二次函数专项闯关训练（含解析）-2025年中考数学二轮复习

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二次函数专项闯关训练-2025年中考数学二轮复习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列对二次函数的图象的描述，正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是y轴
C．经过原点 D．函数的最小值是0
2．已知二次函数（a为常数，且）的图象与x轴没有交点，则y关于x的二次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．将抛物线沿x轴向右平移3个单位得到一条新抛物线，若点均在新抛物线上，则a与b的大小关系为（ ）
A． B． C． D．与m的取值有关
4．已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如表，则下列结论正确的是（ ）．
x … 0 3
y … 3 3
A．当时，y随x的减小而减小 B．图象的开口向上
C．图象只经过第二，三，四象限 D．图象的顶点坐标是
5．抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知二次函数的图象经过点和，则当时，函数的最大值与最小值之差是（ ）
A．4 B．8 C．6 D．10
7．如图为某数字孪生灌区的灌溉渠道轮廓图，可近似看作抛物线的一部分，其两岸的宽度，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，已知该灌溉渠道的深度与到点O的水平距离之间的函数关系式为．某日大雨后，该计算机平台接到指令，进行泄洪，将水位从降低至．若，则泄洪后该灌溉渠道的最大水深为（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，对于点．和点，若满足，我们称点和点互为等和点．下列结论：
①若点坐标为，则点的等和点在直线上；
②若点分别在函数的图象上，点和互为等和点，则点的坐标为；
③若点坐标为，则无论取何值，直线上有且只有一个点是点的等和点：
④若点坐标为，则二次函数的图象上总存在点的等和点．其中，正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
9．写出一个开口朝上，以直线为对称轴的二次函数： ．
10．二次函数有最高点，则的取值范围是 ．
11．将抛物线向右平移1个单位长度后拋物线的顶点坐标是 ．
12．如图，在正方形中，，E为对角线上一动点，F为射线上一点．若，则面积的最大值为 ．
13．如图，正方形的顶点、在轴上，点、恰好在抛物线上，那么正方形的面积是 ．
14．如图，点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动，与轴交于、两点（在的左侧），点的横坐标最小值为，则点的横坐标最大值为 ．
三、解答题
15．在平面直角坐标系中，已知抛物线
(1)当，时，求该抛物线与x轴两个交点的坐标；
(2)当时，，为该抛物线上的两点，若，，总有，求m的取值范围．
16．为满足市场需求，某超市购进一种品牌水果，每箱进价是元，超市规定每箱售价不得少于元．根据以往销售经验发现：当售价定为每箱元时，每天可以卖出箱，每箱售价每提高元，每天要少卖出箱．
(1)求每天的销售量（箱）与每箱售价（元）之间的函数关系式；
(2)当每箱售价定为多少元时，每天销售的利润（元）最大？最大利润是多少？
17．在平面直角坐标系中，点，．抛物线（是常数）的顶点为．
(1)当抛物线经过点时，求顶点的坐标；
(2)若点在轴下方，当时，求此时的值；
(3)无论取何值，该抛物线都经过定点．当时，求此时的值．
18．如图，二次函数图象与x轴交于B、C两点，与y轴交于点A，点C的坐标为，顶点D的坐标为．
(1)求二次函数的表达式；
(2)判断的形状，并说明理由．
19．如图1所示是下承式桥（），是桥面系设置在桥跨主要承重结构（桁架、拱肋、主梁）下面的桥梁．图2是下承式桥抽象出的模型，桥的拱肋可视为抛物线的一部分，桥面水平线（）与多根系杆连接并垂直，相邻系杆之间的间距均为（不考虑系杆的粗细），拱肋的跨度为，且桥的最高点与桥面的距离为，以点为原点，射线为轴正方向建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的解析式（无需写出自变量的取值范围）；
(2)若系杆与桥拱中轴相距，求系杆的长度；
(3)小智说，“目测有一根系杆的长度恰好是长度的一半”，请判断该说法是否正确，并说明理由．
20．在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）与轴交于点和．点、、均在该抛物线上，横坐标分别为、、
(1)求该抛物线对应的函数关系式；
