2025届北京市海淀区高三一模数学试题（PDF版，含答案）

2025 北京海淀高三一模
数 学
2025.04
本试卷共 6页，150分。考试时长 120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试
结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(选择题共 40 分)
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)已知集合U = x | x 1 , A = x | x 2 ,则 =
(A) ( , 2) (B) ( , 1) (1,2
(C) ( , 2 (D) ( , 1) (1,2)
(2)在复平面内，复数 = 2 + 3对应的点的坐标为
(A) (1,1) (B) (1, 1)
(C) ( 1,1) (D) ( 1, 1)
(3)函数 ( ) = 2 1 + 1( > 0)的图象一定经过点
1 1
(A) ( , 2) (B) ( , 1)
2 2
(C) (0, 2) (D) (0,1)
(4)已知直线 y = ax + b 经过圆 2 + 2 + 2 = 0的圆心，则 2 + 的最小值为
1
(A)-1 (B)
4
(C)0 (D)1
lg2+lg5
(5)已知四个数 = , = √lg2 lg5, = lg2, = lg5,其中最小的是
2
(A)a (B)b
(C)c (D)d
3
(6)已知抛物线 C： 2 = 2 ( > 0)的焦点为 F，点 ( ,
2 0
)在 C 上,|MF|=2,则(∣ 0 ∣=
(A)1 (B)√2
(C)√3 (D)2
(7)已知 A 纸的长宽比约为√2: 1.现将一张 A 纸卷成一个圆柱的侧面(无重叠部分).当该圆柱的高等于 A 纸的
长时，设其体积为 V ，轴截面的面积为 1;当该圆柱的高等于 4纸的宽时，设其体积为 V ，轴截面的面积
为 S ，则
(A) 1 = 2, 1 = 2 (B) 1 ≠ 2, 1 = 2
(C) 1 = 2, 1 ≠ 2 (D) 1 ≠ 2, 1 ≠ 2
(8)已知 a {b }n 是公差为 d的等差数列， n 是公比为 q的等比数列.若 0第1页/共5页
的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
(9)已知函数 = √3sin( + )(ω > 0) 的部分图象如图所示.若 A，B，C，D 四点在同一个圆上，则 ω=
1
(A)1 (B)
2

(C)π (D)
2

(10)对于无穷数列 an 和正整数 k (k 2) ,若存在 n1,n2 , ,nk 满足 1 < 2 < < 且 1 = 2 = = 1 2
,则称数列 an 具有性质 P k .下列选项中错误的是
(A)若 2 = ,则数列 a 不具有性质 P n
(B)若 = 1 + cos( ),则数列 an 具有性质 P2025
(C)存在数列 a 和{bn}n ,使得 a 和{bn}n 均不具有性质 2,且{ + }具有性质 2025
(D)若数列 an 和{bn}均具有性质 P { }2025 ,则 + 具有性质 P2025
第二部分(非选择题共 110 分)
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
(11)已知( 2)4 = 4
4 + 3
3 + 22 + 1 + 0,则 4 + 3 = ___________________.
2 2
(12)已知双曲线 2 2 = 1的一条渐近线的方程为 y=2x，则该双曲线的离心率为___________.
(13)已知向量 a = (2,0) , b =1 ,则 a + b 的最大值为_______________; a + b 与 a 的夹角的取值范围是
___________.
2 x2 , x 1,

(14)已知函数 f (x) = 1 (a 0且a 1) .若 f ( x)的值域为 ( , 2] 则 a 的一个取值为
loga ( ax + 3), x 1
2
___________；若 f ( x)的值域为 R，则a的取值范围是__________________.
(15)如图所示，某游乐场有一款游乐设施，该设施由转轮 A 和转轮 B 组成，B 的圆心固定在转轮 A 上的点
Q 处，某个座椅固定在转轮 B 上的点 M 处.A 的半径为 10 米，B 的半径为 5 米，A 的圆心 P 距离地面竖直
高度为 20 米.游乐设施运行过程中，A 与 B 分别绕各自的圆心逆时针方向匀速旋转，A 旋转一周用时 π 分
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钟，B 旋转一周用时 分钟.当 Q 在 P 正下方且 M 在 Q 正下方时，开始计
2
时，设在第 t 分钟 M 距离地面的竖直高度为 h(t)米.给出下列四个结论：

① ( ) = 25;
4
② h (t )最大值是 35;
③M 在竖直方向上的速度大小低于 40 米/分钟；
④存在 t0 (0, ) 使得 = 0时 M 到 P 的距离等于 15 米.其中所有正确结论的序号为_____________.
