第5课时 “因数和倍数”单元综合练习
一、填空。
1．资料卡：水上遇险求救电话号码是一个五位数，从左边起，第一位是所有自然数的因数，第二位既是偶数也是质数，第三位是3的最小的倍数，第四位既是奇数也是合数，第五位是把15的因数从小到大排列的第三个数。
请根据以上资料中信息解答。
(1)在1～20的数中，质数有( )，合数有( )，既是质数又是偶数的有( )，既是奇数又是合数的有( )。
(2)3的倍数有( )个，其中最小的是( )。314至少加上( )才能是3的倍数，至少减去( )才同时是2和5的倍数。
(3)一道有余数的整数除法算式：a÷b＝c……d，若b是最小的合数，c是最小的质数，则a最大是( )，最小是( )。
(4)15的因数有：( )。
(5)水上遇险求救电话号码是( )。
【答案】(1) 2、3、5、7、11、13、17、19 4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20
2 9、15
(2) 无数 3 1 4
(3) 11 9
(4)1、3、5、15
(5)12395
【分析】（1）一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。
一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。
整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。
（2）一个数的倍数的个数是无限的，最小倍数是它本身，没有最大倍数。
3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
（3）在有余数的除法中，余数一定要比除数小。最大的余数比除数小1，最小的余数是1。
根据除法中各部分的关系“被除数＝商×除数＋余数”，可知当余数最大时，被除数最大；当余数最小时，被除数最小。
（4）列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。
（5）综上所述，得出水上遇险求救电话号码。
【详解】（1）在1～20的数中，质数有2、3、5、7、11、13、17、19；
合数有4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20；
既是质数又是偶数的有2；
既是奇数又是合数的有9、15。
（2）3的倍数有无数个，其中最小的是3。
314至少加上1才能是3的倍数，至少减去4才同时是2和5的倍数。
（3）除数b是最小的合数即4，商c是最小的质数即2；
余数d＜除数4，d最大是3，d最小是1；
a最大：
2×4＋3
＝8＋3
＝11
a最小：
2×4＋1
＝8＋1
＝9
则a最大是11，最小是9。
（4）15的因数有：1、3、5、15；
（5）水上遇险求救电话号码是一个五位数，从左边起：
第一位是所有自然数的因数，即1；
第二位既是偶数也是质数，即2；
第三位是3的最小的倍数，即3；
第四位既是奇数也是合数，即9；
第五位是把15的因数从小到大排列的第三个数，即5；
所以，水上遇险求救电话号码是：12395。
2.微信支付给人们的生活带来了极大的便利。王扬帮奶奶设置了一个六位数的支付密码：个位上的数是最小的质数；十位上的数是10以内的最大合数；百位上的数既是8的因数，又是8的倍数；千位上的数既不是质数也不是合数（不为0）；万位上的数是最大的一位数；十万位上的数是6。这个支付密码是( )。
【答案】691892
【分析】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，据此确定各数位上的数，写出这个支付密码即可。
【详解】最小的质数是2，个位上的数是2；10以内最大的合数是9，十位上的数是9；既是8的因数，又是8的倍数，这个数是8，百位上的数是8；1既不是质数也不是合数，千位上的数是1；最大的一位数是9，万位上的数是9；再加上十万位上的数是6，因此这个支付密码是691892。
3．已知A＝2×3×C，B＝2×3×7×C（A和B是自然数），则A是B的( )数；如果B的最小倍数是84，则A的最大因数是( )。
