第二节 平行四边形
A 级 基础巩固
1.人八下P67，T4变式 小峰不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是
（ ）
A．①，② C．③，④
B．①，④ D．②，③
2.易错2024·廊坊一模 平行四边形的周长为24，相邻两边的差为2，则平行四边形的各边长为 （ ）
A．4，8，4，8 B．5，7，5，7
C．5.5，6.5，5.5，6.5 D．13，11，13，11
3.高频考点2024·邯郸育华中学模拟 如图是嘉淇不完整的推理过程，为了使嘉淇的推理成立，需在四边形ABCD中添加条件，下列添加的条件正确的是（ ）
A．∠B+∠C=180° B．AB=CD
C．∠A=∠B D．AD=BC
4.人八下P49，T3变式 如图，在荀ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，连接CE，若△CED的周长为6，则荀ABCD的周长为 （ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
5.2024·广州 如图，荀ABCD中，BC=2，点E在DA的延长线上，BE=3，若BA平分∠EBC，DE=____________.
6.人八下P50，T8高仿 如图，荀ABCO的顶点O，A，C的坐标分别是（0，0），（3，0），（1，2），则顶点B的坐标是_________.
7.冀八下P122，BT1拓展 如图，在荀ABCD中，点E，F在对角线AC上，∠CBE=∠ADF．求证：（1）AE=CF；
（2）BE∥DF．
B 级 能力过关
8.重点2024·沧州模拟 根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是 （ ）
9.2024·秦皇岛模拟 如图，将一个平行四边形分成16个全等的小平行四边形．若涂满△ABC和△DEF所用颜料千克数分别是m，n，则 （ ）
A．n=2m B．m=2n C．n=m D．2n=3m
10.新趋势2024·石家庄四十一中模拟 如图，点A（0，3），B（-1，-1），C（4，0）在平面直角坐标系中，将点O平移后可得到点D，则下列平移可得到平行四边形ABCD的是 （ ）
A．点O向右平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得点D
B．点O向右平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度得点D
C．点O向右平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度得点D
D．点O向右平移5个单位长度，再向上平移5个单位长度得点D
11.难点2024·宜宾 如图，在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=4，E，F分别是边CD，AD上的动点，且CE=DF．当AE+CF的值最小时，则CE=_______.
12.2024·大庆 如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别是∠BAD，∠BCD的平分线，且点E，F分别在边BC，AD上．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若∠ADC=60°，DF=2AF=2，求△GDF的面积．
C 级 中考新考法
13.推理能力2024·邯郸模拟 阅读下面的材料：定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
下列判断正确的是 （ ）
A．甲思路正确，乙思路错误
B．甲思路错误，乙思路正确
C．甲、乙两人思路都正确
D．甲、乙两人思路都错误
第二节 平行四边形
A 级 基础巩固
1.D 2.B 3.B
4.B 提示：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB，AD=BC，
∵AC的垂直平分线交AD于点E，
∴AE=CE，∴△CDE的周=DE+CE+DC=DE+AE+DC=AD+DC=6，
∴荀ABCD的周长=2×6=12.
5.5 提示：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=2，
∴∠EAB=∠CBA，∵BA平分∠EBC，
∴∠EBA=∠CBA，∴∠EAB=∠EBA，
∴AE=BE=3，∴DE=AD+AE=2+3=5.
6.（4，2）
7.证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠DAF=∠BCE，在△ADF和△CBE中，
∴△ADF≌△CBE（ASA），∴AF=CE，∴AF-EF=CE-EF，∴AE=CF；
（2）∵△ADF≌△CBE，
∴∠AFD=∠CEB，∴BE∥DF．
B 级 能力过关
8.C
9.C 提示：根据题意知，点D到直线EF的距离与点A到直线BC的距离相等，且EF=BC，则S△ABC=S△DEF．若涂满△ABC和△DEF所用颜料千克数分别是m，n，则m=n.
10.C
11. 提示：如图，延长BC至点H，使CH=CD，连接EH，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD =BC=4，AB=CD=2，AD∥BH，∴∠D=∠DCH，
又∵CD=CH，DF=CE，
∴△CDF≌△HCE（SAS），∴CF=EH，∴AE +CF =AE +EH，∴当点A，E，H三点共线时，AE+CF有最小值，最小值为AH.∵CD∥AB，易证得△CEH∽△BAH，∴
∴，∴CE=.
