第六章综合达标检测卷
（时间：90分钟 满分：120分）
题 号 一 二 三 总分
得 分
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1.如图，点A，B，C，D均在直线 l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2.如图，已知A，B，C，D四个点均在⊙O上，∠BOC=30°，弦CD的长等于半径，则∠BAD的度数等于 （ ）
A．60° B．50° C．45° D．30°
3.如图，点A，B，C，D，E都在⊙O上，BE是直径，BE∥CD，∠E=28°，则∠A的度数为 （ ）
A．28° B．56° C．62° D．68°
4.如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠D=30°，OD=4，则AC等于 （ ）
A．6 B．4 C． D．3
5.如图是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体侧面展开图的圆心角的度数为 （ ）
A．75° B．90° C．108° D．120°
6.2024·邯郸模拟 如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是 （ ）
A．点（0，3） B．点（1，3）
C．点（6，0） D．点（6，1）
7.如图，在矩形ABCD中，以点A为圆心，以AD长为半径画弧交BC于点E，将扇形ADE剪下来做成圆锥，若AB=BE=，则该圆锥底面半径为 （ ）
A． B． C．1 D．2
8.自行车的示意图如图所示，其中AB∥CD，∠DAB=115°，∠ABC=125°，两车轮的直径均为60 cm，现要在自行车两轮的阴影部分（分别以C，D为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，那么安装单侧（阴影部分）需要的铁皮面积约是 （ ）
A．300πcm2 B．500πcm2
C．900πcm2 D．1 200πcm2
9.2024·秦皇岛模拟 综合实践课上，老师提出如下问题：在⊙O中作了两个内接△ABC和△ABD，经测量∠C=70°，求∠D．嘉嘉回答：∠D的度数是35°；淇淇回答：∠D的度数是70°．下列判断正确的是（ ）A．嘉嘉对
B．淇淇对
C．嘉嘉和淇淇合在一起才对
D．嘉嘉和淇淇合在一起也不对
10.唐代李皋发明了“桨轮船”，他设计的桨轮船在船的舷侧或尾部装有带有桨叶的桨轮，通过人力踩动桨轮轴来推动船体前进．这种船的桨轮下半部浸入水中上半部露出水面，因其推进方式类似车轮，故又被称为“桨轮船”或“轮船”．如图，该桨轮船的轮子的横截面为⊙O，轮子被水面截得线段AB长为12 m，轮子的吃水深度CD长为2 m，则该桨轮船轮子半径为
（ ）
A．8 m B．6 m C．10 m D．12 m
11.2024·石家庄41中二模 如图，弓形AMB中，所在圆的圆心为点O，作关于直线AB对称的，经过点O，AB=6，点P为上任一点（不与点A，B重合），点M，N分别是，的中点，则的长为 （ ）
A． B．
C． D．
12.如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=9，以D为圆心，3为半径作⊙D，E为⊙D上一动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，使∠EAF=90°，tan∠AEF=，则点F与点C的最小距离为 （ ）
A. -1 B.
C．-1 D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13.“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？ ”问题翻译为：如图，现有圆形木材埋在墙壁里，不知木材大小，将它锯下来测得深度CD为1寸，锯长AB为10寸，则圆材的半径为______寸．
14.如图，点A，B的坐标分别为A（，0），B（0，），点C为坐标平面内一点，BC=1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM最长为___________.
15.2024·河北九地市模拟 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，tanB= ，点P是AB的中点，点O是射线BC上一点，以点O为圆心，OP为半径作⊙O．
（1）BC=_______；
（2）若⊙O与AB边相切，则CO=_______.
16.图1为某型号汤碗，截面如图2所示，碗体部分为半圆，直径AB为10 cm，碗底CD与AB平行，倒汤时碗底CD与桌面MN的夹角为30°（如图3）．
（1）BE=______ cm；
（2）汤的横截面积（图3阴影部分）=_______ cm2.
三、解答题（本大题共7个小题，共72分）
17.（9分）如图，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，点C是的中点，连接AC，BD，AD，BC交于点Q．
（1）若∠DAB=40°，求∠CAD的大小；
（2）若CA=10，∠ABC=30°，求的长．
18.（9分）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADB．
（1）求证：DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；
（2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC=AD，BF=4，求此圆半径的长．
19.（9分）如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，∠BCD的平分线交⊙O于点E，AD，BE的延长线交于点F．
（1）若∠BAD=70°，求∠ABE的度数．
（2）求证：AB=AF．
20.（10分）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，以C为圆心，2为半径在△ABC的下方作半圆C，交BC所在直线于点M，N．点E是半圆C上任意一点（不与点M，N重合），连接BE，将BE绕点B逆时针旋转60°到BD的位置，连接AD．
（1）求证：△CBE≌△ABD；
（2）当∠ABE最大时，求劣弧的长；
（3）直接写出点D到AB的距离的最大值．
21.（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C是直线AB上方的⊙O上一点．点M是△ABC的内心．连接AM，BM，CM，延长CM交⊙O于点D．
（1）若AB=10，AC=6，求BC的长；
（2）求∠AMB的度数；
（3）当点C在直线AB上方的⊙O上运动时，求证：DM=AB．
22.（12分）放于水平桌面上的鱼缸如图所示，其主体部分的轴截面是圆心为O的弓形AMB，与桌面CD相切于点M，开口部分AB与桌面CD平行，测得开口部分AB=40 cm，MB=cm.
