登陆21世纪教育 助您教考全无忧
《简单的轴对称图形》习题
一、选择题
1．△ABC中，边AB、AC的中垂线交于点O，则有( )
A.O在△ABC内部
B.O在△ABC的外部
C.O在BC边上
D.OA=OB=OC
2．如图在△ABC中，AB＜AC，BC边的垂直平分线DE交BC于D，交AC于E，AB=6cm，AC=8cm，则△ABE的周长为( )
( http: / / www.21cnjy.com )2·1·c·n·j·y
A.20cm B.12cm C.8cm D.14cm
3．如图，△ABC中，∠B=40°，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，且∠EAB：∠CAE=3：1，则∠C等于( )
2-1-c-n-j-y
A.28° B.25° C.22.5° D.20°
4．若△ABC的边BC的垂直平分线经过顶点A，与BC相交于点D，且AB=2AD，则△ABC中必有一个内角的度数为( ) 21*cnjy*com
A.45° B.60° C.90° D.120°
5．下列说法错误的是( )
A.D，E是线段AB的垂直平分线上的两点，则AD=BD，AE=BE
B.若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上
C.若AD=BD，AE=BE，则直线DE是线段AB的垂直平分线
D.若PA=PB，则过P点的直线是线段AB的垂直平分线
6．三角形纸片上有一点P，量得PA=3cm，PB=3cm，则点P一定( )
A.是边AB的中点
B.在边AB的中线上
C.在边AB的高上
D.在边AB的垂直平分线上
7．如图，△ABC中，AB=AC=4cm，BC=3cm，AC的垂直平分线交AB于D，连接CD，则△BCD的周长为( )
( http: / / www.21cnjy.com )【来源：21cnj*y.co*m】
A.4cm B.7cm C.10cm D.11cm
二、填空题
8．如图所示，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AE=3cm，△ABD得周长为13cm，则△ABC的周长是_____cm．
( http: / / www.21cnjy.com )【版权所有：21教育】
9．如右图，在△ABC中，DC是AB的垂直平分线，交AB于D，若∠B=41°，则外角∠ACE=_____．
( http: / / www.21cnjy.com )21cnjy.com
10．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线DE交BC于点E，交AB于点D，则∠EAC=_____．21·世纪*教育网
11． 如图，D在△ABC的边BC上，且BC=BD+AD，则点D在_____的垂直平分线上．
( http: / / www.21cnjy.com )
三、解答题
12．如图，已知AD是线段BC的垂直平分线，且BD=3cm，△ABC的周长为20cm，求AC的长．
( http: / / www.21cnjy.com )21教育名师原创作品
13．如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C．AC的垂直平分线分别交BC，AC于点D，E．线段AB与CD相等吗？试说明理由．21*cnjy*com
14．如图，AD是△ABC的角平分线，AD的中垂线分别交AB、BC的延长线于点F、E
求证：(1)∠EAD=∠EDA；(2)DF∥AC；www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com )
15．如图，已知△ABC．试找出一点P，使P到B、C两点的距离相等，并且到AC、BC两边的距离相等(要求用尺规作图，并保留作图痕迹)．
( http: / / www.21cnjy.com )
参考答案
一、选择题
1．答案：D
解析：【解答】∵△ABC中，边AB、AC的中垂线交于点O，
∴OA=OB，OA=OC，
∴OA=OB=OC．
故选D．21世纪教育网版权所有
【分析】从已知开始，分别根据线段垂直平分线上的点到线段两边的距离相等解答即可得到答案．
2．答案：D
解析：【解答】∵DE垂直平分BC
∴BE ( http: / / www.21cnjy.com )=CE
∵AB=6cm，AC=8cm
∴△ABE的周长为AB+AE+BE=AB+AC=14cm．
故选D【来源：21·世纪·教育·网】
【分析】要求△ABE的周长，现有AB=6c ( http: / / www.21cnjy.com )m，只要求出AE+BE即可，结合线段的垂直平分线的性质可知BE=EC，也就是只要求出AC即可，而已知中早已给出AC的大小．
3．答案：A
解析：【解答】设∠CAE=x ( http: / / www.21cnjy.com )，则∠EAB=3x．
