2024-2025学年北师大版七年级数学下册第一次月考试卷（考试范围：第1~2章） （含解析）

2024-2025学年七年级数学下册第一次月考试卷（考试范围：第1~2章）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．若将展开的结果中不含有项，则，满足的关系式是（　　）
A． B． C． D．
2．画直线时要按住尺身，推移丁字尺时必须使尺头靠紧图画板的边框．请你说明：利用丁字尺画平行线的理论依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等
3．如图，三条直线交于点O，，平分，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示132×23，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，错误的是（ ）
A．“2”上边的数是8 B．“20”右边的“□”表示4
C．运算结果可以是9225 D．“5”右边的“□”表示5
5．青花瓷，又称白地青花瓷、青花，是中国陶瓷烧制工艺的珍品，也是中国瓷器的主流品种之一．如图1是某种青花瓷花瓶，图2是其抽象出的简易轮廓图，已知，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．李明在教材第83页的教学活动探索发现，如图，用相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…，拼一拼，想一想，按照这样的方法拼成的第n个正方形比第个正方形多（　　）个小正方形？
A． B． C． D．
7．如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中度数是多少（ ）
A． B． C． D．
8．观察下列各式：
；
；
；
…
根据规律计算： 的值是（ ）
A． B． C．
9．如图，在锐角三角形中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点的对应点分别是），连接．若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则的度数不可能为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，有三张正方形纸片，将三张纸片按照如图所示的方式放置于一个长方形中，已知中间重叠部分四边形恰好是一个正方形，记图中两块未被覆盖的阴影部分面积分别为和，已知，，若要知道和的面积差，只需要知道（ ）
A．正方形的边长 B．正方形的边长
C．正方形的边长 D．正方形的边长
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．已知．
（1）若，则自然数 ；
（2）若是一个完全平方数，则自然数 ．
12．如图，已知为直线上一点，以为起点作射线、．满足，且，则 °．
13．如果整数x，y，z满足，则代数式的值为 ．
14．如图是小明写字桌上的一款折叠护眼台灯的简易图，支柱与桌面交于点，灯管与桌面平行，若，，则的度数为 ．
15．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，现将不重复的数字填入如图所示的“幻方”中，使得每个圆圈上的四个数字的和都等于，若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记、、，且．如果将交点处的三个圆圈填入的数字分别记作为、、，则 ； ．
16．如图，，在的两边上分别过点和点向同方向作射线和，且．
（1）若，则的度数为 ．
（2）若和的平分线所在的直线交于点（与不重合），则的度数为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）若直线和直线相交于点，为内部的射线，平分，平分．
(1)若，求和的度数？
(2)若是任意角，求的度数？
(3)请猜想，度数会改变吗？若改变，请说明理由；若不改变，则度数是多少？
18．（6分）如图，有三张边长分别为，，的正方形纸片，， 将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为．
(1)若，，图1中阴影部分周长_____，图2中阴影部分周长_____；
(2)求图2中阴影部分面积与图1中阴影部分面积的差（用含，，的代数式表示）．
(3)若，那么与满足下列_____关系．
A． B． C． D．
19．（8分）为增强学生体质，某学校将抖空竹引入“阳光体育一小时”活动．图①是某同学抖空竹时的一个瞬间，小聪把它抽象成如图②所示的示意图．已知，，，求的度数．
20．（8分）直线相交于点O，于点O，作射线，且在的内部．
(1)①当在如图1所示位置时，若，求的度数；
②当在如图2所示位置时，若平分，证明：平分；
(2)若，请直接写出与之间的数量关系．
21．（10分）阅读理解：我们在学习了幂的有关知识后，对两个幂与（都是正数，都是正整数）的大小进行比较，并归纳总结了如下两个结论：
①若，则．（底数相同，指数大的幂大）
②若，则．（指数相同，底数大的幂大）
尝试应用：试比较与的大小．
解：因为，
，……（第1步）
又，
所以……（第2步）
问题解决：
(1)在尝试应用的解题过程中，第1步的思路是将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为_______；第2步的依据是_______．
(2)请比较下面各组中两个幂的大小：
①与；
②与．
22．（10分）如图1，，过点作，可得．利用平行线的性质，可得：与，之间的数量关系是 　 　， 　 　．
利用上面的发现，解决下列问题：