（1）求弓形AMB的半径；
（2）求优弧的长．
（参考数据：tan26.5°≈ ，sin30°=）
23.（13分）2024·张家口万全区一模 如图，在ABCD中，连接BD，以DF为直径的半圆O，从DF与AD共线开始绕点D逆时针旋转，直线DF与DC第一次重合时，停止运动，点K是半圆O的中点，连接DK，当DF，DK与线段AB有交点时，设交点分别为点P和点Q，已知AB=DF=8，∠BAD=45°，AD=BD．
（1）求∠FDK的度数；
（2）当点Q在AB上时，设AQ=x，请用含x的代数式表示BP；
（3）当DF与DB重合时，求半圆O与DC所围成的封闭图形的面积；
（4）在半圆旋转的过程中，如果半圆O与ABCD的边（或边所在的直线）相切，请直接写出DP的长．（参考数据： sin25°≈-1，sin70°≈）
第六章综合达标检测卷
1.D 2.C 3.C 4.C 5.D
6.B 提示：如图，∵过格点A，B，C作一圆弧，∴三点组成的圆的圆心为O′（2，0），∵只有∠O′BD+∠EBF=90°时，BF与圆相切，当△BO′D≌△FBE时，EF=BD=2，∴点F的坐标为（5，1），∴点B与格点的连线中，能够与该圆弧相切的是点（5，1）和（1，3）．
7.A提示：∵在矩形ABCD中，∴∠BAD=∠B=90°，∵AB=BE=2 ，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠BAE=45°，AE=BE=4，∴∠DAE=45°，∵扇形ADE的弧长等于围成的圆锥的底面圆的周长，∴设圆锥的底面圆的
半径为r，∴=2πr，∴r=.
8.A 9.D 10.C
11.C 提示：如图，连接OM，ON，OP，过点O作OC⊥AB于点D，交于点C，∴AD=BD，∠AOB=2∠AOD，
∵关于AB对称的经过所在圆的圆心O，∴OD=OC=OA，∴∠DAO=30°，∴∠AOD=60°，
∴∠AOB=2∠AOD=120°，∵AB=6，
OD⊥AB，∴AD=AB=3，
∴OA=2 ，
∵点M，N分别是的中点，∴
∴∠POM=∠AOP，∠PON=∠BOP，∴∠MON=∠POM+∠PON=∠AOB=
60°，
∴的长为
12.A 提示：如图，取AB的中点G，连接FG，FC，GC．
∵∠EAF=90°，tan∠AEF=，
∴ ，∵AB=6，AG=GB，∴AG=GB=3，∵AD=9，∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠B=∠EAF=90°，
∴∠FAG=∠EAD，
∴△FAG∽△EAD，
∴FG∶DE=AF∶AE=1∶3，
∵DE=3，∴FG=1，
∴点F的运动轨迹是以G为圆心1为半径的圆，
∵GC==3 ，∴FC≥GC-FG，
∴FC≥3-1，
∴CF的最小值为3-1．
13.13
14. 提示：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC=1，∴C在⊙B上，且半径为1，取OD=OA= ，连接CD，∵点M为线段AC的中点，∴AM=CM，∵OD=OA，∴OM是△ACD的中位线，∴OM=CD，当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，即当C在DB的延长线上时，OM最大，∵OB =OD= ，∠BOD=90°，
∴BD=2，∴CD=2+1=3，∴OM=．
15.（ 1）8 （2） 提示：（1）在△ABCAC 3
中，∵∠ACB=90°，∴tanB=
设AC=3x，BC=4x，
∴AB==5x，即5x=10，解得x=2，∴BC=8；
（2）∵点P是AB的中点，∴BP=5，∵⊙O与AB边相切，∴OP⊥AB，∴∠OPB=90°，在Rt△OPB中，
∵tanB=
，∴OP=×5= ，∴OB=，∴CO=BC-
OB=8-
16.（1） （2）
提示：（1）如图，取AB的中点O，即为圆心O，连接AE，由题意可知，∠ABE=30°，AB=10 cm，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，在Rt△ABE中，
∠ABE=30°，AB=10 cm，∴AE=AB=5 cm，BE= AB=5 cm；
（2）如图，连接OE，则∠BOE=120°，
OB=OE= AB=5 cm，S阴影部分=S扇形OBE-S△BOE=
17.解：（1）∵∠DAB=40°，∴所对的圆心角度数为80°，∴所对的圆心角度数为180°-80°=100°．∵点C是的中点，∴所对的圆心角度数为50°，∴∠CAD=25°；
（2）在题图上连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠ABC=30°，
∴∠CAB=60°，∴∠BOC=120°，
又∵AO=CO，∴△AOC为等边三角形，∴CO=CA=10.