∵AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，
∴AE=CE．
∴∠C=∠CAE=x．
根据三角形的内角和定理，得
∠C+∠BAC=180°-∠B，
即x+4x=140°，
x=28°．
则∠C=28°．
故选A．
【分析】设∠CAE=x，则 ( http: / / www.21cnjy.com )∠EAB=3x．根据线段的垂直平分线的性质，得AE=CE，再根据等边对等角，得∠C=∠CAE=x，然后根据三角形的内角和定理列方程求解．
4．答案：D
解析：【解答】如图，∵边 ( http: / / www.21cnjy.com )BC的垂直平分线经过顶点A，
∴AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵AB=2AD，
∴∠B=30°，
∴∠C=30°，∠BAC=180°-30°×2=120°，
观察各选项，只有D符合．
故选D．【出处：21教育名师】
【分析】根据线段垂直平分线上的点到 ( http: / / www.21cnjy.com )线段两端点的距离相等可得AB=AC，根据等边对等角可得∠B=∠C，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可得∠B=30°，然后求出另外的两个内角的度数，即可得解．
5．答案：D
解析：【解答】A、∵D，E是线段A ( http: / / www.21cnjy.com )B的垂直平分线上的两点，∴AD=BD，AE=BE，故本选项正确；
B、∵PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上，故本选项正确；
C、∵AD=BD，AE=BE，∴直线DE是线段AB的垂直平分线，故本选项正确；
D、∵PA=PB，∴P点在线段AB的垂直平分线上，故本选项错误．
故选D．
【分析】根据线段垂直平分线的性质对各选项进行逐一判断．
6．答案：D
解析：【解答】∵PA=3cm，PB=3cm
∴点p一定在边AB的垂直平分线上．（垂直平分线的性质）
故选D．
【分析】已知条件知道线段相等，利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等的逆定理可知点p一定在边AB的垂直平分线上．21·cn·jy·com
7．答案：B
解析：【解答】∵DE是AC的垂直平分线，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )AD=CD，
∵△ABC中，AB=AC=4cm，BC=3cm，
∴△BCD的周长为：BD+CD+BC=BD+AD+BC=AB+BC=4+3=7（cm）．
故选B．
【分析】由DE是AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质即可得AD=CD，又由AB=AC=4cm，BC=3cm，即可求得△BCD的周长．
二、填空题
8．答案：19
解析：【解答】：∵△ABC中，DE是AC的中垂线，
∴AD=CD，AE=CE=AC=3cm，
∴△ABD得周长=AB+AD+BD=AB+BC=13---①
则△ABC的周长为AB+BC+AC=AB+BC+6----②
把②代入①得
L△ABC=13+6=19cm．
△ABC的周长为19cm．
故填19．
【分析】由已知条件，根据垂直平分线的性质得到线段相等，进行线段的等量代换后可得到答案．
9．答案：82°
解析：【解答】∵DC是AB的垂直平分线，
∴AC=BC，
∴∠A=∠B=41°，
∴∠ACE=41°+41°=82°，
故答案为：82°．
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AC=BC，进而得到∠A=∠B，再根据三角形的外角性质可得答案．
10．答案：60°
解析：【解答】如图，
∵A ( http: / / www.21cnjy.com )B的垂直平分线为DE，
∴EA=EB，
∴∠EAD=∠B=15°，
∵∠AEC=∠EAD+∠B=30°，
∴∠EAC=90°-30°=60°．
故答案为60°
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB，则利用等腰三角形的性质得到∠EAD=∠B=15°，根据三角形外角性质有∠AEC=∠EAD+∠B=30°，然后根据三角形内角和定理可计算∠EAC．
11．答案：AC
解析：【解答】∵BC=BD+AD，BC=BD+CD，
∴AD=DC，
∴D在AC的垂直平分线上，
故答案为：AC．
【分析】根据已知得出AD=DC，根据线段垂直平分线定理得出．
三、解答题
12．答案：AC=7cm．
解析：【解答】∵AD是线 ( http: / / www.21cnjy.com )段BC的垂直平分线，
∴AB=AC，BD=CD，
又∵BD=3cm，
∴BC=6cm，
又∵△ABC的周长=AB+BC+AC=20cm，