三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
(16)(本小题 13 分)
如图，五面体 ABCDEF中，四边形 ABCD是正方形.
(Ⅰ)求证:EF∥CB;
1
(Ⅱ)若平面 ABCD⊥平面 ABF,AB=AF= EF=1,BF=√2,
2
求直线 DE与平面 BCEF所成角的大小.
(17)(本小题 13 分)
在△ 中，已知2 sin = 3√3(1 cos2 ), = 2√6.
(Ⅰ)求 sinB的值;
(Ⅱ)若∠ 为锐角，再从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ 存在且唯一，
求△ 的面积.
条件①:c=5;
√6
条件②：cos = ;
3
条件③： sin = √3.
注：如果选择的条件不符合要求，第(Ⅱ)问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答
计分.
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(18)(本小题 14 分)
某工厂有一组型号相同的设备，在日常维护中发现部分设备有发热的情况，经过查阅历史数据，发现设备
是否发热与设备状态(完好或损坏)有较强的相关性，从发热和未发热情况的数据中各自随机抽取 1000 条数
据，整理如下图所示：
日常维护时，对单台设备有三种可能的操作：保留观察、停机更换或检查维修，对单台设备的不同状态，
这三种操作给工厂带来的经济损失如下(单位：千元)：
操作
经济损失 保留观察 停机更换 检查维修
设备状态
完好 0 10 5
损坏 12 5 7
假设用频率估计概率，且各设备之间的状态相互独立.
(Ⅰ)已知某设备未出现发热情况，试估计该设备损坏的概率；
(Ⅱ)该工厂现有 2 台设备出现发热情况，准备对这 2 台设备都进行检查维修.记检查维修这 2 台设备给工厂带
来的总经济损失为 X 千元，求 X 的分布列和数学期望 EX；
(Ⅲ)该工厂的某车间现有 2 台设备，维护时发现其中一台出现发热情况，另一台未出现发热情况.下面有三
种维护这 2 台设备的操作方案：
发热情况
操作方案 发热 未发热
编号
① 检查维修 保留观察
② 停机更换 检查维修
③ 停机更换 保留观察
直接写出使得工厂总经济损失的期望最小的方案的编号.
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(19)(本小题 15 分)
2 2
已知椭圆 W： 2 + 2 = 1( > > 0),A，B 分别是 W 的左、右顶点，C 是 W 的上顶点.△ 的面积为 2，
且∣ ∣= √5.
(Ⅰ)求椭圆 W 的方程及长轴长；
(Ⅱ)已知点M (2,1) ,点 P在直线 AC上,设直线 PM与 x轴交于点 E,直线 BP与直线 EC交于点 Q，判断点 Q
是否在椭圆 W上，并说明理由.
(20)(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = sin + .
(Ⅰ)若曲线 y = f (x)在点 (0, f (0)) 3处的切线为 = ,求 k的值；
2
(Ⅱ)若 f ( x)为 R上的单调函数，求 k的取值范围；

(Ⅲ)若函数 ( ) = 3 + + sin ,求证：k 可以取无数个值，使得每一个 k 的取值 g ( x)都恰有三个不同的
6
零点.
(21)(本小题 15 分)
设正整数 ≥ 2,对于数列 : 1, 2, , ,定义变换T，T将数列A变换成数列T (A) : a1a2 ,a2a3, ,an 1an ,ana1 .
已知数列 A0 : a1,a2 , ,an 满足 ai { 1,1}(i =1,2, ,n) .记 +1 = ( ).(k=0,1,2,···)
(Ⅰ)若 0: 1,1,1,写出数列 1, 2;
(Ⅱ)若 n为奇数且 A0 不是常数列，求证：对任意正整数 k， 都不是常数列；
(Ⅲ)求证：当且仅当 = 2 ( ∈ )时，对任意 0,都存在正整数 k，使得 为常数列.
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海淀区 2024—2025 学年第二学期期中练习
2025.04
高三数学参考答案
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
（1）D （2）D （3）A （4）B （5）C
（6）C （7）B （8）D （9）D （10）D
二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
5 π
（ 11 ） 7 （12） （13）3，[0, ]
2 6
1
（14） （答案不唯一，只需满足 0 a 1），[2,+ ) （15）①③
2
三、解答题（共 6 小题，共 85 分）
（16）（本小题 13 分）
解：（Ⅰ）由四边形 ABCD是正方形，可得 BC / /AD .
