第五章 三角函数 大单元教学设计

第五章 三角函数
一、单元内容与内容解析
本单元内容结构图如下：
内容：
本单元是教材中已经划分好的“教学单位”，是以核心数学知识为主线的主题类单元。现实世界中存在着大量周期现象，任意角的三角函数就是刻画这种现象的基本而有效的数学模型.
为了建立三角函数概念，本单元我们先把角的范围推广到任意角，并引进弧度制；然后借助单位圆建立了一般三角函数的概念。接着，利用单位圆的性质(主要是对称性)，用几何直观和代数运算的方法研究了三角函数的周期性、对称性、单调性和最大(小)值等性质，和(差)角公式、倍角公式等反映了三角函数之间的内在联系，也是圆的几何性质的代数表示，我们借助单位圆，通过代数运算对这些关系进行了研究.最后，利用三角函数的概念和性质，建立了具有广泛应用价值的函数，并用它解决了许多实际问题。
2、本单元主要教学内容及课时分配如下：
（1）任意角和弧度制 约2课时
（2）三角函数的概念 约2课时
（3）诱导公式 约1课时
（4）三角函数的图象与性质 约3课时
（5）三角恒等变换 约4课时
（6）函数 约2课时
（7）三角函数的应用 约1课时
3、内容解析
内容的本质：弧度制的本质是用长度单位来度量角的大小，统一了三角函数自变量和函数值的单位，从而使三角函数成为从实数集到实数集之间的对应。如果只用角度制，那么将导致自变量是60进位的角度、函数值是10进位的实数，例如60°+sin 60°之类的运算将失去意义。所以，弧度制的引入对建立任意角的三角函数概念是至关重要的。在本单元中，三角函数可以刻画振动、波动等大量周期现象，它们的自变量不是角度，而是时间、距离等其他量，这也说明了引入弧度制的必要性。在今后的学习中，我们还会不断体验到引入弧度制对拓展三角函数应用范围的必要性.
将角放在直角坐标系中讨论不但使角的表示有了统一的方法，而且使我们够借助直角坐标系中的单位圆，建立角的变化与单位圆上点的变化之间的对应关系，从用建立正弦函数、余弦函数。因此，正弦函数、余弦函数的性质与圆的几何性质（主要是对称性）之间存在着非常紧密的联系。例如，和单位圆相关的“勾股定理”与同角三角函数的基本关系有内在的一致性；单位圆周长为与正弦函数、余弦函数的周期为是一致的；圆的各种对称性与三角函数的奇偶性、诱导公式等也是一致的。因此，在研究三角函数时，单位圆的作用非常重要。
周期性是三角函数最重要的性质，利用周期性，我们只要研究清楚三角函数在一个最小正周期内的性质即可；除了奇偶性外，三角函数还有非常丰富的对称性，诱导公式就是三角函数对称性的体现。利用周期性、奇偶性和诱导公式等可以发现，轴上的点都是正弦函数的对称中心，而直线则都是正弦函数的对称轴。对于余弦函数、正切函数可以得到类似的结论。内容包括：角与弧度、三角函数概念和性质、同角三角函数的基本关系式、三角恒等变换、三角函数应用。
蕴含的数学思想和方法：三角函数中利用单位圆中的三角函数线、三角函数图象求三角函数定义域、解三角不等式、求单调区间、讨论方程实根的个数、比较大小等蕴含着数形结合思想。三角函数本身就是一种特殊的函数，解决三角函数问题自然离不开函数与方程的思想，体现在某些三角函数问题可用函数的思想求解参数的值（范围）问题；有些三角函数问题可以直接转化为一元二次方程求解，还有一些三角问题，依据题设条件和求角结构，适当选取三角公式联立组成方程组，以达到消元求值的目的，这是方程的思想在三角求值、证明等问题中的最佳表现。化归思想在三角函数中应用非常普遍，主要体现在：①化多角的形式为单角的形式；②化多种函数名称为一种函数名称；③化未知角为已知角；④化高次为低次；⑤化特殊为一般。转化时要特别注意问题的等价性。函数建模思想三角函数是中学数学的重要内容之，三角函数与我们的日常生活和生产实践密切相关，如物理学中单摆无能运动、波的传播、交流电、海水的潮汐变化等方面都可以用三角函数来分析和理解，而解决这部分问题，关键是建立数学模型。
知识的上下位关系：本单元出现了大量三角公式，这些公式具有紧密的联系，其中，和(差)角公式具有一般意义，诱导公式、倍角公式等都可以看作它的特例。学习时要充分利用这种联系性，避免对公式的死记硬背。三角函数是一类特殊的周期函数，在研究三角函数时，既可以联系物理、生物、自然界中的周期现象(运动)，也可以从已学过的指数函数、对数函数、幂函数等得到启发，还要注意与锐角三角函数建立联系。
育人价值：在建构本单元教材时，以“研究一个数学对象的基本套路”为指导，根据三角函数的内容特点，以圆周运动为主要背景，借助单位圆这一强有力的“脚手架”，建立三角函数的概念；用几何直观和代数运算的方法研究三角函数的周期性、奇偶性、单调性和最大(小)值等性质；以“三角函数的性质是圆的几何性质(主要是对称性)的直接反映”为指导，利用圆的几何性质得出三角函数之间的各种恒等关系；利用三角函数刻画一般周期性现象的规律，构建数学模型解决实际问题。这样的内容处理体现了数学的整体性、逻辑的连贯性、思想的一致性、方法的普适性和思维的系统性，实现了一以贯之的教材编写思想：构建系列化数学活动，引导学生通过对现实问题的数学抽象获得数学研究对象，构建研究数学对象的基本路径，发现值得研究的数学问题，探寻解决问题的数学方法，获得有价值的数学结论，建立数学模型解决现实问题；充分发挥“一般观念”对数学创新活动的引导作用，使学生掌握抽象数学对象、发现和提出数学问题的方法，以实现从“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”的跨越，把数学基本思想、基本活动经验落实在基础知识、基本技能的教学过程中，使数学学科核心素养真正落地。
教学重点：角与弧度、三角函数概念和性质、同角三角函数的基本关系式、三角恒等变换、三角函数应用。
单元目标和目标解析
目标：
三角函数是一类最典型的周期函数。本单元的学习，可以帮助学生在用锐角三角函数刻画直角三角形中边角关系的基础上，借助单位圆建立一般三角函数的概念，体会引入弧度制的必要性；用几何直观和代数运算的方法研究三角函数的周期性、奇偶性(对称性)、单调性和最大(小)值等性质；探索和研究三角函数之间的一些恒等关系；利用三角函数构建数学模型，解决实际问题。根据教学内容又确定了12个分目标：
（1）了解任意角以及象限角的概念，会判断一个任意角是第几象限角，发展数学抽象素养.
（2）初步体会弧度制引入的背景及必要性，明白同一个量可以用不同的单位制来度量。在半径不同但圆心角相同的的扇形中，利用初中所学的扇形的弧长公式能够发现弧长与半径之比不变，从而体会用该比值作为弧度制定义的合理性，加深弧度制概念的理解，在此过程中，学生可以感悟数学抽象的层次性及逻辑推理的严谨性。
（3）经历三角函数概念的抽象过程，借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，发展数学抽象素养；借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，能画出这些三角函数的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值。借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（的正弦、余弦、正切）。
（4）理解同角三角函数的基本关系式：。
体会三角函数的内在联系性，通过运用基本关系式进行三角恒等变换，发展数学运算素养。
（5）经历诱导公式的探究过程，积累应用类比、转化、数形结合等方法研究三角函数性质的经验，提升直观想象核心素养。
（6）经历绘制正弦函数图象的过程，掌握描点法，掌握绘制正弦函数图象的“五点法”。经历绘制余弦函数图象的过程，理解其中运用的图象变换的思想。
（7）经历利用函数图象研究函数性质的过程，掌握正弦函数、余弦函数的性质。
（8）理解并掌握正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性。并能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题。通过正切函数图像与性质的探究，培养学生数形结合和类比的思想方法。
（9）掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式.熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法. 能够推导出两倍角的正弦、余弦、正切公式。
（10）能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用.体会知识之间的内在联系，培养学生的思考归纳能力，提高其思维灵活性。
（11）了解函数的现实背景，经历匀速圆周运动的数学建模过程，进一步体会三角函数与现实世界的密切联系，发展数学建模索养。掌握参数对函数图象的影响，理解参数在圆周运动中的实际意义，发展数学抽象、逻辑推理与直观想象的素养。会运用函数的图象与性质解决简单的数学问题和实际问题。
（12）了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题。
2.目标分析
达成上述目标的标志是：
（1）学生能简单说出本章所学的内容、结构、研究过程与方法，知道三角函数就是刻画一类周期变化规律的数学模型，并能举出现实世界中这类周期现象的例子。学生能说出集合中角的准确含义，知道终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无限多个，它们相差360°的整数倍，体会数形结合思想及特殊到一般的归纳思想。
（2）在探求如何科学合理地定义弧度制这一新概念的过程中，学生经历从特殊到一般的探求过程，首先从不同半径的圆周中提炼出不变的量是周角的大小和周长与半径的比值，进一步推广到更为一般的圆心角为所对的弧长与半径的比值不变，通过认识、理解、把握弧度制的本质，学生经历概念形成的全过程，能描述1弧度角的概念，达成理解弧度制这一目标．这一过程不仅有利于学生逐渐养成一般性思考问题的习惯和在学习中主动运用数学抽象的思维方式解决问题，而且可以逐步培养培养学生直观想象和数学抽象的核心素养。
（3）学生在经历“周期现象—圆周运动—单位圆上点的旋转运动”的抽象活动中，明确研究的问题（单位圆⊙O上的点P以A为起点作旋转运动，建立一个数学模型，刻画点P的位置变化情况），使研究对象简单化、本质化；学生能分析单位圆上点的旋转中涉及的量及其相互关系，获得对应关系并抽象出三角函数概念；能根据定义求给定角的三角函数值。
（4）学生能利用定义以及单位圆上点的横、纵坐标之间的关系，发现并提出“同角三角函数的基本关系”，并能用于三角恒等变换。
（5）学生能利用诱导公式进行化简、计算和证明.特别是在遇到比较复杂的问题时，能根据运算对象的特点，选择依据的公式，确定合适的求解方案，并能正确求解．在解题的基础上，能概括出利用诱导公式求解的一般程序。
（6）学生能先根据正弦函数的定义绘制一个点，再绘制正弦函数在一个周期内的图象，最后通过平移得到正弦函数的图象；能说出正弦函数图象的特点，并能用五点法绘制正弦函数的图象。
（7）学生能利用正弦函数和余弦函数的图象，得到其周期性、奇偶性、单调性、最值等性质，并给予代数证明；能利用正弦函数和余弦函数的性质解决有关的问题。
（8）能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题；会利用奇偶性和周期性画出正切曲线。
（9）理解两角和与差的正弦、余弦、正切公式的探究及公式之间的内在联系；能够熟练应用两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法。
（10）了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用。