∴2AC=14，
AC=7cm．
【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得AB=AC，BD=CD，然后根据等量代换，解答出即可．
13．答案：AB=CD．
解析：【解答】
AB=CD．
连接AD
∵DE垂直平分AC
∴AD=CD
∴∠DAC=∠C
∴∠ADB=∠DAC+∠C=2∠C
又∵∠B=2∠C
∴∠ADB=∠B
∴AB=AD
∴AB=CD．
【分析】作辅助线．求出∠DAC=∠C，然后依题意可解出AB=CD．
14．答案：见解答过程．
解析：【解答】证明：（1）∵EF是AD ( http: / / www.21cnjy.com )的中垂线，
∴DE=AE．
∴∠EAD=∠EDA．
（2）∵EF为中垂线，
∴FD=FA．
∴∠FDA=∠FAD．
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAD=∠DAC，
所以∠FDA=∠DAC．
∴DF∥AC．21教育网
【分析】（1）由中垂线的性质知，DE=AE，由等边对等角知，∠EAD=∠EDA
2）由中垂线的性质知，FD=FA ∠FDA=∠FAD，由AD平分∠BAC ∠FAD=∠DAC，∠FDA=∠DAC DF∥ACwww.21-cn-jy.com
15．答案：见解答过程．
解析：【解答】画BC的中垂线MN，画∠C的平分线CE，两线相交于点P，
则P为所求
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】把两矩形简化为两线段，根据轴对称的性质，可把两尺子重合．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 9 页 （共 9 页）版权所有@21世纪教育网登陆21世纪教育 助您教考全无忧
《简单的轴对称图形》教案
教学目标
一、知识与技能
1．使学生掌握等腰三角形和等边三角形的轴对称性及其有关性质；
2．探索并了解线段垂直平分线的有关性质；
3．掌握作已知角的平分线的尺规作图方法；
二、过程与方法
1．经历探索的过程，养成善于观察的习惯，从不同的情境中，通过思考、分析，总结共性，学会学习；
2．在探究作已知角的平分线的方法和角平分线的性质的过程中，发展几何直觉；
三、情感态度和价值观
1．培养学生的抽象思维和空间观念，结合教学进行审美教育，让学生充分感知数学美，激发学生热爱数学的情感；21世纪教育网版权所有
2．使学生在自主探索角平分线的过程中，经历画图、观察、比较、推理、交流等环节，从而获得正确的学习方式和良好的情感体验；21cnjy.com
教学重点
对性质的理解及探索过程
教学难点
应用性质解决一些实际问题
教学方法
引导发现法、启发猜想
课前准备
教师准备
课件、多媒体；
学生准备
三角板，练习本；
课时安排
3课时
教学过程
一、导入
认识等腰三角形：
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 .
等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.
牢固而扎实的掌握等腰三角形的有关概 ( http: / / www.21cnjy.com )念，尤其是等腰三角形的形状的分类，对于解决有关计算中多值问题大有助益，另外，等腰三角形的概念实际上也是它的一个有用性质，无论是在计算还是证明中都有很大的作用。21·cn·jy·com
二、新课
（1）等腰三角形是轴对称图形吗？如果是，请找出它的对称轴．
（2）等腰三角形顶角平分线所在的直线是它的对称轴吗？
（3）等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴吗？底边上的高所在的直线呢？
（4）沿对称轴对折，你能发现等腰三角形的哪些特征？说说你的理由．
小组合作交流
等腰三角形是一种特殊的三角形，它除具有一般三角形的性质外，还有一些特殊的性质吗？
拿出你的等腰三角形纸片，折折看，你能发现什么现象？
学生可能在回答此问题时表现出差异，有 ( http: / / www.21cnjy.com )的学生可能从分析等腰三角形特点的基础上直接想象出它的对称轴，有的学生可能需要借助折叠等活动寻找出对称轴，
现象：
(1)等腰三角形是轴对称图形。
(2)∠B =∠C
(3 )∠BAD＝∠CAD，AD为顶角的平分线
(4)∠ADB=∠ADC=90°AD为底边上的高
(5 )BD=CD，AD为底边上的中线.
( http: / / www.21cnjy.com )
等腰三角形的性质
等腰三角形是轴对称图形．
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”） ，它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴．21教育网
等腰三角形的两个底角相等．
想一想
三边都相等的三角形是等边三角形也叫正三角形.