【答案】 因 12
【分析】将A和B表示的算式进行合并，A＝2×3×C＝6C，B＝2×3×7×C＝42C，在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。
一个数的最小倍数是它本身，B的最小倍数是84，则B是84，根据积÷因数＝另一个因数，计算出C，将C代入A＝2×3×C，计算出A，再根据一个数的最大因数是它本身，确定A的最大因数。
【详解】A＝2×3×C＝6C，B＝2×3×7×C＝42C
A×7＝6C×7＝42C＝B，即7A＝B
84÷42＝2、A＝6C＝6×2＝12
已知A＝2×3×C，B＝2×3×7×C，则A是B的因数；如果B的最小倍数是84，则A的最大因数是12。
4．要使34□同时是2和5的倍数，□里可以填( )，要使37□同时是2和3的倍数，□里最大可以填( )。
【答案】 0 8
【分析】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。
5的倍数特征：个位上是0或5的数。
2、5的倍数特征：个位上是0的数。
3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
【详解】（1）要使34□同时是2和5的倍数，□里可以填0；
（2）先考虑37□是2的倍数，则□里可以是0、2、4、6、8；
3＋7＋0＝10，不是3的倍数；
3＋7＋2＝12，是3的倍数；
3＋7＋4＝14，不是3的倍数；
3＋7＋6＝16，不是3的倍数；
3＋7＋8＝18，是3的倍数；
8＞2
所以，要使37□同时是2和3的倍数，□里最大可以填8。
5．黑板上贴着7张数字卡片，细心的妙想发现：这7个数字正好是某个自然数的所有因数，这个自然数是（ ）。
【答案】64
【分析】根据因数和倍数的意义，a、b、c是不为0的自然数，当a×b＝c时，a和b是c的因数，c是a和b的倍数。如8＝1×8＝2×4，8的因数就有1、8、2、4，共4个。一个数的因数总是成对出现的，因数的个数一般是偶数个；又如16＝1×16＝2×8＝4×4，16的因数有1、16、2、8、4共5个，因为16＝4×4＝42，16因数的个数是奇数个。当一个数能表示成某个整数的平方的形式时，它的因数的个数是奇数个。据此解答即可。
【详解】16是这个数的因数，16的因数也一定是这个数的因数。16的因数有1、2、4、8、16共5个。16是这个数的因数，这个数就是16的倍数。当16的倍数中，16×4＝64＝82，64的因数有1、2、4、8、16、32、64，共7个因数。因此这个自然数是64。
【点睛】本题考查的是因数和倍数的意义，明确这个数是某个整数的平方是解题的关键。
6．一个四位数4□2□，它同时是2、3、5的倍数，这个数最大是( )，最小是( )。
【答案】 4920 4020
【分析】2的倍数的特征：个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数。
3的倍数的特征：各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
5的倍数的特征：个位是0或5的数是5的倍数。
【详解】首先这个四位数同时是2和5的倍数，可以判断出这个四位数的个位只能是0；4＋2＝6，一个四位数4□2□，它同时是2、3、5的倍数，这个数最大是4920，最小是4020。
【点睛】关键是掌握2、3、5的倍数的特征，同时是2和5的倍数的数个位数一定是0。
7．老师让同学们计算连续3个奇数的和，四名同学的答案分别如下。
聪聪：130 明明：132 可可：135 乐乐：150
算对的同学是( )，这3个连续奇数是( )、( )、( )。
【答案】 可可 43 45 47
【分析】根据奇数＋奇数＝偶数，偶数＋奇数＝奇数。据此可得本题的解。
【详解】根据奇数＋奇数＝偶数，偶数＋奇数＝奇数可以知道，三个连续奇数的和一定是一个奇数，所以只有可可的答案是正确的。可以算出三个奇数中间的那个数是，进而可以知道这三个连续奇数为43、45、47。
【点睛】明确“奇数＋奇数＋奇数＝奇数”是解答本题的关键。
