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《利用三角形全等测距离》习题
一、选择题
1．要测量河两岸相对的两点A、B的距离， ( http: / / www.21cnjy.com )先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在同一条直线上，如图，可以得到△EDC≌△ABC，所以ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC≌△ABC的理由是（ ）
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A．SAS B．ASA C．SSS D．HL
2．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其 ( http: / / www.21cnjy.com )中AB=AD，BC=DC．将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（ ）www.21-cn-jy.com
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A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
3．如图：要测河岸相对两点A、B间距离，先 ( http: / / www.21cnjy.com )从B出发与AB成90°角方向，向前走50米到C立一根标杆，然后方向不变继续朝前走50米到D处，在D处转90°沿DE方向走17米，到达E处，使A、C与E在同一直线上，那么测得A、B的距离为17米．这一作法的理论依据是（ ）21·世纪*教育网
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A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
4．如图，两条笔直的公路l ( http: / / www.21cnjy.com )1、l2相交于点O，公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知AB=AD=5.2km，CB=CD=5km，村庄C到公路l1的距离为4km，则C村到公路l2的距离是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A．3km B．4km C．5km D．5.2km
5．如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（ ）【出处：21教育名师】
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A．PO B．PQ C．MO D．MQ
C．∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D．∠B=∠C，BD=DC
6．如图，将两根钢条AA′、BB′的中 ( http: / / www.21cnjy.com )点 O连在一起，使AA′、BB′能绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，由三角形全等可知A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（ ）21教育名师原创作品
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A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS
二、填空题
7．如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，点C是AD的中点，也是BE的中点，若DE=20米，则AB= ．21*cnjy*com
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8．如图，在东西走向的铁路上有A、 ( http: / / www.21cnjy.com )B两站（视为直线上的两点）相距36千米，在A、B的正北分别有C、D两个蔬菜基地，其中C到A站的距离为24千米，D到B站的距离为12千米，现要在铁路AB上建一个蔬菜加工厂E，使蔬菜基地C、D到E的距离相等，则E站应建在距A站 千米的地方．
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9．“三月三，放风筝”，如图是小明 ( http: / / www.21cnjy.com )制作的风筝，他根据DE=DF，EH=FH，不用度量，就知道∠DEH=∠DFH，小明是通过全等三角形的识别得到的结论，请问小明用的识别方法是 （用字母表示）．
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10．如图1所示的折叠凳．图2是折叠凳撑开后 ( http: / / www.21cnjy.com )的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长相等，O是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30cm，则由以上信息可推得CB的长度也为30cm，依据是 ．
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三、解答题
11．如图，A、B两点分别位于一个假山两边，请你利用全等三角形的知识设计一种测量A、B间距离的方案，并说明其中的道理．
（1）测量方案：
（2）理由：
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12．小强为了测量一幢高楼 ( http: / / www.21cnjy.com )高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC=36°，测楼顶A视线PA与地面夹角∠APB=54°，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离为DB=36米，小强计算出了楼高，楼高AB是多少米？【来源：21·世纪·教育·网】
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13．如图所示，在铁路线 ( http: / / www.21cnjy.com )CD同侧有两个村庄A，B，它们到铁路线的距离分别是15km和10km，作AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C，D，且CD=25，现在要在铁路旁建一个农副产品收购站E，使A，B两村庄到收购站的距离相等，用你学过的知识，通过计算，确定点E的位置．
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14．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：
①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；
②沿河岸直走20m有一树C，继续前行20m到达D处；
③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；
④测得DE的长为5米．