（1）等边三角形是轴对称图形吗？找出对称轴
（2）你能发现它的哪些特征？
学生可能运用不同的办法解决这个问题，有的学生可能借助操作，有的学生可能通过等边三角形的特殊性由等腰三角形的性质推知它的特征。www.21-cn-jy.com
等边三角形的性质：
1.等边三角形是轴对称图形.
2.等边三角形每个角的平分线和这个角的 ( http: / / www.21cnjy.com )对边上的中线、高线重合（“三线合一”），它们所在的直线都是等边三角形的对称轴.等边三角形共有三条对称轴.
3.等边三角形的各角都相等，都等于60°.
线段是轴对称图形吗？如果是，你能找出它的一条对称轴吗？这条对称轴与线段存在着什么关系？
如图 5-10，画一条线段 AB，然后对折 AB，使 A，B 两点重合，设折痕与 AB 的交点为 O．你发现了什么？2·1·c·n·j·y
线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴．
线段的垂直平分线
1.垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线).
2.垂直平分线是垂直且平分线段的一条直线.
3.垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
本小节的教学主要是通过学生的动手实验来获取线段垂直平分线的有关知识，用纸张进行折叠活动使学生真正的经历了数学知识的形成过程，使课堂气氛变得生动而活泼．注意加强动手操作能力的训练。教材通过折纸、画图等实践，在实际操作中探索了线段的轴对称性及其相关性质，给我们以丰富的感性认识，从而加深对知识的理解，如果没有一定动手能力，则不易完成学习任务。【来源：21·世纪·教育·网】
例1 利用尺规，作线段AB的垂直平分线.
已知：线段AB
求作： AB的垂直平分线.
作法：
1．分别以点A和B为圆心，以大于AB的长度为半径作弧，两弧相交于点C和D．
2．作直线CD．
直线CD就是线段AB的垂直平分线．
( http: / / www.21cnjy.com )
在课堂教学中，向学生展示标准 ( http: / / www.21cnjy.com )图形，能让学生充分感受数学美，启发思维，深化知识的理解。学生自己动手，尺规作图，则能提高审美认识，陶冶情操。尺规作图有着许多规范的作图语句，这些规范作图语句的使用，既可以避免在考试中出现不必要的失分，也能培养学生规范的书面表达能力和与他人合作交流的能力21·世纪*教育网
角是轴对称图形吗？
( http: / / www.21cnjy.com )
如图5-14，将∠AOB对折，你发现了什么？
( http: / / www.21cnjy.com )
体验角平分线的简易作法，并为角平分线的性质定理的引出做铺垫，为下一步设置问题墙。
结论：
角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.
做一做
（1）在一张纸上任意画∠AOB，沿角的两边将角剪下，将这个角对折，使角的两边重合；
（2）在折痕（即角平分线）上任意取一点C，过点C分别向∠AOB的两边折垂线，垂足分别为D，E，将∠AOB再次对折，折痕CD与CE能重合吗？www-2-1-cnjy-com
改变点C的位置，CD和CE还相等吗？
角平分线的性质
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
例2 利用尺规，作∠AOB的平分线．
已知：∠AOB．
求作：射线 OC，使∠AOC =∠BOC．
( http: / / www.21cnjy.com )
作法：
1．在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD=OE．
2．分别以D，E为圆心．大于DE的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ．
3．作射线OC．
OC就是∠AOB的平分线．
明确几何作图的基本思路和方法.培养学生运用直尺和圆规作已知角的平分线的能力.让学生体验成功。
三、习题
1．先任意画一个角，然后将它四等分.
作法：画出已知角∠AOB .
1.作∠AOB 的平分线OC.
2.分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD、OE，即将∠AOB四等分 .
四、拓展
角的平分线的性质：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
几何语言:
∵ OC是∠AOB的平分线,
又 PD⊥OA,PE⊥OB
∴ PD=PE
( http: / / www.21cnjy.com )
五、小结
通过本节课的内容，你有哪些收获？
1.等腰三角形的性质;
2.等边三角形的性质;
3.线段垂直平分线的性质;
4.角平分线的性质.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 5 页 （共 7 页）版权所有@21世纪教育网(共26张PPT)
初中数学北师大版七年级下册
第五章 生活中的轴对称
3 简单的轴对称图形
导入
认识等腰三角形：
导入
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形
等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.