B C
12.解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠BAD=∠BCD，∴∠AEB=∠DAE，
∵AE，CF分别是∠BAD，∠BCD的平分线，
∴∠BAE=∠AEB=∠DAE=∠BAD，
∠BCF=∠BCD，∴∠AEB=∠BCF，
∴AE∥CF，又∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）如图，过点C作CH⊥AD于点H，则∠CHD=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADC +∠BCD=180°，∴∠BCD=180°-∠ADC=180°-60°=120°，
∵CF是∠BCD的平分线，
∴∠DCF=∠BCD= ×120°=60°，∴∠ADC=∠DCF=60°，
∴△CDF是等边三角形，∴CD=DF=2，DH=DF=1，在Rt△CHD中，由勾股定理，得CH==，∴S△CDF=DF·CH=×2×，由（1）得四边形 AECF 是平行四边形，∴CE =AF =DF=×2=1，∵AD∥BC， ∴△DGF∽△EGC，∴=2，∴FG=CF，
∴S△GDF=S△CDF=
C 级 中考新考法
13.C 提示：甲：∵E是AC的中点，∴AE=CE，
∵∠AED=∠CEF，DE=FE，
∴△ADE≌△CFE（SAS），∴AD=CF，∠A=∠ECF，∴AB∥CF，∵D是AB的中点，∴AD=BD，∴BD=CF，
∴四边形DBCF是平行四边形，∴DE∥BC，BC=DF，
∵DE=DF，
∴DE=BC，故甲的思路正确；
乙：∵E是AC的中点，∴AE =CE，
∵EF=DE，∴四边形ADCF是平行四边形，
∴AD∥CF，AD=CF，∵D是AB的中点，
∴AD=BD，∴BD=CF，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴DE∥BC，BC=DF，
∵DE=DF，∴DE=BC，故乙的思路正确.第三节 特殊的平行四边形
A 级 基础巩固
1.重点冀八下P121，BT1变式 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，根据图中所标数据，再添加一个条件，使四边形ABCD为矩形，添加的条件可以是
（ ）
A．OB=5 B．OD=5
C．AB=5 D．BC=8
2.2024·沧州模拟 将矩形ABCD和菱形AFDE按如图放置，若图中矩形面积是菱形面积的2倍，则下列结论正确的是 （ ）
A．∠EAF=60° B．AB=AF
C．AD=2AB D．AB=EF
3.冀八下P133，BT1变式 如图，正方形ABCD中，点E为边BA延长线上一点，点F在边BC上，且AE=CF，连接DF，EF．若∠FDC=α，则∠AEF= （ ）
A．90°-2α B．45°-α
C．45°+α D．α
4.难点人八下P68，T13拓展 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=8 cm，BC=6 cm，点P从点D出发，以1 cm/s的速度向点A运动，同时点M从点B出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达终点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为（t单位：s），下列结论正确的是 （ ）
A．当t=3 s时，四边形ABMP为矩形
B．当 t=4 s时，四边形CDPM为平行四边形
C．当CD=PM时，t=3 s
D．当CD=PM时，t=3 s或5 s
5.冀八下P125，BT3变式 菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是（6，0），点A的纵坐标是1，则点B的坐标是___________.
6.2023·唐山路北区模拟 小明用四根长度相同的木条首尾相接制作了能够活动的学具，他先活动学具成为图1所示，并测得∠ABC=60°，接着活动学具成为图2所示，并测得∠ABC=90°，若图2对角线BD=40 cm，则图1对角线BD的长为_______ cm.
7.2024·云南 如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是各边的中点，且AB∥CD，AD∥BC，四边形EFGH是矩形．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若矩形EFGH的周长为22，四边形ABCD的面积为10，求AB的长．
B 级 能力过关
8.2024·邯郸模拟 如图，在正方形ABCD中，P为对角线BD上一动点（不与点B，D重合），连接PC．若∠PDC与∠PCD的平分线交于点Q，则∠DQC的度数可能为 （ ）
A． 100° B． 105° C． 110° D． 115°
9.高频考点2024·石家庄二十八中模拟 平行四边形ABCD中，EF经过两条对角线的交点O，分别交AB，CD于点E，F，在对角线AC上通过作图得到点M，N，如图1，图2，下面关于以点F，M，E，N为顶点的四边形的形状说法正确的是 （ ）
A．都为矩形
B．都为菱形
C．图1为矩形，图2为平行四边形
D．图1为矩形，图2为菱形
10.2024·苏州 如图，矩形ABCD中，AB=姨3，BC=1，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则AG的最大值为 （ ）
A． B． C． 2 D． 1
11.2024·石家庄四十二中模拟 如图1，在正方形ABCD中，AB=，O是边BC的中点，E是正方形内一动点，且OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF．
（1）求证：AE=CF；
（2）求△CDF的面积的最小值；
（3）如图2，若A，E，O三点共线，求点F到直线BC的距离．
C 级 中考新考法
12.推理能力2024·秦皇岛模拟 如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，∠ABD=70°，动点E在线段OB上，动点F在线段OD上，点E，F同时从点O出发，以相同的速度分别向终点B，D（包括端点）运动．点E关于AD，AB的对称点为E1，E2；点F关于BC，CD的对称点为F，F，在整个过程中，四边形 E1 E2 F1 F2 形状的变化依次是 （ ）
A．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形