8．智能快递柜进小区，解决了社区居民取快递“最后100米”的烦恼。这天，居民李阿姨收到一条带有取件码的短信息，根据下面的描述，请你猜一猜，李阿姨的取件码是( )。
取件码ABCD中，A是一位数中最大的奇数；B比最小的质数大1；C同时是2和3的倍数；D是最小的合数。
【答案】9364
【分析】个位上是1、3、5、7、9的数是奇数，一位数中最大的奇数是9；
因数只有1和本身的数是质数，最小的质数是2，B比最小的质数大1，那么B是3；
2×3＝6，2和3的最小公倍数是6，C是一位数，那么C是6；
除了1和本身，还有别的因数的数是合数，最小的合数是4。据此填空。
【详解】李阿姨的取件码是9364。
二、选一选。
1．蝎子、蛇、蜈蚣、壁虎、蟾蜍多在五月出没，古代民间认为五月端午射五毒，射到五毒就会无病无灾，强身健体。五一班也组织了端午小游戏，投沙包射中代表五毒的图片就算成功。最终共有奇数名同学挑战成功，其中，男生组成功15人，女生组可能成功（ ）人。
A．11 B．14 C．15 D．17
【答案】B
【分析】因为总共有奇数名同学挑战成功，而男生组成功 15 人，奇数＋偶数＝奇数，所以女生组成功的人数必须是偶数。逐一分析各选项：
A、11是奇数，不符合。
B、14是偶数，符合。
C、15是奇数，不符合。
D、17是奇数，不符合。
据此解答。
【详解】根据题意，需要满足最后的结果为奇数。14＋15＝29（人），最终结果为奇数。
故答案为：B。
2．古希腊数学家认为：如果一个数大于它的所有因数（本身除外）相加的和，那么这个数就是“亏数”，反之为“盈数”。例如：10有四个因数1、2、5、10，除本身10以外，还有1、2、5三个因数，10＞1＋2＋5，所以10就是“亏数”。下列数中是“亏数”的是（ ）。
A．12 B．14 C．18 D．36
【答案】B
【分析】根据“亏数”的意义，分别找出选项中各数的所有因数（本身除外），再把这些因数相加，然后与这个数进行比较即可解答。
【详解】A．12的因数有1、2、3、4、6、12，12＜1＋2＋3＋4＋6，则12不是“亏数”；
B．14的因数有1、2、7、14，14＞1＋2＋7，则14是“亏数”；
C．18的因数有1、2、3、6、9、18，18＜1＋2＋3＋6＋9，则18不是“亏数”；
D．36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36，36＜1＋2＋3＋4＋6＋9＋12＋18，则36不是“亏数”。
故答案为：B
3．下面表述有（ ）句是正确的。
①除2之外，任意两个质数的和一定是偶数。
②一个质数和一个合数一定是互质数。
③两个连续的非零自然数一定是互质数。
④a和b是两个不同的非零自然数，并且a是b的倍数，那么a的因数个数一定多于b的因数个数。
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】①除2之外，所有的质数都是奇数，因为奇数加奇数等于偶数， 所以除2之外，任意两个质数的和一定是偶数，表述正确；
②一个质数和一个合数不一定是互质数，例如2和4，其中2是质数，4是合数，它们公因数除了1还有2，2和4不是互质数 ，所以一个质数和一个合数一定是互质数，表述不正确；
③假设a和b是相邻的两个连续自然数，且a＞b， 若c为它们的公因数， 则c一定能整除a －b，由于a－b＝1，所以c ＝1，所以两个连续的非零自然数一定是互质数，表述正确；
④a和b是两个不同的非零自然数，并且a是b的倍数，假设a＝4，b＝2，则a的因数有1，2和4，b的因数有1和2，则a的因数个数一定多于b的因数个数。所以a和b是两个不同的非零自然数，并且a是b的倍数，那么a的因数个数一定多于b的因数个数，表述正确。
【详解】根据分析可得①③④正确，所以有3句是正确的。
故答案为：C
【点睛】本题考查因数与倍数、质数与合数、奇数与偶数，解答本题的关键是掌握这些知识点。
4．要让的计算结果是偶数，□内必须填（ ）数。
A．质数 B．合数 C．奇数 D．偶数
【答案】C
【分析】观察算式，要想使结果是偶数。因为28是偶数，那算式的乘积必为偶数。13是奇数，所以另一个因数应是偶数。括号中11是奇数，方块中应为奇数。据此可解答。
