苏教版高中数学必修第二册-9.2.3 向量的数量积 同步练习（含解析）

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苏教版高中数学必修第二册-9.2.3向量的数量积-同步练习
A级 必备知识基础练
1.若p与q互为相反向量,且|p|=3,则p·q等于 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　
A.9 B.0 C.-3 D.-9
2.在等腰直角三角形ABC中,若∠C=90°,AC=,则的值等于(　　)
A.-2 B.2 C.-2 D.2
3.已知|a|=2,|b|=3,|a+b|=,则|a-b|等于(　　)
A. B.
C. D.
4.已知|a|=8,|b|=4,a与b的夹角为120°,则向量b在a上的投影向量为(　　)
A.a B.-a
C.a D.-a
5.已知平面向量a,b满足a·(a+b)=3且|a|=2,|b|=1,则向量a与b的夹角为(　　)
A. B.
C. D.
6.已知向量a,b方向相同,且|a|=2,|b|=4,则|2a+3b|等于(　　)
A.16 B.256
C.8 D.64
7.设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b等于(　　)
A.1 B.2
C.3 D.5
8.若两个单位向量a,b的夹角为120°,k∈R,则|a-kb|的最小值为(　　)
A. B. C.1 D.
9.在△ABC中,AB=6,O为△ABC的外心,则等于(　　)
A. B.6
C.12 D.18
10.设e1,e2是两个单位向量,它们的夹角为60°,则(2e1-e2)·(-3e1+2e2)=　　　　　.
11.已知a,b均为单位向量,若|a-2b|=,则向量a与b的夹角为　　　　　.
12.已知|a|=2,|b|=3,且a与b的夹角为60°,与b同向的单位向量为e,则向量a在向量b上的投影向量为　　　　　.
13.已知||=||=1,||=,则=　　　　　,||=　　　　　.
14.已知e1,e2是互相垂直的单位向量.若e1-e2与e1+λe2的夹角为60°,求实数λ的值.
15.已知|a|=1,a·b=,(a-b)·(a+b)=,求:
(1)a与b的夹角;
(2)a-b与a+b的夹角的余弦值.
B级 关键能力提升练
16.已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为(　　)
A. B. C. D.
17.在四边形ABCD中,=0,,则四边形ABCD是(　　)
A.直角梯形 B.菱形
C.矩形 D.正方形
18.如图所示,一力作用在小车上,其中力F的大小为10 N,方向与水平面成60°角,则当小车向前运动10 m时,力F做的功为(　　)
A.100 J B.50 J
C.50 J D.200 J
19.已知|b|=3,a在b上的投影向量为b,则a·b的值为(　　)
A.3 B.
C.2 D.
20.下列说法正确的是(　　)
A.向量a在向量b上的投影向量可表示为
B.若a·b<0,则a与b的夹角θ的范围是,π
C.若△ABC是等边三角形,则的夹角为60°
D.若a·b=0,则a⊥b
21.已知平面上三点A,B,C满足||=3,||=4,||=5,则的值等于(　　)
A.-7 B.7
C.25 D.-25
22.已知向量a,b的夹角为45°,且|a|=4,a+b）·(2a-3b)=12,则b在a上的投影向量为 (　　)
A.a B.2b
C.a D.2b
23.定义:|a×b|=|a||b|sin θ,其中θ为向量a与b的夹角.若|a|=2,|b|=5,a·b=-6,则|a×b|等于(　　)
A.8 B.-8
C.8或-8 D.6
24.已知平面向量a,b,|a|=2,|b|=1,则|a-b|的最大值为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.5
25.如图所示为正六边形P1P2P3P4P5P6,则下列向量的数量积中最大的是(　　)
A. B.
C. D.
26.(多选)已知a,b,c是三个非零向量,则下列命题中是真命题的有(　　)
A.|a·b|=|a||b| a∥b
B.a,b反向 a·b=-|a||b|
C.a⊥b |a+b|=|a-b|
D.|a|=|b| |a·c|=|b·c|
27.(多选)已知两个单位向量e1,e2的夹角为θ,则下列结论正确的是(　　)
A.e1在e2上的投影向量为e2cos θ
B.
C.(e1+e2)⊥(e1-e2)
D.e1·e2=1
28.(多选)已知正三角形ABC的边长为2,设=2a,=b,则下列结论正确的是(　　)
A.|a+b|=1 B.a⊥b
C.(4a+b)⊥b D.a·b=-1
29.如图所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=1,则的值是　　　　　.
30.已知在△ABC中,AB=AC=4,=8,则△ABC的形状是　　　　　,=　　　　　.
31.如图所示,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,=3=2,则=　　　　　.
32.已知|a|=|b|=2,a,b的夹角为60°,则使向量a+λb与λa+b的夹角为锐角的实数λ的取值范围是　　　　　　　　　　　　　.
33.已知非零向量a,b,满足a⊥b,且a+2b与a-2b的夹角为120°,则=　　　　　.