∴的长=
18.解：（1）证明：∵∠BAC=∠ADB，
∴，∴∠ADB=∠CDB，即DB平分∠ADC．∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，∴，
∴
∴
∴BD是圆的直径，∴∠BAD=90°；
（2）∵∠BAD=90°，CF∥AD，∴∠F+∠BAD=180°，∴∠F=90°．
∵，∴AD=DC．
∵AC=AD，∴AC=AD=CD，
∴△ADC是等边三角形，∴∠ADC=60°．∵DB平分∠ADC，
∴∠CDB=∠ADC=30°．∵BD是圆的直径，∴∠BCD=90°，∴BC=BD．
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC=180°，∴∠ABC=120°，∴∠FBC=60°，∴∠FCB=90°-
60°=30°，∴FB=BC．∵BF=4，∴BC=8，∴BD=2BC=16．∵BD是圆的直径，
∴半径的长为BD=8．
19.解：（1）如图，连接BD．∵∠BAD=70°，∴∠BCD=∠BAD=70°，∵CE平分∠BCD，∴∠DBE=∠DCE=35°．
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ABD=90°-70°=20°，∴∠ABE=∠ABD+∠DBE=55°；
（2）证明：如图，连接DE．∵CE平分∠BCD，∴∠BCE=∠DCE，∵∠EDB=∠BCE，∠EBD=∠DCE，
∴∠BDE=∠EBD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠BDF=90°，
∴∠DBE+∠F=90°，∠BDE+∠EDF=90°，∴∠EDF=∠F．∵∠EDF+∠ADE=180°，∠ABE+∠ADE=180°，
∴∠EDF=∠ABE，∴∠ABF=∠F，
∴AB=AF．
20.解：（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC，∠ABC=60°，由旋转的性质可知BE=BD，∠EBD=60°，
∴∠ABD=∠CBE=60°-∠CBD，
又∵AB=BC，BE=BD，
∴△CBE≌△ABD（SAS）；
（2）∵∠ABE=∠ABC+∠CBE，∴当∠CBE最大时，∠ABE最大，∵点E在圆上，∴当BE与⊙C相切时，∠CBE最大，如图，则CE⊥BE，∵CE=CM=2 = BC，∴cos∠BCE
=，∴∠BCE=60°，∴劣弧的长为
（3）最大值为 2. 提示：∵△CBE≌ △ABD，∴AD=CE=2，∴ 点 D 在以 A 为圆心，2 为半径的圆上，∴ 当DA⊥AB 时，点 D 到 AB 的距离最大，即 为 2．
21.解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，∵AB=10，AC=6，
∴BC=
∴BC的长为8；
（2）∵∠ACB=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°，∵点M是△ABC的内心，∴AM平分∠CAB，BM平分∠CBA，
∴∠MAB=∠CAB，∠MBA=∠CBA，
∴∠MAB+∠MBA=（∠CAB+∠CBA）=45°，∴∠AMB=180°-（∠MAB+∠MBA）=135°，∴∠AMB的度数为135°；
（3）证明：在题图上连接AD，BD，则∠ADB=90°，∵点M是△ABC的内心，∠ACB=90°，∴∠ACD=∠BCD=
∠BCB=45°，∴，∴AD=
BD，∴AB=
∵∠DAB=∠BCD=45°，∠MAB=∠MAC，∴∠DAB+∠MAB=∠ACD+∠MAC，∵∠DAM=∠DAB+∠MAB，∠DMA=∠ACD+∠MAC，
∴∠DAM=∠DMA，∴DM=AD，
∴AB=DM，
∴DM=AB．
22.解：（1）如图，连接MO并延长，交AB于点N，连接AO，AM，OB，
∵⊙O与CD相切，∴NM⊥CD，
∵AB∥CD，∴NM⊥AB，
∴AN=BN=AB=×40=20（cm），
AM=BM=20cm，
∴NM==40（cm），
∵AN2+ON2=OA2，∴202+（40 -OA）2=OA2，∴OA=25 cm，即弓形AMB的半径为25 cm；
（2）∵tan∠AMN=
∴∠AMN≈26.5°，
∴∠AON=2∠AMN=53°，
∴∠AOB=2∠AON=106°，∴优弧的长为
23.解：（1）如图1，连接FK，∵点K为半圆O的中点，∴DK=FK，∴，∵DF为直径，∴∠DKF=90°，
∴△DFK是等腰直角三角形，∴在Rt△DFK中，∠FDK=∠DFK=45°；
（2）∵∠BAD=45°，AD=BD，
∴∠DAB=∠PDK=45°=∠ABD，
∴△ABD是等腰直角三角形，AB=8，∴AD=DB=4 ，∵∠DPB=∠DAB+∠ADP=45°+∠ADP，∠ADQ=∠PDQ+∠ADP=45°+∠ADP，∴∠DPB=∠ADQ，
∴△ADQ∽△BPD，∴，
∴BP=