B．平行四边形→菱形→平行四边形→菱形
C．菱形→矩形→平 F2行四边形→菱形→平行四边形D．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形
第三节 特殊的平行四边形
A 级 基础巩固
1.B 2.D 3.B
4.D 提示：根据题意，可得DP=tcm，BM=tcm，
∵AD=8 cm，BC=6 cm，
∴AP=（8-t）cm，CM=（6-t）cm，
∵∠A+∠B=180°，∴AD∥BC，
当四边形ABMP为矩形时，AP=BM，即8-t=t，解得 t=4，故A选项不符合题意；当四边形CDPM为平行四边形时，DP=CM，即 t=6-t，解得 t=3，故B选项不符合题意；当CD=PM时，分两种情况：
①当四边形CDPM是平行四边形时，CM=PD，即6-t=t，解得 t=3，②当四边形CDPM是等腰梯形时，如图，过点M作MG⊥AD于点G，过点C作CH⊥AD于点H，则∠MGP=∠CHD=90°，GM=HC，∵PM=CD，
∴Rt△MGP≌Rt△CHD（HL），
∴GP=HD，∴AG=AP+GP=8-t+cm，
∵BM=AG，∴8-t+=t，解得 t=5，综上，当 CD=PM 时，t=3 s 或 5 s，故 C 选项不符合题意，D 选 项符合题意．
5.（ 3，-1）
6. 提示：∵AB=BC=CD=DA， ∴ 四边形 ABCD 是菱形，当∠ABC= 90°时，四边形 ABCD 是正方形，∴ 题图 2 中，∠A=90°，∴AB2 +AD2 =BD2 ， ∴AB=AD=BD=cm，在题图 1 中，连接 AC，交 BD 于点 O， ∵∠ABC=60°，四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD，OB=OD，OA=OC， ∠ABO=30°，
∴OA=AB=cm， ∴OB=OA=cm， ∴BD=2OB=cm．
7.解：（1）证明：在题图上连接 AC，BD 交于点 O，AC 交 FG 于点 N，BD 交 HG 于点 M，∵AB∥CD，AD∥BC， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∵ 四边形 EFGH 是矩形，∴∠HGF= 90°，∵H，G 分别是 AD，DC 的中点， ∴HG∥AC，HG=AC，∴∠HGF=∠GNC=90°，∵G，F 分别是 DC，BC 的中点，∴GF∥BD，GF=BD， ∴∠MOC=∠GNC=90°，∴BD⊥AC， ∴ 四边形 ABCD 是菱形； （2）∵ 矩形 EFGH 的周长为 22， ∴HG+FG=11，∴AC+BD=22， ∵ 四边形 ABCD 的面积为 10，即× AC·BD=10，∴AC·BD=20，
∵ （AC+BD）2 =AC2 +2·AC·BD+BD2 ， ∴AC2 +BD2 =444，∴AC2 +BD2 = 111，∴AO2 +BO2 =111，∴AB2 =AO2 + BO2 =111，∴AB=
B 级 能力过关
8.D 9.C 10.D 提示：如图，连接 AC，交 EF 于 O，∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴AB∥ CD， ∠B =90° ，∵AB =，BC =1， ∴AC==2，∵ 动 点 E，F 分别从点 A，C 同时出发，以 每秒 1 个单位长度的速度沿 AB， CD 向终点 B，D 运动，∴CF=AE， ∵AB∥CD，∴∠ACD=∠CAB， 又 ∵∠COF=∠AOE， ∴△COF≌△AOE（AAS），∴AO=CO=1，∵AG⊥EF，∴ 点 G 在以 AO 为直径的圆上运动，∴ 当 AG 为 直径时，AG 有最大值，最大值为 1.
11.解：（1）证明：由旋转得∠EDF=90°， ED=DF，∵ 四边形 ABCD 是正方形，∴∠ADC=90°，AD=CD， ∴∠ADC=∠EDF， 即∠ADE+∠EDC=∠EDC+∠CDF， ∴∠ADE=∠CDF， 在△ADE 和△CDF 中，
∴△ADE≌△CDF（SAS），∴AE=CF；
（2）由（1）知△ADE≌△CDF， ∴S△ADE=S△CDF， ∵ 当 OE⊥AD 时，点 E 到 AD 的距离最小，即 S△ADE 的值最小，∴S△CDF 的值最小， ∴△CDF 的面积的最小值=×2×（2 -2）=10-2；
（3）如图，过点 F 作 OC 的垂线，交 BC 的延长线于点 P， ∵O 是 BC 的中点，且 AB=BC=2， ∴OB=，由勾股定理，得 AO==5，∵OE=2，∴AE=5-2=3，
由（1）知△ADE≌△CDF， ∴∠DAE=∠DCF，CF=AE=3， ∵∠BAD=∠DCP=90°，∴∠OAB=∠PCF，∵∠ABO=∠P=90°， ∴△ABO∽△CPF，
∴=2，∴CP =2PF， 设 PF=x，则 CP=2x，由勾股定理得 CF2 =PF2 +CP2 ，即 32 =x2 +（2x）2 ，解得 x=或 x=-（舍去），
∴ 点 F 到直线 BC 的距离为.
C 级 中考新考法
12.D 提示：①如图 1，当点 E，F 在点 O准备出发时，连接AC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AO=BO=CO=DO， 由轴对称可得 DE1 =OD，AE1 =AO， AE2=AO，BE2=BO，BF1=BO，CF1=CO， CF2=CO，DF2=DO， ∴E1E2 =AE1 +AE2 =2AO，E2F1 =BE2 + BF1=2BO，F1F2=CF1+CF2=2CO，E1F2= DE1+DF2=2DO， ∴E1F2=E2F1=F1F2=E1F2， ∴ 四边形 E1E2F1F2 是菱形；
②如图2，点E，F离开点O运动时，∵当点E，F同时从点O出发，以相同的速度分别向终点B，D（包括端点）运动，∴OE=OF，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠BAD=∠ABC=90°，∴∠BDC=∠ABD=70°，∠ADB=∠CBD=90°-70°=20°，∵OE=OF，OB=OD，∴DF=EB，BF=DE.
由对称可得DF=DF2，BF=BF1，BE=BE2，DE=DE1，∴E1F2=DE1+DF2=DE+DF，E2F1=BE2+BF1=BE+BF，∴E1F2=E2F1.
由对称可得∠F2DC=∠CDF=70°，∠EDA=∠E1DA=20°∴∠E1DB=∠E1DA+∠EDA=40°，
同理，得∠F1BD=40°，∴DE1∥BF1，即E1F2∥E2F1.