（11）借助信息技术呈现质点的匀速圆周运动变化过程以及质点运动规律的函数表示，能结合实验操作说明参数对函数图象的影响，并能从图象上任意一点的坐标变化判断函数图象的变换过程；能准确解释函数解析式的变化与相应函数图象的变换之间的内在联系；能根据函数在一个周期内的零点、最小值点和最大值点画出函数的简图。
（12）会将实际问题抽象为三角函数模型，将实际问题转化为数学问题进行解答。
三、单元教学问题诊断分析：
1.学习本单元学生已具备的学习基础：
通过初中的学习，学生对角的认知基础是：角的范围在0°～360°，高中阶段首先将推广到了任意角。三角函数概念的学习，其认知基础是函数的一般观念以及对幂函数、指数函数和对数函数的研究经验，另外还有圆的有关知识。这些认知准备对于分析“周而复始”变化现象中涉及的量及其关系、认识其中的对应关系并给出定义等都能起到思路引领作用。学生之前拥有丰富的绘制函数图象的经验，但是利用定义的几何意义绘制函数图象是第一次，因此在思维习惯上存在障碍。教学时要给予充分的引导，特别强调要准确地绘制出函数的图象这一要求，让学生感受到这种做法的困难，然后从三角函数的定义上分析点的坐标的几何意义，让学生真正理解。 简单的三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上，能较好反应三角函数及变换之间的内在联系和相互转换，本节课内容的地位体现在它的基础性上，作用体现在它的工具性上。学生通过学习已经掌握了两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式，并能通过这些公式进行求值、化简、证明，虽然学生已经具备了一定的推理、运算能力，但在数学的应用意识与应用能力方面尚需进一步培养，故在研究参数对函数图象的影响时，学生需利用已有的数学经验遵循从特殊到一般、具体到抽象的过程，同时借助信息技术快速准确地画图，直观呈现各要素运动变化之间的关联性，突破教学难点。
2.从已有基础到目标学生可能遇到的障碍：
学生的第一个学习难点应该是对角的概念的推广，就象数系的扩充与推广一样，从自然数到整数，整数到有理数，有理数到实数，实数到复数，等等，每一次扩充与推广都与学生以前的认知产生矛盾，原本对前面知识的认识与接受可能就经历了不平凡的过程，这就使得打破学生认知的定势难上加难。第二个学习难点是对“0°～90°的角”“第一象限角”“锐角”“小于90°的角”这些概念之间关系的认识。生硬地记忆弧度制的概念及形式化地运用公式进行计算是容易的，但真正理解为什么引入弧度制，如何定义1弧度有一定难度的。前面学习的基本初等函数，涉及的量（常量与变量）较少，解析式都有明确的运算含义，而三角函数中，影响单位圆上点的坐标变化的因素较多，对应关系不以“代数运算”为媒介，是“与直接对应”学生在理解诱导公式时，总是有思维定势，以为是锐角，于是导致解题时，通过角所在象限判断诱导公式的符号出错。 在研究正弦函数、余弦函数的性质时，利用图象获得性质容易，但是进行代数论证比较困难，为此，首先要培养学生的代数说理习惯，其次要给予完整的代数论证过程，还要采取具体化的方法进行说明，即选择图象上一个点，通过这个点的变化说明图象的变换，并渗透换元转化的思想方法.简车运动模型的背景比较复杂，综合性强，需要有较强的数学建模能力，这是学生所欠缺的。
3.教学难点
将0°到360°范围的角扩充到任意角，终边相同的角；在了解弧度制引入的背景下，理解弧度制的概念，能进行角度制与弧度制的互化；三角函数的定义，诱导公式的有效识记和应用；掌握准确绘制函数图象一个点的方法，并由此绘制出正弦函数的图象；对三角函数性质的理解；画出正切曲线、能够应用正切曲线和性质解决相关问题；求值过程中角的范围分析及角的变换；发现两角和（差）的三角函数与圆的旋转对称性间的联系；认识三角恒等变换的特点，并能解决一些三角恒等变换的问题；参数对函数图象的影响；从正弦曲线经过图象变换得到函数的图象；用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题。
四、单元教学支持条件分析：
我们可以借助信息技术工具（如GeoGebra）动态地展示这些终边相同角之间的联系与区别，让学生们从形上对这些角有一个很好的直观感受。借助信息技术，让学生观察任意给定一个角，它的终边与单位圆的交点坐标是否唯一，从而为理解三角函数的对应关系奠定基础。利用几何画板，动态分析，可以很容易地建立单位圆上点的横坐标、纵坐标、角、弧之间的联系，并且可以在角的变化过程中进行观察，发现其中的规律性，所以，信息技术可以帮助学生更好地理解三角函数的本质。绘制正弦函数图象的关键是准确地绘制图象上的一个点，为此可让学生用“手工细线缠绕”法，使用自制教具完成、也可以利用信息技术完成。后续让学生描出其他的点，并连线描出正弦函数在一个周期内的图象时。以教师授与学生互动为主采用实例归纳、自主探究、合作交流等方法。教学中通过列举例子，引导学生进行讨论和交流，并通过创设情境，让学生自主探索三角函数的图像与性质。还可以利用网络平台让学生交流阅读，培养学生主动学习的习惯，提高阅读与理解，合作与交流的能力。
课时教学设计：
本单元教学共需13课时，各课时安排如下：
第1课时：任意角（落实目标（1））；
第2课时：弧度制（落实目标（2））；
第3课时：三角函数的概念（落实目标（3））；
第4课时：同角三角函数的基本关系（落实目标（4））；
第5课时：诱导公式（落实目标（5））；
第6课时：正弦函数、余弦函数的图象（落实目标（6））；
第7课时：正弦函数、余弦函数的性质（落实目标（7））；
第8课时：正切函数的性质与图像（落实目标（8））
第9课时：两角和与差的正弦、余弦、正切公式（落实目标（9））；
第10课时：简单的三角恒等变换（落实目标（10））；
第11课时：函数（落实目标（11））；
第12课时：三角函数的应用（落实目标（12））；
第13课时：本章复习（落实目标（1-12）。
5.1.1任意角 教学设计（人教A版）
学生在初中学习了～，但是现实生活中随处可见超出～范围的角.例如体操中有“前空翻转体”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.因此为了准确描述这些现象，本节课主要就旋转度数和旋转方向对角的概念进行推广.
课程目标
1.了解任意角的概念.
2.理解象限角的概念及终边相同的角的含义．
3.掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．
数学学科素养
1.数学抽象：理解任意角的概念，能区分各类角；
2.逻辑推理：求区域角；
3.数学运算：会判断象限角及终边相同的角.
重点：理解象限角的概念及终边相同的角的含义；
难点：掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．
教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
情景导入
初中对角的定义是：射线OA绕端点O按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到～范围内的角.但是现实生活中随处可见超出～范围的角.例如体操中有“前空翻转体”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.请学生思考，如何定义角才能解决这些问题呢？
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
二、预习课本，引入新课
阅读课本168-170页，思考并完成以下问题
1．角的概念推广后，分类的标准是什么？
2．如何判断角所在的象限？
3．终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究
1．任意角
(1)角的概念
角可以看成平面内一条 射线 绕着端点从一个位置 旋转 到另一个位置所成的 图形 ．
(2)角的表示
如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．
(3)角的分类
按旋转方向，角可以分为三类：
名称 定义 图示
正角 按 逆时针 方向旋转形成的角
负角 按 顺时针 方向旋转形成的角
零角 一条射线没有作任何旋转形成的角
2．象限角
在平面直角坐标系中，若角的顶点与 原点 重合，角的始边与 x轴的非负半轴重合，那么，角的 终边 在第几象限，就说这个角是第几 象限角 ；如果角的终边 在坐标轴 上，就认为这个角不属于任何一个象限．
3．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与 整数个周角 的和．
四、典例分析、举一反三
题型一 任意角和象限角的概念
例1 　(1)给出下列说法：
①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)．
(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．
①420°，②855°，③－510°.
【答案】（1）① （2）图略，①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．
【解析】(1)①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以①正确；
②－350°角是第一象限角，但它是负角，所以②错误；
③0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③错误；
④360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误．
(2)　作出各角的终边，如图所示：
由图可知：
①420°是第一象限角．
②855°是第二象限角．
③－510°是第三象限角．
解题技巧：（任意角和象限角的表示）
1．判断角的概念问题的关键与技巧．
(1)关键：正确的理解角的有关概念，如锐角、平角等；
(2)技巧：注意“旋转方向决定角的正负，旋转幅度决定角的绝对值大小．
2．象限角的判定方法．
(1)图示法：在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限．
(2)利用终边相同的角：第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式；
第二步，判断β的终边所在的象限；
第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．
跟踪训练一
1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是(　　)
A．A＝B＝C　 B．A C
C．A∩C＝B D．B∪C C
【答案】D
【解析】由已知得B C，所以B∪C C，故D正确．
2．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】－90°＜－75°＜0°，180°＜225°＜270°，
360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－315°＝－360°＋45°且0°＜45°＜90°.所以这四个命题都是正确的．
题型二 终边相同的角的表示及应用
例2　(1)将－885°化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是________．
(2)写出与α＝－910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°＜β＜360°的元素β写出来．
【答案】（1）(－3)×360°＋195°， （2）终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，适合不等式－720°＜β＜360°的元素－550°、－190°、170°.