（3）当DF与DB重合时，∵∠BDC=∠ODK=45°，∴点K在DC上，连接OK，如图2所示，∵点K是半圆O的
中点，∴∠DOK=90°．∵DO=DF=4，
∴S扇形DOK==4π，
S△DOK=DO·OK=×4×4=8，∴半圆O与DC所围成的封闭图形的面积为S扇形DOK-S△DOK=4π-8；
（4）DP的长为或4或4．
提示：当半圆O与的边（或边所在的直线）相切时，有三种情况：情况一：当半圆O与射线CB相切于点G时，如图3，连接OG，延长GO交AD于点T，过点D作DH⊥AB于点H，则OG⊥BC于点G，在
等腰直角三角形ABD中，DH=×AB=4，在中，AD∥CB，
∴OT⊥AD，∵BD⊥AD，且OG=OD=4，DB = TG= 4 ，∴TO = TG - OG=4 -4，在Rt△DOT中，
sin∠TDO=-1，∴∠TDO≈25°，∴∠DPB=∠BAD+∠ADP=45°+25°=70°，
在Rt△DHP中，sin∠DPH=，
即sin70°=
∴DP=；
情况二：如图4，当半圆O与DC相切于点D时，∴DO⊥DC，∵DO=4，且点D到AB的距离也为4，∴此时点P，O重合，∴DP=DO=4；
情况三：当半圆O与射线AD相切于点D时，如图5，此时点P，B重合，∴DP=BD=4；综上所述，DP的长为或4或4.第三节 与圆有关的计算
A 级 基础巩固
1.冀九上P169，AT3变式 中国古代的文人士大夫喜欢在折扇上题词作画，即使折扇受损失去其纳凉功能，也会被人们揭裱保存成为收藏品．如图是一把题了字画的折扇，折扇的骨柄OA长为21 cm，折扇张开后的扇形圆心角∠AOB为150°，则的长为 （ ）
A．17.5πcm B．18.5πcm
C．16.5πcm D．17πcm
2.2024·广州 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形，若扇形的半径 l是5，则该圆锥的体积是 （ ）
A．π B．π
C．π D．π
3.重点冀九上P169，BT1变式 如图是某同学自制的一个乒乓球拍，正面是半径为8 cm的⊙O，劣弧的长为4πcm，阴影部分需要粘贴胶皮，则胶皮的面积为
（ ）
A．（32+48π）cm2 B．（16π-32）cm2
C． 64πcm2 D．（48π-32）cm2
4.人九上P113，T3拓展 如图，某玩具品牌的标志由半径为1 cm的三个等圆构成，且三个等圆⊙O1，⊙O2，⊙O3相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面
积之和为________ cm2.
5.2024·兰州 “轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中⊙M，⊙N的半径分别是1 cm和10 cm，当⊙M顺时针转动3周时，⊙N上的点P随之旋转n°，则n=________.
6.2024·秦皇岛模拟 如图，点P是△ABC内一点，PD⊥BC，垂足为点D，将线段PD绕点P顺时针旋转90°得到扇形DPE，过点E作EM⊥PE交AB于点M，连接
PM，与交于点F，过点P作PN⊥PM交BC于点N．
（1）求证：△PEM≌△PDN；
（2）已知PD=，EM=4．
①通过计算比较线段PN和哪个长度更长；
②计算图中阴影部分的面积（结果保留π）．
B 级 能力过关
7.2024·石家庄42中二模 某校在社会实践活动中，明明同学用一个直径为24 cm的定滑轮带动重物上升．如图，滑轮上一点A绕点O逆时针旋转105°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了 （ ）
A．3.5πcm B．7πcm
C．12πcm D．24πcm
8.2024·沧州模拟 马面裙，又名“马面褶裙”，是我国古代女子穿着的主要裙式之一，如图，马面裙可以近似地看作扇环ABCD（和的圆心为点O），A为OB的中点，BC=OB=8 dm，则该马面裙裙面（扇环ABCD）的面积为 （ ）
A．4πdm2 B．8πdm2
C．12πdm2 D．16πdm2
9.难点2024·邯郸三模 如图，在⊙O中，直径AB=8，点D为AB上方圆上的一点，∠ABD=30°，OE⊥BD于点E，点P是OE上一点，连接DP，AP，得出下列结论：
I：阴影部分的面积随着点P的位置的改变而改变，其最小值为π；
Ⅱ：阴影部分的周长随着点P的位置的改变而改变，其最小值为8+π.
下列判断正确的是 （ ）
A．只有Ⅰ正确 B．只有Ⅱ正确
C．Ⅰ、Ⅱ都正确 D．Ⅰ、Ⅱ都不正确
10.新考法2024·呼和浩特 如图是平行四边形纸片ABCD，BC=36 cm，∠A=110°，∠BDC=50°，点M为BC的中点，若以M为圆心，MC为半径画弧交对角线BD于点N，则∠NMC=____度；将扇形MCN纸片剪下来围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），则这个圆锥的底面圆半径为_____ cm.
