第二节 概率
A 级 基础巩固
1.2024·武汉 小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（ ）
A. 随机事件 B. 不可能事件
C. 必然事件 D. 确定性事件
2.人九上P129，练习T2变式 任意掷一枚骰子，下列情况出现的可能性比较大的是（ ）
A.面朝上的点数是 6
B.面朝上的点数是偶数
C.面朝上的点数大于 2
D.面朝上的点数小于 2
3.冀九下P165，AT1高仿 如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是 （ ）
A. B. C. D.
4.人九上P148，习题T5变式 在一个不透明的口袋中，装有红色、黑色、白色的小球共 80 个，除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后，摸到红色、黑色小球的频率分别稳定在 25%和 45%，则口袋中白球的个数可能是 （ ）
A.8 B. 16 C. 24 D. 32
5.新趋势 人九上P152，习题T4变式 学习电学知识后，小婷同学用四个开关 A，B，C，D，一个电源和一个灯泡设计了一个电路图，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的概率等于 ______.
6.重点 2024·邯郸模拟 商场为掌握元旦期间顾客进店购物时刻的分布情况，元旦当天将顾客购物的时刻 t 分为四个时间段：A 段：7：00≤t＜11：00，B 段：11：00≤ t ＜15：00，C 段：15：00≤t ＜19：00，D 段： 19：00≤t≤23：00． 统计了 5 000 名顾客的购物时刻．并绘制出了顾客购物时刻的扇形统计图和频数分布直方图（如图），其中扇形统计图中 A，B，C，D 四段各部分圆心角的度数比为 1∶3∶4∶2，请根据以上信息解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图，顾客购物时刻的中位数落在 _______ 段（填写表示时间段的字母）；
（2）为活跃节日气氛，该商场设置购物后抽奖活动，设立了特等奖一个，一等奖两个，二等奖若干，并随机分配到了 A，B，C，D 四个时间段中．
①特等奖出现在 A 时间段的概率是________；
②请利用画树状图或列表的方法，求两个一等奖出现在同一时间段的概率．
B级 能力过关
7.易错 2024·邢台三模 若干张卡片正面均写有一道数学题，其中有 3 道几何题，其余都是代数题，这些卡片除正面所写的题不一样外，其余完全相同．将这些卡片背面朝上洗匀，若随机抽取一张卡片，上面是几何题的概率是，则上面写有代数题的卡片的张数是（ ）
A. 1 B. 6 C. 9 D. 12
8. 2024·东营 如图，四边形ABCD是平行四边形，从①AC=BD，②AC⊥ ADBD，③AB=BC，这三个条件中任意选取两个，能使BC ABCD 是正方形的概率为（ ）
A. B. C. D.
9.难点 2024·石家庄一模 已知一个不透明的袋子中装有 4 个只有颜色不同的小球，其中 1 个白球，3 个红球．
（1）从袋子中随机摸出 1 个小球是红球的概率是 _______；
（2）若在原袋子中再放入m个白球和m 个红球（m＞1），搅拌均匀后，使得随机从袋子中摸出 1 个小球是白球的概率为，则m的值为 ____.
10.新考法 2024·石家庄桥西区三模 嘉嘉和淇淇到活动室整理写有数字的小球（这些球除所标数字外其他完全相同），所标数字 1～5 的小球全部整理后的个数如图所示．
（1）如图所示的小球所标数字的众数是_____；
（2）在上述标有数字 1～5 的小球中拿出一个，剩下的小球所标数字的众数没变，但平均数变大．
①拿出的小球上所标数字是 ________；
②嘉嘉和淇淇准备拿小球做一个游戏，赢的人整理剩余的小球．游戏规则：甲口袋装有所标数字为 1，2 的两个球，乙口袋装有所标数字为 1，2，3，4，5 的五个球．嘉嘉先从甲口袋中随机摸出一个球，淇淇再从乙口袋中随机摸出一个球，若两球所标数字之和为奇数，则嘉嘉获胜；否则淇淇获胜．用列表法（如 4 表）说明这个游戏对双方是否公平．
C级 中考新考法
11.创新意识 2024·廊坊广阳区一模 如图是一个竖直放置的钉板，其中，黑色圆面表示钉板上的钉子，A1，B1，B2，…，D3，D4 分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口A1 处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球，圆球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至圆球落入下面的某个槽内．则圆球落入③号槽内的概率为 ______．
第二节 概率
A 级 基础巩固
1.A 2.C 3.B 4.C 5.
