第4课时 质数和合数
一、填空。
1．100以内的最大质数是( )，( )既不是质数也不是合数，( )是偶数但不是合数，一位数中既是奇数又是合数的是( )。
【答案】 97 1 2 9
【分析】一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，除了1和它本身，还有其它因数，这样的数叫做合数；1既不是质数，也不是合数；不能被2整除的数叫做奇数，能被2整除的数叫做偶数，据此解答。
【详解】100以内的最大质数是97，1既不是质数也不是合数，2是偶数但不是合数，一位数中既是奇数又是合数的是9。
2．最近，电信诈骗时有发生，我们小学生一定要牢记国家反诈中心电话，用字母表示为：ABCCD，提示：A的最大因数是9，B的所有因数有1、2、3、6，C既不是质数也不是合数，D是最小的自然数，我知道了国家反诈中心电话是( )。
【答案】96110
【分析】一个数的最大因数是它本身；除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数；用来表示物体个数的0，1，2，3，4…都叫自然数。据此确定各数即可。
【详解】A的最大因数是9，A是9，B的所有因数有1、2、3、6，B是6，C既不是质数也不是合数，C是1，D是最小的自然数，D是0，国家反诈中心电话是96110。
3.在括号里填不同的质数，不能重复。
14＝( )＋( ) 26＝( )×( )
110＝( )×( )×( ) 23＝( )＋( )＋( )。
24＝( )＋( )＝( )＋( )＝( )＋( )。
【答案】 3 11； 2 13；
2 5 11；3 7 13；
11 13 17 7 19 5
【分析】14以内的质数有2、3、5、7、11、13，判断哪两个质数相加是14即可；求26由哪两个质数相乘，26是2的倍数，26÷2＝13，则26由2和13这两个质数相乘得到。
用短除法先找出110的因数，因数有2、5、11，110＝2×5×11，2、5、11都是质数，据此解答。
【详解】由分析可知：
14＝11＋3
26＝2×13
，2、5、11都是质数，所以110＝2×5×11
23＝3＋7＋13
24＝11＋13＝17＋7＝19＋5
4.从数字卡片、、、、、中选两张卡片求和，要使和为奇数，一共有（ ）种选法。
【答案】9
【分析】所给数字卡片种，奇数有：13、81、2025；偶数有14、192、30；
奇数 + 偶数 = 奇数；
偶数 + 偶数 = 偶数；
奇数 + 奇数 = 偶数。
所以要使两个数的和为奇数，那么这两个数必须是一个奇数和一个偶数。
【详解】先选奇数，有 3 个奇数（13、81、2025），我们从中选 1 个，这就有 3 种选法。
再选偶数，有 3 个偶数（14、192、30），同样从中选 1 个，也有 3 种选法。
那把选奇数和选偶数这两步结合起来，就像我们平常搭配东西一样，每选一个奇数，都可以和 3 种不同的偶数搭配起来，一共有 3 个奇数可以选，所以总共的选法3×3＝9（种）。
5.a是20以内的质数，已知a分别加上2，8，14，26以后，和也是质数，a是（ ）或（ ）。
【答案】9
【分析】20以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19。接下来代入题目一一验证。
【解答】a = 2时，2 + 2 = 4，4不是质数，不符合条件，所以a不能是2。
当a = 3时，3 + 2 = 5，5是质数；3 + 8 = 11，11是质数；3 + 14 = 17，17是质数；3 + 26 = 29，29是质数。
经过验证，a = 3时，分别加上2、8、14、26以后得到的和都是质数，符合条件。
当a = 5时，5 + 2 = 7，7是质数；5 + 8 = 13，13是质数；5 + 14 = 19，19是质数；5 + 26 = 31，31是质数。
经过验证，a = 5时，分别加上2、8、14、26以后得到的和都是质数，符合条件。
-a = 7时，7 + 2 = 9，9不是质数，不符合条件，所以a不能是7。
a = 11时，11 + 2 = 13，13是质数；11 + 8 = 19，19是质数；11 + 14 = 25，25不是质数，不符合条件，所以a不能是11。
当a = 13时，13 + 2 = 15，15不是质数，不符合条件，所以a不能是13。
a = 17时，17 + 2 = 19，19是质数；17 + 8 = 25，25不是质数，不符合条件，所以a不能是17。
当a = 19时，19 + 2 = 21，21不是质数，不符合条件，所以a不能是19。
经过对20以内所有质数逐一进行验证，符合条件的a是3或5。
故括号内应填入3、5。