C 级 中考新考法
11.模型观念2024·唐山三模 小明陪弟弟玩积木的时候，发现放在同一水平面上的两个积木的横截面分别是以MN=20 cm为直径的半圆O和边长为4 cm的正方形ABCD，P，Q分别为半圆O上的点，如图1所示，此时半圆O与水平面恰好切于点P，AP=12 cm，延长CD与半圆O分别交于点E，F．将半圆O向右无滑动滚动，使点D落在半圆O上，此时半圆O与水平面恰好切于点Q，如图2所示．
（1）在图1中，求弦EF的长；
（2）在图2中，求所对的圆心角度数；（结果保留π）
（3）在图2中，过点D作半圆O的切线与直线AB交于点H，求tan∠ADH的值．
第三节 与圆有关的计算
A 级 基础巩固
1.A 2.D
3.A 提示：在题图上，连接OA，OB．设⊙O的半径为R，则R=8 cm.设∠AOB=n°，根据题意，得劣弧的
长==4π，解得n=90，
∴S扇形AOB==16π（cm2），
SRt△AOB=OA·OB=R2=32（cm2），
∴S空白弓形=S扇形 AOB-SRt△AOB=（16π-32）cm2，
∴S胶皮=S⊙O-S空白弓形=πR2-（16π-32）=（32+48π）（cm2）．
4. 提示：如图，设三个等圆分别交于点A，B，C，连接O1A，O2A，O1B，O3B，O2C，O3C，O1O2，O1O3，O2O3，
易证△O1AO2，△O1BO3，△O2CO3，
△O1O2O3是边长为1 cm的等边三角形，∴S阴影部分=3S扇形O1O2A=3×=（cm2）.
5.108
6.解：（1）证明：∵PD⊥BC，∴∠PDN=90°，∵将线段PD绕点P顺时针旋转90°得到PE，∴PD =PE，∠DPE=90°，∴∠EPM+∠MPD=90°，∵EM⊥PE，∴∠MEP=∠NDP=90°，∵PN⊥PM，∴∠MPD+∠DPN=90°，
∴∠EPM=∠DPN.
在△PEM和△PDN中，
∴△PEM≌△PDN（ASA）；
（2）①由（1）知△PEM≌△PDN，∴DN=EM=4．在Rt△PDN中，
tan∠DPN=，
∴∠DPN=30°，
∴PN=8，∠DPF=60°，
∴= ∵8＞
∴线段PN更长；
②由（1）知△PEM≌△PDN，
∴∠EPM=∠DPN=30°，EP=DP=4，
∴S阴影=S△EPM-S扇形PEF=×4×4-4π．
B 级 能力过关
7.B 8.B
9.B 提示：如图，连接OD，AD，PB，
∵∠ABD=30°，∴∠AOD=2∠ABD=60°，∵AO=DO=4，
∴△AOD是等边三角形，∴∠BOD=120°，OD=OB=4，∴△OBD是等腰三角形，∵OE⊥BD于点E，∴∠DOE=
∠BOE=∠BOD=60°，∴∠DOE=∠ADO，∴OE∥AD，∴S△AOD=S△PAD，
∴阴影部分的面积为S扇形 AOD=
阴影部分的面积随着点P的位置的改变而不改变，其
最小值为故I错误；
易知PE垂直平分BD，∴点D与点B关于OE对称，∴DP=PB，当A，P，B三点共线时，AP+DP取得最小值，最小值为AB的长度，即为8，∴阴影部分的周长的最小值为8+
∴ 阴影部分的周长随着点P的位置的改变而改变，其
最小值为8+故Ⅱ正确.
10.40 2 提示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ADC=180°-∠A=70°，∴∠ADB=∠ADC-∠BDC=20°，∵AD∥BC，∴∠DBC=∠ADB=20°，∵点M为BC的中点，∴BM=MC，∵以M为圆心，MC为半径画弧交对角线BD于点N，∴MN=MC，∴BM=MC=MN，∴点B，C，N在以点M为圆心的圆上，∴∠NMC=2∠DBC=40°，∵MC=BC=18 cm，
∴的长度为=4π，设这个圆锥的底面圆半径为 r cm，则2πr=4π，解得r=2，∴这个圆锥的底面圆半径为2 cm.
C 级 中考新考法
11.解：（1）如图1，连接OE，OP，OP与EF交于点T，∵半圆O与水平面相切于点P，OP为半圆O的半径，四边形ABCD为正方形，∴∠OPA=∠DAP=∠ADT=90°，∴四边形ADTP为矩形，∴OP⊥EF，PT=AD=4 cm，∴ET=FT．∵MN=20 cm，
∴OE=OP=MN=10 cm，∴OT=6 cm，
∴在Rt△OET中，ET==8（cm），
∴EF=2ET=16 cm；
（2）如图2，连接OQ，OD，延长CD交OQ于点G，∵四边形ABCD为正方形，半圆O与水平面相切于点Q，OQ为半圆O的半径，∴∠GQA=∠DAQ=∠ADG=90°，∴四边形ADGQ为矩形，∴AQ =DG，QG =AD=4 cm，∠OGD=90°，∵MN=20 cm，∴OD=OQ=10 cm，∴OG=6 cm，
∴在Rt△ODG中，
DG==8（cm），∴AQ =DG=8 cm.由（1）知AP=12 cm，
∴的长为AP-AQ=4 cm，设所
对的圆心角度数为n°，∴=4，
解得n=．∴所对的圆心角度数为；
（3）如图3，连接OH，由切线长定理，得HQ=HD，设HD=tcm，则HQ=tcm，由（2）得AQ=8 cm，则AH=（8-t）cm，在Rt△ADH中，∵AD2+AH2=HD2，∴42+（8-t）2=t2，解得 t=5，∴AH=3，∴tan∠ADH=第六章 圆
第一节 圆的有关概念及基本性质
A 级 基础巩固
1.2024·邯郸育华中学模拟 如图，在⊙O中，满足，则下列对弦AB与弦CD大小关系表述正确的是 （ ）
A．AB＞2CD B．AB＜2CD
C．AB=2CD D．无法确定
2.人九上P85，T2拓展 如图，AB是⊙O的直径，，∠COD=34°，则∠A的度数是 （ ）
A．51° B．56° C．68° D．78°
3.易错冀九上P165，AT2变式 在⊙O中，点C为弦AB的中点，过点C的直径交⊙O于点D，E，如果AB=8 cm，OD=5 cm，那么CD长为 （ ）
A．2 cm B．3 cm
C．2 cm或8 cm D．3 cm或8 cm
4.冀九上P158，AT2变式 如图，AB是圆的直径，∠1，∠2，∠3，∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1，∠4的一边分别经过点A，B，则∠1+∠2+∠3+∠4=_______.