34.已知单位向量e1与e2的夹角为α,且cos α=,向量a=3e1-2e2与b=3e1-e2的夹角为β,求β的余弦值.
35.已知|a|=5,|b|=4,
(1)若a与b的夹角为θ=120°.
①求a·b;
②求a在b上的投影向量.
(2)若a∥b,求a·b.
C级 学科素养创新练
36.已知a,b是两个非零向量,同时满足|a|=|b|=|a-b|,求a与a+b的夹角.
37.已知平面上三个向量a,b,c的模均为1,它们相互之间的夹角均为120°.
(1)求证:(a-b)⊥c;
(2)若|ka+b+c|>1(k∈R),求k的取值范围.
参考答案与详细解析
A级 必备知识基础练
1.答案D
解析由已知得p·q=3×3×cos 180°=-9.
2.答案B
解析=||||cos∠ABC
=2××cos 45°=2.
3.答案A
解析因为|a+b|2=19,所以a2+2a·b+b2=19,
所以2a·b=19-4-9=6.
于是|a-b|=.
4.答案B
解析向量b在a上的投影向量为
|b|cos 120°=4×-=-.
5.答案C
解析设向量a与b的夹角为θ.
因为a·(a+b)=a2+a·b=4+2cos θ=3,
所以cos θ=-.又因为θ∈[0,π],
所以θ=.
6.答案A
解析方法一　∵|2a+3b|2=4a2+9b2+12a·b=16+144+96=256,∴|2a+3b|=16.
方法二　由题意知2a=b,
∴|2a+3b|=|4b|=4|b|=16.
7.答案A
解析|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=10, ①
|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=6, ②
由①-②得4a·b=4,∴a·b=1.
8.答案B
解析∵单位向量a,b的夹角为120°,
∴a·b=|a||b|cos 120°=-,
则|a-kb|2=a2-2ka·b+k2b2=1+k+k2=,可得当k=-时,|a-kb|的最小值为.
9.答案D
解析
如图,过点O作OD⊥AB于D,
可知AD=AB=3,
则=()·=3×6+0=18.
10.答案-
解析∵e1·e2=|e1||e2|cos 60°=,∴(2e1-e2)·(-3e1+2e2)=-6+7e1·e2-2=-.
11.答案
解析由|a-2b|=,得(a-2b)2=3,
即a2+4b2-4a·b=3,设单位向量a与b的夹角为θ,
则有1+4-4cos θ=3,解得cos θ=.
又θ∈[0,π],所以θ=.
12.答案e
解析设a与b的夹角为θ,a在b上的投影向量为|a|ecos θ=2×e=e.
13.答案-　1
解析由||=||=1,||=,可知以向量为邻边的平行四边形是菱形,的夹角为,
∴=||||cos =-,||==1.
14.解因为,
所以,解得λ=.
15.解(1)∵(a-b)·(a+b)=|a|2-|b|2=,
又|a|=1,∴|b|2=,∴|b|=.
设a与b的夹角为θ,则cos θ=.
∵0°≤θ≤180°,∴θ=45°,
∴a与b的夹角为45°.
(2)|a-b|=
=,
|a+b|=
=.
设a-b与a+b的夹角为α,
则cos α=.
B级 关键能力提升练
16.答案B
解析因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a·b-b2=0,
所以a·b=b2.设a与b的夹角为θ,
则cos θ=,
所以a与b的夹角为,故选B.
17.答案C
解析由,得四边形ABCD为平行四边形.由=0,得AB⊥BC,所以四边形ABCD是矩形.
18.答案B
解析由题意,根据向量数量积的定义,可得力F做的功W=F·s=10×10cos 60°=50(J).
19.答案B
解析设a与b的夹角为θ,
∵|a|cos θb,∴|a|cos θ,
∴|a|cos θ=,
∴a·b=|a||b|cos θ=3×.
20.答案B
解析根据投影向量的定义,知A错误;∵a·b=|a||b|·cos θ<0,则cos θ<0,又0≤θ≤π,∴θ∈,π,故B正确;若△ABC是等边三角形,则的夹角为120°,故C错误;a·b=0 a⊥b或a=0或b=0,故D错误.
21.答案D
解析由题意知∠ABC=90°,∴cos C=,cos A=,
∴原式=0+4×5cos(180°-C)+5×3cos(180°-A)
=-20cos C-15cos A
=-20×-15×=-16-9=-25.
22.答案A
解析a+b·(2a-3b)=a2+a·b-3b2=|a|2+|a||b|cos 45°-3|b|2=16+|b|-3|b|2=12,
解得|b|=或|b|=-(舍去).故b在a上的投影向量为|b|cos 45°a.
23.答案A
解析cos θ==-,
∵θ∈[0,π],
∴sin θ=.
∴|a×b|=2×5×=8.
24.答案C
解析∵|a|=2,|b|=1,∴|a-b|=,
又a·b∈[-2,2],∴|a-b|∈[1,3],
∴|a-b|的最大值为3.