又因为 BC 平面 ADEF ， AD 平面 ADEF ，
所以 BC //平面 ADEF .
又因为 BC 平面 BCEF ，平面 BCEF 平面 ADEF = EF ，
所以 BC / / EF .
（Ⅱ）由四边形 ABCD是正方形，可得 AD ⊥ AB .
又因为平面 ABCD ⊥平面 ABF ，
所以 AD ⊥平面 ABF .
所以 AD ⊥ AF . z
在△ABF 中，因为 AB = AF =1， BF = 2 ， B
C
所以 AB2 + AF 2 = BF 2 ，
由勾股定理逆定理得 AB ⊥ AF
A F y
如图，建立空间直角坐标系 A xyz ，
D
由已知可得 A(0,0,0) ， D(1,0,0)， F(0,1,0)，
E
x
高三年级（数学）参考答案 第 1 页（共 9 页）
E(2,1,0) ， B(0,0,1)，C(1,0,1) .
所以，DE = (1,1,0) ， BC = (1,0,0) ，BF = (0,1, 1)，
BC n = 0,
设平面 BCEF 的一个法向量为n = (x, y, z)，则
BF n = 0,
x = 0,
所以 取 y =1，得 x = 0 ， z =1.
y z = 0.
所以n = (0,1,1) ，
设直线 DF 与平面 BCEF 所成角为 ，
DE n 1 DE n 1
则 sin =| cos DE,n |= = cos DE,n = = .
| DE | | n | 2 | DE | | n | 2
π
又因为 为锐角，所以 = .
6
（17）（本小题 14分）
解：（Ⅰ）因为 cos2A=1 2sin2 A，
故由 2asin A=3 3(1 cos2A) 可得 2asin A = 6 3sin2 A，
a
因为 A (0, ) ， sin A 0，所以 = 3 3 ，
sin A
a b b
在△ ABC 中，由正弦定理 = ,所以 = 3 3 ,
sin A sin B sin B
2 6 2 2
因为b = 2 6 ，所以 sin B = = .
3 3 3
（Ⅱ）选条件②解答如下：
6 3
因为 cos A = ， A (0, ) ，所以 sin A = 1 cos2 A = ，
3 3
2 2 1
因为 sin B = ， B为锐角，所以 cos B = 1 sin2 B = ,
3 3
又因为 A+ B +C = ，
3 1 6 2 2 5 3
所以 sinC = sin(A+ B) = sin Acos B + cos Asin B = + = ,
3 3 3 3 9
高三年级（数学）参考答案 第 2 页（共 9 页）
a b c
在△ ABC 中，由正弦定理 = = = 3 3 ,
sin A sin B sinC
所以 c = 3 3sinC = 5 (或者 a = 3 )
3
又因为 sin A = ，b = 2 6
3
1 1 3
所以△ ABC 的面积 S = bcsin A = 2 6 5 = 5 2 .
2 2 3
选条件③解答如下：
a
由（Ⅰ）， = 3 3 ，且 asin A = 3，
sin A
3
解得 a = 3 ， sin A = ,
3

因为 a = 3 2 6 = b，所以 A B ,
2
2 6所以 cos A 0 ， cos A = 1 sin A = ,
3
2 2 1
因为 sin B = ， B为锐角，所以 cos B 0 ， cos B = 1 sin2 B = ,
3 3
又因为 A+ B +C = ，所以
3 1 6 2 2 5 3
sinC = sin(A+ B) = sin Acos B + cos Asin B = + = ,
3 3 3 3 9
1 1 5 3
所以△ ABC 的面积 S = absinC = 3 2 6 = 5 2 .
2 2 9
（18）（本小题 13 分）
解：（Ⅰ）设“一台设备未出现发热情况时该设备损坏”为事件 A，
400 2
由图可得P(A) = = .
400+600 5
（Ⅱ） X 的取值范围为 10,12,14 ，
7
依题意，用频率估计概率，一台设备出现发热情况下损坏的概率为 .
10
高三年级（数学）参考答案 第 3 页（共 9 页）
3 3 9
P(X =10) = = ,
10 10 100
3 7 21
P(X =12) = 2 = ,
10 10 50
7 7 49
P(X =14) = = .