6.解：（1）C
补全频数分布直方图如下；
（2）①
②画树状图如下，
共有16种等可能的结果，其中两个一等奖出现在同一时间段的结果有4种，
∴两个一等奖出现在同一时间段的概率为
B级 能力过关
7.C 提示：由题意得总题数为3÷=12（道），其中有3道几何题，
∴代数题有12-3=9（道）.
8.A
9.（1） （2）3
10.解：（1）2
（2）①1 提示：平均数为=3（个），∵剩下的小球所标数字的众数2没变，但平均数变大，∴拿出的小球上所标数字是1；
②如下表：
共有10种等可能的结果，其中两球所标数字之和为奇数的结果有5种，
∴P（两球所标数字之和为奇数）=
即嘉嘉获胜或淇淇获胜的概率均为，∴这个游戏对双方是公平的．
C级 中考新考法
11. 提示：根据题意，画出如下树状图如下，
共有8种等可能的结果，其中落入③号槽的结果有3种，P（落入③号槽）=．第八章综合达标检测卷
（时间：90分钟 满分：120分）
题 号 一 二 三 总分
得 分
一、选择题（本大题共 11 个小题，每小题 3 分，共 33 分）
1.要调查下列问题，适合采取全面调查（普查）的（ ）
A.某城市居民每年的读书量
B.某品牌奶粉的质量
C.中央电视台《新闻联播》的收视率
D.某型号新型战斗机试飞前的零部件检查
2.掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面分别刻有 1 到 6 的点数，掷一次骰子，向上一面的点数小于 6，这个事件是（ ）
A.随机事件 B. 确定性事件
C. 必然事件 D. 不可能事件
3.已知一组数据：1，3，5，x，6，7，这组数据的中位数是 5，则众数是 （ ）
A.6 B. 5 C. 4 D. 3
4.从一副扑克牌中任意抽取 1 张，下列事件：①抽到“K”；②抽到“黑桃”；③抽到 “大王或小王”；④抽到“红桃 5”．其中，发生可能性最大的事件是 （ ）
A.① B. ② C. ③ D. ④
5.某中学开展课后服务，其中在体育类活动中开设了四种运动项目：乒乓球、排球、篮球、足球．为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机选取 200 名学生进行问卷调查（每位学生仅选一种），并将调查结果绘制成如下的扇形统计图．下列说法错误的是 （ ）
A.最喜欢篮球的学生人数为 30 人
B.最喜欢足球的学生人数最多
C.“乒乓球”对应扇形的圆心角为 72°
D. 最喜欢排球的人数占被调查人数的10%
6.2024·沧州模拟 质数是只有 1 和它本身两个因数的自然数，规定：1 既不是质数也不是合数．如果两个质数相差 2，那么称这两个质数为“孪生质数”．在 10 以内的质数中任意取一个数，这个数与 5 是“孪生质数”的概率为（ ）
A. B. C. D.
7.某校为选拔八年级学生参加“初中生数学素养大赛”，该校数学组根据四名同学的平时成绩制作了下表（单位：分），将选派一名成绩好且发挥稳定的同学参加该比赛，你认为最应该选（ ）
A.甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
8.如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘ABCD内，若飞镖落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ）
9.为了迎战中考的第一站———体考，某班 50 名同学积极训练，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小刚有事没有参加本次集体测试，因此
计算其他 49 人的平均分为 49 分，方差 s2=1.6．后
来小刚进行了补测，成绩为 49 分，关于该班 50 人的测试成绩，下列说法正确的是 （ ）
A.平均分不变，方差变大
B.平均分不变，方差变小
C.平均分和方差都不变
D.平均分和方差都改变
10.如图，公园里的方桌旁有 4 个圆凳，甲、乙、丙、丁 4 人随机坐到这 4 个圆凳上，则甲坐在乙对面的概率为 （ ）
11. 在读书节活动中，某校为了解学生参加活动的情况，随机调查了部分学生每人参加活动的项数．根据统计的结果，绘制出如图的统计图 1 和图 2．根据相关信息，下列说法不正确的是 （ ）
A. 本次接受抽样调查的学生一共有 40 名
B.图 1 中 m的值为 10
C.这组数据的平均数是 2
D. 这组数据的中位数是 3
二、填空题（本大题共 3 个小题，每空 3分，共 15 分）
12.一只不透明的袋中装有 8 个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是 0.4，则袋中约有红球 ______ 个．