∴四边形E1E2F1F2是平行四边形；
③如图3，连接AE，CF，当AE⊥BD时，∠AEB=90°.由对称可得AE2=AE，BE2=BE，又AB=AB，∴△ABE2≌△ABE，∴∠E2=∠AEB=90°，由②可知四边形E1E2F1F2是平行四边形，
∴四边形E1E2F1F2是矩形；
④点E，F继续运动，则四边形E1E2F1F2是平行四边形；
⑤当F，E运动结束，即分别与D，B重合时，如图4，此时点E，E2，B三点重合，点F，F2，D三点重合，由对称可得BF1=BD，DE1=BD，∴BF1=DE1，
即E2F1=F2E1，由对称可得∠CBF1=∠CBD，∠ADE1=∠ADB，∴∠F1BD=2∠CBD，∠E1DB=2∠ADB，∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∴∠F1BD=∠E1DB，∴E2F1∥F2E1，
∴四边形E1E2F1F2是平行四边形.
综上所述，在整个过程中，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形.第五章 四 边 形
第一节 多 边 形
A 级 基础巩固
1.2024·乐山 下列多边形中，内角和最小的是 （ ）
2.人八上P24，T2改编 如图，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，若∠1，∠2，∠3，∠4的外角和等于215°，则∠BOD的度数为 （ ）
A．20° B．35° C．40° D．45°
3.易错2024·赤峰 如图是正n边形纸片的一部分，其中 l，m是正n边形两条边的一部分，若 l，m所在的直线相交形成的锐角为60°，则n的值是 （ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
4.高频考点人八上P25，T10变式 如图，正五边形ABCDE的顶点A，B在射线OM上，顶点E在射线ON上，∠AEO=2∠DEN，则∠O的度数为______.
5.人八上P28，T4拓展 过n边形的一个顶点可以画出7条对角线，将它分成m个小三角形，则m+n的值是______.
6.易错2024·邯郸育华中学三模 已知n边形的内角和θ=（n-2）×180°．
（1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°．甲、乙两位同学的说法对吗？若对，求出边数n；若不对，说明理由；
（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了540°，用列方程的方法确定x.
B 级 能力过关
7.重点2024·秦皇岛模拟 大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF，若对角线AD的长为8 mm，则正六边形ABCDEF的边长为 （ ）
A．2 mm B．mm
C．mm D．4mm
8.2024·青岛 为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形ABCDE和正方形CDFG中，CF，DG的延长线分别交AE，AB于点M，N，则∠FME的度数是
（ ）
A．90° B．99° C．108° D．135°
9.2024·石家庄四十一中三模 被撕掉一块的正n边形纸片如图所示，若a⊥b，则n的值是 （ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
10.2024·石家庄模拟 如图，五边形ABCDE是正五边形，点P在直线AB上运动.当点P与正五边形至少两个顶点的距离相等时，警报器会发出警报，在直线AB上会发出警报的点有 （ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
11.2024·唐山二模 两个边长为2的正六边形按如图所示方式放置，则点A的坐标是 （ ）
A．（，） B．（3，4）
C．（4，） D．（，4）
12.难点2024·淮安 如图，点P是正六边形ABCDEF的边AB的中点，一束光线从点P出发，照射到镜面EF上的点Q处，经反射后恰好经过顶点C．已知正六边形的边长为2，则EQ=_______.
13.2024·秦皇岛模拟 如图1，有若干个边长为1的正方形和顶角为α（0°＜α＜90°）且腰长为1的等腰三角形，将它们按照图2的方式拼接在一起，围成一圈且中间能形成一个正n边形，若n=5，则α=_____；设所围成的正多边形的周长为c，请写出c与α之间的关系式：____________.
14.2024·邯郸模拟 如图1，在六边形ABCDEF中，每个内角的度数都相等．嘉嘉针对图形特点，对这个图形进行了补充和探究：
（1）分别延长CB，FA相交于点G，得到图2，则∠G=________；
（2）若AB=3，BC=5，CD=4，DE=1，则六边形ABCDEF的周长为_______.
C 级 中考新考法
15.几何直观2024·河北邯郸三模 如图，将正六边形纸片的空白部分剪下，得到三部分图形，记Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分的面积分别为S1，SⅡ，SⅢ．给出以下结论：①Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形；②Ⅲ中最大的内角是150°；③SⅢ=2（S1+SⅡ）．其中正确的是
（ ）
A． ①② B． ①③
C． ②③ D． ①②③
第五章 四 边 形
第一节 多 边 形
A 级 基础巩固
1.A 2.B
3.B 提示：如图，直线 l，m相交于点A，则∠A=60°，∵正多边形的每个内角相等，∴正多边形的每个外角也相等，∴∠1=∠2==60°，∴n==6．
4.60° 5.18
6.解：（1）∵360°÷180°=2，630°÷180°=3……90°，∴甲同学的说法对，乙同学的说法不对，360°÷180°+2=2+2=4．
答：甲同学说的对，边数n是4；
（2）依题意有（n+x-2）×180°-（n-2）×180°=540°，解得x=3．故x的值是3．
B 级 能力过关
7.D 8.B
9.B 提示：如图，延长a，b交于点B，∵a⊥b，∴∠ABC=90°，∴正多边形的一个外角为=45°，
∴n==8．
10.C 提示：如图，根据垂直平分线的性质及正五边形的性质可知，直线AB上会发出警报的点P有：CD，ED，EA，BC，AB的垂直平分线与直线AB的交点，分别为：A，B，P″，P，P′，共5个．
11.D 提示：如图，设左边正六边形的中心为C，连接CD，AB，
∴CB=CD=BD=2，
∴△BCD是等边三角形，∴∠CDB=∠CBD=60°，∵正六边形的一个内角度数为=120°，
∴∠ADB=360°-120°-120°=120°，
∴∠CDB+∠ADB=180°，∴A，C，D三点共线，∵AD=BD，∴∠DAB=∠DBA==30°， ∴∠ABC=90°，∴AB=BC=2， 又 ∵OB=OC+BC=4， ∴A（2，4）.