【解析】(1)－885°＝－1 080°＋195°＝(－3)×360°＋195°.
(2)与α＝－910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，
∵－720°＜β＜360°，即－720°＜k·360°－910°＜360°，k∈Z，
∴k取1，2，3.
当k＝1时，β＝360°－910°＝－550°；
当k＝2时，β＝2×360°－910°＝－190°；
当k＝3时，β＝3×360°－910°＝170°.
解题技巧：(终边相同的角的表示)
1．在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法
(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β＜360°，k∈Z)，其中β就是所求的角．
(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到所求为止．
2．运用终边相同的角的注意点
所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点：
(1)k是整数，这个条件不能漏掉．
(2)α是任意角．
(3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.
(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．
跟踪训练二
1.下面与－850°12′终边相同的角是(　　)
A．230°12′　　 B．229°48′
C．129°48′ D．130°12′
【答案】B
【解析】与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k·360°(k∈Z)，当k＝3时，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′.
2．写出角α的终边落在第二、四象限角平分线上的角的集合为________．
【答案】{α|α＝k·180°＋135°，k∈Z}．
【解析】落在第二象限时，表示为k·360°＋135°.落在第四象限时，表示为k·360°＋180°＋135°，故可合并为{α|α＝k·180°＋135°，k∈Z}．
题型三 任意角终边位置的确定和表示
例3 (1)若α是第一象限角，则是(　　)
A．第一象限角 B．第一、三象限角
C．第二象限角 D．第二、四象限角
(2)已知，如图所示．
①分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
【答案】(1)B (2) ①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．
②故该区域可表示为{γ|－30°＋k·360°≤γ≤135°＋k·360°，k∈Z}．
【解析】(1)　因为α是第一象限角，所以k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z，所以k·180°＜＜k·180°＋45°，k∈Z，当k为偶数时，为第一象限角；当k为奇数时，为第三象限角．所以是第一、三象限角．
(2)　①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；
终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．
②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示
为{γ|－30°＋k·360°≤γ≤135°＋k·360°，k∈Z}．
解题技巧：（任意角终边位置的确定和表示）
1．表示区间角的三个步骤：
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．
提醒：表示区间角时要注意实线边界与虚线边界的差异．
2．或所在象限的判断方法：
(1)用不等式表示出角或的范围；
(2)用旋转的观点确定角或所在象限．
跟踪训练三
1．如图所示的图形，那么终边落在阴影部分的角的集合如何表示？
【答案】角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β【解析】在0°～360°范围内，终边落在阴影部分(包括边界)的角为60°≤β<105°与240°≤β<285°，所以所有满足题意的角β为{β|k·360°＋60°≤β＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β<2k·180°＋105°，k∈Z}
∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝
{β|n·180°＋60°≤β故角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、板书设计
七、作业
课本171页练习及175页习题5.1 1、2、7题.
5.1.2弧度制 教学设计（人教A版）
前一节已经学习了任意角的概念，而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的方法—弧度制，从而将角与实数建立一一对应关系，为学习本章的核心内容—三角函数扫平障碍，打下基础.
课程目标
1.了解弧度制,明确1弧度的含义.
2.能进行弧度与角度的互化.
3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式.
数学学科素养
1.数学抽象：理解弧度制的概念；
2.逻辑推理：用弧度制表示角的集合；
3.直观想象：区域角的表示；
4.数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题.
重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化；
难点：弧度制概念的理解．
教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
情景导入
度量单位可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制，不同的单位制能给解决问题带来方便.角的度量是否也可以用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
二、预习课本，引入新课
阅读课本172-174页，思考并完成以下问题
1． 1弧度的含义是？
2．角度值与弧度制如何互化？
3．扇形的弧长公式与面积公式是？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究
1．度量角的两种单位制
(1)角度制
①定义：用 度 作为单位来度量角的单位制．
②1度的角：周角的．
(2)弧度制
①定义：以 弧度 作为单位来度量角的单位制．
②1弧度的角：长度等于 半径长 的弧所对的圆心角．
2．弧度数的计算
3.角度制与弧度制的转算
4．一些特殊角与弧度数的对应关系
度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧 度 0 π 2π
5．扇形的弧长和面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则：
(1)弧长公式：l＝ ．
(2)扇形面积公式：S＝ ＝ ．
四、典例分析、举一反三
题型一 角度制与弧度制的互化
例1 　把下列弧度化成角度或角度化成弧度：
(1)－450°；(2)；(3)－；(4)112°30′.
【答案】（1）－ rad；(2) 18°；(3) －240°；(4) rad.
【解析】(1)－450°＝－450× rad＝－ rad；
(2) rad＝×°＝18°；
(3)－ rad＝－×°＝－240°；
(4)112°30′＝112.5°＝112.5× rad＝ rad.
解题技巧：（角度制与弧度制转化的要点）
跟踪训练一
1．将下列角度与弧度进行互化．
(1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－.
【答案】（1） rad；（2）－ rad；（3）105°；（4）－396°.
【解析】(1)20°＝ rad＝ rad.
(2)－15°＝－ rad＝－ rad.
(3) rad＝×180°＝105°.
(4)－ rad＝－×180°＝－396°.
题型二 用弧度制表示角的集合
例2　用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图所示)．
【答案】（1）；
（2）；（3）.
【解析】用弧度制先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，
(1).
(2).
(3).
解题技巧：(表示角的集合注意事项)
1．弧度制下与角α终边相同的角的表示．
在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．
2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤．
(1)仔细观察图形．
(2)写出区域边界作为终边时角的表示．
(3)用不等式表示区域范围内的角．
提醒：角度制与弧度制不能混用.
跟踪训练二
1．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界)．
①　　　　 　②
【答案】(1).
(2).
【解析】(1)如题图①，以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为－＋2kπ(k∈Z)，
所以阴影部分内的角的集合为
.
(2)如题图②，以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为＋2kπ(k∈Z)．
不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，
则M1＝，M2＝.
所以阴影部分内的角的集合为
M1∪M2＝.
题型三 扇形的弧长与面积问题
例3一个扇形的周长为20，则扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？
【答案】当扇形半径r＝5，圆心角为2 rad时，扇形面积最大．
【解析】设扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，则l＝αr，
依题意l＋2r＝20，即αr＋2r＝20，∴α＝.
由l＝20－2r>0及r>0得0∴S扇形＝αr2＝··r2＝(10－r)r
＝－(r－5)2＋25(0∴当r＝5时，扇形面积最大为S＝25.此时l＝10，α＝2，
故当扇形半径r＝5，圆心角为2 rad时，扇形面积最大．
解题技巧：（弧度制下解决扇形相关问题的步骤）
(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l＝|α|r，S＝|α|r2和S＝lr.(这里α必须是弧度制下的角)
(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式．
(3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解．
跟踪训练三
1、已知某扇形的圆心角为80°,半径为6 cm,则该圆心角对应的弧长为(　　)
A.480 cm B.240 cm C
【答案】C
【解析】:80°=×80=,
又r=6 cm,故弧长l=αr=×6=(cm).
2、如图,已知扇形AOB的圆心角为120°,半径长为6,求弓形ACB的面积.
【答案】12π-9
【解析】S扇形AOB=×62=12π,
S△AOB=×6×6×sin 60°=9,
故S弓形ACB=S扇形AOB-S△AOB=12π-9.
五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、板书设计
七、作业
课本175页练习及175页习题5.1.
本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，让学生通过角度制与弧度制的转化将角与实数建立一一对应关系，切记：角度和弧度不可同时出现.