25.答案A
解析由于,故其数量积是0;的夹角是,故其数量积小于0;设正六边形的边长是a,则=||||cos 30°=a2,=||||cos 60°=a2.故选A.
26.答案ABC
解析因为a·b=|a||b|cos θ(θ为a与b的夹角),所以由|a·b|=|a||b|及a,b为非零向量可得|cos θ|=1,所以θ=0或π,所以a∥b且以上各步均可逆.故命题A是真命题.
若a,b反向,则a,b的夹角为π,所以a·b=|a|·|b|cos π=-|a||b|且以上各步均可逆.故命题B是真命题.
当a⊥b时,将向量a,b的起点移至同一点,则以向量a,b为邻边作平行四边形,则该平行四边形必为矩形,于是它的两对角线长相等,即有|a+b|=|a-b|.反过来,若|a+b|=|a-b|,则以a,b为邻边的四边形为矩形,所以有a⊥b.故命题C是真命题.
当|a|=|b|但a与c的夹角和b与c的夹角不等时,就有|a·c|≠|b·c|,反过来由|a·c|=|b·c|也推不出|a|=|b|.故命题D是假命题.
27.答案ABC
解析因为两个单位向量e1,e2的夹角为θ,
则|e1|=|e2|=1,则e1在e2上的投影向量为|e1|e2cos θ=e2cos θ,故A正确;
=1,故B正确;
(e1+e2)·(e1-e2)==0,
故(e1+e2)⊥(e1-e2),故C正确;
e1·e2=|e1||e2|cos θ=cos θ,故D错误.
故选ABC.
28.答案CD
解析由题意,得|a|=1,|b|=2,a与b的夹角是120°,故B错误;
∵(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=3,
∴|a+b|=,故A错误;
∵(4a+b)·b=4a·b+b2=4×1×2×cos 120°+4=0,
∴(4a+b)⊥b,故C正确;
a·b=1×2×cos 120°=-1,故D正确.
故选CD.
29.答案-1
解析方法一　=||||cos(180°-∠B)=-||||cos∠B=-||||·=-||2=-1.
方法二　||=1,即为单位向量,=-=-||||cos∠ABC,
而||cos∠ABC=||,
所以=-||2=-1.
30.答案等边三角形　-8
解析=||||cos∠BAC,
即8=4×4cos∠BAC,
于是cos∠BAC=.
因为0°<∠BAC<180°,
所以∠BAC=60°.
又AB=AC,故△ABC是等边三角形.
此时=||||cos(180°-60°)=4×4×cos 120°=-8.
31.答案22
解析由=3,得.因为=2,所以·=2,即||2-|2=2.
又||2=25,||2=64,所以=22.
32.答案(-∞,-2-)∪(-2+,1)∪(1,+∞)
解析由a+λb与λa+b的夹角为锐角,得(a+λb)·(λa+b)>0,即λa2+(λ2+1)a·b+λb2>0,
从而λ2+4λ+1>0,解得λ<-2-或λ>-2+.
当λ=1时,a+λb与λa+b同向,故λ的取值范围是(-∞,-2-)∪(-2+,1)∪(1,+∞).
33.答案
解析∵a⊥b,∴a·b=0.
又(a+2b)·(a-2b)=a2-4b2,
|a+2b|=,
|a-2b|=,
∴a2-4b2=cos 120°,
化简得a2-2b2=0,
∴.
34.解因为a2=(3e1-2e2)2=9-2×3×2×cos α+4=9,
所以|a|=3.
因为b2=(3e1-e2)2=9-2×3×1×cos α+1=8,
所以|b|=2.
又a·b=(3e1-2e2)·(3e1-e2)=9-9e1·e2+2=9-9×1×1×+2=8,
所以cos β=.
35.解(1)①a·b=|a||b|cos θ=5×4×cos 120°=-10.
②a在b上的投影向量为|a|cos θ=5×-×=-b.
(2)∵a∥b,∴a与b的夹角θ=0°或180°.
当θ=0°时,a·b=|a||b|cos 0°=20.
当θ=180°时,a·b=|a||b|cos 180°=-20.
C级 学科素养创新练
36.解根据|a|=|b|,有|a|2=|b|2,又由|b|=|a-b|,得|b|2=|a|2-2a·b+|b|2,∴a·b=|a|2.
而|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=3|a|2,
∴|a+b|=|a|.设a与a+b的夹角为θ,
则cos θ=.
∴θ=30°.
故a与a+b的夹角为30°.
37.(1)证明因为|a|=|b|=|c|=1,
且a,b,c之间的夹角均为120°,
所以(a-b)·c=a·c-b·c
=|a||c|cos 120°-|b||c|cos 120°=0,
所以(a-b)⊥c.
(2)解因为|ka+b+c|>1,所以(ka+b+c)2>1,
即k2a2+b2+c2+2ka·b+2ka·c+2b·c>1,
因为a·b=a·c=b·c=cos 120°=-,所以k2-2k>0,
解得k<0或k>2.所以实数k的取值范围为(-∞,0)∪(2,+∞).
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