求：（1）河的宽度是多少米？
（2）请你证明他们做法的正确性．
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15．如图，点D为码头，A，B两个灯塔 ( http: / / www.21cnjy.com )与码头的距离相等，DA，DB为海岸线．一轮船离开码头，计划沿∠ADB的角平分线航行，在航行途中C点处，测得轮船与灯塔A和灯塔B的距离相等．试问：轮船航行是否偏离指定航线？请说明理由．21教育网
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参考答案
一、选择题
1．答案：B
解析：【解答】∵AB⊥BF，DE⊥BF，
∴∠ABC=∠EDC=90°，
在△EDC和△ABC中，
，
∴△EDC≌△ABC（ASA）．
故选B．
【分析】结合图形根据三角形全等的判定方法解答．
2．答案：D
解析：【解答】在△ADC和△ABC中，
，
∴△ADC≌△ABC（SSS），
∴∠DAC=∠BAC，
即∠QAE=∠PAE．
故选：D．
【分析】在△ADC和△ABC中，由于A ( http: / / www.21cnjy.com )C为公共边，AB=AD，BC=DC，利用SSS定理可判定△ADC≌△ABC，进而得到∠DAC=∠BAC，即∠QAE=∠PAE．【版权所有：21教育】
3．答案：C
解析：【解答】∵先从B处出发与AB成90°角方向，
∴∠ABC=90°，
在△ABC和△EDC中，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB=DE，
∵沿DE方向再走17米，到达E处，即DE=17
∴AB=17．
故选：C．
【分析】根据已知条件求证△ABC≌△EDC，利用其对应边相等的性质即可求得AB．
4．答案：B
解析：【解答】连接AC，
在△ADC和△ABC中
，
∴△ADC≌△ABC（SSS），
∴∠DAC=∠BAC，
∴C到l1与C到l2的距离相等，都为4km．
故选：B．
【分析】利用已知得出△ADC≌△ABC（SSS），进而利用角平分线的性质得出答案．
5．答案：B
解析：【解答】要想利用△PQO≌△NMO求得MN的长，只需求得线段PQ的长，
故选：B．
【分析】利用全等三角形对应边相等可知要想求得MN的长，只需求得其对应边PQ的长，据此可以得到答案．
6．答案：A
解析：【解答】∵O是AA′、BB′的中点，
∴AO=A′O，BO=B′O，
在△OAB和△OA′B′中，
∴△OAB≌△OA′B′（SAS），
故选：A．
【分析】由O是AA′、BB′的中点 ( http: / / www.21cnjy.com )，可得AO=A′O，BO=B′O，再有∠AOA′=∠BOB′，可以根据全等三角形的判定方法SAS，判定△OAB≌△OA′B′．21cnjy.com
二、填空题
7．答案：20米
解析：【解答】∵点C是AD的中点，也是BE的中点，
∴AC=DC，BC=EC，
∵在△ACB和△DCE中，
，
∴△ACB≌△DCE（SAS），
∴DE=AB=20米
【分析】根据题目中的条件可证明△ACB≌△DCE，再根据全等三角形的性质可得AB=DE，进而得到答案．2·1·c·n·j·y
8．答案：12
解析：【解答】设AE=x千米，则BE=（36﹣x）千米，
在Rt△AEC中，CE2=AE2+AC2=x2+242，
在Rt△BED中，DE2=BE2+BD2=（36﹣x）2+122，
∵CE=ED，
∴x2+242=（36﹣x）2+122，解得x=12，
所以E站应建在距A站12千米的地方，能使蔬菜基地C、D到E的距离相等．
【分析】设AE=x千米，则BE=（36﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )x）千米，分别在Rt△AEC和Rt△BED中，利用勾股定理表示出CE和ED，然后通过CE=ED建立方程，解方程即可．www-2-1-cnjy-com
9．答案：SSS．
解析：【解答】证明：∵在△DEH和△DFH中，
∴△DEH≌△DFH（SSS），
∴∠DEH=∠DFH
【分析】根据题目中的条件DE=DF， ( http: / / www.21cnjy.com )EH=FH，再加上公共边DH=DH，可利用SSS证明△DEH≌△DFH，再根据全等三角形的性质可得∠DEH=∠DFH．2-1-c-n-j-y
10．答案：全等三角形对应边相等.
解析：【解答】∵O是AB、CD的中点，
∴OA=OB，OC=OD，
在△AOD和△BOC中，，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴CB=AD，
∵AD=30cm，
∴CB=30cm．
所以，依据是全等三角形对应边相等．
【分析】根据中点定义求出OA=OB，OC=OD，然后利用“边角边”证明△AOD和△BOC全等，根据全等三角形对应边相等即可证明． 21*cnjy*com
三、解答题
11．答案：见解答过程．
解析：【解答 ( http: / / www.21cnjy.com )】（1）测量方案：先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，连接AC、BC，并分别延长AC至E，BC至D，使EC=AC，DC=BC，最后测出DE的距离即为AB的长；
（2）理由：
在△EDC和△ABC中，
，
∴△EDC≌△ABC（SAS），
∴ED=AB（全等三角形对应边相等），
即DE的距离即为AB的长．
【分析】（1）先在平地上取一个 ( http: / / www.21cnjy.com )可直接到达A、B的点C，连接AC、BC，并分别延长AC至E，BC至D，使EC=AC，DC=BC，最后测出DE的距离即为AB的长；
（2）利用SAS证明△EDC≌△ABC，根据全等三角形的对应边相等得到ED=AB．
12．答案：楼高AB是26米．
解析：【解答】∵∠CPD=36°，∠APB=54°，∠CDP=∠ABP=90°，
∴∠DCP=∠APB=54°，
在△CPD和△PAB中
∵，
∴△CPD≌△PAB（ASA），
∴DP=AB，
∵DB=36，PB=10，
∴AB=36﹣10=26（m），
答：楼高AB是26米．
【分析】根据题意可得△CPD≌△PAB（ASA），进而利用AB=DP=DB﹣PB求出即可．
13．答案：E点在距离C点10km处．
解析：【解答】设CE=xkm，则DE=（25﹣x）km，
∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴△ACE和△BDE都是直角三角形，
在Rt△ACE中，AE2=152+x2，
在Rt△BDE中，BE2=102+（25﹣x）2，
∵AE=BE，
∴152+x2=102+（25﹣x）2，
解得：x=10，
∴E点在距离C点10km处
【分析】产品收购站E，使得A、B两村到 ( http: / / www.21cnjy.com )E站的距离相等，在Rt△DBE和Rt△CAE中，设出CE的长，可将AE和BE的长表示出来，列出等式进行求解．21世纪教育网版权所有
14．答案：见解答过程．
解析：【解答】（1）解：河的宽度是5m；
（2）证明：由作法知，BC=DC，∠ABC=∠EDC=90°，
在Rt△ABC和Rt△EDC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△EDC（ASA），
∴AB=ED，
即他们的做法是正确的．
【分析】（1）根据全等三角形对应角相等可得AB=DE；
（2）利用“角边角”证明Rt△ABC和Rt△EDC全等，再根据全等三角形对应边相等解答．
15．答案：此时轮船没有偏离航线.