6．三个连续的奇数，用m表示其中最小的一个数，那么这三个奇数的和是( )。
【答案】3m＋6
【分析】奇数是指不能被2整除的自然数，三个连续的奇数，它们之间相差2，据此可得出答案。
【详解】根据题意得：三个连续的奇数，用m表示其中最小的一个数，则另外两个奇数分别为：m＋2，m＋4，则这三个连续奇数的和＝m＋（m＋2）＋（m＋4）＝3m＋6。
二、选一选。
1．a是不等于零的自然数，2a＋1一定是（ ）。
A．质数 B．合数 C．奇数 D．偶数
【答案】C
【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。
一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。
整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。
奇数和偶数的运算性质：偶数＋偶数＝偶数，奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数。
【详解】A．当a＝4时，2a＋1＝2×4＋1＝8＋1＝9，9是合数；原选项说法错误；
B．当a＝2时，2a＋1＝2×2＋1＝4＋1＝5，5是质数；原选项说法错误；
C．无论a是奇数，还是偶数，2a一定是偶数，因为偶数＋奇数＝奇数，所以2a＋1一定是奇数；原选项说法正确；
D．当a＝3时，2a＋1＝2×3＋1＝6＋1＝7，7是奇数；原选项说法错误。
故答案为：C
2．三个连续的非零自然数的积一定（ ）。
A．既是奇数又是合数。 B．既是偶数又是质数。
C．既是奇数又是质数。 D．既是偶数又是合数。
【答案】D
【分析】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。
自然数成奇偶排列，三个连续的非零自然数，要么是奇数、偶数、奇数，要么是偶数、奇数、偶数，奇数×偶数＝偶数，据此进行分析。
【详解】奇数×偶数×奇数＝偶数
偶数×奇数×偶数＝偶数
偶数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除，这个偶数是合数。因此三个连续的非零自然数的积一定既是偶数又是合数。
故答案为：D
3．判断下列各题的计算结果是奇数还是偶数，正确选项是（ ）。
①1□3＋69 ②a＋a＋a＋a（a为非零自然数） ③奇数－偶数 ④48－9＋25
A．式②的计算结果可能是偶数 B．无法判定式①、式②计算结果的奇偶性
C．只有式③的计算结果是奇数 D．式①中的“□”填写会影响计算结果的奇偶性
【答案】C
【分析】自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；由数的奇偶性特点可知：奇数±奇数＝偶数，偶数±偶数＝偶数，偶数±奇数＝奇数，奇数×奇数＝奇数，奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数，据此解答。
【详解】①1□3的个位是3，3是奇数，69的个位是9，9是奇数，奇数＋奇数＝偶数，□里的数不会影响计算结果；
②a＋a＋a＋a，表示4个a相加，也可以写成4×a，结果是偶数；
③奇数－偶数＝奇数；
④48－9＋25
＝39＋25
＝64
64是偶数。
所以正确选项是只有式③的计算结果是奇数。
故答案为：C
三、辨一辨。（正确的画“√”，错误的画“×”）
1．7的倍数一定是合数。( )
【答案】×
【分析】合数是指除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的自然数。
7的最小倍数是它本身7，根据质数的定义，7是质数，不是合数。
当这个倍数大于1时，比如14，14除了能被1和14整除外，还能被2和7整除，所以14是合数。
所以“7的倍数一定是合数”这句话是错误的。
故答案为：×
2．在质数中，奇数的个数比偶数多。( )
【答案】√
【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。
【详解】所有的质数中，只有2一个偶数，其他全是奇数。所以在质数中，奇数的个数比偶数多说法正确。
故答案为：√
3．6个奇数的和是偶数，6个奇数的积也是偶数。( )
【答案】×
【分析】奇数与奇数的积是奇数，奇数与偶数的积是偶数；
奇数与奇数的和是偶数，奇数与偶数的和是奇数。
【详解】由分析可知：
6个奇数的和＝（奇数＋奇数）＋（奇数＋奇数）＋（奇数＋奇数）。
所以，6个奇数的和相当于3个偶数的和，结果是偶数。
6个奇数的积＝（奇数×奇数）×（奇数×奇数）×（奇数×奇数）
所以，6个奇数的积相当于3个奇数相乘，结果仍然是奇数。
可得：6个奇数的和是偶数，6个奇数的积是奇数。
