2024-2025学年北师大版七年级下册第一次月考数学试卷（考试范围：第1~2章）（含解析）

2024-2025学年七年级下册第一次月考数学试卷（考试范围：第1~2章）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．将一副三角尺按不同位置摆放，下面摆放方式中和互余的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不确定
4．如图，在下列给出的条件中，不能判定的是( )
A． B．
C． D．
5．若x满足，则（ ）
A．0.25 B．0.5 C．1 D．
6．将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边对齐，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在同一平面内，，平分，点E为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角），给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，在科学《光的反射》活动课中，小明同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角的调节范围为，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线）的夹角，则反射光束CH与天花板所形成的角（）不可能取到的度数为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．若与互补，，则 ．
12．两个不相等的实数满足，．
（1）的值为 ；
（2）的值为 ．
13．若，，则可以表示为
14．直线与直线相交于点，，射线，则的度数为 ．
15．如图，，点分别在直线上，在平行线之间有一点，若与的平分线交于点，则 ；若与的平分线交于点与的平分线交于点与的平分线交于点则 ， ．
16．在长方形内，将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时，的值为 ．（用a、b的代数式表示）
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
18．（6分）用乘法公式简便计算：
(1)； (2)
19．（8分）已知，．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)计算的结果．
20．（8分）如图，已知点为直线上一点，，，平分．
(1)当时，求的度数；
(2)当，求．（用含的代数式表示）
21．（10分）如图，已知点E在上，平分，平分．
(1)试说明：；
(2)若，试说明：．
22．（10分）数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形卡片如图1依次记、、三类，拼成了一个如图2所示的正方形.