5.2 三角函数的概念教学设计
　一、内容和内容解析
　　1.内容
　　三角函数的概念；三角函数的基本性质：三角函数值的符号、诱导公式一、同角三角函数的基本关系．
　　本单元的知识结构：
　　本单元建议用3课时：第一课时，三角函数的概念；第二课时，三角函数的基本性质；第三课时，概念和性质的简单应用．
　　2.内容解析
　　三角函数是一类最典型的周期函数，是解决实际问题的重要工具，是学习数学和物理、天文等其他学科的重要基础．
　　传统上，人们习惯把三角函数看成是锐角三角函数的推广，利用象限角终边上点的坐标比定义三角函数．由于这一定义方法出自欧拉，因此更显出它的权威性．然而，锐角三角函数的研究对象是三角形，是三角形中边与角的定量关系（三角比）的反映；而任意角三角函数的现实背景是周期变化现象，是“周而复始”变化规律的数学刻画．如果以锐角三角函数为基础进行推广，那么三角函数概念发生发展过程的完整性将受到破坏．因此，整体上，任意角三角函数知识体系的建立，应与其他基本初等函数类似，强调以周期变化现象为背景，构建从抽象研究对象（即定义三角函数概念）到研究它的图象、性质再到实际应用的过程，与锐角三角函数的联系可以在给出任意角三角函数定义后再进行考察．
　　一般地，概念的形成应按“事实—概念”的路径，即学生要经历“背景—研究对象—对应关系的本质—定义”的过程．本单元的学习中，学生在经历这个过程而形成三角函数概念的同时，“顺便”就可得到值域、函数值的符号、诱导公式一及同角三角函数的基本关系等性质．
　　根据上述分析，确定本单元的教学重点是：正弦函数、余弦函数、正切函数的定义，诱导公式一，同角三角函数的基本关系．其中，正弦函数、余弦函数的定义是重中之重．
　　二、目标和目标解析
　　1.目标
　　（1）了解三角函数的背景，体会三角函数与现实世界的密切联系；
　　（2）经历三角函数概念的抽象过程，借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，发展数学抽象素养；
　　（3）掌握三角函数值的符号；
　　（4）掌握诱导公式一，初步体会三角函数的周期性；
　　（5）理解同角三角函数的基本关系式：，体会三角函数的内在联系性，通过运用基本关系式进行三角恒等变换，发展数学运算素养．
　　2.目标解析
　　达成上述目标的标志是：
　　（1）学生能像了解线性函数、反比例函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数的现实背景那样，知道三角函数是刻画现实世界中“周而复始”变化规律的数学工具，能体会到匀速圆周运动在“周而复始”变化现象中的代表性．
　　（2）学生在经历“周期现象—圆周运动—单位圆上点的旋转运动”的抽象活动中，明确研究的问题（单位圆⊙O上的点P以A为起点作旋转运动，建立一个数学模型，刻画点P的位置变化情况），使研究对象简单化、本质化；学生能分析单位圆上点的旋转中涉及的量及其相互关系，获得对应关系并抽象出三角函数概念；能根据定义求给定角的三角函数值．
　　（3）学生能根据定义得出三角函数在各象限取值的符号规律．
　　（4）学生能根据定义，结合终边相同的角的表示，得出诱导公式一，并能据此描述三角函数周而复始的取值规律，求某些角（特殊角）的三角函数值．
　　（5）学生能利用定义以及单位圆上点的横、纵坐标之间的关系，发现并提出“同角三角函数的基本关系”，并能用于三角恒等变换．
　　三、教学问题诊断分析
　　三角函数概念的学习，其认知基础是函数的一般观念以及对幂函数、指数函数和对数函数的研究经验，另外还有圆的有关知识．这些认知准备对于分析“周而复始”变化现象中涉及的量及其关系、认识其中的对应关系并给出定义等都能起到思路引领作用．然而，前面学习的基本初等函数，涉及的量（常量与变量）较少，解析式都有明确的运算含义，而三角函数中，影响单位圆上点的坐标变化的因素较多，对应关系不以“代数运算”为媒介，是“α与x，y直接对应”，无须计算．虽然α，x，y都是实数，但实际上是“几何元素间的对应”．所以，三角函数中的对应关系，与学生的已有经验距离较大，由此产生第一个学习难点：理解三角函数的对应关系，包括影响单位圆上点的坐标变化的因素分析，以及三角函数的定义方式的理解．
　　为了破除学生在“对应关系”认识上的定势，帮助他们搞清三角函数的“三要素”，应该根据一般函数概念引导下的“下位学习”的特点，先让学生明确“给定一个角，如何得到对应的函数值”的操作过程，然后再下定义，这样不仅使三角函数定义的引入更自然，而且由三角函数对应关系的独特性，可以使学生再一次认识函数的本质．具体的，可让学生先完成“给定一个特殊角，求它的终边与单位圆交点坐标”的任务．例如“当时，找出相应点P的坐标”并让学生明确点P的坐标的唯一确定性，再借助信息技术，让学生观察任意给定一个角α∈R，它的终边与单位圆的交点坐标是否唯一，从而为理解三角函数的对应关系奠定基础．利用信息技术，可以很容易地建立单位圆上点的横坐标、纵坐标、角、弧之间的联系，并且可以在角的变化过程中进行观察，发现其中的规律性．所以，信息技术可以帮助学生更好地理解三角函数的本质．
　　对于定义“设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做α的正弦函数，记作sinα，即y= sinα；x叫做α的余弦函数，记作cosα，即x= cosα”，可以通过如下几点帮助学生理解：
　　第一，α是一个任意角，同时也是一个实数（弧度数），所以“设α是一个任意角”的意义实际上是“对于R中的任意一个数”；
　　第二，“它的终边与单位圆交于点P(x，y)”，实际上给出了两个对应关系，即
　　（1）实数α（弧度）对应于点P的纵坐标y，
　　（2）实数α（弧度）对应于点P的横坐标x，
　　其中y，x∈[－1，1]．因为对于R中的任意一个数α，它的终边唯一确定，所以交点P(x，y)也唯一确定，也就是纵坐标y和横坐标x都由α唯一确定，所以对应关系（1）（2）分别确定了一个函数，这是理解三角函数定义的关键．
　　第三，引进符号sinα，cosα分别表示“α的终边与单位圆交点的纵坐标”、“α的终边与单位圆交点的横坐标”，于是：对于任意一个实数α，按对应关系（1），在集合B={z|－1≤z≤1}中都有唯一确定的数sinα与之对应；按对应关系（2），在集合B中都有唯一确定的数cosα与之对应．所以，sinα，cosα都是一个由α所唯一确定的实数．
　　这里，对符号sinα，cosα和tanα的认识是第二个难点．可以通过类比引进符号logab表示ax=b中的x，说明引进这些符号的意义．
　　本单元的第三个学习难点是对三角函数内在联系性的认识．出现这个难点的主要原因在于三角函数联系方式的特殊性，学生在已有的基本初等函数学习中没有这种经验，以及学生从联系的观点看问题的经验不足，对“如何发现函数的性质”的认识不充分等而导致的发现和提出性质的能力不强．为此，教学中应在思想方法上加强引导。例如，可以通过问题：“对于给定的角α，点P（cosα，sinα）是α的终边与单位圆的交点，而tan α则是点P的纵坐标与横坐标之比，因此这三个函数之间一定有内在联系．你能从定义出发，研究一下它们有怎样的联系吗？”引导学生探究同角三角函数基本关系。
　　四、教学支持条件分析
　　为了加强学生对单位圆上点的坐标随角（圆心角）的变化而变化的直观感受，需要利用信息技术工具建立任意角、角的终边与单位圆的交点、角的旋转量、交点坐标等之间的关联．教学中，可以动态改变角α的终边OP(P为终边与单位圆的交点)的位置，引导学生观察OP位置的变化所引起的点P坐标的变化规律，感受三角函数的本质，同时感受终边相同的角具有相同的三角函数值，以及各三角函数在各象限中符号的变化情况．
　　五、教学过程设计
　　第一课时　5.2.1 三角函数的概念
　　（一）课时教学内容
　　三角函数的概念．
　　（二）课时教学目标
　　经历三角函数概念的抽象过程，借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，发展数学抽象素养．
　　（三）教学重点与难点
　　重点：三角函数的定义．
　　难点：对三角函数概念的抽象过程及定义的理解．
　　（四）教学过程设计
　　说明：三角函数概念的学习，应在一般函数概念的指导下，按“概念形成”的方式展开，即要安排“情境—共性归纳—定义—辨析—简单应用”的过程．由于周期现象的复杂性，还需要通过适当的引导，把问题进行简化进而归结到对单位圆上点的运动规律的研究．
　　1．创设情境，明确背景
　　引导语：我们知道，现实世界中存在着各种各样的“周而复始”变化现象，圆周运动是这类现象的代表．如图5.2-1，⊙O上的点P以A为起点做逆时针方向的旋转．在把角的范围推广到任意角后，我们可以借助角α的大小变化刻画点P的位置变化．又由于根据弧度制的定义，角α的大小与⊙O的半径无关，因此，不失一般性，我们可以先研究单位圆上点的运动．现在的任务是：
　　如图5.2-1，单位圆⊙O上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，建立一个函数模型，刻画点P的位置变化情况．
　　
　　
　　问题1：根据已有的研究函数的经验，你认为我们可以按怎样的路径研究上述问题？
　　师生活动：学生在独立思考的基础上进行交流，通过讨论后得出研究路径是
　　明确研究背景—对应关系的特点分析—下定义—研究性质．
　　设计意图：明确研究的内容、过程和基本方法，为具体研究指明方向．
　　2．分析具体事例，归纳共同特征
　　引导语：下面我们利用直角坐标系来研究上述问题．如图5.2-2，以单位圆的圆心O为原点，以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，点A的坐标为(1，0)，点P的坐标为(x，y)．射线OA从x轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP．
　　
　　
　　问题2：当时，点P的坐标是什么？点P的坐标又是什么？它们是唯一确定的吗？