13.一组数据 x1，x2，…，xn 的平均数为x，方差为 s2，将这组数据的每个数都乘以 2，再减去 200 得到一组新的数据，这组新数据的平均数为 ________（用含x的代数式表示），方差为 _______（用含 s2 的代数式表示）．
14.2024·河北二模 如图所示，方案 1 和方案2 都是由 2 个电子元件 R1 和 R2 组成的电路系统，其中每个元件正常工作的概率均为，且每个元件能否正常工作互相不影响． 当A到B的电路为通路状态时，系统正常工作，当 A 到 B 的电路为断路状态时，系统不能正常工作．
（1）方案 1 中电路为通路的概率为_______；
（2）根据电路系统正常工作的概率，连接方案更稳定可靠的电路是 _______（选填“方案 1”或“方案 2”）．
三、解答题（本大题共 6 个小题，共 72 分）
15.（9 分）在一个不透明的袋子里，装有6 个红球、3 个黑球、1 个白球，它们除颜色外都相同．
（1）求从袋中任意摸出一个球为红球的概率；
（2）现从袋中取走若干个红球，并放入相同数量的白球，充分摇匀后，要使从袋中随机摸出一个球是白球的概率是，问取走了多少个红球？
16.（10 分）A，B，C 三名大学生竞选系学生会主席，他们的笔试成绩和口试成绩
（单位：分）如下表：
（1）竞选的最后一个程序是由本系的300 名学生进行投票，三位候选人的得票情况如图（没有弃权票，每名学生只能推荐一人），请计算每人的得票数；
（2）若每票计 1 分，系里将笔试、口试、得票三项测试得分按 4∶3∶3 的比例确定个人成绩，请计算三位候选人的最后成绩，并根据成绩判断谁能当选．
17.（11 分）某校为了解学生对“A：古诗词，B：国画，C：闽剧，D：书法”等中国传统文化项目的喜爱情况，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查（每人限选一项），并将调查结果绘制成如下不完整的统计图，根据图中的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共调查了 _______ 名学生；扇形统计图中，项目 D 对应扇形的圆心角为 ________ 度；
（2）根据统计图计算出相应数据，并补全折线统计图；
（3）如果该校共有 1 800 名学生，请估计该校喜爱项目 D 的学生有多少人.
18.（13 分）某中学举行“校园好声音”歌手大赛，高、初中根据初赛成绩各选出 5 名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的 5 名选手的决赛成绩（单位：分，满分 100 分）如下所示：
（1）表格中a=_____；b=_____；c=_____，
（2）结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好；
（3）计算两队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．
19.（14分）如图，现有一个均匀的转盘被平均分成6等份，分别标有数字 2， 3，4，5，6，7这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．
（1）转动转盘，转出的数字大于3的概率是多少？
（2）现有两张分别写有3和4的卡片，要随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度．
①这三条线段能构成三角形的概率是多少？
②这三条线段能构成等腰三角形的概率是多少？
20.（15分）某校为了解学生身体健康状况，从全校600名学生的体质健康测试结果登记表中，随机选取了部分学生的测试数据进行初步整理（如下表），并绘制出不完整的条形统计图（如图）．
（1）表中a=_____，b=_____，c=_____；
（2）请补全如图所示的条形统计图，并估计该校学生体质健康测试结果为“良好” 和“优秀”的总人数；
（3）为听取测试建议，学校选出了3名成绩“良好”和1名成绩“优秀”的学生，再从这4名学生中随机抽取2人参加学校体质健康测试交流会，请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人成绩均为“良好”的概率．
第八章综合达标检测卷
1.D 2.A 3.B 4.B 5.A 6.A
7.B 提示：由表格可知，乙的平均数最大，且方差最小，故乙的成绩好且发挥稳定.
8.C 提示：如图，设AB=2a，则圆的直径为2a，则小正方形的边长为 a，则飞镖落在阴影区域的概率
9.B 提示：∵小刚的成绩和其他49人的平均分相同，都是49分，
∴该班50人的测试成绩的平均分为49分，
∴新数据的每个数据与平均数差的平方和保持不变，而总人数在原数据的基础上增加1，
∴新数据方差变小.
10.C提示：如图，设甲坐在圆凳④上，把其他三个圆凳分别记为①，②，③.
共有6种等可能的结果，其中甲坐在乙对面的结果有2种，∴甲坐在乙对面的概率为.