(2)在该抛物线上、两点之间的部分任取一点A，在、两点之间的部分任取一点（点A、均不与端点重合），若点A的纵坐标总大于点的纵坐标，则的取值范围是___________；
(3)过点作垂直于直线于点，过点作垂直于直线于点．
①当的面积是的面积的2倍时，求的值；
②连结、，当此抛物线在四边形内部的点的纵坐标随的增大而增大或随的增大而减小时，直接写出的取值范围．
21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是点关于轴的对称点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)为直线上方抛物线上一动点，求的面积最大值及的面积最大时点的坐标；
(3)在（2）的条件下，当的面积最大时，在抛物线的对称轴上有一动点，在上有一动点，且，求的最小值．
《二次函数专项闯关训练-2025年中考数学二轮复习》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A C A D C B B
1．C
【分析】本题考查了二次函数的性质，将二次函数的解析式化为顶点式得出二次函数图象的开口向上，对称轴为直线，函数的最小值为，当时，，由此即可得解．
【详解】解：∵，
∴二次函数图象的开口向上，对称轴为直线，函数的最小值为，故ABD错误，
当时，，故C正确；
故选：C．
2．A
【分析】本题考查二次函数图象的判断，由二次函数（a为常数，且）的图象与x轴没有交点可求出，二次函数可知对称轴为直线，开口向上，顶点坐标在第四象限，故可得答案．
【详解】解：∵二次函数（a为常数，且）的图象与x轴没有交点，
∴令，则有：，
∴；
∴二次函数的图象开口向上，
又，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
∵，
∴，
∴抛物线的顶点在第四象限，
综上，只有选项A的图象符合题意，
故选：A．
3．C
【分析】抛物线沿x轴向右平移3个单位得到新抛物线的解析式为，根据抛物线的增减性解答即可．
本题考查了抛物线的平移，增减性，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得抛物线沿x轴向右平移3个单位得到新抛物线的解析式为，
∴抛物线开口向下，且距离对称轴越远，函数值越小，对称轴为直线，
∵，
∴．即．
故选：C．
4．A
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先根据对称性确定二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：由表格可知：和时的函数值相同，
∴对称轴为直线，
由表格可知：当时，随着的减小大而减小，时，随着的增大而减小，故A正确，符合题意；
∴抛物线的开口向下，
∵函数图象过点和，且函数图象的开口向下，选项B错误，不符合题意；
∴抛物线的开口方向向下，顶点在第二象限，且与轴交于正半轴，与轴的两个交点分别在的正半轴和负半轴上，
∴函数图象过一，二，三，四象限，选项C错误，不符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线；
∴抛物线的顶点的横坐标为，不是，选项D错误，不符合题意；
综上：只有选项A正确，符合题意；
故选A．
5．D
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由抛物线开口向下，与轴相交于正半轴上，可得，可判断A；再根据对称轴可得，即可判断B；由抛物线与轴有两个的交点可判断C；由对称轴和抛物线与轴的一个交点坐标为，可得抛物线与轴的另一个交点坐标为，又由图象可知时，抛物线位于轴上方，可得当时，，据此可判断D；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴相交于正半轴上，
，
故A错误，不符合题意；
∵对称轴为直线，
，
，
∴，故B错误，不符合题意；
∵抛物线与轴有两个的交点，
∴，故C错误，不合题意；
∵对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，
∴抛物线与轴的另一个交点坐标为，
∵时，抛物线位于轴上方，
∴当时，，
∴，故D正确，符合题意；
故选：D．
6．C
【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法求得二次函数的解析式，然后利用二次函数的性质求得当时，函数的最大值与最小值即可求解．
【详解】解：∵二次函数的图象经过点和，
∴，
解得，
∴，
∴抛物线对称轴为直线，
∵时，，
时，，
∴当时，函数的最大值为7，最小值为1，
∴函数的最大值与最小值之差是6．
故选：C．
7．B
【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，先求解二次函数的解析式，再求解对称轴方程与顶点纵坐标，判定，再进一步求解即可.
