第一章 空间向量与立体几何 单元小结课教学设计（表格式）
文档属性
| 名称 | 第一章 空间向量与立体几何 单元小结课教学设计（表格式） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 570.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-04-10 10:30:25 | ||
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文档简介
教学设计
题目 空间向量与立体几何单元小结 学时 1 第 1课时
一、 内容和内容解析 内容 通过两个具体实例，让学生在解决问题的过程中梳理向量学习的一般路径与基本方法，熟练空间向量的运算，从而能利用空间向量解决简单的立体几何问题，构建空间向量的知识框架。
内容解析 在利用向量法、综合法、坐标法从不同角度解决同一问题的过程中，让学生体会向量法的优势，感悟向量及其运算在解决立体几何问题中的作用，感悟向量是研究几何问题的有效工具。
二、学情分析 通过必修中“立体几何初步”的学习，学生对于距离和夹角有了一定的认识，但缺乏整体性、系统性；通过本章三个单元的学习，学生已经可以利用空间向量解决一些简单的立体几何问题，但学生对空间向量的学习路径与研究方法不够清晰，基本知识的框架结构不够完善，还不能熟练地运用空间向量解决立体几何中的综合问题。通过本节的学习帮助学生形成空间向量知识的基本框架，提升学生解决实际问题的能力。
三、 目标和目标解析 目标 梳理向量学习的一般路径与基本方法，能够熟练应用向量法解决立体几何问题，体会向量法在解决立体几何问题中的优势，构建空间向量的知识框架。
目标解析 通过不同数学问题的解决，在教师的引导下，学生归纳出向量学习的一般路径：概念→运算→基本定理→应用，再现用空间向量解决空间几何的“三步曲”；通过向量法、综合法、坐标法从不同角度解决立体几何问题，体会向量法的优势，感悟向量及其运算在解决立体几何问题中的作用，形成空间向量知识的基本框架。
教学重点 通过向量法、综合法、坐标法从不同角度解决立体几何问题，体会向量法的优势，感悟向量及其运算在解决立体几何问题中的作用，形成空间向量知识的基本框架。
教学难点 熟练运用空间向量解决立体几何中的综合问题。
四、教学方法分析 借助具体的实例，在逐步解决问题的过程中，不断地思考与总结，进而形成空间向量的基本知识体系，完善对知识的认知，提高学生运用空间向量解决实际问题的能力。
五、 教学过程设计 教师活动与数学问题 问题或任务与学生学习活动 设计意图或评价目标
环 节 一 内容1： 在正四棱台中，，，， 如何表示向量 ？ 求向量 的模长。 教学情境1： 在教师的引导下，学生提出解决问题的方法，概括所需的知识并解决问题。 解决问题（1）： 解：在正四棱台中，因为，，， ，，， 所以，， ，，，， 因此， 解决问题（2）： ． 学习任务1： 如何表示向量 ？ 学生活动1： 问题呈现后，让学生在思考后叙述利用空间向量基本定理来表示任一向量的具体做法，并完成任务。 学习任务2： 借助空间向量的基本运算求解向量 的模长。 追问1：解决上一个问题时我们用到了哪些知识点？ 学生作答： 设计意图1: 借助对问题的思考让学生回顾空间向量的基本概念及空间向量基本定理的核心思想； 评价目标1： 学生能否熟练运用空间向量基本定理表示空间中的任一向量； 设计意图2: 在完成任务1的基础上让学生继续思考，可以继续利用空间向量的数量积等基本运算得到。 评价目标2： 学生能否熟练掌握并应用空间向量的基本运算。
环 节 二 内容2： 直三棱柱中，，，，为中点，为中点，为中点． 求证：平面； 求直线与平面的正弦值； 求平面与平面夹角的余弦值． 教学情境2. 在教师的引导下，由学生自主分析解决问题，并总结利用空间向量解决实际问题的思路和具体做法。 解决问题2： 解：证明：取的中点，连接，，又为中点，为中点，为中点， ，， 又平面，平面， 平面， 同理可得，平面， 又， 平面平面， 平面， 在直三棱柱中，，则可建立如图所示的空间直角坐标系， 又，为中点，为中点，为中点． 故B，，，，， 则，，， 设是平面的法向量，则有：，，即，令，则，， 所以， 设直线与平面的夹角为，则， ， 则， 设平面的法向量为，则有，， 即，令，则，，故， 设平面与平面的夹角为， 所以． 学习任务1： 求证：平面； 学生活动1： 学生指出利用空间向量确定线面关系的基本方法与路径，从而实现问题（1）的解决； 追问2：解决上一个问题的过程中我们运用了哪些知识？ 学生作答： 学习任务2： 求直线与平面的正弦值； 学习任务3： 求平面与平面夹角的余弦值. 追问3：解决上一个问题的过程中我们运用了所学的哪些知识并形成框架？ 学生作答： 设计意图1: 借助问题的提出让学生复习利用空间向量表示和描述空间中点、线、面的位置关系的基本方法； 评价目标1： 关注学生能否熟练地运用空间向量描述空间中点、线、面的位置关系 设计意图2： 通过问题的解决让学生能熟练应用空间向量这一有利工具，经过计算解决空间中的线面角、二面角的大小等实际问题。 评价目标2： 关注学生能否熟练地应用空间向量的运算，并将计算结果翻译成正确的空间几何关系。