12. 提示：如图，延长QP，CB交于点G，作QH⊥CB于点H，作PI⊥CB于点I，则∠QHC=∠PIC=90°，
由反射可知∠GQH=∠CQH，∴90°-∠GQH=90°-∠CQH，即∠G=∠QCH，
∴QG=QC，
∵QH⊥GC，∴CH=HG，设BG=a，则GC=a+2，∴CH=CG=，∵ 六边形 ABCDEF 为正六边形， ∴∠ABC==120°， ∴ ∠ABG =60° ，∵P 是 AB 的中点 ， ∴BP =AB =1， 在 Rt △ BPI 中 ，
PI =BP ·sin60° =，BI =BP· cos60°=，∴GI=a- 1 2 ，在正六边形 ABCDEF 中，QH=AB=2∵∠QHC=∠PIG=90°，∠G=∠QCH， ∴△PGI∽△QCH，∴，即， 解得 a=，∴CH=，连接EC， ∵∠EDC=∠ABC=120°，DE=DC， ∴ ∠DEC = ∠DCE =30° ，∴ ∠QEC = ∠ECH=90° ，∵∠QHC=90° ，∴ 四边形 EQHC 是矩形，∴EQ=CH=.
13.72° c=提示：当 n=5 时，正多边形的每个内角都为= 108°，∵ 两个正方形的两个直角内角、多边形的1个内角与α形成一个周角，∴当n=5时，α=360°-90°-90°-108°=72°.∵正多边形的周长为c，边长为1，∴正多边形是正c边形，∴正c边形的每个内角为360°-90°-90°-α=180°-α，∴c（180°-α）=180°·（c-2），∴c=.
14.（ 1）60°（2）22 提示：（1）（6-2）×180°=720°，所以六边形ABCDEF的每个内角度数为720°÷6=120°，所以∠CBA=∠BAF=120°，所以∠GBA=∠GAB=60°，所以∠G=180°-60°-60°=60°；
（2）如图，延长CB，FA相交于点G，延长CD，FE相交于点M，因为∠G=60°，∠C=120°，所以∠G+∠C=180°，所以CM∥GF，同理可得，CG∥FM，所以四边形CGFM为平行四边形，所以CG=MF，CM=GF．因为∠GBA=∠GAB=60°，所以△BGA为等边三角形，所以BG=AG=AB=3，同理可得，DM=EM=DE=1，所以MF=CG=5+3=8，GF=CM=4+1=5，所以EF=8-1=7，AF=5-3=2，所以六边形ABCDEF的周长为3+5+4+1+7+2=22．
C 级 中考新考法
15.B 提示：如图，将正六边形分割成6个全等的等腰三角形，于是Ⅰ部分、Ⅱ部分相当于其中的1个三角形，Ⅲ部分相当于4个这样的三角形，因此：①Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形是正确的；②Ⅲ中最大的内角是=120°，因此②不正确的；③SⅢ=2（SⅠ+SⅡ）是正确的.综上所述，正确的有①③.第五章综合达标检测卷
（时间：90分钟 满分：120分）
题 号 一 二 三 总分
得 分
一、选择题（本大题共 13 个小题，每小题3 分，共 39 分）
1.下列正多边形中，内角和为 540°的是 （ ）
2.如图，矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，若 ∠AOB =60°，BD =8 ，则 DC长为 （ ）
A． B． 4 C． 3 D． 5
3.如图，在ABCD 中，AB=4，BC=6，将线段 AB 水平向右平移 a 个单位长度得到线段 EF，当四边形 ECDF 为菱形时，则a 的值为 （ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
4.2024·唐山模拟 一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：a.两组对边分别相等；b.一组对边平行且相等；c.一组邻边相等；d.一个角是直角；顺次添加的条件：①a→c→d，②b→d→c，③a→b→c，则正确的是 （ ）
A． ①② B． 仅③ C． 仅① D． ②③
5.2024·石家庄模拟 淇淇用图 1 的六个全等三角形（△ABC）纸片拼接出图 2，图 2 的外轮廓是正六边形．如果用若干个 △ABC 纸片按照图 3 所示的方法拼接， 外轮廓是正 n 边形图案，那么 n 的值为（ ）
A． 7 B． 8 C． 9 D． 10
6.如图，在ABCD 中，∠ADC 的平分线交BC 于点 E，过点 C 作 CF⊥DE，垂足为点 F，若 CF=BE=6，DE=16，则 AD 的长为 （ ）
A． 16 B． 14 C． 13 D． 8
7.如图是甲、乙两名同学的作业（题中△ABC为等腰三角形，AB=AC）；
甲：（1）过点 A作 AD⊥BC，垂足为 D；
（2）延长 BA到 N，作∠CAN的平分线 AE；
（3）过点 C作 CE⊥AE，垂足为 E．则四边形 ADCE为矩形．
乙：（1）过点 A作 AD⊥BC，垂足为 D；
（2）以 A为圆心，BD长为半径画弧；以B为圆心，AD长为半径画弧；
（3）两弧交于 AD上方一点 E，连接 BE，AE.则四边形 ADBE为矩形．对于两人的作业，下列说法正确的是
（ ）
A．两人都对 B．两人都不对
C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
8.2024·唐山三模 将正六边形 ABCDEF和正方形 AOMN按如图所示的方式放置，点 O为正六边形 ABCDEF的中心，EF与 OM交于点 P，记七边形 ABCDEPO的面积为 S1，四边形 AOPF的面积为 S2，五边形 AFPMN的面积为S3，则下列结论正确的是 （ ）
A． S1=S3 B． S2=S3
C． S1＜S2 D． =3
9.如图，在平面直角坐标系 xOy中，点 A（1，），B（2，0），若平移点B到点C，使以点O，A，B，C为顶点的四边形是菱形，则平移方法错误的是（ ）
A．向左平移3个单位长度，再向上平移个单位长度
B．向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度