5.重点冀九上P161，AT2变式 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，连接OB，OD.
（1）若∠A=80°，则∠DCE=_______；
（2）若∠DCE=64°，则∠BOD的度数是_______.
6.2024·浙江 如图，在圆内接四边形ABCD中，AD＜AC，∠ADC＜∠BAD，延长AD至点E，使AE=AC，延长BA至点F，连接EF，使∠AFE=∠ADC．
（1）若∠AFE=60°，CD为直径，求∠ABD的度数；
（2）求证：①EF∥BC；②EF=BD．
B 级 能力过关
7.高频考点2024·沧州模拟 如图，点A是⊙O中优弧的中点，∠ABD=70°，C为劣弧上一点，则∠BCD的度数是 （ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
8.2024·重庆 如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，连接BD，CD．若∠D=28°，则∠OAB的度数为 （ ）
A．28° B．34° C．56° D．62°
9.2024·凉山州 数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交AB于点C，测出AB=40 cm，CD=10 cm，则圆形工件的半径为 （ ）
A．50 cm B．35 cm
C．25 cm D．20 cm
10.2024·石家庄模拟 如图，已知E是△ABC的外心，P，Q分别是AB，AC的中点，连接EP，EQ交BC于点F，D，若BF=5，DF=3，CD=4，则△ABC的面积为 （ ）
A．18 B．24 C．30 D．36
11.新趋势2024·邢台三模 如图，等边三角形ABC内接于⊙O，点D在上（不含端点），连接AD，BD，CD．
（1）∠ADC=_______；
（2）若AD=1，CD=3，则BD的长为______.
12.2024·安徽 如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是直径AB上一点，∠ACD的平分线交AB于点E，交⊙O于另一点F，FA=FE．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）设FM⊥AB，垂足为M，若OM=OE=1，求AC的长．
C 级 中考新考法
13.模型观念2024·张家口模拟 如图1是小明制作的一副弓箭，A，D分别是弓臂与弓弦BC的中点，弓弦BC=0.6 m，沿AD方向拉弓的过程中，假设弓臂始终保持圆弧形，弓弦长度不变．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1=0.3 m，∠B1D1C1=120°．
（1）图2中，弓臂两端B1，C1之间的距离是_______ m；
（2）如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂为半圆，则D1D2的值为____ m.
第六章 圆
第一节 圆的有关概念及基本性质
A 级 基础巩固
1.B 2.A 3.C 4.90°
5.（ 1）80°（2）128°
6.解：（1）∵CD为直径，∴∠CAD=90°，∵∠AFE=∠ADC=60°，∴∠ACD=90°-60°=30°，∴∠ABD=∠ACD=30°；
（2）证明：①如图，延长AB至点M，∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠CBM=∠ADC，又∵∠AFE=∠ADC，∴∠AFE=∠CBM，∴EF∥BC；
②如图，过点D作DG∥BC交⊙O于点G，连接AG，CG，∵DG∥BC，
∴∠DCB=∠CDG，
∴，∴BD=CG，
∵四边形ACGD是圆内接四边形，
∴∠GDE=∠ACG，∵EF∥DG∥BC，
∴∠DEF=∠GDE，∴∠DEF=∠ACG，∵∠AFE=∠ADC，∠ADC=∠AGC，
∴∠AFE=∠AGC，∵AE=AC，
∴△AEF≌△ACG（AAS），
∴EF=CG，∴EF=BD．
B 级 能力过关
7.C 8.B 9.C
10.B提示：如图，连接AF，AD，∵E是△ABC的外心，P，Q分别是AB，AC的中点，∴EP⊥AB，EQ⊥AC，∴AF=BF，AD=DC，∵BF=5，CD=4，∴AF=5，AD=4，∵DF=3，∴DF2+AD2=AF2，
∴∠ADF=90°，
∵BC=BF+DF+DC=5+3+4=12，
∴S△ABC=×BC×AD=×12×4=24．
11.（1）60°（2）2 提示：（1）等边三角形ABC内接于⊙O，∴∠ADC=∠ABC=60°；
（2）如图，在CD上取点E，使DE=AD，∵∠ADC=∠ABC=60°，则△ADE是等边三角形，则AD=AE=DE=1，又∠ABD=∠ACE，∠ADC=∠ABC=60°，∠AED=60°，∠ADB=∠AEC=120°，∴△ABD≌△ACE．
∴BD=CE=CD-DE=3-1=2.