　　一般地，任意给定一个角α，它的终边OP与单位圆交点P的坐标能唯一确定吗？
　　
　　
　　（4）利用信息技术，任意画一个角α，观察它的终边OP与单位圆交点P的坐标，你有什么发现？你能用函数的语言刻画这种对应关系吗？（对于R中的任意一个角α，它的终边OP与单位圆交点为P(x，y)，无论是横坐标x还是纵坐标y，都是唯一确定的．这里有两个对应关系：
　　f：实数α（弧度）对应于点P的纵坐标y，
　　g：实数α（弧度）对应于点P的横坐标x．
　　根据上述分析，f：R→[－1，1]和g：R→[－1，1]都是从集合R到集合[－1，1]的函数．）
　　设计意图：以函数的对应关系为定向，从特殊到一般，使学生确认相应的对应关系满足函数的定义，角的终边与单位圆交点的横、纵坐标都是圆心角α（弧度）的函数，为给出三角函数的定义做好准备．
　　3．任意角三角函数的定义与辨析
　　问题3：请同学们先阅读教科书第178~179页，再回答如下问题：
　　（1）正弦函数、余弦函数和正切函数的对应关系各是什么？
　　（2）符号sinα，cosα和tanα分别表示什么？在你以往的学习中有类似的引入特定符号表示一种量的经历吗？
　　（3）为什么说当时，tanα的值是唯一确定的？
　　（4）为什么说正弦函数、余弦函数的定义域是R？而正切函数的定义域是？
　　师生活动：学生独立阅读课文，再举手回答上述问题．
　　设计意图：在问题引导下，通过阅读教科书、辨析关键词等，使学生明确三角函数的“三要素”；引导学生类比已有知识（引入符号表示中的x），理解三角函数符号的意义．
　　4．任意角三角函数与锐角三角函数的联系
　　问题5 ：在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数．设，把按锐角三角函数定义求得的锐角x的正弦记为y1，并把按本节三角函数定义求得的x的正弦记为z1．y1与z1相等吗？对于余弦、正切也有相同的结论吗？
　　师生活动：教师引导学生作出Rt△ABC，其中∠A=x，∠C=90°，再将它放入直角坐标系中，使点A与原点重合，AC在x轴的正半轴上，得出y1=z1的结论．
　　设计意图：建立锐角三角函数与任意角三角函数的联系，使学生体会两个定义的和谐性．
　　5．任意角三角函数概念的理解
　　例1利用三角函数的定义求的正弦、余弦和正切值．
　　师生活动：先由学生发言，再总结出从定义出发求三角函数值的基本步骤，并得出答案．
　　设计意图：通过概念的简单应用，明确用定义求三角函数值的基本步骤，进一步理解定义的内涵．
　　练习：在例1之后进行课堂练习：
　　（1）利用三角函数定义，求π，的三个三角函数值．
　　（2）说出几个使cosα＝1的α的值．
　　师生活动：由学生逐题给出答案，并要求学生说出解答步骤，最后可以总结为“画终边，找交点坐标，算比值（对正切函数）”．
　　设计意图：检验学生对定义的理解情况．
　　例2　如图5.2-4，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为(x，y)，点P与原点的距离为r．求证：
　　师生活动：给出问题后，教师可以引导学生思考如下问题，再让学生给出证明：
　　（1）你能根据三角函数的定义作图表示出sinα，cosα吗？图5.2-4
　　（2）在你所作出的图形中，各表示什么，你能找到它们与任意角α的三角函数的关系吗？
　　
　　
　　设计意图：通过问题引导，使学生找到△OMP，△OM0P0，并利用它们的相似关系，根据三角函数的定义得到证明．
　　追问：例2实际上给出了任意角三角函数的另外一种定义，而且这种定义与已有的定义是等价的．你能用严格的数学语言叙述一下这种定义吗？
　　师生活动：可以由几个学生分别给出定义的表述，在交流的基础上得出准确的定义．
　　设计意图：加深学生对三角函数定义的理解．
　　练习：在例2之后进行课堂练习：
　　（3）已知点P在半径为2的圆上按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为1rad/s．求2 s时点P所在的位置．
　　师生活动：由学生独立完成后，让学生代表展示作业．
　　设计意图：三角函数是刻画匀速圆周运动的数学模型，通过练习使学生从另一个角度理解三角函数的定义．
　　6．目标检测设计（一）
　　（1）利用三角函数定义，求的三个三角函数值．
　　（2）已知角θ的终边过点P(－12，5)，求角θ的三个三角函数值．
　　设计意图：考查学生对三角函数定义的理解情况．
　　第二课时　5.2.2 同角三角函数的基本关系
　　（一）课时教学内容
　　三角函数值的符号；诱导公式一；同角基本关系式．
　　（二）课时教学目标
　　（1）掌握三角函数值的符号；
　　（2）掌握诱导公式一，初步体会三角函数的周期性；
　　（3）理解同角三角函数的基本关系式：sin2x + cos2x = 1，，体会三角函数的内在联系性．
　　（三）教学重点与难点
　　重点：诱导公式一和同角基本关系式．
　　难点：通过诱导公式一和同角基本关系式，体会三角函数的周期性与三角函数的内在联系性．
　　（四）教学过程设计
　　引导语：前面学习了三角函数的定义，根据已有的学习函数的经验，你认为接下来应研究三角函数的哪些问题？
　　师生活动：先由学生发言．一般而言，学生会直接把问题指向“图象与性质”．教师可以在肯定学生想法的基础上，指出三角函数的特殊性：
　　因为单位圆上点的坐标或坐标比值就是三角函数，而单位圆具有对称性，这种对称性反映到三角函数的取值规律上，就会呈现出比幂函数、指数函数和对数函数等更丰富的性质．例如，我们可以从定义出发，结合单位圆的性质直接得到一些三角函数的性质．
　　设计意图：明确研究的问题和思考方向．一般地，学生不习惯于借助单位圆的性质研究三角函数的性质，所以需要教师的讲解和引导．
　　问题1：由三角函数的定义以及任意角α的终边与单位圆交点所在的象限，你能发现正弦函数、余弦函数和正切函数的值的符号有什么规律吗？如何用集合语言表示这种规律？
　　师生活动：由学生独立完成．用集合语言表示的结果是：
　　当α∈{β|2kπ＜β＜2kπ+π，k∈Z}时，sinα＞0；当α∈{β|2kπ+π＜β＜2kπ+2π，k∈Z}时，sinα＜0；当α∈{β|β=kπ，k∈Z}时，sinα=0．其他两个函数也有类似结果．
　　设计意图：在直角坐标系中标出三角函数值的符号规律不难，可由学生独立完成．用集合语言表示，可以复习象限角、终边相同的角的集合表示等．
　　例3求证：角θ为第三象限角的充要条件是
　　
　　
　　师生活动：先引导学生明确问题的条件和结论，再由学生独立完成证明．
　　设计意图：通过联系相关知识，培养学生的推理论证能力．
　　问题2 ：联系三角函数的定义、象限角以及终边相同的角的表示，你有发现什么？
　　师生活动：学生在问题引导下自主探究，发现诱导公式一．
　　追问：（1）观察诱导公式一，对三角函数的取值规律你有什么进一步的发现？它反映了圆的什么特性？
　　（2）你认为诱导公式一有什么作用？
　　设计意图：引导学生通过建立相关知识的联系发现诱导公式一及其体现的三角函数周期性取值的规律，这是“单位圆上的点绕圆周旋转整数周仍然回到原来位置”的特征的反映．利用公式一可以把求任意角的三角函数值，转化为求0~2π角的三角函数值．同时，由公式一可以发现，只要讨论清楚三角函数在区间[0，2π]上的性质，那么三角函数在整个定义域上的性质就清楚了．在此过程中，可以培养学生用联系的观点看待问题，发展直观想象等素养．
　　问题3：诱导公式一表明，终边相同的角的同一三角函数的值相等．因为三个三角函数的值都是由角的终边与单位圆的交点坐标所唯一确定的，所以它们之间一定有内在联系．那么，终边相同的角的三个三角函数之间有什么关系呢？
　　师生活动：教师引导学生讨论，利用公式一，可以把问题转化为“同一个角的三个三角函数之间的关系”．然后让学生自主探究，得出“同角三角函数的基本关系”．
　　设计意图：“终边相同的角的三个三角函数的值都由单位圆上同一点的坐标所唯一确定，它们之间一定有内在联系”是发现问题的关键思想；由“终边相同的角的同一三角函数的值相等”引出“终边相同的角的不同三角函数之间有什么关系”的问题，再转化为“同一个角的三个三角函数之间关系”的研究，可以培养学生发现和提出问题的能力．借助单位圆上点的坐标的意义，由三角函数定义可以直接得出“同角三角函数的基本关系”．
　　问题4：总结上述研究过程，你能说说我们是从哪些角度入手发现三角函数性质的？你认为还可以从哪些方面入手研究三角函数的性质？
　　师生活动：先由学生独立思考、交流讨论，再由教师帮助学生总结．
　　设计意图：引导学生归纳三角函数性质的表现方式，培养学生的“数学的眼光”．借助单位圆，从三角函数的定义出发，我们从三角函数值的符号规律、终边相同的角的三角函数的关系入手发现了诱导公式一和同角三角函数的基本关系．自然而然地，我们还可以研究“终边不同的角的三角函数有什么关系”，结合圆的对称性，容易把研究方向指向“终边具有轴对称关系”“终边具有中心对称关系”或“终边具有某种特殊对称关系（如关于直线y=x对称）”的角的三角函数的关系，这就是下一单元要研究的诱导公式二~五．这是三角函数“与众不同”的性质．
　　第三课时　5.2.3三角函数概念和基本性质的简单应用
　　（一）课时教学内容
　　三角函数概念和基本性质的简单应用．
　　（二）课时教学目标
　　通过对三角函数概念和基本性质的实际应用，加强对三角函数概念和基本性质的理解，发展数学运算素养．
　　（三）教学重点与难点
　　重点：运用基本关系式进行三角恒等变换．
　　难点：灵活运用三角函数的基本性质进行三角恒等变换．
　　（四）教学过程设计
　　引导语：前面学习了三角函数的定义，由定义，结合单位圆的性质，我们发现了三角函数的一些“与众不同”的性质．下面我们利用这些知识解决一些问题．
　　1．例题
　　例4确定下列三角函数值的符号，然后用计算器验证：
　　
　　例5求下列三角函数值：
　　
　　例6
　　例7求证：
　　师生活动：以上都是教科书中的例题，难度不大，可以由学生独立完成，并作课堂展示．教师可以鼓励学生采用不同的变形方法得出答案．在用计算器验证时，提醒学生注意角度制的设置．