11.D
12.12 提示：由题意可得，袋中约有
红球8÷0.4-8=20-8=12（个）.
13.2-200 4s2
14.（1） （2）方案2
提示：将电子元件R1正常工作记为M，不正常工作记为M′，将电子元件R2正常工作记为N，不正常工作记为N′．（1）方案1中，从A到B的电路的情况列表如下：
共有4种等可能的结果，其中电路为通路的结果有MN，共1种，
∴方案1中电路为通路的概率为；
（2）方案2中，从A到B的电路的情况列表如下：
共有4种等可能的结果，其中电路为通路的结果有MN，MN′，M′N，共3种，∴方案2中电路为通路的概率
为．∵ ＜，∴连接方案更稳定可靠的电路是方案2．
15.解：（1）从袋中任意摸出一个球有10种等可能结果，其中是红球的有6种结果，所以从袋中任意摸出一个球为红球的概率为
（2）设取走了x个红球，根据题意，
得，解得x=3.
答：取走了3个红球．
16.解：（1）A的得票数是300×35%=105（票），B的得票数是300×40%=120（票），C的得票数是300×25%=75（票）；
（2）A的成绩是92.5（分），
B的成绩是98（分），
C的成绩是84（分）．
∵98＞92.5＞84，∴B能当选．
17.解：（1）200 90
（2）∵项目B的人数为200×20%=40（人），
∴项目A的人数为200-40-50-30=80（人），补全折线统计图如下所示：
（3）1 800× =450（人）.
答：估计该校喜爱项目D的学生有450人．
18.解：（1）85 80 85
（2）因为两个队的平均数都相同，初中部的中位数高，所以在平均数相同的情况下，中位数高的初中部成绩较好；
（3）初中代表队的方差s2初中=×［（75 -85）2+（80 -85）2+（85 -85）2+（85-85）2+（100-85）2］=70，高中代表队的方差 s2高中=×［（70-85）2+（75 -85）2+（80 -85）2+（100 -85）2+（100-85）2］=160，
∵s2初中＜s2高中.∴初中代表队选手成绩更稳定.
19.解：（1）∵转盘被平均分成6等份，∴转到每个数字的可能性相等，
∴共有6种等可能结果，其中大于3的结果有4种，∴转出的数字大于3的概率为
（2）①设第三边长为x，则4-3＜x＜4+3，即1＜x＜7，∵转盘被平均分成6等份，∴转到每个数字的可能性相等，∴共有6种等可能结果，其中能构成等腰三角形的结果有5种，∴这三条线段能构成三角形的概率是；
②∵转盘被平均分成6等份，∴转到每个数字的可能性相等，∴共有6种等可能结果，其中能构成等腰三角形的结果有2种，∴这三条线段能构成等腰三角形的概率是
20.解：（1）3% 20 45%
（2）补全条形统计图如下：
600×（45%+32%）=462（人），
∴估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数为462人；
（3）设3名成绩“良好”的学生分别为甲、乙、丙，1名成绩“优秀”的学生为丁，画树状图如下：
共有 12 种等可能的结果，其中恰 好选中两人均为“良好”的结果有 6 种，∴ 所抽取的两人成绩均为“良好” 的概率为第一节 统计
A 级 基础巩固
1.人七下 P157，T4 变式 下列调查中，适合全面调查的是（ ）
A.对乘坐高铁的乘客进行安检
B.调查 2024 年央视“党史大赛”节目的收视率
C.调查全国初中学生视力情况
D.某品牌新能源汽车的最大续航里程
2.冀八下 P9，BT1 变式 为了解某校八年级800 名学生在国庆期间每天阅读名著所用的时间，随机抽取其中 100 名学生进行抽样调查，下列说法正确的是（ ）
A.该校八年级全体学生是总体
B.从中抽取的 100 名学生是个体
C.每个八年级学生是总体的一个样本
D.样本容量是 100
3.2024·南充 学校举行篮球技能大赛，评委从控球技能和投球技能两方面为选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按控球技能占 60%，投球技能占 40% 计算选手的综合成绩（百分制）．选手李林控球技能得 90 分，投球技能得 80 分．李林的综合成绩为 （ ）
A. 170 分 B. 86 分 C. 85 分 D. 84 分
4.冀九上 P20，练习变式 如图是 30 名学生A，B 两门课程成绩的统计图， 若记这 30名学生 A 课程成绩的方差为 s12，B 课程成绩的方差为 s22，则 s12，s22 的大小关系为（ ）