12.解：（1）证明：∵FA=FE，∴∠FAE=∠AEF，∵∠FAE与∠BCE都是所对的圆周角，
∴∠FAE=∠BCE，∵∠AEF=∠CEB，∴∠CEB=∠BCE，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE.∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，∴∠CEB +∠DCE=∠BCE+∠ACE=∠ACB=90°，
∴∠CDE=90°，∴CD⊥AB；
（2）由（1）知，∠BEC=∠BCE，∴BE=BC，∵AF =EF，FM⊥AB，∴MA =ME =2，∴AE=4，∴OA =OB =AE-OE=3，∴BC=BE=OB-OE=2，在△ABC中，AB=2OA=6，BC=2，∠ACB=90°，
∴AC=
C 级 中考新考法
13.（1） （2）
提示：（1）如图1，连接B1C1，交AD1于点Q，∵点A是弓臂的中点，点D1是所在圆的圆心，
∴∠B1D1A=∠C1D1A=×∠B1D1C1=60°，B1C1⊥AD1，AD1=B1D1=0.3 m，在Rt△B1D1Q中，B1Q=B1D1·sin60°=
0.3×=（m），
∴B1C1=2B1Q=m；
（2）如图2，连接B2C2交AD2于点P，由（1）可得=
=0.2π（m），设所在圆的半径为rm，∴的长=πr=0.2π，解得r=0.2，∴AP=B2P=r=0.2 m，∵BC=0.6 m，
∴B2D2=BC=0.3 m，在Rt△B2PD2中，根据勾股定理，得PD2=m，
∴D1D2=AD2-AD1=（AP+PD2）-AD1=（0.2+）-0.3=（m）．第二节 与圆有关的位置关系
A 级 基础巩固
1.冀九下P7，AT7变式 已知⊙A的半径为5，圆心A的坐标是（0，0），点P的坐标是（5，5），那么点P与⊙A的位置关系是 （ ）
A．点P在⊙A内 B．点P在⊙A上
C．点P在⊙A外 D．无法确定
2.冀九下P22，AT8变式 如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D，若PA=6，则△PCD的周长为 （ ）
A．8 B．6 C．12 D．10
3.易错2024·石家庄模拟 已知一个三角形的内心与外心重合，若它的内切圆的半径为2，则它的外接圆的面积为______.
4.冀九下P9，T2变式 如图，点P是⊙O的半径OC延长线上的一点，过点P作⊙O的切线，切点为A，AB是⊙O的弦，连接AC，BC，若∠PAB=70°，则∠ACB的大小为_______.
5.冀九下P24，CT2变式 如图，已知AB是半圆O的直径，AB=4，点D是线段AB延长线上的一个动点，直线DF垂直于射线AB于点D，在直线DF上选取一点C（点C在点D的上方），使CD=OA，将射线DC绕点D逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α≤90°）．
（1）若OD=5，求点C与点O之间距离的最小值；
（2）当射线DC与⊙O相切于点C时，求劣弧的长度．
B 级 能力过关
6.2024·邯郸模拟 如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b.数据s表示飞船C与空间站A的实时距离，那么s的最大值是 （ ）
A．a B．b
C．a+b D．a-b
7.重点2024·河北九地市模拟 如图，在网格中（每个小正方形的边长均为1个单位长度）选取9个格点（格线的交点称为格点）．如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为 （ ）
A．＜r＜ B．＜r≤
C．＜r＜5 D．5＜r＜
8.2023·唐山路北区二模 如图，在△ABD中，∠A=90°，AB=AD，分别以点B和点D为圆心，BD长为半径画弧，交于点C，若AB=5 ，则△ABD外心与△BCD内心的距离是 （ ）
A． B．
C． D．5
9.难点2024·河北九地市三模 如图，在△ABC中，AC=2，BC=1，∠ACB=90°，点D为边AB上一动点（点D与点A，B不重合），过点D作DE⊥AC，连接CD．
（1）△CDE外接圆的直径的最小值是______；
（2）△CDE内切圆的半径的最大值是________.