　　对于例6，在学生给出答案后，应该要求学生总结解题步骤，明确这类题目应该先根据条件判断角所在的象限，确定各三角函数值的符号，再利用基本关系求解．在此基础上，可以让学生归纳用同角三角函数的基本关系求值的问题类型．
　　例7实际上是sin2x+cos2x=1的变形，采用分析法、综合法都可以证明，还可以从不同方向进行推导．可以要求学生至少给出两种证明方法．
　　设计意图：提高对三角函数基本性质的理解水平，通过灵活运用性质的训练，提升数学运算素养．
　　2．课堂练习
　　（1）教科书第183页练习第1，2题；
　　（2）教科书第185页练习第1，2，4（1）（2）题．
　　师生活动：上述题目都比较简单，学生解答完成后，公布答案自我检查即可．
　　设计意图：检验学生对定义的理解情况，通过应用三角函数的基本性质解决一些简单问题，进一步理解这些性质．
　　3．布置作业
　　教科书习题5.2第1，2，4，7，8，13，14，18题．
　　4．目标检测设计（二）
　　（1）已知，求α的终边与单位圆交点的横坐标，并求tanα的值．
　　设计意图：考查三角函数的定义．
　　（2）求下列三角函数的值：
　　设计意图：考查诱导公式一，特殊角的三角函数值．
　　（3）角α的终边与单位圆的交点是Q，点Q的纵坐标是，说出几个满足条件的角α．
　　设计意图：考查正弦函数的定义，诱导公式一．
　　（4）点P（3a，4a）在角α终边上，说出sinα，cosα，tanα分别是多少？
　　设计意图：考查三角函数的定义，数学推理的严密性．
　　（5）对于①sin θ＞0，②sin θ＜0，③cos θ＞0，④cos θ＜0，⑤tan θ＞0与⑥tan θ＜0，选择恰当的关系式序号填空：
　　角θ为第二象限角的充要条件是；
　　角θ为第三象限角的充要条件是．
　　设计意图：考查三角函数值的符号规律．
　　（6）
　　设计意图：考查同角三角函数的基本关系．
　　（7）求证：tan2α－sin2α=tan2αsin2α．
　　设计意图：考查同角三角函数的基本关系，代数变形能力．
　　六、单元小结
　　教师引导学生回顾本单元学习内容，并回答下面问题：
　　（1）概述本单元知识发生发展过程的基本脉络．
　　（2）任意角三角函数的现实背景是什么？
　　（3）叙述任意角三角函数的定义过程，说明任意角三角函数与锐角三角函数区别与联系．
　　（4）我们是如何发现诱导公式一和同角三角函数的基本关系的？在发现这些性质的过程中，有哪些值得总结的思想方法或有益经验？
　　师生活动：提出问题后，先让学生思考并作适当交流，再让学生发言，教师帮助完善．
　　设计意图：（1）基本脉络是“现实背景—获得研究对象—分析对应关系的本质—下定义—研究性质”，通过不断重复这一过程，使学生逐步掌握研究一个数学对象的基本套路．
　　（2）明确三角函数的现实背景，可以使学生明白这类函数区别于其他基本初等函数的主要特征，为三角函数的应用奠定基础．
　　（3）定义过程包括背景的简化、本质化，借助单位圆进行对应关系的分析，确认弧度制下角的集合R到区间[-1，1]（角的终边与单位圆交点的横、纵坐标的取值范围）的对应关系是函数关系，引进符号sinα，cosα表示函数值，进而引进函数tanα，完善函数的定义域等等．
　　强调任意角三角函数与锐角三角函数的区别，主要是它们的研究背景（要解决的现实问题）不同，是两类完全不同的函数；建立它们的联系，可以把锐角三角函数纳入到任意角三角函数的系统中（对角的取值范围作出限制即可），从而形成清晰的、可辨别的三角函数认知结构，有利于三角函数的应用．
　　（4）对“如何发现性质”的反思，可以培养数学基本思想，积累基本活动经验，发展发现和提出问题的能力，这是落实数学学科核心素养的重要环节．要关注如下几点：
　　①从定义出发；
　　②发挥单位圆的作用，从中体会“三角函数的性质是圆的几何性质的解析表示”的观点；
　　③三角函数与其他基本初等函数的最大不同点是它的周期性，由此并结合定义可以得到诱导公式一；三角函数是“一个背景定义三个函数”，因此可以预见它们一定有内在联系，而且可以相互转化，这是发现同角三角函数基本关系的指路明灯，其中蕴含的思想具有可迁移性，有利于提升核心素养．
5.3 诱导公式教学设计
一、单元教学内容与内容解析
　　1.内容
　　“诱导公式”包括5组公式，即诱导公式二至六．本单元的知识结构如下图所示：
　　
　　建议分两课时完成．第一课时，形成研究的思路，围绕圆的对称性提出可以研究的相关问题，并探究出公式二到四．第二课时完成公式五与六的探究，并进行公式的初步应用．
　　2.内容解析
　　我们知道，任意角的三角函数的定义是借助于单位圆得出的，之后又借助于圆的几何性质得出了三角函数的部分性质，即同角三角函数关系．圆有丰富的对称性，对称性是圆的重要性质，如果用三角函数表示单位圆上点的坐标，就可将这些对称性表示为三角函数之间的关系，从而得到三角函数的其他性质．
　　角的基本构成元素就是顶点、始边、终边，在三角函数这一章的研究中，为了方便，使角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，因此变化的只有角的终边．首先从形的角度，研究圆的对称性：假设任意角α的终边与单位圆的交点为P1，点P1关于圆心或特殊直线的对称点为Q，根据单位圆上这两个点的对称性，可以写出以OQ为终边的角与角α的关系．接下来从数的角度，利用三角函数的定义，建立对称点坐标之间的关系，即诱导公式．
　　由此可见诱导公式的本质就是圆的对称性的代数表示．
　　对于π＋α，＋α，还可以从旋转对称的角度认知它们，与从轴对称认知的本质一致，而这样认知与诱导公式一，及后续的两角差的余弦公式的研究就一致了．因此这种变式为后续利用旋转对称性探究两角差的余弦作了铺垫．
　　可见，本单元是培养学生发现和提出问题、分析和解决问题，发展学生直观想象核心素养的很好的载体．
　　在数学史上，求三角函数值曾经是一个重要而困难的问题．数学家制作了锐角三角函数值表，并通过公式，将任意角转化为锐角进行计算．现在，我们可以利用计算工具方便地求任意角的三角函数值，所以这些公式的“求值”作用已经不重要了，但它们所体现三角函数的对称性，在解决三角函数的各种问题中却依然有重要作用．在本单元中，利用诱导公式解决问题，重要的是观察计算对象的特征，选择合适的诱导公式，确定恰当的求解路线，并实施计算求解问题．因此本单元还是培养学生数学运算核心素养的很好的载体．
　　因此本单元的教学重点是：利用圆的对称性探究诱导公式，运用诱导公式进行简单三角函数式的求值、化简与恒等式的证明．
　　此外，为了使学生尽快熟悉并形成使用弧度制的习惯，在诱导公式中全部采用了弧度制．
　　二、单元教学目标与目标解析
　　1.目标：
　　（1）经历诱导公式的探究过程，积累应用类比、转化、数形结合等方法研究三角函数性质的经验，提升直观想象核心素养；
　　（2）初步应用诱导公式解决问题，积累解题经验，提升数学运算核心素养．
　　2.目标解析
　　（1）在平面直角坐标系中，给出任意角α的终边与单位的交点P，结合单位圆的特殊对称性——关于原点对称和特殊直线对称，学生能分别画出相应的对称点Q，利用三角函数的定义给出相应的坐标，并能求出以OQ为终边的角与角α的坐标之间的关系，从而建立三角函数之间的关系，即诱导公式．
　　（2）学生能利用诱导公式进行化简、计算和证明.特别是在遇到比较复杂的问题时，能根据运算对象的特点，选择依据的公式，确定合适的求解方案，并能正确求解．在解题的基础上，能概括出利用诱导公式求解的一般程序．
　　三、单元教学问题诊断分析
　　本单元就单个知识点而言，比较好理解．但是公式比较多，当学生应用和记忆时会出现困难或者混淆．
　　因此本节课的教学难点之一是：诱导公式的有效识记和应用．
　　为破解这一难点，本节课的教学过程中要充分发挥单位圆的直观作用，提高学生的直观想象核心素养，理解诱导公式的本质：圆的对称性的代数化，三角函数的性质．学生能主动地依托单位圆，想象着它的对称性，就可以准确的记忆诱导公式．对于公式的应用，要提高学生分析问题的能力，即要形成一定的求解程序，提升学生的数学运算素养．
　　学生在理解诱导公式时，总是有思维定势，以为α是锐角，于是导致解题时，通过角所在象限判断诱导公式的符号出错．
　　所以本单元的第二个难点是：诱导公式中角α可以是任意角的理解．
　　为破解这一难点，在推导诱导公式时要充分地应用变式．比如在推导公式二时，点P1的位置一般选在第一象限，获得公式后，可以变化点P1的位置，让学生观察：点P1的位置变化时，点P2与点P1的坐标之间的关系．并抽象概括出这两点的坐标之间的关系与点P1的位置无关．因此公式中的角α可以是任意角．在此基础上，配以具体题目，让学生感受这种概括的正确性．
　　四、教学支持条件
　　本单位要利用GeoGebra软件，画图呈现如上所述的对称性，并动态演示当点P1的位置变化时，对称点的坐标与它的坐标之间的关系不变．
　　五、教学过程设计
　　第一课时
　　（一）课时教学内容
　　形成研究的思路，利用圆的对称性提出可以研究的相关问题，并探究出公式二到四．
　　（二）课时教学目标
　　1．经历提出问题，并探究诱导公式二至四过程，积累应用类比、转化、数形结合等方法研究三角函数性质的经验，提升直观想象核心素养；
　　2．初步应用诱导公式二至四解决问题，积累解题经验，提升数学运算核心素养．
　　（三）教学重点与难点
　　重点：利用圆的对称性探究诱导公式二至四．
　　难点：诱导公式中角α可以是任意角的理解．．
　　
　　（四）教学过程设计
　　1．创设情境，引出问题
　　引导语 前面我们学习了三角函数，是借助于单位圆给出的，并根据定义得出了诱导公式一，刻画“周而复始”这种变化规律及其几何意义．之后借助于单位圆的几何特征，获得了三角函数同一个角的三个三角函数之间的关系．我们知道，圆的最重要的性质是对称性，而对称性（如奇偶性）也是函数的重要性质．由此想到，我们可以利用圆的对称性，研究三角函数的对称性．
　　问题1 如图1，在直角坐标系内，设任意角α的终边与单位圆交于点P1，作P1关于原点的对称点P2．