【详解】解：∵，
∴，
把代入，
∴，
解得：，
∴抛物线为：，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴顶点纵坐标为：，
∵，
∴，
∴，
∴泄洪后该灌溉渠道的最大水深为，
故选：B
8．B
【分析】本题考查了新定义下的阅读理解能力。函数与方程的综合运用。对于新定义，要理解它所规定的运算规则，再根据这个规则结合函数与方程的有关知识解题．
根据新定义的运算规则，结合函数与方程的有关知识，逐项判断即可．
【详解】解：①设点，
，
故①正确；
②设，
，
，
，
，
故②正确；
③设，
，
，
点的等和点在直线上，
当时，直线解析式为，
而直线与直线平行，
点的等和点一定不在直线上，
故③错误；
④设，
，
，
代入得，
即，
对于任意实数，二次函数的图象上总存在点的等和点；
故④正确；
故选：B ．
9．（答案不唯一）
【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据开口向上，即，对称轴为直线，即可求解．
【详解】解：开口朝上，以直线为对称轴的二次函数为，
故答案为：（答案不唯一）．
10．
【分析】本题考查了二次函数的性质，有最高点，则图象的开口方向向下，即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数有最高点，
∴图象的开口方向向下，
∴，
解得：，
∴的取值范围是，
故答案为：．
11．
【分析】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律，按照“左加右减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式，即可求出顶点坐标．解决本题的关键是熟记“左加右减，上加下减”．
【详解】解：将抛物线向右平移1个单位长度后得到解析式：，即，
故所得抛物线的顶点坐标为．
故答案为：．
12．16
【分析】本题考查了二次函数的应用、正方形的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
过点作于点，先证出，再设，则，根据等腰三角形的三线合一可得，然后利用三角形的面积公式、二次函数的性质求解即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∵，，
∴（等腰三角形的三线合一），
∴的面积为，
由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为16，
即面积的最大值为16，
故答案为：16．
13．
【分析】此题考查二次函数的图象和性质、正方形的性质．根据题意设点的坐标是，点、恰好在抛物线上，得到，解得，（不合题意，舍去），得到点的坐标是，得到正方形的边长为，即可求出正方形的面积．
【详解】解：∵四边形是正方形，顶点、在轴上，点、恰好在抛物线上，
∴，
∴可设点的坐标是，
∵点、恰好在抛物线上，
∴，
解得，（不合题意，舍去），
∴点的坐标是，
∴正方形的边长为，
∴正方形的面积是，
故答案为：
14．8
【分析】本题考查了二次函数的性质．当点横坐标最小时，抛物线顶点必为，根据此时抛物线的对称轴，可判断出间的距离；当点横坐标最大时，抛物线顶点为，再根据此时抛物线的对称轴及的长，可判断出点横坐标最大值．
【详解】解：当点横坐标为时，抛物线顶点为，对称轴为，
此时点横坐标为，则，
当抛物线顶点为时，抛物线对称轴为，且，故，，
由于此时点横坐标最大，
故点的横坐标最大值为．
故答案为：．
15．(1)，；
(2)或
【分析】代入n和m的值，得到抛物线，当时，即可得到答案；
分四种情况讨论，得到关于m的不等式，解不等式即可．
本题考查二次函数的性质，二次函数上的点的特征，熟练掌握对称轴公式以及分类讨论思想的运用是解本题的关键；确定a的范围是本题的难点．
【详解】（1）解：当，时，抛物线为，
当时，，
解得，，
抛物线与x轴的两个交点的坐标为，．
（2）解：当时，抛物线，
则该抛物线的对称轴为，
①当时，则，
则，
解得，
②当时，则，
则，
解得m的值不存在；
③当时，且满足，则，
，
解得，
④当时，且满足，则，
解得m的值不存在；
综上，m的取值范围为：或
16．(1)
(2)当每箱售价定为元时，每天销售的利润最大，最大利润是元
【分析】本题考查了二次函数与一次函数在实际生活中的应用，求函数的最值时，注意自变量的取值范围，正确列出函数关系是解题的关键．
（1）根据题意列出函数解析式即可；
（2）根据题意得到，然后根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】（1）解：根据题意得，；
即每天的销售量（箱）与每箱售价（元）之间的函数关系式为；
（2）解：根据题意得
，
，且，
当时，w有最大值，．
故当每箱售价定为元时，每天销售的利润最大，最大利润是元．
17．(1)
(2)
(3)或．
【分析】（1）把点代入求出m的值，从而确定二次函数解析式，进而求出顶点P的坐标；
（2）先由函数解析式得出顶点坐标为．再结合已知条件可知，可得：再建立方程求解即可；
（3）由可知，定点H的坐标为，过点作，交射线于点，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，则可证．得点的坐标为或．然后进行分类讨论即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，
∴，
解得．
∴抛物线的解析式为．
∵，
∴顶点的坐标为．
（2）解：抛物线的顶点的坐标为．
由点在轴正半轴上，点在轴下方，，知点在第四象限．
记抛物线的对称轴与轴的交点为，
则，
∵顶点的坐标为，
∴，
解得：，（舍去） ；
（3）解：由可知，
当时，无论取何值，，
得点的坐标为．