故答案为：×
4．三个自然数的和是偶数，这三个自然数中至少有一个数是偶数。( )
【答案】√
【分析】根据奇数＋奇数＝偶数，偶数＋奇数＝奇数可以知道，三个奇数相加的和一定是奇数，所以这三个自然数中必须有偶数，才能让和成为偶数，但会有两种情况：①偶数＋奇数＋奇数＝偶数；②偶数＋偶数＋偶数＝偶数。所以这三个自然数中至少有一个数是偶数。
【详解】由分析得：
三个自然数的和是偶数，这三个自然数中至少有一个数是偶数。这种说法是正确的。
故答案为：√。
【点睛】本题通过借助奇偶数运算的性质，来验证题中结论。在这个过程中，对于奇偶数运算的性质由两个数扩充到三个数，分析的难度也随之增大了。
四、数学阅读。
1．读一读下面的资料，再用加横线部分文字所表示的数填空：
《三国演义》是中国古典四大名著之一，其中有很多带有数字的精彩故事，如：桃园三结义、过五关斩六将、七擒孟获、十八路诸侯讨伐董卓等。
(1)质数有( )，偶数有( )。
(2)( )是( )的因数（每个括号里只填一个数）。
(3)既是2的倍数又是3的倍数的有( )。
(4)在判断积的奇偶性时，如果一个因数是奇数，另一个因数是偶数，它们的积是（ ）数。请你利用上面的数据举例证明你的结论：（ ）。
【答案】(1) 3、5、7 6、18
(2) 3 6
(3)6、18
(4)偶；选取“三结义”中的3作为奇数，“五关斩六将”中的6作为偶数，3×6 = 18，18是偶数，所以一个因数是奇数，另一个因数是偶数，它们的积是偶数。
【分析】（1）一个数除了1和它本身两个因数，还有其他的因数，这个数叫做合数；一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数；在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；
（2）根据因数和倍数的意义，当a×b＝c（a、b、c为非0自然数）我们说c是a和b的倍数，a和b是c的因数；
（3）2的倍数特征：个位数是0、2、4、6或8；3的倍数特征：各个数位上的数字和是3的倍数；据此解答。
（4）根据数学中奇数和偶数的运算性质可知：奇数×偶数 = 偶数，在题目所给的带有数字的故事名称中选取合适的数字，比如选取“三结义”中的3作为奇数，选取“五关斩六将”中的6作为偶数，那么3×6 = 18，18是偶数，这就很好地证明了奇数与偶数相乘，它们的积是偶数这一结论。
【详解】（1）阴影部分的数字有：3、5、6、7、18，
质数有3、5、7；
偶数有：6、18；
（2）3×6＝18
2×3＝6
所以3和6是18的因数，3是6的因数；
（3）2的倍数有：6、18，
6÷3＝2
18÷3＝6
6和18也都是3的倍数；所以既是2的倍数又是3的倍数的有6、18。
（4）在判断积的奇偶性时，如果一个因数是奇数，另一个因数是偶数，它们的积是（偶）数，举例证明为：选取“三结义”中的3作为奇数，“五关斩六将”中的6作为偶数，3×6 = 18，18是偶数，所以一个因数是奇数，另一个因数是偶数，它们的积是偶数。
2．水墨画近处写实，远处抽象，是中国绘画的代表。张爷爷在长方形纸上绘制了一幅水墨画，长和宽均为质数，并且周长是36分米。这幅水墨画的长和宽分别可能是多少分米？面积最大是多少平方分米？
【答案】可能长13分米、宽5分米，也可能长11分米、宽7分米；77平方分米
【分析】根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，则长方形周长÷2＝长＋宽，用36÷2＝18分米，求出了长与宽之和；根据除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数，据此将长宽之和拆成两个质数相加的形式，即18＝5＋13＝7＋11，确定长和宽。根据长方形面积＝长×宽，求出面积，通过比较，确定最大面积即可。
【详解】36÷2＝18分米
18＝5＋13＝7＋11
13×5＝65（平方分米）
11×7＝77（平方分米）
77＞65
答：这幅水墨画的有可能长是13分米、宽是5分米，也可能长是11分米、宽是7分米；面积最大是77平方分米。
五、数学探究。
“孪生质数猜想”是著名的数学猜想之一。在1849年，数学家阿尔方·德·波利尼亚克（AlphonsedePolignac）提出了一般的猜想：对所有自然数k，存在无穷多个素数对（p，p＋2k）。k＝1的情况就是孪生质数猜想。 “孪生质数猜想”中所说的“孪生质数”是指相差为2的两个质数，如3和5都是质数，且5－3＝2，所以3和 5就是一对孪生质数；5和7也是一对孪生质数。
（1）在下面的横线上写出50以内除了3和5，5和7以外的所有孪生质数。