（1）如图2，，点是和平分线的交点，，求的度数；
（2）如图3，，平分，，平分，若比大，则的度数是 　 　．
23．（12分）小明在自学多项式的时候，读到如下一段材料：
已知，，，，，为实数，形如称为关于自变量的多项式，，则称多项式的次数为，设，为两个多项式，且不恒为，则存在唯一的多项式及满足，此时，称为被除式，为除式，为商式，为余式．
小明觉得这个除法与整数的除法有相似之处，因此请你帮助小明完成下列问题：
(1)求一个二次多项式，被除余，被除余，被除余．
(2)已知四次多项式满足，被除余，被除余，被除余，被除余，被除余，当时，求的值．
24．（12分）某地举办电影节，为了主场馆有更好的灯光效果，工作人员设计了灯光组进行舞台投射．如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2°，灯B转动的速度是每秒1°，假定主道路是平行的，即，且．
(1)填空：______；
(2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
(3)若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点C，且，求在灯B射线到达BQ之前，转动的时间为多少秒？直接写出答案．
参考答案
一．选择题
1．C
【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．原式利用多项式乘以多项式法则计算，由结果不含项，得出与的关系即可．
【详解】解：原式
展开的结果中不含有项
．
故选：C．
2．A
【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理即可判断求解，掌握平行线的判定定理是解题的关键．
【详解】解：由题意可知，按住尺身，使尺头靠紧图画板的边框推移丁字尺是为了使同位角相等，
∴利用丁字尺画平行线的理论依据是：同位角相等，两直线平行，
故选：．
3．A
【分析】本题考查几何图形中的角度计算，先根据垂直的定义得出，再计算出，再根据角平分线的定义得出，最后根据补角的定义可得答案．
【详解】解： ，
，
，
，
平分，
，
，
故选A．
4．D
【分析】本题考查了整式的加法运算，整式的乘法运算，理解题意，正确的逻辑推理时解决本题的关键．
设一个三位数与一个两位数分别为和，则，即，可确定时，则，由题意可判断A、B、D选项，根据题意可得运算结果可以表示为：，把代入，故可判断C选项．
【详解】解：设一个三位数与一个两位数分别为和
如图：
则由题意得：
，
∴，即，
∴当时，不是正整数，不符合题意，故舍；
当时，则，如图：
，
∴A、“2”上边的数是，故本选项不符合题意；
B、“20”右边的“□”表示4，故本选项不符合题意；
C、上面的数应为，如图：
∴运算结果可以表示为：，
∴当时，，
∴C选项不符合题意，
D、“5”右边的“□”表示1，故该选项符合题意，
故选：D．
5．A
【分析】本题考查了平行线的性质．延长，交的延长线于点，根据平行线的性质得出，，代入已知数据即可求解．
【详解】解：如图所示，延长，交的延长线于点，
∵，
∴，，
∴，
故选：A．
6．D
【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现所需小正方形个数的变化规律是解题的关键．根据所给图形，依次求出图形中正方形的个数，发现规律即可解决问题．
【详解】解：由所给图形可知，
拼第1个正方形需要的小正方形个数为：；
拼第2个正方形需要的小正方形个数为：；
拼第3个正方形需要的小正方形个数为：；
…，
所以拼第n个正方形需要的小正方形个数为个，
则，
即拼第n个正方形比第个正方形多个正方形．
故选：D．
7．A
【分析】本题考查了平行线的性质、折叠—有关角的计算、角的和与差．首先根据四边形是长方形纸带，可得，根据平行线的性质可得，根据邻补角的定义可以求出，从而可求，再根据角之间的关系可以求出的度数．
【详解】解：四边形是长方形纸带，
，
，
如图所示，
，
，
如图所示，
．
故选：A．
8．A
【分析】根据题中规律每一个式子的结果等于两项的差，被减数的指数比第二个因式中第一项大1，减数都为1，即可得到规律为，利用规律，当，时，代入其中即可求解．
本题考查了平方差公式、及数字类的规律题，解题的关键是认真阅读，总结规律，并利用规律解决问题．
【详解】解：由；
；
；
…
观察发现： ，
当，时，得
，
∴，
∴．
故选：A．
9．C
【详解】提示：如图1，当点在线段上时，过点作．因为由平移得到，所以．所以．①当时，设，则．因为，，所以．因为，所以，解得，所以．②当时，设，则．同理可得，．因为，所以．解得，所以．
如图2，当点在线段的延长线上时，过点作．同理可得．③当时，设，则．同理可得．因为，所以，解得，所以．④当时，由图可知，，故不存在这种情况．
综上所述，的度数为或或．
10．C
【分析】本题考查了列代数式，整式的混合运算，延长交于点，则右上角未被覆盖部分阴影部分的面积，分别设正方形的边长分别为，正方形的边长为，表示出，，再作差即可得解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，延长交于点，则右上角未被覆盖部分阴影部分的面积，
设正方形的边长分别为，正方形的边长为，
则，，，，，，
∴，，
∴
故要知道和的面积差，只需要知道的值即可，即要知道正方形的边长，
故选：．
二．填空题
11．
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的应用；
（1）根据题意得出，进而即可求解；
（2）根据完全平方公式得出，进而得出，即可求解．
【详解】（1）因为，所以，
所以，所以，
所以，
所以自然数；
故答案为：．
（2），
∴只有时，原式为完全平方数，即自然数.
