导数及其应用专项训练（含解析）-2025年高考数学一轮复习题

中小学教育资源及组卷应用平台
导数及其应用专项训练-2025年高考数学一轮复习题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．直线运动物体的位移与时间满足方程 则时瞬时速度为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．12
2．已知函数，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
3．定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”．若函数，，的“新驻点”分别为，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．函数的图象在点处的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．一辆汽车在笔直的公路上行驶，位移关于时间的函数图象如图所示，给出下列四个结论：
①汽车在时间段内每一时刻的瞬时速度相同；
②汽车在时间段内不断加速行驶；
③汽车在时间段内不断减速行驶；
④汽车在时刻的瞬时速度小于时刻的瞬时速度.
其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．若函数在区间内存在2个极值点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．设函数的导函数为，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数的高阶导数为，即对函数连续求阶导数．例如，则，，，，，…，若，则的展开式中的系数是（ ）
A．360 B．280 C．255 D．210
二、多选题
9．下列求导数运算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，下列结论中正确的有（ ）
A．是的极小值点 B．有三个零点
C．的极小值是 D．函数为奇函数
11．已知函数，则（ ）
A．当时，函数在上单调递增
B．当时，函数有两个极值
C．过点且与曲线相切的直线有且仅有一条
D．当时，直线与曲线有三个交点，，则
三、填空题
12．若函数可导，则 .
13．若函数在处的切线与的图象有三个公共点，则k的范围 ．
14．在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”．则 旋转函数（填：“是”或者“不是”）；若是旋转函数，则的取值范围是 ．
四、解答题
15．已知函数
(1)判断函数的单调性，并求出的极值；
(2)画出函数的大致图像并求出方程的解的个数．
16．已知函数．
(1)若函数是增函数，求实数的取值范围；
(2)试判断在上的零点个数．
17．已知函数，曲线在处的切线方程为．
(1)求的值；
(2)函数在区间上存在零点，求的值．
18．已知函数及其导函数满足．
(1)求的解析式；
(2)若的一条切线恰好经过坐标原点，求切线的方程；
(3)若曲线与恰好存在两条公切线，求的取值范围．
19．已知函数，直线l是曲线在点处的切线.
(1)当，（为自然对数的底数）时，求l的方程；
(2)若存在l经过点，求实数a的取值范围；
(3)当时，设点，，B为l与y轴的交点，表示的面积.求的最小值.
《导数及其应用专项训练-2025年高考数学一轮复习题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C D B C B B D BD ABC
题号 11
答案 ACD
1．D
【分析】求出函数的导函数，根据导数的定义计算可得.
【详解】因为，所以，所以，
所以时瞬时速度为.
故选：D
2．C
【分析】对函数两边同时求导，再由赋值法代入计算可得结果.
【详解】由可得，
令可得，解得.
故选：C
3．D
【分析】根据“新驻点”的定义，依次对函数求导，构造方程，再通过导函数研究函数的单调性，利用零点存在定理得到方程的根所在区间，最后比较大小即可.
【详解】根据题意，求导得，
由即解得，所以函数的“新驻点”.
同理，求导得，则即，
设函数，易知函数在定义域上单调递增，
且，
根据零点存在定理可知，的根.
由求导得，则即，
设函数，则，
所以，当或时，，单调递增；当时，，单调递减.
因为，
根据零点存在定理，可知的根.
综上，.
故选：D.
4．B
【分析】由函数解析式求得切点，利用导数求得切线斜率，根据点斜式，可得答案.
【详解】由，则，
求导可得，则，
所以切线方程为，化简可得.
故选：B.
5．C
【分析】根据斜率表示变化率及导数表示瞬时速度，从而由斜率的变化得出速度的变化情况，进而得出答案．
【详解】根据题意，
①在时间段内，位移是一条斜率大于零的直线，则汽车在该时间段内匀速行驶，汽车在时间段内每一时刻的瞬时速度相同，故①正确；
②在时间段内，位移是一条斜率越来越大的曲线，则汽车在该时间段内不断加速行驶，故②正确；
③在时间段内，位移是一条斜率越来越小的曲线，则汽车在该时间段内不断减速行驶，故③正确；
④汽车在时刻的瞬时速度为0，在时间段内，位移不变，则汽车在该时间段内静止不动故时刻的瞬时速度为0，故④不正确．
故选：C．
6．B
【分析】首先将题意转化为在区间内有两个解，从而得到在区间内有两个解，设，，再根据的图象性质求解即可.
【详解】，因为函数在区间内存在2个极值点，
所以在区间内有两个解.
即在区间内有两个解.
设，，，
当时，，函数在上为增函数；
当时，，函数在上为减函数，
又，，，则，如图所示.