_____________________________________________________
（2）如果用和表示任意一对孪生质数，那么的和一定是（ ）。（括号里填“奇数”或“偶数”）在下面写出你的想法。
【答案】（1）11和13；17和19；29和31；41和43
（2）奇数；想法见详解
【分析】（1）除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。据此找出50以内的所有质数，再找到所有相差为2的两个质数即可。
（2）整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。如果和表示任意一对孪生质数，相邻两个奇数和相邻两个偶数之间都相差2，2是质数中唯一的偶数，因此它们就都是奇数，2a是偶数，根据奇数和偶数的运算性质，偶数＋奇数＝奇数，即可得出的和是奇数还是偶数。
【详解】（1）50以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47。
除了3和5，5和7以外的所有孪生质数：11和13；17和19；29和31；41和43。
（2）如果用和表示任意一对孪生质数，那么的和一定是奇数。
想法：a和b是一对孪生质数，那么它们就都是奇数，2a就是偶数，偶数＋奇数＝奇数，所以2a＋b一定是奇数。第4课时 质数和合数
一、填空。
1．100以内的最大质数是( )，( )既不是质数也不是合数，( )是偶数但不是合数，一位数中既是奇数又是合数的是( )。
2．最近，电信诈骗时有发生，我们小学生一定要牢记国家反诈中心电话，用字母表示为：ABCCD，提示：A的最大因数是9，B的所有因数有1、2、3、6，C既不是质数也不是合数，D是最小的自然数，我知道了国家反诈中心电话是( )。
3.在括号里填不同的质数，不能重复。
14＝( )＋( ) 26＝( )×( )
110＝( )×( )×( ) 23＝( )＋( )＋( )。
24＝( )＋( )＝( )＋( )＝( )＋( )。
4.从数字卡片、、、、、中选两张卡片求和，要使和为奇数，一共有（ ）种选法。
5.a是20以内的质数，已知a分别加上2，8，14，26以后，和也是质数，a是（ ）或（ ）。
6．三个连续的奇数，用m表示其中最小的一个数，那么这三个奇数的和是( )。
二、选一选。
1．a是不等于零的自然数，2a＋1一定是（ ）。
A．质数 B．合数 C．奇数 D．偶数
2．三个连续的非零自然数的积一定（ ）。
A．既是奇数又是合数 B．既是偶数又是质数 C．既是奇数又是质数 D．既是偶数又是合数
3．判断下列各题的计算结果是奇数还是偶数，正确选项是（ ）。
①1□3＋69 ②a＋a＋a＋a（a为非零自然数） ③奇数－偶数 ④48－9＋25
A．式②的计算结果可能是偶数 B．无法判定式①、式②计算结果的奇偶性
C．只有式③的计算结果是奇数 D．式①中的“□”填写会影响计算结果的奇偶性
三、辨一辨。（正确的画“√”，错误的画“×”）
1．7的倍数一定是合数。( )
2．在质数中，奇数的个数比偶数多。( )
3．6个奇数的和是偶数，6个奇数的积也是偶数。( )
4．三个自然数的和是偶数，这三个自然数中至少有一个数是偶数。( )
四、数学阅读。
1．读一读下面的资料，再用加横线部分文字所表示的数填空：
《三国演义》是中国古典四大名著之一，其中有很多带有数字的精彩故事，如：桃园三结义、过五关斩六将、七擒孟获、十八路诸侯讨伐董卓等。
(1)质数有( )，偶数有( )。
(2)( )是( )的因数（每个括号里只填一个数）。
(3)既是2的倍数又是3的倍数的有( )。
(4)在判断积的奇偶性时，如果一个因数是奇数，另一个因数是偶数，它们的积是（ ）数。请你利用上面的数据举例证明你的结论：（ ）。
2．水墨画近处写实，远处抽象，是中国绘画的代表。张爷爷在长方形纸上绘制了一幅水墨画，长和宽均为质数，并且周长是36分米。这幅水墨画的长和宽分别可能是多少分米？面积最大是多少平方分米？
五、数学探究。
“孪生质数猜想”是著名的数学猜想之一。在1849年，数学家阿尔方·德·波利尼亚克（AlphonsedePolignac）提出了一般的猜想：对所有自然数k，存在无穷多个素数对（p，p＋2k）。k＝1的情况就是孪生质数猜想。 “孪生质数猜想”中所说的“孪生质数”是指相差为2的两个质数，如3和5都是质数，且5－3＝2，所以 3和5就是一对孪生质数；5和7也是一对孪生质数。
（1）在下面的横线上写出50以内除了3和5，5和7以外的所有孪生质数。
_____________________________________________________
（2）如果用和表示任意一对孪生质数，那么的和一定是（ ）。（括号里填“奇数”或“偶数”）在下面写出你的想法。