小结： 通过以上的课堂实践让学生形成向量知识基本框架。
环 节 三 内容3：形成空间向量知识的基本框架 学生作答： 设计意图： 让学生通过本小节的学习形成向量知识的基本框架，从而提升学生解决实际问题的能力。 评价目标： 学生能否自主的构建出正确的知识框架图。
课堂小结 通过以上实践活动引导学生形成利用向量解决一类问题的一般思路，构建向量知识基本框架，提升学生利用空间向量解决实际问题的能力。
六、目标检测与作业设计 目标检测1： 如图，在平行六面体中，为的中点，，则 若该六面体的棱长都为，，则 解：在平行六面体中，为的中点， 则 ，所以 该六面体的棱长都为，， 则， 所以． 目标检测2： 如图，在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点． 求证：平面； 求直线与平面所成角的正弦值； 求二面角的正弦值． 解： （1）证明：以点为坐标原点，建立空间直角坐系如图所示，则，，， 故设平面的法向量为， 则， 即， 令，则，，故， 又，，所以， 则，又平面，故平面； 解： 由可知，， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为； 解： 由可知，， 设平面的法向量为， 则， 即， 令，则， 故， 所以， 故二面角的正弦值为． 目标检测1设计意图： 检测学生能否熟练地运用空间向量的基本定理及空间向量的基本运算解决简单的立体几何问题。 目标检测2设计意图： 检测学生能否熟练地运用空间向量这一有利工具研究并解决立体几何中出现的角度、距离等实际问题，体现学生综合能力的提升。
七、 板书设计 内容1： 在正四棱台中，，，， 如何表示向量 ？ （2）求向量 的模长。 内容2：直三棱柱中，，，，为中点，为中点，为中点． 求证：平面； 求直线与平面的正弦值； 求平面与平面夹角的余弦值． 课堂小结： 通过以上实践活动引导学生形成利用向量解决一类问题的一般思路，构建向量知识基本框架，提升学生利用空间向量解决实际问题的能力。
八、 反思 结合目标检测效果指导下一步的教学实践。
题目 空间向量与立体几何单元小结 学时 1 第 1课时
一、 内容和内容解析 内容 通过两个具体实例，让学生在解决问题的过程中梳理向量学习的一般路径与基本方法，熟练空间向量的运算，从而能利用空间向量解决简单的立体几何问题，构建空间向量的知识框架。
内容解析 在利用向量法、综合法、坐标法从不同角度解决同一问题的过程中，让学生体会向量法的优势，感悟向量及其运算在解决立体几何问题中的作用，感悟向量是研究几何问题的有效工具。
二、学情分析 通过必修中“立体几何初步”的学习，学生对于距离和夹角有了一定的认识，但缺乏整体性、系统性；通过本章三个单元的学习，学生已经可以利用空间向量解决一些简单的立体几何问题，但学生对空间向量的学习路径与研究方法不够清晰，基本知识的框架结构不够完善，还不能熟练地运用空间向量解决立体几何中的综合问题。通过本节的学习帮助学生形成空间向量知识的基本框架，提升学生解决实际问题的能力。
三、 目标和目标解析 目标 梳理向量学习的一般路径与基本方法，能够熟练应用向量法解决立体几何问题，体会向量法在解决立体几何问题中的优势，构建空间向量的知识框架。
目标解析 通过不同数学问题的解决，在教师的引导下，学生归纳出向量学习的一般路径：概念→运算→基本定理→应用，再现用空间向量解决空间几何的“三步曲”；通过向量法、综合法、坐标法从不同角度解决立体几何问题，体会向量法的优势，感悟向量及其运算在解决立体几何问题中的作用，形成空间向量知识的基本框架。
教学重点 通过向量法、综合法、坐标法从不同角度解决立体几何问题，体会向量法的优势，感悟向量及其运算在解决立体几何问题中的作用，形成空间向量知识的基本框架。
教学难点 熟练运用空间向量解决立体几何中的综合问题。
四、教学方法分析 借助具体的实例，在逐步解决问题的过程中，不断地思考与总结，进而形成空间向量的基本知识体系，完善对知识的认知，提高学生运用空间向量解决实际问题的能力。
五、 教学过程设计 教师活动与数学问题 问题或任务与学生学习活动 设计意图或评价目标