A
C
B
腰
腰
底边
顶角
底角
底角
新课
（1）等腰三角形是轴对称图形吗？如果是，请找出它的对称轴．
（2）等腰三角形顶角平分线所在的直线是它的对称轴吗？
（3）等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴吗？底边上的高所在的直线呢？
（4）沿对称轴对折，你能发现等腰三角形的哪些特征？说说你的理由．
新课
拿出你的等腰三角形纸片，折折看，你能发现什么现象？
等腰三角形是一种特殊的三角形，它除具有一般三角形的性质外，还有一些特殊的性质吗？
看看你本组其他同学的情况,共同交流, 能得出什么结论
小组合作交流
新课
(1)等腰三角形是轴对称图形.
(2)∠B =∠C
(3 )∠BAD＝∠CAD，AD为顶角的平分线
(4)∠ADB=∠ADC=90°AD为底边上的高
(5 )BD=CD，AD为底边上的中线.
A
B
C
D
现象：
等腰三角形的性质
新课
等腰三角形是轴对称图形．
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”） ，它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴．
等腰三角形的两个底角相等．
新课
三边都相等的三角形是等边三角形也叫正三角形.
（1）等边三角形是轴对称图形吗？找出对称轴
（2）你能发现它的哪些特征？
想一想
新课
等边三角形的性质：
1.等边三角形是轴对称图形.
2.等边三角形每个角的平分线和这个角的对边上的中线、高线重合（“三线合一”），它们所在的直线都是等边三角形的对称轴.等边三角形共有三条对称轴.
3.等边三角形的各角都相等，都等于60°.
新课
线段是轴对称图形吗？如果是，你能找出它的一条对称轴吗？这条对称轴与线段存在着什么关系？
A
B
如图 5-10，画一条线段 AB，然后对折 AB，使 A，B 两点重合，设折痕与 AB 的交点为 O．你发现了什么？
新课
A
B
O
C
A
O
B
C
线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴．
新课
新课
A
B
1.垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线).
O
2.垂直平分线是垂直且平分线段的一条直线.
线段的垂直平分线
3.垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
例题
例1 利用尺规，作线段AB的垂直平分线.
已知：线段AB
求作： AB的垂直平分线.
作法：
1．分别以点A和B为圆心，以大于 AB 的长度为半
径作弧，两弧相交于点C和D．
2．作直线CD．
直线CD就是线段AB的垂直平分线．
例题
新课
角是轴对称图形吗？
新课
如图5-14，将∠AOB对折，你发现了什么？
A
O
B
C
新课
结论：
角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.
做一做
（1）在一张纸上任意画∠AOB，沿角的两边将角剪下，将这个角对折，使角的两边重合；
（2）在折痕（即角平分线）上任意取一点C，过点C分别向∠AOB的两边折垂线，垂足分别为D，E，将∠AOB再次对折，折痕CD与CE能重合吗？
改变点C的位置，CD和CE还相等吗？
新课
新课
角平分线的性质
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
用符号语言表示为：
A
O
B
C
E
D
1
2
∵ ∠1= ∠2
PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴PD=PE
(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)
例题
例2 利用尺规，作∠AOB的平分线．
已知：∠AOB．
求作：射线 OC，使∠AOC =∠BOC．
例题
2．分别以D，E为圆心．大于 DE的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ．
作法：
1．在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD=OE．
3．作射线OC．
OC就是∠AOB的平分线．
O
B
A
C
E
D
习题
1．先任意画一个角，然后将它四等分.
作法：画出已知角∠AOB .
1.作∠AOB 的平分线OC.
2.分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD、OE，即将∠AOB四等分 .
O
B
A
C
E
D
拓展
角的平分线的性质：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
∵ OC是∠AOB的平分线,
又 PD⊥OA,PE⊥OB
∴ PD=PE
E
D
O
A
B
P
C
几何语言:
小结
通过本节课的内容，你有哪些收获？
1.等腰三角形的性质;
2.等边三角形的性质;
3.线段垂直平分线的性质;
4.角平分线的性质.