【详解】A、内是质数2时，计算结果不是偶数。
B、内合数是偶数时，计算结果不是偶数。
C、内是奇数时，计算结果是偶数。
D、内是偶数时，计算结果不是偶数。
故选：C
【点睛】本题考查奇偶性，结合选项用代入法是解题的一中策略。
5．今年，华华和妈妈的年龄和是一个奇数，则再过a年，他们俩的年龄和是（ ）。
A．奇数
B．偶数
C．可能是奇数，也可能是偶数
D．无法确定
【答案】A
【分析】再过a年，华华和妈妈的年龄一共增加了2a岁，2a岁是偶数，所以根据奇数＋偶数＝奇数，他们俩的年龄和还是奇数。
【详解】由分析得知，今年，华华和妈妈的年龄和是一个奇数，则再过a年，他们俩的年龄和是奇数。
故答案为：A
【点睛】本题主要考查了奇数和偶数的运算性质和应用，掌握相关性质是解答本题的关键。
三、问题解决。
1．拗九节在农历正月廿九日，是福建省福州十邑地区本土特有的民间传统节日，这天家家户户用糯米、红糖、桂圆等原料煮拗九粥，用来祭祖或馈赠亲友。此外，每年这一天，凡是岁数逢9，如9岁、19岁（称“明九”），或是9的倍数，如18岁、27岁（称“暗九”），都要像过生日一样，吃一碗“太平面”，以求平安、健康，也叫过“九”。小明的爸爸今年已经50岁了，你知道他过了几次“九”吗？
【答案】9次
【分析】分别找出50以内“明九”和“暗九”的次数，再相加，即可求出答案。
【详解】50以内“明九”有：9、19、29、39、49，共5次
50以内“暗九”有：18、27、36、45，共4次
5＋4＝9（次）
答：他过了9次“九”。
2．甲、乙两个冰柜里存放了一些雪糕，其中，一个冰柜里有奇数根雪糕，另一个冰柜里有偶数根雪糕。如果将甲冰柜的雪糕数乘3，乙冰柜的雪糕数乘2，那么甲、乙冰柜雪糕总量就变成59。小李认为：有偶数根雪糕的是甲冰柜，奇数根雪糕的是乙冰柜，你同意吗？请从“和与积的奇偶性”的角度阐述自己的想法和理由。
（1）你同意小李的观点吗？
（2）你的理由是：
【答案】（1）不同意。
（2）见详解
【分析】根据奇数＋偶数＝奇数，奇数×奇数＝奇数，奇数×偶数＝偶数。进行分析判断即可解答。
【详解】（1）不同意。
（2）“将甲冰柜的雪糕数乘3，乙冰柜的雪糕数乘2，那么甲、乙冰柜雪糕总量就变成59。”59是一个奇数，乙冰柜的雪糕数乘2，所以现在乙冰柜里的雪糕数是偶数，那么甲冰柜里现在的雪糕数是奇数。甲冰柜的雪糕数乘3是奇数，所以甲冰柜原来的雪糕数是奇数，则乙冰柜里的雪糕数是偶数。
【点睛】本题考查了算式的奇偶性，熟练理解并使用“奇数＋偶数＝奇数、奇数×奇数＝奇数、奇数×偶数＝偶数”是关键。
3．丁丁也不甘示弱：你们知道著名的“斐波那契”数列吗？它是这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，21，……从第三个数开始，以后每个数都是它前两个数的和，请问：前2016个数中共有多少个偶数？
【答案】672个
【分析】由奇数＋奇数＝偶数，偶数十奇数＝奇数，从而可以发现斐波那契数列中数列是以“奇数、奇数、偶数、奇数、奇数、偶数……”3个一周期排列的，所以2016÷3＝672（个）周期，每个周期里有1个偶数，672×1＝672（个），即有672个偶数。
【详解】2016÷3＝672（个）
672×1＝672（个）
答：前2016个数中共有672个偶数。
【点睛】找到题干中的数列规律是解题的关键。
4．老师带同学们去植树，一共植树312棵，每个人植树数目相同，并且不超过10棵。已知学生人数是3的倍数。一共有多少名学生？
【答案】51名
【分析】
把312分解因数，因为每人种树的数量不大于10，所以不可能是13，那么就应该由3和8组合，若每人种8棵，则总人数是39，学生分三组，还多一个李老师，人数是不对的，所以每人种6棵，一共人数312÷6＝52人，李老师除外，还有51人。
【详解】把312分解质因数：312＝2×2×2×3×13，
根据师生总人数是被3除余1的数；每人植树的棵数小于等于10棵，
所以把312分解成：312＝6×52
52被3除余1，即参加种树师生总人数为52名，每人植树6棵，所以学生有51名。
答：一共有51名学生。