10.高频考点2024·沧州模拟 如图1和图2，O为内、外两个圆的圆心，大圆被八等分，分点为A，B，C，D，E，F，G，H．已知两个圆的半径分别为6，2．
（1）如图1，若大圆中的弦AP与小圆相切于点M，求AP的长；
（2）通过计算比较的长和小圆的周长的大小；
（3）如图2，连接OB，AG，通过说理判断OB和AG的位置关系，并求点B到AG的距离．
C 级 中考新考法
11.应用意识2024·唐山模拟 某款“不倒翁”的主视图如图1，它由半圆O和等边三角形PAB组成，直径AB=6 cm，半圆O的中点为点C，MN为桌面，半圆O与MN相切于点Q，拨动“不倒翁”后它在桌面MN上做无滑动的滚动．
（1）如图1，当AB∥MN时，请直接写出PC的长为______ cm；（结果保留根号）
（2）如图2，当PB⊥MN时，连接OQ，OC．求点C到桌面MN的距离（结果保留根号）；
（3）当PA或PB垂直于MN时“不倒翁”开始折返，直接写出从PB⊥MN滚动到PA⊥MN（S图2-图3）过程中，点Q在MN上移动的距离．
第二节 与圆有关的位置关系
A 级 基础巩固
1.C 2.C 3.16π
4.110° 提示：∵PA与⊙O相切于点A，∴PA⊥OA，∴∠OAP=90°，
∵∠PAB=70°，∴∠OAB=∠OAP-∠PAB=90°-70°=20°，∵OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB=20°，∴∠AOB=180°-∠OBA-∠OAB=180°-20°-20°=
140°，∵∠CBA=∠COA，∠CAB=∠COB，
∴∠CBA +∠CAB=（∠COA+∠COB）=∠AOB
=140°=70°，
∴∠ACB=180°-（∠CBA+∠CAB）=180°-70°=110°.
5.解：（1）如图1，当点C在线段OD上时，点C与点O之间的距离最小，∵CD=OA=2，OD=5，∴OC=3，即点C与点O之间距离的最小值为3；
（2）如图2，连接OC，
∵OC=OA，CD=OA，∴OC=CD，
∴∠ODC=∠COD，
∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°，∴∠DOC=45°，
∴劣弧的长度为
B 级 能力过关
6.C
7.B 提示：如图，根据题意画出示意图，∵由勾股定理，得AD= ，AE=AF=，AB=3 ，
∴AB＞AE＞AD，∵题目要求除A外恰好有3个点在圆内，∴＜r≤3．以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有D，E，F 3个在圆内．
8.D
9.（1）（2） 提示：（1）∵DE⊥CE，∴CD就是△CDE外接圆的直径，∵D在AB上，∴当CD⊥AB时，CD最小，在Rt△ABC中，AB==，∴CD=
（2）如图，取△CDE的内心O，过点O作OF⊥CD于点F，OM⊥DE于点M，ON⊥CE于点N，设OM=ON=OF=r，DE=x，根据内心的性质可知，DF=DM，CF=CN，EM=EN，∵∠DEC=90°，∴四边形ENOM为正方形，∴CD=DE+CE-2r，∵DE∥BC，
∴，∴AE=2x，∴CE=2-2x，
在Rt△CDE中，CD2=DE2+CE2=x2+4（1-x）2=5x2-8x+4，∴5x2-8x+4 =（DE+CE-2r）2=（x+2-2x-2r）2，整理，得x2-（r+1）x+2r-r2=0.
∵x存在，∴Δ=（r+1）2-4（2r-r2）=5r2-6r+1≥0，∴r≥1或r≤，∵r＜x≤1，
∴r≤，即△CDE内切圆的半径的最大值是．
10.解：（1）如图1，连接OA，OM，则OM⊥AP，∴AM=PM，在Rt△AOM中，OA=6，OM=2，
∴AM=4，∴AP=2AM=8 ；
（2）如图2，连接OA，OD，由题意得
∠AOD=×3=135°，
∴的长为
小圆的周长为2π×2=4π，4π＜，
∴的长大于小圆的周长；
（3）如图3，连接OA，OG．由题意得
∠AOB==45°，∠AOG=×2=90°，OA=OG，∴∠OAG=∠OGA=45°，∴∠OAG =∠AOB，∴OB∥AG，过点O作ON⊥AG，交AG于点N，
则ON=OA·sin45°=3 ．
∵OB∥AG，∴点B到AG的距离为3 ．
C 级 中考新考法
11.解：（1）3+3 提示：如图1，连接PO，OC，∵等边三角形PAB，则PO⊥BO，OB=AB=3 cm，PB=AB=
6 cm，则OP=3 cm.∵半圆O与MN相切于点Q，半圆O的中点为点C，∴C，Q重合，OC⊥MN，∵AB∥MN，∴OC⊥AB，∴P，O，C三点共线，AB，MN之间的距离为OC=OB=3 cm，∴PC =
PO+CO=3+3（cm）；
（2）如图2，连接OC，过点C分别作 CE⊥OQ，CF⊥MN，垂足分别为E，F．∵半圆O与MN相切于点Q，
∴OQ⊥MN，∵PB⊥MN，∴OQ∥PB，
∵点C为半圆O的中点，∴∠COB=90°，∵△PAB为等边三角形，
∴∠QOB=∠PBA=60°，∠COQ=∠COB-∠QOB=30°，在Rt△COE中，
∠CEO=90°，OC=AB=3 cm，则OE=OC·cos30°=3× =，
易证得四边形CFQE为矩形，
∴CF=OQ-OE=3-，即点C到桌面MN的距离为3-;
（3）点Q在MN上移动的距离为π．