过点作，交射线于点，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，则．
∵，
，
∴，
∴，
∵ ，
∴．
∴．
∴，．
∴点的坐标为，
设直线为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为．
∵点在直线上，
∴，
整理得：，
解得：，，
当时，点与点重合，不符合题意，
∴．
如图，同理可得：，
同理可得直线的解析式为．
∵点在直线上，
∴，
整理得：，
解得（舍），．
∴．
综上，或．
【点睛】本题属于二次函数的综合题．涉及全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的应用，一元二次方程的解法，计算量特别大，难度大，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
18．(1)
(2)是直角三角形，理由见解析
【分析】本题考查了求二次函数解析式，二次函数与坐标轴交点，勾股定理及其逆定理，求出二次函数表达式是解题关键．
（1）根据顶点坐标设二次函数顶点式，再将点代入求出的值，即可求解；
（2）先求出点坐标，再根据勾股定理及其逆定理得出，即可求解．
【详解】（1）解：顶点D的坐标为，
设二次函数顶点式，
将点代入得：，
解得：，
二次函数的表达式为；
（2）解：是直角三角形，理由如下：
当时，，
，
，，
，，，
，
，
是直角三角形．
19．(1)
(2)42米
(3)小智的说法不正确，理由见解析
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
（1）先求出的值，设设抛物线的解析式，根据待定系数法求解即可；
（2）先求出点的横坐标，代入解析式求解即可；
（3）求出的一半，代入解析式，求解分析即可．
【详解】（1）解：（1），
，
已知，设抛物线的解析式为，
将点代入解析式，得，
解得，
故抛物线的解析式为．
（2）解：由题知，，
，
点的横坐标为70，
将代入，得
，
∴系杆的长度为42米．
（3）解：小智的说法不正确，理由如下：
设存在一根系杆的长度是的一半，即28米，
将代入，解得．
相邻系杆之间的间距均为5米，
每根系杆上的点的横坐标均为整数，
与实际不符，
不存在一根系杆的长度恰好是长度的一半．
20．(1)该抛物线的解析式为
(2)
(3)①；②当或时，抛物线在四边形内部的点的纵坐标随的增大而增大或随的增大而减小
【分析】（1）把点和代入二次函数解析式进行求解即可；
（2）由（1）可知抛物线解析式为，则对称轴为直线，设点，由题意可知：当时，总有，然后根据二次函数的增减性可分类进行求解；
（3）①由题意可知：，则有，，，然后可建立方程进行求解；
②由题意可分当时，当时，即，当时，即，然后画出函数图象可进行求解．
【详解】（1）解：由题意得：
，
解得：，
∴该抛物线的解析式为；
（2）解：由（1）可知抛物线解析式为，则对称轴为直线，
设点，由题意可知：当时，总有，
当时，即，点P、A、Q、B、M都在对称轴的左侧，满足题意；
当时，则点P、A、Q、B、M都在对称轴的右侧，不满足题意；
当，即，则点P、A、Q在对称轴左侧，B、M在对称轴的右侧，若要满足，则需满足，
∵，，
∴，
由此可知不一定满足；
综上所述：；
故答案为；
（3）解：①由题意可知：
，
∴，，
，
∵的面积是的面积的2倍，
∴，
解得：；
②当时，如图所示：
符合题意；
当时，即，如图所示：
不符合题意；
当时，即，如图所示：
符合题意；
综上所述：当或时，抛物线在四边形内部的点的纵坐标随的增大而增大或随的增大而减小
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
21．(1)
(2)最大值为，此时
(3)
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，一次函数的图形与性质，轴对称的性质，垂线段，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称求最短距离，垂线段最短，相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
（1）利用二次函数的交点式和待定系数法即可求解；
（2）直线的关系式为，过点作轴于点，交于点，设点的坐标为，则，表示出，利用表示出面积，再利用二次函数图象的性质求解即可；
（3）作点关于直线的对称点，求出点的坐标，过点作直线的垂线，垂足为，交直线于点，此时，根据垂线段最短知，的最小值为的长，过点作轴，交直线于点，求出直线的表达式，则可得点的坐标，再利用，求出即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：当时，，
∴，
设直线的关系式为，
将，代入，
得，
解得：，
∴直线的关系式为，
如图，过点作轴于点，交于点，
由题设点的坐标为，
则，
∴，
∴，
∵，，
∴当时，取得最大值，
此时，
则最大值为，此时点的坐标为；
（3）解：抛物线的对称轴为直线，
作点关于直线的对称点，
∵点的坐标为，
∴点的坐标为，
如图，过点作直线的垂线，垂足为，交直线于点，
此时，根据垂线段最短知，的最小值为的长，
如图，过点作轴，交直线于点，
∵点是点关于轴的对称点，
∴，
设直线的表达式为，
把代入，得，
∴，
∴直线的表达式为，
则点的坐标为，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵轴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴的最小值为．
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