(1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和.
方法1： ；
方法2： .
(2)请直接写出三个代数式：, ,之间的一个等量关系 .
(3)若要拼出一个面积为的矩形，则需要类卡片 张，类卡片 张，类卡片 张.
(4)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知,，求和的值.
②已知，求.
23．（12分）如图，直线，，的角平分线交于点P．
(1)与相等吗？请说明理由．
(2)若，求的度数．
(3)点Q为射线上一点，连接，．若，且，求的度数．
24．（12分）如图1，，在、内有一条折线．
(1)求证：；
(2)在图2中，画的平分线与的平分线，两条角平分线交于点，请你补全图形，试探索与之间的关系，并证明你的结论；
(3)在（2）的条件下，已知和均为钝角，点在直线、之间，且满足，，（其中为常数且），直接写出与的数量关系．
参考答案
一．选择题
1．D
【分析】本题考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方运算，掌握运算法则是解题关键．
根据合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方运算法则进行计算，然后作出判断．
【详解】解：A．，故此选项不符合题意；
B．，故此选项不符合题意；
C．，故此选项不符合题意；
D．，正确，故此选项符合题意，
故选：D．
2．B
【分析】本题主要考查三角板以及余角的定义，熟练掌握余角的定义是解题的关键．观察三角板的位置即可得到答案．
【详解】解：，故选项A不符合题意；
，故选项B符合题意；
，故选项C不符合题意；
，故选项D不符合题意；
故选B．
3．C
【分析】本题考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式运算法则是解题的关键；
根据多项式乘以多项式分别计算与，然后做差比较即可；
【详解】解：，
；
，
则；
故选：C
4．C
【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法逐一判断即可，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．
【详解】、因为，所以（同位角相等，两直线平行），不符合题意；
、因为，所以（内错角相等，两直线平行），不符合题意；
、因为，所以（同位角相等，两直线平行），不能证出，符合题意，
、因为，所以（同旁内角互补，两直线平行），不符合题意；
故答案为：．
5．B
【分析】根据完全平方公式、多项式乘多项式的乘法法则计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵
．
故选：B．
6．D
【分析】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理推论，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．如图（见解析），过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行线的判定可得，根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，由此即可得．
【详解】解：如图，过点作，
由题意得：，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
7．B
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．
先利用平行线的性质可得，然后利用三角形内角和定理可得，从而利用平行线的性质可得，即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
故选：B．
8．C
【分析】此题考查了幂的乘方，根据幂的乘方法则得到，根据同底数幂的大小即可得到答案．
【详解】解：，
∵，
∴．
故选C．
9．C
【分析】本题考查了余角和补角、角度的计算、余角的性质以及角平分线的定义等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．由，根据等角的余角相等得到，结合即可判断①正确；由，结合即可判断②正确；由，而不能判断，即可判断③不正确；由E、O、F三点共线得，而∠COE=∠BOE，从而可判断④正确．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
即，所以①正确；
，
所以②正确；
，
而，所以③不正确；
∵E、O、F三点共线，
∴，
∵，
∴，所以④正确．
所以，正确的结论有3个．
故选：C．
10．B
【分析】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线和利用分类讨论的思想是解题的关键．
分和，分别利用平行线的性质求解即可．
【详解】解：当时，如图1所示，过点C作，
∵，
∴，
∴，
∴，
由反射定理可知，，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，如图2所示，过点C作，
同理可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述，或．
故选B．
二．填空题
11．45
【分析】本题考查了余角和补角，根据补角的定义进行计算，即可解答．
【详解】解：∵与互补，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：45．
12． 8或
【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
（1）将两边平方，再用代入得到方程，解方程即得答案；
（2）先用完全平方公式计算的值，再开平方，即得答案．
【详解】解：（1），
，
，
，
；
故答案为：；
（2）由（1）知，
，
，
8或．
故答案为：8或．
13．
【分析】本题考查了积的乘方，熟练掌握积的乘方法则是解题关键．将改写成，再计算积的乘方即可得．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：．
14．或
【分析】本题考查了垂线，首先根据题意作出图形，根据条件求得的度数，根据对顶角相等得，然后根据垂直的定义得，再分两种情况讨论即可得出答案．
【详解】解：如图，
，，
，
，
又，
，
；
当点在的延长线上时，，
的度数为或．
故答案为：或．
15．
【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，平分线的定义等知识，过点作，过点作，则可证出，再根据角平分线定义可得出结论．
【详解】解：如图，过点作，过点作．
，．
，
．
，，
．
平分，平分，
，
，
．
同理可得，
，，
…，
以此类推，
故答案为：；；．
16．
【分析】本题考查了列代数式和整式的混合运算，解题的关键是：能灵活运用整式的运算法则进行计算．设，则，根据图形得出，再根据整式的运算法则即可求出答案．
【详解】解：设，则，
故答案为：．
三．解答题
17．（1）解：原式；
（2）解：原式
（3）解：原式
（4）解：原式．
18．（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
19．（1）解：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴；
（3）解：∵，，
∴
．
20．（1）解：∵，，
∴
，
∵平分，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴．
21．（1）证明：∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，，
∴，
∴，
∴．
22．（1）方法一：阴影部分是两个正方形，面积和为：，
方法二：阴影部分的面积等于外围的大正方形的面积减去2个长方形的面积，即，
故答案为：，；
（2）∵（1）中两种方法计算的面积是相等的，
∴，
故答案为：
（3）拼图如下：

观察图形可得：需要类卡片1张，类卡片3张，类卡片2张.
故答案为：1，3，2；
（4）①根据（2）题可得，
∵,，
∴
∴，
；
②设，，
∵，
∴，
又∵，
∵
∴，
∴，
由，得
∴，
即，
整理，得，即
∴.
23．（1）解：与相等，理由如下：
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：设，
∴，
由（1）可知：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，
∴；
（3）解：设，
∵，
∴，
∵点Q为射线上一点，
∴有以下两种情况：
①当点Q在线段上时，如图1所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：，
即；
②当点Q在线段的延长线上时，
过点Q作交的延长线于R，如图2所示：
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，
综上所述：的度数为或．
24．（1）证明：如图1，过点作，
∵，
∴，
∴，，
又∵，
∴；
（2）解：如图2，平分，平分，交点为，
由（1）可得：，，
∵的平分线与的平分线相交于点，
∴
，
∴；
（3）解：如图，由（2）可得：，，
∵，，
∴
，
∴；