故答案为：．
12．或
【分析】此题考查的知识点是角的计算，涉及邻补角互补，求出的度数是解题的关键．
先根据，，求出，则，再分类讨论，利用角度和差计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
当点D在上方时，，
当点D在下方时，，
综上所述：或，
故答案为：或．
13．
【分析】先将代为，利用同底数幂的除法可得，由于结果底数是2，故左边5和3的指数应为0，左边和右边2的指数相等，由此可得方程组，解方程组求出x，y，z的值，代入即可求解．
【详解】解：，
则，
，
故，
解得：，
因此，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理推论，过作，由平行公理推论得，最后由平行线的性质和角度和差即可求解，掌握平行线的性质，平行公理推论的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，过作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】根据、、的位置可知这三个数每个都加了两次，三个圆圈上的数字之和是，但是这个数字之和是，所以可得，从而求出的值；因为，，可以得到，配方得，把代入即可求出的值．
【详解】解：每个圆圈上的四个数字的和都等于，
三个圆上的数字之和应为，
其中的、、这三个数每个都加了两次，
，
，
则有，
解得：；
每个圆圈上的四个数字的平方和分别记、、，且，
，
，
，
，
整理得：，
，
；
，
，
，
解得：．
故答案为：；．
16． 或
【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质是解决问题的关键．
（1）过点作，而，可得，证明，，再进一步解答即可；
（2）分两种情况当为锐角时，过点作，过点作，利用平行线的性质可得，，再结合角平分线即可求得；当为钝角时，，，再根据角平分线及平行线性质得．
【详解】解：（1）过点作，而，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：
（2）①当为锐角时，如图所示：
过点作，过点作，
，
，
，，
，，
，即，
，，
，，
，即，
又点为和的角平分线所在的直线的交点，
，，
，
②当为钝角时，如图所示：
过点作，过点作，
，
，
，，
，，
，
，
，
，，
，，
又点为和的角平分线所在的直线的交点，
，，
，
综上所述或
故答案案为：或．
三．解答题
17．（1）解：平分，平分，
，，
，
，
，
，
（2）解：平分，
，
，
，
，
平分，
，
；
（3）解：的度数不变，
平分，平分，
，，
，
．
18．（1）解：根据图形可知，长方形的边长为，宽为，
则，
，
将，，代入，得出，，
故答案为：；．
（2）解：根据图形可知，长方形的边长为，宽为，
则，
，
故．
（3）解：由（1）和（2）得出，，，
故，
将，代入，得，
整理得：，
即，
故答案为：C．
19．解：如图，过点作，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为．
20．（1）解：①∵于点O，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴的度数为；
②∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平分．
（2）解：设，则，
当点E，F在直线的同侧时，如图：
，
∴，①
，②
令①×3+②×2可得：，
当点E，F在直线的异侧时，如图：
，
∴，①
，②
令②×2+①可得：，
综上所述：或．
21．（1）解：根据题意，先将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为指数相同的两个幂；根据指数相同，底数大的幂大，
故答案为：指数相同的两个幂；指数相同，底数大的幂大．
（2）解：①∵，，
根据底数相同，指数大的幂大
∴，
∴．
②解：∵，
根据指数相同，底数大的幂大，
∴，
∴．
22．解：与，之间的数量关系是：．
理由如下：
，，
，
，，
，
即：；
，理由如下：
，
，，
，
即：，
故答案为：，；
（2）平分，平分，
设，，
，，
由（1）的结论得：
，
，
又，
，
，
；
（3）设，
平分，
，
，
，
由（1）的结论得：
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
比大，
，
即：，
解得：，
．
故答案为：．
23．（1）解： 一个多项式被，整除，被除余，
设这个多项式为，
即
，
∴，即，
∴这个多项式为．
一个多项式被，整除，被除余，
设这个多项式为，
即
，
∴，即，
∴这个多项式为．
一个多项式被，整除，被除余，
设这个多项式为，
即
，
∴，即，
∴这个多项式为，
∴
，
故这个二次多项式．
（2）解：设多项式被除余，
多项式被除余，
多项式被除余，
多项式被除余，
多项式被除余，
∴
，
即，，
，
即，．
，
，
即，．
， 即，．
，
即，，
，
∴．
当时，，
故值为．
24．（1）解： ，，
，
故答案为：120；
（2）解：设灯转动秒，其光束为射线时与灯射线平行．

①当时，则有，
如图1．，
．
，
，
，
，
解得；
②当时，此时的射线已到达再返回，
则有，，
如图2．，
．
，
，
，
，
解得．
综上所述，当灯转动30秒或110秒时，两灯的光束互相平行；
（3）解：转动的时间为110秒或130秒．
由题可知．
，
，．
设灯射线转动时间为秒，
图3中，当时，，或．
又，
，
则，
解得，此时与不相交，不符合题意；
或，
解得；
如图4中，当时，，，
则，
解得．
综上所述，灯射线在到达之前，转动的时间为110秒或130秒．