由图知，当且仅当时，函数与函数有两个交点，
此时即在区间内有两个解，故实数a的取值范围为.
故选：B
7．B
【分析】先在中令，得到关于和的式子.再对求导后令，得到关于和的式子，从而求出.把代回表达式，求出.确定与的表达式.则判断A，B；对再求导得，发现，说明递增.又知，所以不恒大于等于，判断C；由情况可知在取最小值，求出，判断D.
【详解】已知，
令可得：
对求导得，令可得：
，可得.
将代入可得，
再令可得：，
因为，所以，解得.
代入与的表达式中，可得：
A选项：由前面计算可知，所以A选项错误.
B选项：前面已求得，所以B选项正确.
C选项：对设，求导得，因为，所以，这表明在上单调递增.又因为，
所以当时，；
当时，，即不恒成立，所以C选项错误.
D选项：由前面分析可知在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得最小值，，所以不成立，D选项错误.
故选：B.
8．D
【分析】利用二项式展开式定理来求十阶导函数的指定项即可.
【详解】因为
所以，
继续求二阶导数得：，
继续求三阶导数得：
，
……
所以.
所以的系数为.
故选：D
9．BD
【分析】根据基本初等函数的导数公式计算可得.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：BD.
10．ABC
【分析】对于A、C，利用导数，结合极小值点的定义，可得答案；对于B，利用导数研究函数的单调性，结合零点的存在性定理，可得答案；对于D，整理函数解析式，利用奇函数的定义，可得答案．
【详解】对于A，求导：已知函数，可得，
令，即，解得或.
当时，函数在上单调递增.
当时，，函数在上单调递减.
当时，，函数在上单调递增.
x (-,-3) -3 (-3,1) 1 (1,+)
f′(x) + 0 - 0 +
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小植 单调递增
根据极小值点的定义，在左侧函数单调递减，右侧函数单调递增，所以是的极小值点，故A正确.
对于C，根据极值点的定义， 是的极小值点，
.故C正确.
对于B，利用零点存在性定理：
因，，
.
因，故函数在内存在一个零点；
又因，故函数在内存在一个零点；
因，故函数在内存在一个零点.
综上，可知函数存在三个零点，故B正确.
对于D，由，即.
因，而，可得，故不是奇函数，故D错误.
故选：ABC.
11．ACD
【分析】A选项，求导，得到导函数大于0恒成立，故A正确；B选项，时，导函数大于等于0恒成立，B错误；C选项，设切点，由几何意义得到切线方程，将代入，整理得到，构造设，求导得到单调性，数形结合得到只有1个根-2，C正确；D选项，若，此时直线与曲线只有1个交点，不合要求，故，联立直线与曲线得到，令，变形得到.
【详解】A选项，时，，
恒成立，故函数在上单调递增，A正确；
B选项，，当时，恒成立，
此时在R上单调递增，无极值，B错误；
C选项，显然不在上，设切点为，
因为，所以，
故切线方程为，
又切线过点，故，
整理得，
设，则
令得或，
令得或，令得，
故在上单调递增，在上单调递减，
其中，，
又，故只有1个根-2，
故过点且与曲线相切的直线有且仅有一条，C正确；
D选项，当时，，
若，直线，
此时与曲线只有1个交点，不合要求，故，
，直线与曲线联立得
，
设，
故，
所以，则，D正确.
故选：ACD
12．
【分析】根据导数的定义求解即可.
【详解】根据导数的定义可得.
故答案为：.
13．
【分析】首先利用导数的几何意义求切线方程，再转化为切线与在有两个不同的解，利用参变分离转化为二次函数图象问题，即可求解.
【详解】，，，所以切线方程为，
，，，
当，，单调递减，当，，单调递增，
所以当时，取得最小值，，
所以与只有1个交点，交点坐标为，
由题意可知：在有两个不同的解，
，，
函数在区间单调递减，在区间单调递增，
且在区间的值域为，
若与在区间有两个交点，
则的范围为.
故答案为：
14． 是
【分析】求出旋转后所得图象对应的解析式，结合题中定义判断即可；对任意的，方程至多一解，即至多一解，且函数为单调递减函数，可知恒成立，结合参变分离可求出实数的取值范围.