　　（1）以OP2为终边的角β与角α有什么关系？
　　（2）角β，α的三角函数值之间有什么关系？
　　师生活动：先由学生独立完成问题1，然后展示，师生帮助一起完善和条理思路．
　　如图2，以OP2为终边的角β都是与角π＋α终边相同的角，即β=2kπ＋(π＋α)（k∈Z）．因此，只要探究角π＋α与α的三角函数值之间的关系即可．
　　设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．因为P2是点P1关于原点的对称点，所以
　　x2 ＝－x1，y2 ＝－y1．　根据三角函数的定义，得
从而得 公式二
　　
设计意图：初步感受如何将圆的一个特殊的对称性：在坐标系中关于原点对称，代数化，并得到诱导公式二．并以此问题作为研究方法的示范，为进一步提出、分析、解决问题做好奠基工作．
　　追问1：如果点P1在第二象限，那么点P2的坐标与点P1的坐标之间有什么关系？如果点P1在y轴负半轴上呢？在其他位置呢？据此，公式二中的角α的大小是多少？
　　答案：不论点P1在哪里，点P2的坐标与点P1的坐标之间的关系都不变，即公式二对任意角α都成立．
　　追问2：探究公式二的过程，可以概括为哪些步骤？每一步蕴含的数学思想是什么？
　　答案：第一步，根据圆的对称性，建立角之间的联系．从形的角度研究．
　　第二步，建立坐标之间的关系．将形的关系代数化，并从不同的角度进行表示．体现了数形结合的思想方法．
　　第三步，根据等量代换，得到三角函数之间的关系，即公式二．体现了联系性．
　　追问3：角π＋α还可以看作是角α的终边经过怎样的变换得到的？
　　答案：按逆时针方向旋转角π得到的．
　　设计意图：追问1旨在帮助学生理解角α的任意性，追问2旨在提炼方法，追问3则渗透圆的旋转对称性，为后面几个公式的探索在方法上做好铺垫．
　　2.类比探索，整体认知
　　问题2 借助于平面直角坐标系，类比问题1，你能说出单位圆上点P1的哪些特殊对称点？并按照如上问题1总结得到的求解步骤，尝试求出相应的关系式．
　　师生活动：
　　首先先由学生独立思考，尽量多地写出点P1的对称点，然后展示交流，之后再将之代数化，最后得到相应的诱导公式．学生的回答可能会超越教科书中的研究内容，如果是学生自己想到的，可以顺其自然保留，但是不作进一步的要求．如果学生没有想到，教师不需要增加．学生首先想到的应该是点P1关于坐标轴的对称点；之后关于特殊直线的对称点，比如y=x；教师启发之后会想到经过两次对称得到的对称点．
　　学生可能的答案有：单位圆上点P1的特殊对称点：第一类，点P1关于x轴、y轴的对称点；第二类，点P1关于特殊直线的对称点，如y＝x，y＝－x；第三类，点P1关于x轴的对称点，再关于特殊直线的对称点，或者点P1关于特殊直线的对称点，再关于坐标轴的对称点；等等．
　　接下来，针对如上结论，从第一类到第三类依次解决．第一课时可以先解决第一类．
　　1.如图3，作P1关于x轴的对称点P3：
　　以OP3为终边的角β都是与角－α终边相同的角，即β=2kπ＋(－α)（k∈Z）．因此，只要探究角－α与α的三角函数值之间的关系即可．
　　设P3(x3，y3)．因为P3是点P1关于x轴的对称点，所以
　　x3＝x1，y3＝－y1．
　　根据三角函数的定义，得
　　
　　从而得：公式三
　　
　　
　　
追问4 公式三和公式四中的角α是多大的角？
　　预设的答案：角α是任意角．
　　设计意图：类比问题1，进一步探索发现．这是一个开放式的问题设计，给了学生自主的时空，鼓励他们多角度观察思考，提出问题，并类比问题1进行分析，解决问题．强化将单位圆的对称性代数化这种研究思路．
　　3.初步应用，建立程序
　　例1 利用公式求下列三角函数值：
　　
　　追问5 题目中的角与哪个特殊角接近？拆分之后应该选择哪个诱导公式？
　　师生活动：学生独立完成之后展示交流，注重展示其思考过程，教师帮助规范求解过程．
　　解：略．
　　设计意图：引导学生有序地思考问题，有理地解决问题．
　　问题3 由例1，你对公式一～四的作用有什么进一步的认识？你能自己归纳一下把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤吗？
　　师生活动：学生独立思考总结，之后展示交流．
　　利用公式一～公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按如图5步骤进行：
　　
　　设计意图：引导学生梳理求解过程，提炼解题经验，明确从负角转化为锐角的程序，提高自觉地、理性地选择运算公式的能力，提升数学运算素养．
　　例2 化简：
　　追问6 本题与例1的异同是什么？由例1总结出的求解程序在此如何应用？
　　师生活动：学生独立完成，之后展示交流，注重展示其思考过程，教师帮助规范求解过程．
　　解：略．
　　设计意图：巩固习题的知识和方法，提高学生分析能力和转化能力．
　　4．梳理小结，深化理解
　　问题4 诱导公式与三角函数和圆之间有怎样的关系？你学到了哪些基本知识，获得了怎样的研究问题的经验？
　　师生活动：学生自主总结，展示交流．
　　（1）诱导公式是圆的对称性的代数化，是三角函数的性质．
　　（2）学到了三组诱导公式．研究方法是数形结合，注重联系．
　　设计意图：帮助学生梳理基本知识，总结研究方法，为进一步的研究铺路奠基．
　　5．布置作业，深入研究
　　（1）类比第一类问题的解决，即诱导公式二、三和四的探索发现过程，完成第二类和第三类问题．写出你的研究小报告，报告中先写出问题，再写出答案．并在下节课展示交流．
　　（2）完成P191练习，注重应用总结出来的程序．
　　（五）目标检测设计
　　计算：　　
　　设计意图：检测学生对基本知识和基本及基本技能的掌握情况．
　　第二课时
　　（一）课时教学内容
　　完成公式五与六的探究，并进行公式的初步应用．
　　（二）课时教学目标
　　1．经历探究诱导公式五与六过程，积累应用类比、转化、数形结合等方法研究三角函数性质的经验，进一步提升直观想象核心素养；
　　2．初步应用诱导公式解决问题，积累解题经验，进一步提升数学运算核心素养．
　　（三）教学重点与难点
　　重点：利用圆的对称性探究诱导公式五与六．
　　难点：诱导公式的有效识记和应用．
　　（四）教学过程设计
　　1.复习引入，继续研究
　　引导语：通过上一节课的研究，我们知道了将圆的对称性代数化就得到了诱导公式，这些都是三角函数的对称性．本节课沿着上一节课的思路继续进行，首先一起完成上节课布置的第一个作业．
　　问题5 针对第二类、第三类对称点，你能类比问题1写出相应的问题并解决吗？试一试．
师生活动：学生课前已经解决了第二、第三类问题，教师了解了其完成情况．课上教师根据学生完成情况，挑选如下内容进行展示．其他拓展内容视情况而定，可以展示，也可以由学生课下交流．根据上节课的作业要求，展示时，要有问题和解答．　
　　　　
　　追问7：除问题7与8中用到的对称关系，角＋α的终边与角α的终边还具有怎样的对称性？据此你将如何证明公式六？
　　师生活动：如果有学生提前想到了就延续前面的展示活动，如果学生没有想到，则由教师提出这个追问，促进学生思考．答案：角α的终边旋转角，就得到角＋α的终边．
　　解：略．
　　设计意图：展示对公式五与六的探究，进一步强化将单位圆的对称性代数化这种研究思路．
　　问题6 回顾利用公式一～公式四，把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，并且建立了图5所示的求解程序，那么公式五或公式六的作用是什么？可能在哪个环节用到这两组公式？
　　师生活动：在学生思考展示的基础上互相交流，并完善．
教师讲解：利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化．如图9所示可以在变成锐角的过程中发生作用．公式一～六都叫做诱导公式(induction formula)．
　
　
　设计意图：基于前述的求解程序，进行理性思考，完善求解程序，帮助学生提升运算素养．
　　8.初步应用，发展和完善程序　　
　　追问8 观察题目中的角，对比诱导公式，根据图9，应该怎样化简转化为公式的形式？
　　师生活动：学生更具问题的引导，独立思考，并求解．学生展示时紧扣图9进行．
　　求解过程略．
　　设计意图：引导学生理性思考，有序解题，完善求解程序，提升数学运算素养．　　
　　追问9 观察题目中的角，它们有怎样的关系？和哪个诱导公式接近？由此你确定的求解思路是怎样的？
　　师生活动：
　　注意到（53°－α）+（37°＋α）=90°，如果设β＝53°－α，γ= 37°＋α，那么β+γ= 90°，由此可利用诱导公式和已知条件解决问题．
　　解：略．
　　设计意图：引导学生学会观察分析，进行理性思考，学会有序求解，提升数学运算素养．
　　9.单元小结，深化理解
　　问题7 回顾这两节课的学习，你学到了哪些基本知识，它们的作用是什么？能解决什么问题？求解的程序是什么？我们已经知道诱导公式是三角函数的性质，是圆的对称性的代数化，据此，你觉得怎样记忆到目前为止学过的这6组诱导公式？此外，仅仅观察6组诱导公式的形式特征，你还能怎样记忆这些公式．
　　师生活动：以学生的独立思考，展示交流，互相补充为主．教师予以及时的点拨．
　　（1）求解程序略．基本的思想是：负角变正角，大角变小角．（2）只要了解了诱导公式是通过哪个对称变化得到的，这种变化中点的坐标的关系是怎样的，就可以记住公式，而且还可以进一步推广公式．（3）通过观察发现，如果是一个角加的奇数倍，那么变换后会改变三角函数的名字；如果是一个角加的偶数倍，那么变换后会不改变三角函数的名字．
　　设计意图：梳理小结，一方面帮助学生进一步明确求解的程序．另一方面，通过帮助学生梳理借助于单位圆记忆公式的过程，进一步认识诱导公式的本质．第三，通过观察形式，分析特点，总结记忆方法，从另一个角度认知诱导公式，进行抽象概括．
　　10.布置作业
　　（1）梳理本单元的学习内容，根据问题11进一步梳理总结．
　　（2）完成习题5.3.