环 节 一 内容1： 在正四棱台中，，，， 如何表示向量 ？ 求向量 的模长。 教学情境1： 在教师的引导下，学生提出解决问题的方法，概括所需的知识并解决问题。 解决问题（1）： 解：在正四棱台中，因为，，， ，，， 所以，， ，，，， 因此， 解决问题（2）： ． 学习任务1： 如何表示向量 ？ 学生活动1： 问题呈现后，让学生在思考后叙述利用空间向量基本定理来表示任一向量的具体做法，并完成任务。 学习任务2： 借助空间向量的基本运算求解向量 的模长。 追问1：解决上一个问题时我们用到了哪些知识点？ 学生作答： 设计意图1: 借助对问题的思考让学生回顾空间向量的基本概念及空间向量基本定理的核心思想； 评价目标1： 学生能否熟练运用空间向量基本定理表示空间中的任一向量； 设计意图2: 在完成任务1的基础上让学生继续思考，可以继续利用空间向量的数量积等基本运算得到。 评价目标2： 学生能否熟练掌握并应用空间向量的基本运算。
环 节 二 内容2： 直三棱柱中，，，，为中点，为中点，为中点． 求证：平面； 求直线与平面的正弦值； 求平面与平面夹角的余弦值． 教学情境2. 在教师的引导下，由学生自主分析解决问题，并总结利用空间向量解决实际问题的思路和具体做法。 解决问题2： 解：证明：取的中点，连接，，又为中点，为中点，为中点， ，， 又平面，平面， 平面， 同理可得，平面， 又， 平面平面， 平面， 在直三棱柱中，，则可建立如图所示的空间直角坐标系， 又，为中点，为中点，为中点． 故B，，，，， 则，，， 设是平面的法向量，则有：，，即，令，则，， 所以， 设直线与平面的夹角为，则， ， 则， 设平面的法向量为，则有，， 即，令，则，，故， 设平面与平面的夹角为， 所以． 学习任务1： 求证：平面； 学生活动1： 学生指出利用空间向量确定线面关系的基本方法与路径，从而实现问题（1）的解决； 追问2：解决上一个问题的过程中我们运用了哪些知识？ 学生作答： 学习任务2： 求直线与平面的正弦值； 学习任务3： 求平面与平面夹角的余弦值. 追问3：解决上一个问题的过程中我们运用了所学的哪些知识并形成框架？ 学生作答： 设计意图1: 借助问题的提出让学生复习利用空间向量表示和描述空间中点、线、面的位置关系的基本方法； 评价目标1： 关注学生能否熟练地运用空间向量描述空间中点、线、面的位置关系 设计意图2： 通过问题的解决让学生能熟练应用空间向量这一有利工具，经过计算解决空间中的线面角、二面角的大小等实际问题。 评价目标2： 关注学生能否熟练地应用空间向量的运算，并将计算结果翻译成正确的空间几何关系。
小结： 通过以上的课堂实践让学生形成向量知识基本框架。
环 节 三 内容3：形成空间向量知识的基本框架 学生作答： 设计意图： 让学生通过本小节的学习形成向量知识的基本框架，从而提升学生解决实际问题的能力。 评价目标： 学生能否自主的构建出正确的知识框架图。
课堂小结 通过以上实践活动引导学生形成利用向量解决一类问题的一般思路，构建向量知识基本框架，提升学生利用空间向量解决实际问题的能力。
六、目标检测与作业设计 目标检测1： 如图，在平行六面体中，为的中点，，则 若该六面体的棱长都为，，则 解：在平行六面体中，为的中点， 则 ，所以 该六面体的棱长都为，， 则， 所以． 目标检测2： 如图，在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点． 求证：平面； 求直线与平面所成角的正弦值； 求二面角的正弦值． 解： （1）证明：以点为坐标原点，建立空间直角坐系如图所示，则，，， 故设平面的法向量为， 则， 即， 令，则，，故， 又，，所以， 则，又平面，故平面； 解： 由可知，， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为； 解： 由可知，， 设平面的法向量为， 则， 即， 令，则， 故， 所以， 故二面角的正弦值为． 目标检测1设计意图： 检测学生能否熟练地运用空间向量的基本定理及空间向量的基本运算解决简单的立体几何问题。 目标检测2设计意图： 检测学生能否熟练地运用空间向量这一有利工具研究并解决立体几何中出现的角度、距离等实际问题，体现学生综合能力的提升。
七、 板书设计 内容1： 在正四棱台中，，，， 如何表示向量 ？ （2）求向量 的模长。 内容2：直三棱柱中，，，，为中点，为中点，为中点． 求证：平面； 求直线与平面的正弦值； 求平面与平面夹角的余弦值． 课堂小结： 通过以上实践活动引导学生形成利用向量解决一类问题的一般思路，构建向量知识基本框架，提升学生利用空间向量解决实际问题的能力。
八、 反思 结合目标检测效果指导下一步的教学实践。