10 10 100
X 的分布列为：
X 10 12 14
9 21 49
P
100 50 100
9 21 49 64
所以EX =10 +12 +14 = ，
100 50 100 5
（Ⅲ）①
（19）（本小题 15 分）
a2 + b2 = 5,
a = 2,
解：（Ⅰ）由题意， 1 解得
2a b = 2, b =1.
2
x2
所以，椭圆W ： + y2 =1，其长轴长为 2a = 4 .
4
（Ⅱ）由（Ⅰ）得， A( 2,0) ，B(2,0)，C(0,1) ，
1
直线 AC 的方程为 y = x +1.
2
1
设 P(x , x +1) ，其中 x 0 ，则 0 0 0
2
① 当 x = 2 时， PM : x = 2，0 E(2,0) 与 B 重合，此时 BP与 EC 的交点Q即点 B ,
所以，Q在椭圆W 上.
高三年级（数学）参考答案 第 4 页（共 9 页）
② 当 x0 2时，
1
( x0 +1) 1 x 4
直线 PM : y 1= 2 (x 2)，即 y = 0 x .
x 2x0 2 0 4 2x0 4
4 4
令 y = 0 得， x = ，即 E( ,0).
x0 x0
1
x0 +1
直线 BP： y = 2
x0 + 2 x0 + 2(x 2) , 即 y = x .
x0 2 2x0 4 x0 2
1 0 x
直线 EC ： y = x +1, 即 y = 0 x +1.
4 4
0
x0
x 8x0
y =
0 x +1, x = ,2 2
4 x0 + 4 8x x 4
联立 解得 0 0 , 即Q( , ) .
x + 2 x + 2 x2 0 0 4 x
2 + 4 x20 0 + 4y = x . y = 0
2x
2
0 4 x0 2 x0 + 4
8x
( 0 )2
x2 + 4 x2 2 2 2 2 4 2
因为 0 + ( 0
4 2 16x0 + (x0 4) 16x0 + (x0 8x0 +16)) = = =1,
4 x20 + 4 (x
2
0 + 4)
2 x40 + 8x
2
0 +16
所以，Q在椭圆W 上.
综上，Q在椭圆W 上.
（20）（本小题 15 分）
解：（I） f '(x) = cos x+ k ，
3
因为曲线 y = f (x) 在 (0, f (0)) 处的切线方程为 y = x，
2
3 1
所以 f '(0) = 1+ k = ， 解得 k = .
2 2
3
检验： f (0) = 0，故曲线 y = f (x) 在 (0, f (0)) 处的切线方程为 y = x .…… 4分
2
（Ⅱ）因为 f (x)为R 上的单调函数，
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所以对任意 x，有 f '(x) 0；或对任意 x，有 f '(x) 0，
即 k cos x 恒成立，或 k cos x 恒成立，
所以 k 的取值范围是 ( , 1] [1,+ ) .
（Ⅲ）因为 g(x) 是奇函数，
所以只需证明： k 存在无数个取值使得 g(x) 在 (0,+ )上恰有一个零点.
k k
g '(x) = x2 +1+ cos x ，令h(x) = x2 +1+ cos x，h '(x) = kx sin x = f (x) ，
2 2
根据（Ⅱ）， k 1时，h '(x) 在 (0,+ )上是减函数.
所以，任意 x 0 ，h '(x) h '(0) = 0 ，h(x) 在 (0,+ )上是减函数.
kπ2
h(0) = 2， h(π) = 0，故存在 x0 (0,π)，h(x0) = 0 .
2
x2 x2
{存在其它取点情况，由h(x) +1+ cos x 2 可得 x 2 时， h(x) 0}
2 2
当 x变化时， g '(x), g(x)的变化情况如下表：
x 0 (0, x ) x0 (x0 ,+ ) 0
g '(x) 2 + 0
g(x) 0 ↑ 极大值 ↓
故 x (0, x0 ] 时， g(x) g(0) = 0.
k
g(π) = π3
1
+ π π3 + π 0 .
6 6
x3
{存在其它取点情况， x 0时，由g(x) + x +1可得 x 3时， g(x) 0 }
6
故存在唯一的 x (x ,π)， g(x ) = 0. 1 0 1
高三年级（数学）参考答案 第 6 页（共 9 页）
于是 k 1时， g(x) 在 (0,+ )上存在唯一的零点.
于是 k 存在无数个取值使得 g(x) 恰有三个不同的零点.
（21）（本小题 15 分）
解：（Ⅰ） A : 1,1, 1， A . 1 2 : 1, 1,1
（Ⅱ）证明：设 n = 2t 1，其中 t *N .