A. s12＜s22 B. s12＝s22
C. s12＞s22 D. 不能确定
5.新考法 冀九上 P20，练习变式七（1）班 40 名同学上周家务劳动时间的频数分布直方图如图所示，设这组数据的中位数为 m h，则m______2.6．（选填“＞”“=”或“＜”）
6.重点 人八下 P121，练习变式某校为了解该校学生一周的课外劳动情况，随机抽取部分学生调查了他们一周的课外劳动时间，将数据进行整理并制成如图所示的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列的问题：
（1）图 1 中的 m=_______，本次调查数据的中位数是 ______h，本次调查数据的众数是 _______h；
（2）若该校共有 2 000 名学生，请根据统计数据，估计该校学生一周的课外劳动时间不小于 3 h 的人数．
B级 能力过关
7. 2024·保定竞秀区二模 一组数据 3，0，-3，
5，x，2，-3 的平均数是 1，则这组数据的众数是（ ） A. -3 B. 2 C. 3 和-3 D. 2 和-3
8.难点 2024·唐山路南区二模 某轮滑队所有队员的年龄只有 12，13，14，15，16（单位：岁）五种情况，其中部分数据如图所示，若队员年龄的唯一的众数与中位数相等，则这个轮滑队队员人数m最小是
（ ）
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
9.易错 2024·廊坊广阳区二模 如图是某超市 A，B 两种水果连续五天的单价调研情况，比较 A，B 两种水果单价，这五天中，单价平均值高的是 ________ 水果，单价较稳定的是 _______ 水果．
10.难点 2024·邯郸邯山区三模 某班组织开展课外体育活动，在规定时间内，进行定点投篮，对投篮命中数量进行了统计，并制成下面的统计表和如图不完整的折线统计图（不含投篮命中个数为 0 的数据）．
根据以上信息，解决下面的问题：
（1）在本次投篮活动中，投篮命中的学生共有 ______人，并求投篮命中数量的众数和平均数；
（2）补全折线统计图；
（3）嘉淇在统计投篮命中数量的中位数时，把统计表中相邻两个投篮命中的数量m，n 错看成了 n，m（m＜n）进行计算， 结果错误数据的中位数与原数据的中 位数相比发生了改变，求 m，n 的值．
C 级 中考新考法
11.数据观念 2024·唐山丰南区模拟 如图为 某班 35 名学生投篮成绩的条形统计 图，其中上面部分数据破损导致数据不 完整．已知此班学生投篮成绩的中位数 是 5 个，则根据图，无法确定的数值是 （ ）
A. 4 球以下的人数
B. 5 球以下的人数
C. 6 球以下的人数
D. 7 球以下的人数
第一节 统计
A 级 基础巩固
1.A 2.D 3.B 4.A 5.＜
6.解：（1）25 3 3
（2）2 000×=1 400（人）
答：估计该校学生一周的课外劳动时间不小于3 h的有1 400人．
B级 能力过关
7.C
8.D 提示：由题图中数据可知小于14岁的是4人，大于14岁的也是4人，∴这组数据的中位数为14岁，∵队员年龄的唯一的众数与中位数相等，
∴众数是14岁，即年龄为14岁的人最多，∴14岁的队员最少有4人，∴这个轮滑队队员人数m最小是
4+4+4=12.
9.B A
10.解：（1）20
由表格信息可知，投篮命中4个的有7人，是人数最多的，故众数为4个；平均数为
=3.9（个），故投篮命中数量的平均数为3.9个；
（2）补全折线统计图如图；
（3）原投篮命中数量的中位数是=4；当1和2互换时，中位数为4，没有变化；当2和3互换时，中位数为4，没有变化；当3和4互换时，中位数为=3.5，发生变化，此时m=3，n=4；当4和5互换时，中位数为4，没有变化；当5和6互换时，中位数为4，没有变化．
∴m=3，n=4．
C 级 中考新考法
11.C 提示：由题意和统计图可得，
4球以下的人数为2+3+5=10（人），故选项A不符合题意，
∵此班学生投篮成绩的中位数是5个，一共35人，4球以下的人数为10人，由题图可知，4球的人数超过6人，∴5球以下的人数为2+3+5+7=17（人），故选项B不符合题意，6球以下的人数无法确定，故选项C符合题意；7球以下的人数为35-1=34（人），故选项D不符合题意.