解析：【解答】此时轮船没有偏离航线．
理由：由题意知：DA=DB，AC=BC，
在△ADC和△BDC中，
，
∴△ADC≌△BDC（SSS），
∴∠ADC=∠BDC，
即DC为∠ADB的角平分线，
∴此时轮船没有偏离航线．
【分析】只要证明轮船与D点的连线平分∠AD ( http: / / www.21cnjy.com )B就说明轮船没有偏离航线，也就是证明∠ADC=∠BDC，证角相等，常常通过把角放到两个三角形中，利用题目条件证明这两个三角形全等，从而得出对应角相等．21·cn·jy·com
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《利用三角形全等测距离》教案
教学目标
一、知识与技能
1．能利用三角形的全等解决“测量不可到达的两点间的距离”的实际问题；
2．能在解决实际问题的过程中进行有条理的思考和说理表达；
二、过程与方法
1．经历探索设计构造全等三角形测距离的过程中，培养学生思维的逻辑性和发散性；
2．掌握利用三角形全等“测距离”的延长全等法、垂直全等法；
三、情感态度和价值观
1．通过故事，激发学生的积极性，感受数学与生活的密切联系；在小组合作交流；
2．解决问题的过程中，培养学生的合作精神；
教学重点
能利用三角形的全等解决实际问题；
教学难点
如何灵活多样地构造全等三角形；
教学方法
引导发现法、启发猜想
课前准备
教师准备
课件、多媒体；
学生准备
练习本；
课时安排
1课时
教学过程
一、导入
请你在下列各图中，以最快的速度画出一个三角形，使它与△ABC全等，比比看谁快！
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二、新课
一位经历过战争的老人讲述了这样一个故事：
在一次战役中，我军阵地与敌军 ( http: / / www.21cnjy.com )碉堡隔河相望.为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离．在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出来这样一个办法：为成功炸毁碉堡立了一功.21世纪教育网版权所有
这位聪明的八路军战士的方法如下：
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他面向碉堡的方向站好，然后调整帽 ( http: / / www.21cnjy.com )子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离．
(1)战士所讲述的方法中，已知条件是什么？
由战士所讲述的方法可知：战士的身高AH不变 ( http: / / www.21cnjy.com ),战士与地面是垂直的(AH⊥BC);视角∠HAC=∠HAB，战士要测的是敌碉堡(B)与我军阵地(H)的距离,战士的结论是只要按要求
(如图)测得HC的长度即可.(即BH=HC)
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让学生说明“战士的测量方法”，并演示了 ( http: / / www.21cnjy.com )“利用战士的方法”在教室中找到了与自己距离相等的两个点（他用书本当作简易的帽檐演示了一番），并说明：这一过程中，人的身高没变、人与地面垂直没变、俯视角没变。满足“角边角”条件，所以战士是利用三角形全等，根据“全等三角形的对应边相等”解决问题.战士很聪明，我要向他学习，碰到问题要多动脑，总会找到解决的办法.21教育网
教师总结：用数学知识解决实际问题一定要从实际出发，将其构造为确实可行的全等三角形，而不能脱离实际，穿墙测量.21cnjy.com
想一想
如图，A，B 两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量 A，B 间的距离，但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意： 21·cn·jy·com
先在地上取一个可以直接到达 A 点和B点的点C，连接 AC 并延长到 D，使CD= CA；连接
BC并延长到E，使CE= CB，连接DE并测量出它的长度，DE的长度就是 A，B 间的距离.