C．向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度
D．向左平移1个单位长度，再向下平移个单位长度
10.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在第一象限，B，D分别在y轴上，AB交x轴于点E，AF⊥x轴，垂足为F，若 OB=3AF，OF=4，下列结论不正确的是 （ ）
A． AE平分∠OAF
B． BD=6
C．点 C的坐标为（4，-）
D．矩形 ABCD的面积为 24
11.如图，等边三角形ABC的边长为8 cm.动点M从点B出发，沿B→A→C的方向以3 cm/s的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B方向以5 cm/s的速度运动，若动点M，N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点也停止运动，当以点A，M，N以及△ABC的边上一点D为顶点的四边形AMDN为平行四边形时，t的值为 （ ）
A．2或3 B．2或4
C．1或3 D．1或2
12.对于问题：“如图，在边长为7的菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ADO=30°，把一个大小为120°的∠AMN的顶点M放在线段OD上（不与点O，D重合），一边经过点A，另一边与射线BC交于点N，求MN的整数值．”甲的答案：2或3；乙的答案：4或5；丙的答案：6．则下列判断正确的是 （ ）
A．只有甲的答案对
B．只有乙的答案对
C．甲、乙的答案合在一起才完整
D．乙、丙的答案合在一起才完整
13.如图，在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，E，F是对角线BD上的两个点（BE＜BF），且BE=DF，M，N分别是边AD，BC上的动点．下列四种说法：
①存在无数个平行四边形MENF；
②存在无数个正方形MENF；
③当EF=0.5时，存在唯一的矩形MENF；
④当EF=1时，存在唯一的矩形MENF．其中正确的个数
是 （ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
14.如图，在平面直角坐标系中，若ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（2，3），（1，-1），（7，-1），则点D的坐标是_______.
15.如图，将三角形纸片ABC沿虚线剪掉两角得五边形CDEFG，若DE∥CG，FG∥CD，根据所标数据，则∠A的度数为_______.
16.如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AB，CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD=a，S△BQC=b，SABCD=c，则阴影部分的面积为________.
17.如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=4，M为AD左侧一点，且MA⊥MD，连接CM，N为CM的中点，P为直线AB上一点，且PM⊥PC，连接PN．
（1）若∠MAD=30°，则MA=______；
（2）PN的最大值为______.
三、解答题（本大题共5个小题，共69分）
18.（12分）A和B分别是两个多边形，阅读A和B的对话，完成下列各小题．
（1）嘉嘉说：“因为B的边数比A多，所以B的外角和比A的大，”判断嘉嘉的说法是否正确？并说明理由；
（2）设A的边数为n（n＞3）.
①若n=7，求x的值；
②淇淇说：“无论n取何值，x的值始终不变．”请用列方程的方法说明理由．
19.（14分）如图，矩形ABCD中，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E．过点D作DF⊥BE于F，G为AC的中点，连接FG．
（1）求证：BE=AC；
（2）若AB=2，BC=4，求FG的长．
20.（14分）2024·湖南 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E在边AB上，________．
请从“①∠B=∠AED；②AE=BE，AE=CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：
（1）求证：四边形BCDE为平行四边形；
（2）若AD⊥AB，AD=8，BC=10，求线段AE的长．
21.（14分）如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，AD∥BC，AC平分∠BAD，且AB=AD．
（1）求证：四边形ABCD为菱形；
（2）点E是DO上的一个不与点O，D重合的动点，分别过点E，C作EF∥AD，CF∥BD，相交于点F，连接AE，DF，请判断AE与DF的关系，并说明理由．
22.（15分）在正方形ABCD中，E为正方形内部的一点，AE=AB，连接BE．
图形介绍 如图1，若∠EAB=30°，连接CE，DE，求证：BE=CE；
图形研究 将△ABE绕点E逆时针旋转至△GFE，连接BG．
（1）如图2，连接CE，CF，若∠EAB=30°，∠CEF=60°，试判断四边形CBGF的形状，并说明理由；
（2）如图3，若点B在△AEG内部且∠GEB=∠GAB，求∠BGA的度数．
第五章综合达标检测卷
1.B 2.B 3.B 4.A 5.C
6.A 提示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∴∠ADE=∠CED，∵∠ADC的平分线交BC于点E，∴∠ADE=∠CDE，∴∠CDE=∠CED，∴CE =CD，∵CF⊥DE，∴EF=DE=8，∠CFE=90°，
∴CE==10，
∴AD=BC=BE+CE=6+10=16.