假设存在正整数 k ，使得 A 是常数列，由k A 不是常数列， 0
不妨设 A 不为常数列且 为常数列， 0 , A1,..., Ak 1 Ak
记 A ，则 . k 1 :b1,b2 , ,b2t 2 ,b2t 1 Ak :b1b2 ,b2b3 , ,b2t 2b2t 1,b2t 1b1
令b ， 2t = b1 b2t+1 = b2
当 i =1,2, ,2t 1时，因为bibi+1 = b b ，且 ，所以 . i+1 i+2 bi+1 { 1,1} bi = bi+2
故b1 = b3 = b5 = = b2t 1 = b2 = b4 = = b . 2t 2
此时 A 为常数列，矛盾. k 1
另法：
① 若 Ak :1,1, ,1,则b2 = b ，1 b3 = b ，2 ，b ，2t 1 = b2t 2 b1 = b ，有 2t 1
b1 = b2 = = b ， 2t 1
此时 A 为常数列，矛盾. k 1
② 若 Ak : 1, 1, , 1，则b1b2 = b2b3 = = b2n 2b = b b = 1，有 2n 1 2n 1 1
( 1)2t 1 = (b1b2 )(b2b3 ) (b
2 2 2
2t 2b2t 1)(b2t 1b1) = b1 b2 b2t 1 =1，
矛盾.
综上，对任意正整数 k ， A 都不是常数列. k
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（Ⅲ）① 首先证明，若 n = 2m (2s 1)，其中m *， s 2， s *N N ，
则存在 n 项的数列 A ，使得对任意的正整数 k ， A 都不是常数列. 0 k
证明：构造 2s 1项的数列C ：0 c1,c2 ,...,c ，其中 2s 1
c ， . 1 = c2 = = c2s 2 =1 c2s 1 = 1
构造 n 项的数列
A0 : c1,c2 ,...,c2s 1,c1,c2 ,...,c2s 1, ,c1,c ,...,c 2 2s 1
2m组c1 ,c2 ,...,c2s 1
对任意的正整数 k ，设C : d ,d ，则 k 1 2 ,...,d2s 1
A k : d1,d2 ,...,d2s 1,d1,d2 ,...,d2s 1, ,d1,d2 ,...,d2s 1
2m组d1 ,d2 ,...,d2s 1
由（Ⅱ）得，C 不是常数列，故 A 不是常数列. k k
② 其次证明：若 n = 2m ，其中m *N ，对任意 A ，都存在正整数 k ， A 是常数列. 0 k
证明：假设存在 n = 2m ，其中m *N ，使得存在数列 A ，使得对任意的正整数 k ，0 A 都不是k
常数列，不妨设m 的最小值为m . 0
情形一：m =1，则 n = 2，记0 A0 : a1,a ，则2 A1 : a1a2 ,a 为常数列，矛盾. 1a2
情形二：m 2，对任意的数列0 A0 : a1,a2 ,a3,...,an 2 ,an 1,a ，则 n
A1 : a1a2 ,a2a3 ,a3a4 ,...,an 2an 1,an 1an ,a a ，n 1 A2 : a1a3,a2a4 ,a3a5 ,...,an 2an ,an 1a1,ana . 2
记 A0 : 1, 1, 2 , 2 ,..., n , ， n
2 2
n
定义数列 E0 : ，1, 2 ,..., n F0 : ，其中
m 1
1, 2 ,..., n = 2
0 .
2
2 2
则 E1 : 1 2 , 2 3 ,..., n 1 , F1 : 1 2 , 2 3 ,..., n 1, A2 : 1 , , . 2 1 2 2 3 , 2 3 ,..., n 1, n 1
2 2 2 2
则依此类推，对任意正整数 k ，记 Ek : u1,u2 ,...,u ，n Fk : v1,v2 ,...,v ， n
2 2
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A2k :u1,v1,u2 ,v2 ,...,un ,v . n
2 2
存在正整数 k ，1 k ，使得 Ek ， Fk 为常数列，记2 k0 = max{k1,k2}， 1 2
则数列E ,F 均为常数列，设 ，则 的各项均为 . k0 k A2k : , , , ,..., , A2k +1 0 0 0
即 k = 2k +1时， A 是常数列，矛盾. 0 k
综上，当且仅当 n = 2m （m *N ）时，对任意 A ，都存在正整数 k ，使得 A 为常数列. 0 k
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