【详解】在旋转后所曲线上任取一点，旋转前点对应的点为，
不妨设，设点，即，，
将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，
可得，即点，
即，，
因为，可得变形可得，曲线为函数，
所以，是旋转函数；
若函数是旋转函数，将函数的图象绕着原点逆时针旋转后，
不存在与轴垂直的直线，使得直线与旋转后的函数图象个以上的交点．
故不存在直线与函数的图象有两个交点，
即对任意的，方程至多一解，即至多一解，
令为单调函数，则，
因为，故对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
当时，则对任意的恒成立，合乎题意；
当时，则，
令，其中，则，
由可得，由可得，
所以，函数的减区间为，增区间为，
所以，，且函数无最大值，所以此时不合乎题意；
当时，则，此时，，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
15．(1)单调递减区间为，单调递增区间为，极小值；
(2)当时，有个解；当或时，有个解；当时，有个解.
【分析】（1）直接对于求导，判断单调性，进而求解极值；（2）由（1）的单调性与极值，最值，画出函数图像，利用数形结合求出的解的个数.
【详解】（1）由题意可知，的定义域为，
则，
令，则，
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增.
所以故;
（2）由（1）可知作出函数图像，
由图，当时，方程的解个数为个；
当或时，方程的解个数为个；
当时，方程的解个数为个.
16．(1)；
(2)答案见解析.
【分析】（1）由题结合在定义域内恒成立可得答案；
（2）研究在上的单调性，结合零点存在性定理可判断零点个数.
【详解】（1）由题意得，且在定义域内恒成立.
则在定义域内恒成立，令，对求导可得，，时，，即单调递减，
时，，即单调递增，
所以，则，故实数的取值范围为；
（2）I由（1），当时，在上单调递增.
注意到，时，，
则此时在上有一个零点；
II当时，令，
则，.
则在上单调递增，在上单调递减，
注意到，，
则存在，使.
①若，即，则.
则此时在上单调递增，在上单调递减.
注意到时，，，
则，使；注意到，
i若，则此时有一个零点；
ii若，则使，则此时有两个零点；
②若，因在上单调递增，
则存在，使.
则，.
则此时在上单调递增，在上单调递减.
由①分析，在存在零点，又注意到，
则此时有一个零点.
综上可得：当时，在上有一个零点；
当时，在上有2个零点.
【点睛】关键点睛：零点个数问题常用两种方法处理，第一种利用数形结合思想，将问题转化为直线与函数图象交点个数问题；第二种，利用单调性结合零点存在性定理确定零点所在区间，从而确定个数.
17．(1)；
(2)或.
【分析】（1）根据切线确定切点，再由切点在函数图象上求参数值；
（2）对函数求导，研究函数的区间单调性，结合零点存在性定理确定零点所在区间求参数值.
【详解】（1）因为曲线在处的切线方程为，所以切点为，
所以，得；
（2）由（1）得，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得极小值，又，
所以在区间上存在一个零点，此时，
因为，，
所以在区间上存在一个零点，此时，
综上，或．
18．(1)
(2)
(3)．
【分析】（1）令，得到，求导令，得到，即可求解；
（2）设切点为，求出切线方程，通过过坐标原点，求得，即可；
（3）设直线与的图象的切点坐标分别为，由导数的几何意义构造等式得到，同理当直线与的图象都相切时，得.问题转换成方程有两解，进而可求解；
【详解】（1）令，则，解得，
求导可得，令，可得，
所以，即．
（2）设切点为，则，切线方程为．
因为切线经过坐标原点，所以，解得，
故切线方程为，即．
（3）．
设直线，
与的图象的切点坐标分别为，
由，求导得：，在切线斜率为 ，
由，求导得：，在切线斜率为，
则可得
所以，整理得.
同理，当直线与的图象都相切时，得.
故只需有两解．
令，则，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，
故的取值范围为．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）代入得到函数，求出切点坐标，然后求导数得到切线斜率，然后写出切线方程；
（2）由函数求出切点坐标，由导数求出切线斜率得到切线方程.带点到直线方程得到方程，设函数，通过导数求得函数的单调区间，然后得到函数的最小值，方程有解即函数由零点，即函数最小值小于等于0，建立不等式后求得实数a的取值范围；
（3）代入得到函数解析式，然后求出切点坐标，求导数得到切线斜率，然后得到切线方程，即得点坐标.然后得到三角形面积，由（2）得到函数在时取得最小值，由于最小值大于0，从而知道当时，三角面积最小值，即得到结果.
【详解】（1）当，（为自然对数的底数）时，
，，
，，
所以直线l的方程为，即.
（2）因为，所以.
因为，所以.
所以直线l的方程为.
因为l经过点，所以，化简得.
设，由题意知，存在，使得.
又因为，
当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增；
所以在时取得最小值.
因为，所以，解得.
此时.
因为，
所以只需.所以a的取值范围是.
（3）当时，，，
，，
直线l的方程为.
令，得，即，
所以.
由（2）知，当时，在时取得最小值，
因为，所以恒成立，
所以当时，取得最小值.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)