[专题集训10]专题十 特殊三角形中的分类讨论（含答案）

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[专题集训10]专题十 特殊三角形中的分类讨论
一、选择题
1.若一个等腰三角形的一边长为10，则另两边的长可能为 ( )
A.4 和4 B.4 和10
C. 5 和 5 D.10 和 21
2.等腰三角形一条边的长为3，它的另两条边的长是关于x的一元二次方程 的两个根，则k的值是 ( )
A.27 B.36
C.27或36 D.18
3.如图,已知在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=60°,在直线 BC 或AC 上取一点 P,使得△ABP 为等腰三角形，则符合条件的点有( )
A.4个 B.5个
C.6个 D.7个
4.如图，方格中的A，B称为格点(格线的交点)，以AB为一边画△ABC，其中令△ABC 是直角三角形的格点C 的个数为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
5.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC>BC，以△ABC 的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形最多有
A.9个 B.7个
C.6个 D.5个
6.已知等腰三角形ABC中，AB=AC，两腰的垂直平分线交于点 P，已知∠BPC=90°，则等腰三角形的顶角为 ( )
A.45° B.40°
C.45°或135° D.45°或125°
二、填空题
7.在等腰三角形ABC中,若∠A=2∠B,则∠C 的度数为 .
8.如图,在矩形ABCD中,AB=5cm,BC=4 cm,E是AB边上一动点,过点 E作EF⊥DE交BC 边于点F,将△BEF 沿直线EF 翻折得△B'EF,连结 DB',当△DEB'是以 DE 为腰的等腰三角形时,AE= cm.
9.如图,在△ABC 中,∠C=90°,CA=CB= ,P是AB 边上的动点，过点 P 画直线截△ABC，使截得的一个三角形是等腰三角形，且A，P是其顶点.若过点 P 可画出满足条件的直线恰有2条，则AP 的取值范围是 .
10.在矩形 ABCD中,AB=9,AD=12,点 E 在边CD 上,且CE=4,P 是直线BC 上的一个动点.若△APE 是 直 角 三 角 形,则 BP 的长为
三、解答题
11.等腰三角形一腰上的中线，将这个等腰三角形的周长分成15 和6 两部分，求这个三角形的腰长及底边长.
12.已知一个三角形的三条边的长分别为n+6，3n，n+2.(n为正整数)
(1)若这个三角形是等腰三角形，求它的三边长.
(2)求出n的所有整数值.
13.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=5cm ,AC=3cm,在射线 BC上有一动点 P.
(1)求 BC的长.
(2)当△ABP 为直角三角形时,求 BP 的值.
(3)当△ABP 为等腰三角形时,求 BP 的值.
14.已知 Rt△ABC 中,∠ACB =90°,∠B= 30°,AB=4,点E,F分别在边AC,边BC上(点 E 不与点 A 重合，点F 不与点B 重合)，连结EF，将△CEF 沿着直线EF 翻折后，点 C 恰好落在边AB 上的点 D 处,过点 D 作 DM⊥AB,交射线AC于点M,设
(1)如图1，当点M与点C重合时，求 的值.
(2)如图2，当点M在线段AC 上时，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.
(3)当点 M 在线段AC 上时,且 时，求AD的长.
1. B 2. B 3. C 4. B 5. B 6. C 7.45°或72° 8. 或 9.111.解：∵等腰三角形一腰上的中线，将这个等腰三角形的周长分成15 和6两部分.
又∵15-6=9，∴等腰三角形的腰与底边相差9，下面分两类讨论：
①腰比底边大，设腰长为x，则底边长为(x-9).
由题意得2x+x-9=15+6,解得x=10,当x=10时,等腰三角形腰长为10，底边长为10-9=1，三角形三边长分别为10，10，1，满足三角形三边关系，可以构成三角形.
②底边比腰大，若腰长为x，则底边长为(x+9).
由题意得2x+x+9=15+6,解得x=4,当x=4时,等腰三角形腰长为4，底边长为4+9=13，三角形三边长分别为4，4，13，不满足三角形三边关系，不能构成三角形.
综上所述，这个三角形的腰和底分别为10和1.
12.解:(1)①如果n+2=3n,解得n=1,
三角形三边的长为3，3，7，不符合三角形三边关系；
②如果n+6=3n,解得n=3,
三角形三边的长为5，9，9，符合三角形三边关系.
综上所述，等腰三角形的三边长为5，9，9.
(2)由题意得解得
∵n为整数,∴n的所有整数值是2,3,4,5,6,7.
13.解:(1)在 Rt△ABC中,
∴BC=4 cm.
(2)①当∠APB为直角时,点 P 与点C 重合,如图1,BP=BC=4 cm;
②当∠BAP 为直角时,如图2,AC=3cm,
在Rt△ACP中,
在 Rt△BAP 中,
即 解得
故当△ABP 为直角三角形时，BP=4cm或
(3)①当AB=BP时,如图3,AB=BP=5cm;
②当AB=AP时,如图4,BP=2BC=8cm;
③当BP=AP时,如图5,CP=(4-BP) cm,AC=3cm,在 Rt△ACP中,
所以 解得 综上所述，当△ABP 为等腰三角形时,BP=5cm或8cm或
的值为 (2)y关于x 的函数解析式为y= 自变量x的取值范围为