，你能画出这个三角形吗？你画的三角形与同伴画的一定全等吗？
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两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或 “SAS ” .
议一议
如果“两边及一角”条件中的角是其中一边的对角，比如两条边分别为2.5 cm，3.5cm，长度为 21教育网
2.5 cm的边所对的角为40° ，情况会怎样呢？
小明和小颖按照所给条件分别画出了下面的三角形，由此你发现了什么？与同伴进行交流.
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两边及其中一边的对角分别相等，两个三角形不一定全等.
三、习题
1．分别找出各题中的全等三角形，并说明理由.
( http: / / www.21cnjy.com )
解：（1）△ABC≌△ EFD.
（2）△ADC≌△ CBA.
2．小明做了一个如图所示的风筝，其中∠ED ( http: / / www.21cnjy.com )H = ∠FDH，ED=FD．将上述条件标注在图中，小明不用测量就能知道EH=FH吗？与同伴进行交流． www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com )
解：小明不用测量就能知道EH=FH．
因为根据“SAS”可以得出△EDH≌△ FDH，所以EH=FH
四、拓展
如图,小明不慎将一块 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形模具打碎为两块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块与原来一样的三角形模具吗 如果可以,带哪块去合适 你能说明其中理由吗 2·1·c·n·j·y
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解：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，所以带第②块去.
五、小结
通过本节课的内容，你有哪些收获？
1.三角形全等的判定方法；
2.会运用判定方法解决实际问题.
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初中数学北师大版七年级下册
第四章 三角形
3 探索三角形全等的条件
导入
小明作业本上画的三角形被墨迹污染了，她想画一个与原来完全一样的三角形，她该怎么办？请你帮助小颖想一个办法，并说明你的理由？
注意：与原来完全一样的三角形，即是与原来三角形全等的三角形.
导入
要画一个三角形与小明画的三角形全等.需要几个与边或角的大小有关的条件呢？一个条件？两个条件？三个条件？···
让我们一起来探索三角形全等的条件
做一做
1．只给一个条件（一条边或一个角）画三角形时，大家画出的三角形一定全等吗？
新课
3cm
3cm
3cm
45
45
45
新课
2．给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况？每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按照下面的条件做一做．
（1）三角形的一个内角为30° ，一条边为3cm；
3cm
3cm
3cm
30
30
新课
（2）三角形的两个内角分别为30°和50° ；
30
30
50
50
新课
（3）三角形的两条边分别为4cm，6cm.
6cm
6cm
4cm
4cm
新课
结论：只给出一个条件或两个条件时，都不能保证所画出的三角形一定全等．
新课
议一议
如果给出三个条件画三角形，你能说出有哪几
种可能的情况？
有四种可能：三条边、三个角、两边一角和两角
一边．
新课
做一做
（1）已知一个三角形的三个内角分别为40° ，60°和80° ，你能画出这个三角形吗？把你画的三角形与同伴画的进行比较，它们一定全等吗？
结论：三个内角对应相等的两个三角形不一定全等.
新课
（2）已知一个三角形的三条边分别为4 cm，5cm
和7cm，你能画出这个三角形吗？把你画的三角形
与同伴画的进行比较，它们一定全等吗？
三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边
边”或“SSS”.
新课
由上面的结论可知，只要三角形三边的长度确
定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了．图
4-26是用三根木条钉成的一个三角形框架，它的大
小和形状是固定不变的，三角形的这个性质叫做三
角形的稳定性．图 4-27 是用四根木条钉成的框架，
它的形状是可以改变的，它不具有稳定性．
新课
在生活中，我们经常会看到应用三角形稳定性
的例子．
新课
由前面的讨论我们知道，如果给出一个三角形
三条边的长度，那么由此得到的三角形都是全等
的．如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几
种可能的情况呢？每种情况下得到的三角形都全等
吗？
新课
两角夹一边
两角及其中一角的对边
三边（SSS）
两角及一边
两边及一角
三个角
四种可能
如果给出三个条件画三角形,有
新课
做一做
如果“两角及一边”条件中的边是两角所夹的
边，比如三角形的两个内角分别是60°和80°，它
们所夹的边为2cm，你能画出这个三角形吗？你画
的三角形与同伴画的一定全等吗？
2cm
新课
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或 “ASA ” .
新课
如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的
对边，情况会怎样呢？你能将它转化为“做一做”
中的条件吗？
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成 “角角边”或“AAS ” .
新课
想一想
如图4-29所示，AB 与CD 相交于点O，O 是 AB
的中点，∠A = ∠B，△AOC 与△BOD 全等吗？为
什么？
新课
我的思考过程如下：
因为点O 是AB的中点，所以OA = OB.
又已知∠A = ∠B，且∠AOC = ∠BOD，
所以△AOC ≌ △BOD.
新课
做一做
如果“两边及一角”条件中的角是两边的夹角，
比如三角形两条边分别为2.5 cm，3.5 cm，它们所
夹的角为40° ，你能画出这个三角形吗？你画的
三角形与同伴画的一定全等吗？
新课
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或 “SAS ” .
新课
议一议
如果“两边及一角”条件中的角是其中一边的
对角，比如两条边分别为2.5 cm，3.5cm，长度为
2.5 cm的边所对的角为40° ，情况会怎样呢？
小明和小颖按照所给条件分别画出了下面的三
角形，由此你发现了什么？与同伴进行交流.
新课
两边及其中一边的对角分别相等，两个三角形不一定全等.
习题
1．分别找出各题中的全等三角形，并说明理由.
解：（1）△ABC≌△ EFD.
（2）△ADC≌△ CBA.
习题
2．小明做了一个如图所示的风筝，其中∠EDH = ∠FDH，ED=FD．将上述条件标注在图中，小明不用测量就能知道EH=FH吗？与同伴进行交流．
习题
2．解：小明不用测量就能知道EH=FH．
因为根据“SAS”可以得出△EDH≌△ FDH
所以EH=FH
拓展
如图,小明不慎将一块三角形模具打碎为两块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块与原来一样的三角形模具吗 如果可以,带哪块去合适 你能说明其中理由吗
拓展
解：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.
所以带第②块去.
①
②
小结
通过本节课的内容，你有哪些收获？
1.三角形全等的判定方法；
2.会运用判定方法解决实际问题.