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小明是这样想的：
在△ABC 和△DEC 中，
因为AC = DC，∠ACB = ∠DCE，BC = EC，
所以△ABC ≌ △DEC，
所以 AB = DE.
针对池塘问题：各组竞争展示了以下五种设计方案，其他组对其方案过程，说理进行评价，补充.
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三、习题
1．如图，小明家有一个玻璃容器，他 ( http: / / www.21cnjy.com )想测量一下它的内径是多少？但是他无法将刻度尺伸进去直接测量，于是他把两根长度相等的小木条AB，CD的中点连在一起，木条可以绕中点O自由转动，这样只要测量A，C的距离，就可以知道玻璃容器的内径，你知道其中的道理吗？请说明理由． www.21-cn-jy.com
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解：如图所示：连接AC，BD，
在△ODB和△OCA中，AO=BO，∠AOC=∠BOD，CO=DO
∴△ODB≌△OCA（SAS），
∴BD=AC．
故只要测量A，C的距离，就可以知道玻璃容器的内径．
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四、拓展
课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图，
求证：△ADC≌△CEB．
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证明：由题意得：AC=BC，∠ACB=90°，
AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠CEB=90°
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠BCE=∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
∵ ∠ADC=∠CEB，∠DAC=∠BCE，AC=BC
∴△ADC≌△CEB（AAS）．
五、小结
通过本节课的内容，你有哪些收获？
1.知识
利用三角形全等测距离的目的：变不可测距离为可测距离.
依据：全等三角形的性质.
关键：构造全等三角形.
2.方法
（1）延长法构造全等三角形；
（2）垂直法构造全等三角形.
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初中数学北师大版七年级下册
第四章 三角形
5 利用三角形全等测距离
导入
请你在下列各图中，以最快的速度画出一个三角形，使它与△ABC全等，比比看谁快！
A
B
C
A
B
A
C
B
D′
D
D
E
D
E
E
C
一位经历过战争的老人讲述了这样一个故事：
新课
在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望.为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离．在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出来这样一个办法：为成功炸毁碉堡立了一功.
新课
他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离．
这位聪明的八路军战士的方法如下：
步测距离
碉堡距离
新课
由战士所讲述的方法可知：战士的身高AH不变,战士与地面是垂直的(AH⊥BC);
视角∠HAC=∠HAB，战士要测的是敌碉堡(B)与我军阵地(H)的距离,战士的结论是只要按要求
(如图)测得HC的长度即可.
(即BH=HC)
A
B(敌)
C
H(我)
(1)战士所讲述的方法中，已知条件是什么？
新课
（2）请用所学的数学知识说明BH=CH的理由.
A
B(敌)
C
H(我)
理由：在△AHB与△AHC中，
∠BAH=∠CAH
AH=AH
∠BHA=∠CHA
△AHB≌△AHC（ASA）
BH=CH.
新课
想一想
如图，A，B 两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量 A，B 间的距离，但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：
新课
先在地上取一个可以直接到达 A 点和B点的点C，
连接 AC 并延长到 D，使CD= CA；连接BC并延
长到E，使CE= CB，连接DE并测量出它的长度，
DE的长度就是 A，B 间的距离.
B
A
·
C
D
E
·
·
·
·
新课
小明是这样想的：
在△ABC 和△DEC 中，
因为AC = DC，∠ACB = ∠DCE，BC = EC，
所以△ABC ≌ △DEC，
所以 AB = DE.
习题
1．如图，小明家有一个玻璃容器，他想测量一下它的内径是多少？但是他无法将刻度尺伸进去直接测量，于是他把两根长度相等的小木条AB，CD的中点连在一起，木条可以绕中点O自由转动，这样只要测量A，C的距离，就可以知道玻璃容器的内径，你知道其中的道理吗？请说明理由．
习题
解：如图所示：连接AC，BD，
在△ODB和△OCA中，
AO=BO，∠AOC=∠BOD，CO=DO
∴△ODB≌△OCA（SAS），
∴BD=AC．
故只要测量A，C的距离，就可以知道玻璃容器的内径．
拓展
课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图，
求证：△ADC≌△CEB．
拓展
证明：由题意得：AC=BC，∠ACB=90°，
AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠CEB=90°
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠BCE=∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
∵ ∠ADC=∠CEB，∠DAC=∠BCE，AC=BC
∴△ADC≌△CEB（AAS）．
小结
通过本节课的内容，你有哪些收获？
1.知识
利用三角形全等测距离的目的：变不可测距离为可测距离.
依据：全等三角形的性质.
关键：构造全等三角形.
2.方法
（1）延长法构造全等三角形；
（2）垂直法构造全等三角形.