　　设计意图：应用巩固，深化理解．
　　（五）目标检测设计
　　计算或化简：　　
　　设计意图：检测学生对基本知识和技能的掌握情况．
5.4.1 三角函数的图像和性质（第一课时）学历案
【主题与课时】正弦函数， 余弦函数的图像(1课时)
【课标要求 】
由于三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方，而且对于周期函数，我们只要认识清楚它在一个周期的区间上的性质，那么它的性质也就完全清楚了，因此本节课利用单位圆中的三角函数的定义、三角函数值之间的内在联系性等来作图，从画出的图形中观察得出五个关键点，得到“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图.需掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线。理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系。
【学习目标】
1.通过正弦函数的定义绘制一个点，再绘制正弦函数在一个周期内的图象，最后通过平移得到正弦函数的图象；能说出正弦函数图象的特点，并能用五点法绘制正弦函数的图象.发展数学运算，直观想象核心素养。
2.通过图象变换的方法，由正弦函数的图象绘制余弦函数的图象，理解其中运用的图象变换的思想.能用“五点法”绘制余弦函数的图象。发展数学抽象，逻辑推理核心素养。
【评价任务】
1.通过完成问题1，追问1-2，问题2-3，追问3，问题5，例1（1）检测目标1；
2.通过完成问题4，追问4-6，例1（2），检测目标2；
【学习过程】
1.资源与建议
（1）三角函数是一类最典型的周期函数，本节课的学习，可以帮助学生在用锐角三角函数刻画直角三角形中边角关系的基础上，借助单位圆建立一般三角函数的概念，能画出正弦余弦函数的图像。
（2）将正弦函数在单位园中的纵坐标“量”通过平移转化为正弦函数图象上的点；正弦函数与余弦函数图象间的关系是本节课的难点。
2.预备知识：
直角三角形中三角函数的概念，引入弧度制，三角函数诱导公式，描点法画图像，图像变换规律。
3.课中学习
【教学活动1】（画函数y=sinx,的图象）
问题1:三角函数是我们学习的一类新的基本初等函数，按照函数研究的方法，学习了三角函数的定义之后，接下来应该研究什么问题？怎样研究？
追问1研究指数函数、对数函数图象与性质的思路是怎样的？
追问2绘制一个新函数图象的基本方法是什么？
设计意图：规划研究方案，构建本单元的研究路径，以便从整体上掌握整个单元的学习进程，形成整体观念。
【教学活动2】（画正弦函数y=sinx,的图像）
问题2:根据函数y=sinx,的图象，你能想象正弦函数y=sinx,的图象吗？依据是什么？画出该函数的图象.

【教学活动3】(归纳五点画图法)
问题3:如何画出函数y=sinx,图象的简图？
追问3：在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？

【教学活动4】（画余弦函数图像）
问题4 :如何画出余弦函数y=cosx的图象？

追问4:由三角函数的定义可知，正弦函数、余弦函数是一对密切相关的函数.诱导公式表明，余弦函数和正弦函数可以互化。相应地，能否通过对正弦函数图象进行变换得到余弦函数的图象？
追问5:你能在两个函数图象上选择一对具体的点，解释这种平移变换吗？
设计意图：利用诱导公式，通过图象变换，由正弦函数的图象获得余弦函数图象；增强对两个函数图象之间的联系性的认识.

问题5:类似于用“五点法”作正弦函数图象，如何作出余弦函数的简图？
追问6：余弦函数在区间上相应的五个关键点是哪些？请将它们的坐标填入下表，然后作出y=cosx,的简图。
设计意图：观察余弦函数图象，掌握其特征，获得“五点法”
【教学活动5】(知识应用)
例1用“五点法”画出下列函数的图象
追问：分别说明如何经过图像变换得到以上函数图像？
设计意图：巩固学生对正弦函数、余弦函数图象特征的掌握，熟练“五点法”画图，掌握画图的基本技能，通过分析图象变换，深化对函数图象关系的理解，并为后续的学习作好铺垫。
【教学活动6】（课堂小结）
问题6.本节课所学的重点知识是什么？其中蕴含的数学思想方法有哪些？
【教学活动7】（达标检测）
【学后反思】
研究正余弦函数的图像是从哪几个方面进行的？整体看用到了什么思维方法？
5.4.2“正弦函数，余弦函数的性质” 学历案
【主题与课时】正弦函数，余弦函数的性质
【学习目标】
通过了解周期函数和最小正周期的意义，能利用周期性定义和诱导公式求简单三角函数的周期，发展数学抽象核心素养.
通过了解奇偶性的意义，能利用奇偶性的定义和诱导公式判断简单三角函数的奇偶性，发展数学运算和直观想象核心素养.
通过借助图像直观理解正余弦函数在一个周期内的单调性，最值，图像与X轴的交点的性质，会求简单三角函数的最值问题，不求最值比较大小问题，求三角函数的单调区间，发展数学运算和逻辑推理核心素养.
【评价任务】
1.完成问题1，追问1-4，例2，检测目标任务1。
2.完成问题2，追问5-6，检测目标任务2。
3.完成问题3，例3-5，检测目标任务3。
【学习过程】
1.资源与建议
（1）前面已经学习了正余弦函数的图像，我们已经看到三角函数具有“周而复始”的变化规律，所以我们通过观察一个周期内的图像性质，来判断简单三角函数的性质。
（2）正余弦函数是简单三角函数的重要代表，是一类特殊的函数，通过正弦曲线，余弦曲线来探究正弦函数，余弦函数的性质是本节课的重点，应用正、余弦函数的性质来求含有cosx,sinx的函数的单调性、最值、值域及对称性是本节课的
难点。
（3）正弦函数，余弦函数的性质这一节的学习，让学生借助数形结合的思想，通过图像探究正、余弦函数的性质，为后续的学习奠定基础，提升核心素养。
2.预备知识：正弦函数，余弦函数的图像；诱导公式；图像的对称性；
3.课中学习
【教学活动1】（概括正弦函数的周期）
问题1你知道正弦函数的周期是什么吗 周期又是怎么定义的呢？
追问1
...,
那么，是正弦函数y=sinx的一个周期吗？为什么？这种情况与说是正弦函数的周期有什么不同？
追问2
在正弦函数的所有正周期中，是否存在一个最小的正数？

设计意图：直观理解正弦函数的周期性，了解最小正周期。
追问3请你阅读教科书5.4.2节“1.周期性”中的内容，回答下列问题：什么叫周期函数？什么叫周期？什么叫最小正周期？如果一个函数是周期函数，那么它满足的代数关系是什么？图象特征是什么？
追问4
知道了一个函数的周期，对研究它的图象与性质有什么帮助？
设计意图：了解一般周期函数及相关概念，为下面的研究作铺垫。
【教学活动2】（归纳正余弦函数的其他性质）
问题2:对于一般的函数，我们通常要研究哪些性质？观察正弦函数、余弦函数的图象，完成下面的表格.
追问5 如何理解点也是正弦函数y=sinx的对称中心？如何理解直线是正弦函数y=sinx的对称轴？
追问6 逐一列举正弦函数y=sinx的单调递增区间，它们与区间之间有怎样的关系？

设计意图：按照已有的研究方案，落实函数研究的方法和程序；培养学生运用类比、对比的方法研究对象的意识和能力
问题3:
阅读教科书5.4.2节“2.奇偶性”“3.单调性”“4.最大值与最小值”的内容，
回答下列问题：

(1)如何证明正弦函数、余弦函数的奇偶性？知道一个函数的奇偶性，对研究它的图象与性质有什么帮助？

(2)分别选择了哪个区间研究正弦函数、余弦函数的单调性？为什么？

设计意图：引导学生重视教科书的阅读，在直观感知的基础上系统、规范地认识函数的性质，并获得精准规范的表达，培养思维的严谨性。例5 求函数
【教学活动4】（课堂小结）
本节课所学的重点知识是什么？其中蕴含的数学思想方法有哪些？
【教学活动5】（达标检测）
【学后反思】研究幂函数是从哪几个方面进行的？整体看用到了什么思维方法？
5.4.3 “正切函数的性质与图像” 学历案
【主题与课时】正切函数的性质与图像 1课时
【学习目标】
1.通过从正切函数的定义出发研究正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性，从而研究正切函数的图像，并能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题，发展数学抽象，逻辑推理，直观想象核心素养。
2.利用奇偶性和周期性能画出正切曲线，通过正切函数图像与性质的探究，培养学生数形结合和类比的思想方法，发展直观想，象逻辑推理核心素养。
【评价任务】
1.通过完成问题1，问题2，例6检测目标1；
2.通过完成练习1，练习2，检测目标2
【学习过程】
1.资源与建议
（1）前面已经学习了正弦函数、余弦函数的图像及其性质，这节课的学习要利用类比的方法学习正切函数；
（2）正切函数是一类特殊的函数，在日常生活中有着广泛的应用，正切函数的定义是解决有关问题的最根本依据，正切函数的图象和性质是解决幂函数问题的重要工具，因此是本节课学习的重点，通过正切函数图像与性质的探究，培养学生数形结合和类比的思想方法，这是本节课的难点；
（3）正切函数这一节的学习，不仅要关注知识，还要关注研究方