7.A 提示：甲的作业：∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠CAD= ∠BAC，∠ADC=90°，∵AE平分∠CAN，∴∠CAE= ∠CAN，
∴∠CAD+∠CAE=（∠BAC+∠CAN），
∴∠DAE=∠BAN=×180°=90°，
又∵CE⊥AE，∴∠E=90°，
∴四边形ADCE是矩形，∴甲的作业正确；乙的作业：由题意知AD=BE，AE=BD，∴四边形ADBE是平行四边形，∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，
∴四边形ADBE是矩形，∴乙的作
业正确.
8.D 提示：在题图上连接OF，过点O作OG⊥AB于G，设正六边形的边长为1，易得正六边形的面积为的中心，∴∠AOF=∠OAB=∠OFP=60°，AO=FO，
∵∠AGO=90°，∴∠GOA=30°，
∵四边形AOMN是正方形，∴∠AOM=90°，∴∠FOM =30°，∴∠OPF=90°=∠AGO，∠AOG=∠FOM，∴△AOG≌△FOP（ASA），∴S△AOG=S△FOP，∴S2=S△AOG+S△AOF=
××+×1×=，∴S1=-=，S3=1-，∴S1≠S2≠S3，S1＞S2，∴=3
9.B 提示：如图，∵B（2，0），∴OB=2.
A.由平移的性质得：AC∥OB，AC=OB=2，C（-1，），
∴OC==2，∴四边形OBAC是平行四边形，OB=OC，∴平行四边形OBAC是菱形，故选项A不符合题意；B.向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，四边形OBAC不是菱形，故选项B符合题意；C.同A得平行四边形OBC′A是菱形，故选项C不符合题意；D.同A，C得平行四边形OABC″是菱形，故选项D不符合题意.
10.C 提示：∵四边形ABCD是矩形，∴AC =BD，AO =CO，BO =DO，∴AO=OB，∴AO=3AF，∠OBA=∠OAB，
∵AF⊥OF，BD⊥OF，∴BD∥AF，
∴∠EAF=∠OBA.∴∠OAB=∠EAF，∴AE平分∠OAF，故A正确；∵OF=4，OA2-AF2=OF2，∴8AF2=16，
∴AF=（负值已舍去），∴点A坐标为（4，），∵点A，C关于原点对称，∴C（-4，-），故C错误；∵AF=姨2 ，OA=3AF，∴AO=3 ，∴BO =
DO=3 ，∴BD=6 ，故B正确；
∵S△ABD=×6×4=12，
∴矩形ABCD的面积=2S△ABD=24，故D正确.
11.C 提示：①当0≤t≤时，点M，N，D的位置如图1所示，∵四边形ANDM是平行四边形，∴DM =AN，DM∥AN，DN∥AB，∴∠MDB=∠C=60°，∠NDC=∠B=60°，∴∠NDC=∠C，∴ND=NC，∴DM+DN=AN+NC=AC=8，即3t+5t=8，解得 t=1；
②当＜t≤点M，N，D在同一直线上，不能构成四边形，
③当＜t≤时，点M，N，D的位置如图2所示，∵四边形AMDN是平行四边形，∴DN=AM，AM∥DN，
∴∠NDB=∠ACB=60°，∵△ABC为等边三角形，∴∠B=60°，∴∠NDB=∠B=60°，∴ND=NB，∴NB+MC=AM+CM=8，即3t-8+5t-8=8，解得 t=3，
综上所述，t的值为1或3.
12.D 提示：如图，连接MC，∵四边形ABCD是边长为7的菱形，
∴AC⊥BD，∠CDM=∠ADM，AD=7，∠ABC=∠ADC，∴∠AOD=90°，
∵∠ADO=30°，∴AO=AD=3.5，
∵菱形ABCD是轴对称图形，且DB所在的直线是菱形的对称轴，
∴MC=AM，∠MCB=∠MAB，
∵∠ABC=∠ADC=2∠ADO=60°，
∠AMN=120°，∴∠MAB+∠MNB=360°-120°-60°=180°，∵∠MNC+∠MNB=180°，
∴∠MNC=∠MAB，∴∠MNC=∠MCB，∴MN=MC，
∴MN=MA，∵OA＜MA＜AD，
∴3.5＜MN＜7，∴MN的整数值是4，5，6．
13.B 提示：如图，连接AC，MN，ME，EN，FN，FM，且令AC，MN，BD相交于点O，∵四边形ABCD是矩形，∴OA =OC，OB =OD，∵BE =DF，∴OE =OF，∴只要满足OM=ON，那么四边形MENF就是平行四边形，∵点E，F是BD上的动点，∴存在无数个平行四边形MENF，故①正确；只要MN=EF，MN⊥EF，OM=ON，则四边形MENF是正方形，而符合要求的正方形只有一个，故②错误；只要MN=EF，OM=ON，则四边形MENF是矩形，∵MN=EF≥AB=1，∴当EF=0.5时，不存在矩形MENF，故③错误；当EF=1时，MN=EF=AB，即MN∥AB，故存在唯一的矩形MENF，故④正确.
14.（ 8，3） 15.58°
16. c-a-b 提示：如图，连接EF，过点E作EM⊥DC于点M，
∵S△DEC=DC·EM，S=DC·EM=c，∴S△DEC=c，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴△EFC中FC边上的高与△BCF中FC边上的高相等，∴S△EFC=S△BCF，∴S△EFQ=S△BCQ=b，同理，得S△EFD=S△ADF，
∴S△EFP=S△ADP=a，
∴S四边形EPFQ=a+b，故阴影部分的面积=
S△DEC-S四边形EPFQ= c-a-b.
17.（1） （2）+1
提示：（1）∵∠MAD=30°，MA⊥MD，
AD=4，∴MD=DA=2；
∴MA=
（2）∵PM⊥PC，N为CM的中点，
∴PN=CM．∵MA⊥MD．∴∠DMA=90°，∴点M在以AD为直径的半圆O上运动，如图，当CM过圆心时，CM最大，即PN最大，此时CO=
∴CM=OC+OM=2+2．
∴PN=CM=+1.
18.解：（1）嘉嘉的说法不正确.
理由：多边形的外角和始终为360°，与多边形的边数无关；
（2）①180（7+x-2）-180×（7-2）=360，解得x=2，即x的值为2；
②180（n+x-2）-180（n-2）=360，
整理得180x=360，解得x=2．
∴无论n取何值，x的值始终不变．
19.解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∵AC∥BE，∴四边形ABEC是平行四边形，∴BE=AC；
（2）∵四边形ABCD是矩形，G为AC的中点，∴G为BD的中点，AC=BD，∵DF⊥BE，即∠DFB=90°，∴GF=
BD，∵AC=，
∴GF=BD=AC=．
20.解：（1）选择①，证明：
∵∠B=∠AED，∴BC∥DE，
∵AB∥CD，∴四边形BCDE为平行四边形；或选择②，证明：∵AE=BE，
AE=CD，∴BE=CD，∵AB∥CD，
∴四边形BCDE为平行四边形；（任选一个即可）
（2）由（1）可知，四边形BCDE为平行四边形，
∴DE=BC=10，∵AD⊥AB，
∴∠A=90°，∴AE===6，即线段AE的长为6．
21.解：（1）证明：∵AB=AD，
AC平分∠BAD，∴BO=OD，
∵AD∥BC，∴∠OAD=∠OCB，
又∵∠AOD=∠COB，
∴△OAD≌△OCB（AAS），
∴AO=OC，∵BO=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB=AD，∴四边形ABCD是菱形；（2）AE∥DF且AE=DF.
理由：∵AD∥BC，EF∥AD，
∴EF∥BC，∵CF∥BD，
∴CF∥BE，∴四边形EBCF是平行四边形，∴EF=BC，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=BC，∴EF=AD，∵EF∥AD，∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AE∥DF且AE=DF．
22.解：图形介绍 证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，
∠BAD=90°，∵∠EAB=30°，
∴∠EAD=60°，又∵AE=AB=AD，
∴△ADE是等边三角形，∴AE=DE，∠ADE=60°，∴∠CDE=30°=∠BAE，∴△ABE≌△DCE，∴BE=CE；
图形研究（1）四边形CBGF是平行四边形，理由如下：由旋转可知，AB =GF，AE =EG，BE =EF，∠EAB=∠EGF=30°，又∵BE=CE，∴CE=EF，又∵∠CEF=60°，∴△CEF是等边三角形，∵AB =BC，AB =GF，AE =AB，AE=EG，∴BC=GF=GE，在△ABE中，AB=AE，∠EAB=30°，∴∠ABE=∠AEB=75°，∴∠GEF=75°，∠CBE=15°，∵BE=CE，∴∠CBE=∠BCE=15°，
∴∠CEB=150°，∴∠GEB=∠BEC-∠CEF-∠GEF=150°-60°-75°=15°，∴∠GEB=∠CBE.
在△BCE与△EGB中，
∴△BCE≌△EGB（SAS），∴CE=BG，∴CF=BG，在四边形CBGF中，∵CF=BG，BC=GF，∴四边形CBGF为平行四边形；
（2）如图，将△GEF沿GE翻折，得到△GEH，连接AH，BH，则EH=EF，∠GEF=∠GEH，根据旋转可知∠AEB=∠GEF，AE=EG，EF=EB，
∴∠AEH+∠HEB=∠HEB+∠BEG，EH=EB，∴∠AEH=∠BEG，
∴△AEH≌△GEB（SAS），∴∠EAH=∠EGB，设∠GEB=∠GAB=α，
∠EAB=β，∵EA=EG，
∴∠EGA=∠EAG=α+β，
∴∠AEG=180°-2α-2β，∵AE=AB，
∴∠AEB=∠ABE=（180°-β）=90°-β，∴∠AEG=∠AEB+∠BEG=90°-β+α，∴180°-2α-2β=90°-β+α，
∴α+β=30°，∴∠BEH=∠AEB-∠AEH=90°-β-α=60°，
∵EH=EB，
∴△BEH为等边三角形，
∴BH=EH，又∵AE=AB，AH=AH，
∴△AHE≌△AHB（SSS），∴∠EAH=∠BAH= ∠EAB=β∴∠BGE=∠EAH=β，
∴∠BGA=∠AGE-∠BGE=α+β-β=α+β=30°．即∠BGA的度数为30°．