【点睛】此题的解题关键是通过分解质因数以及3的倍数的特征求解。
四、一个长方形的周长是36米，它的长和宽是两个不同的质数，这个长方形的面积可能是多少？
【答案】65平方米；77平方米
【分析】根据长方形的周长求出长与宽的和，在长方形中长大于宽且长和宽是两个不同的质数据此求出所有符合条件的长与宽，最后利用“长方形的面积＝长×宽”求出长方形的面积，据此解答。
【详解】长与宽的和：36÷2＝18（米）
情况一：当宽为2米时，
长：18－2＝16（米）
因为16不是质数，所以不符合题意。
情况二：当宽为3米时，
长：18－3＝15（米）
因为15不是质数，所以不符合题意。
情况三：当宽为5米时，
长：18－5＝13（米）
因为5和13都是质数，所以符合题意。
面积：5×13＝65（平方米）
情况四：当宽为7米时，
长：18－7＝11（米）
因为7和11都是质数，所以符合题意。
面积7×11＝77（平方米）
由上可知，长方形的面积可能是65平方米和77平方米。
答：这个长方形的面积可能是65平方米和77平方米。
【点睛】掌握长方形的周长和面积计算公式并熟记100以内质数表是解答题目的关键。第5课时 “因数和倍数”单元综合练习
一、填空。
1．资料卡：水上遇险求救电话号码是一个五位数，从左边起，第一位是所有自然数的因数，第二位既是偶数也是质数，第三位是3的最小的倍数，第四位既是奇数也是合数，第五位是把15的因数从小到大排列的第三个数。请根据以上资料中信息解答。
(1)在1～20的数中，质数有( )，合数有( )，既是质数又是偶数的有( )，既是奇数又是合数的有( )。
(2)3的倍数有( )个，其中最小的是( )。314至少加上( )才能是3的倍数，至少减去( )才同时是2和5的倍数。
(3)一道有余数的整数除法算式：a÷b＝c……d，若b是最小的合数，c是最小的质数，则a最大是( )，最小是( )。
(4)15的因数有：( )。
(5)水上遇险求救电话号码是( )。
2.微信支付给人们的生活带来了极大的便利。王扬帮奶奶设置了一个六位数的支付密码：个位上的数是最小的质数；十位上的数是10以内的最大合数；百位上的数既是8的因数，又是8的倍数；千位上的数既不是质数也不是合数（不为0）；万位上的数是最大的一位数；十万位上的数是6。这个支付密码是( )。
3．已知A＝2×3×C，B＝2×3×7×C（A和B是自然数），则A是B的( )数；如果B的最小倍数是84，则A的最大因数是( )。
4．要使34□同时是2和5的倍数，□里可以填( )，要使37□同时是2和3的倍数，□里最大可以填( )。
5．黑板上贴着7张数字卡片，细心的妙想发现：这7个数字正好是某个自然数的所有因数，这个自然数是（ ）。
6．一个四位数4□2□，它同时是2、3、5的倍数，这个数最大是( )，最小是( )。
7．老师让同学们计算连续3个奇数的和，四名同学的答案分别如下。
聪聪：130 明明：132 可可：135 乐乐：150
算对的同学是( )，这3个连续奇数是( )、( )、( )。
二、选一选。
1．蝎子、蛇、蜈蚣、壁虎、蟾蜍多在五月出没，古代民间认为五月端午射五毒，射到五毒就会无病无灾，强身健体。五一班也组织了端午小游戏，投沙包射中代表五毒的图片就算成功。最终共有奇数名同学挑战成功，其中，男生组成功15人，女生组可能成功（ ）人。
A．11 B．14 C．15 D．17
2．古希腊数学家认为：如果一个数大于它的所有因数（本身除外）相加的和，那么这个数就是“亏数”，反之为“盈数”。例如：10有四个因数1、2、5、10，除本身10以外，还有1、2、5三个因数，10＞1＋2＋5，所以10就是“亏数”。下列数中是“亏数”的是（ ）。
A．12 B．14 C．18 D．36
3．下面表述有（ ）句是正确的。
①除2之外，任意两个质数的和一定是偶数。
②一个质数和一个合数一定是互质数。
③两个连续的非零自然数一定是互质数。
④a和b是两个不同的非零自然数，并且a是b的倍数，那么a的因数个数一定多于b的因数个数。
A．1 B．2 C．3 D．4
4．要让的计算结果是偶数，□内必须填（ ）数。
A．质数 B．合数 C．奇数 D．偶数
5．今年，华华和妈妈的年龄和是一个奇数，则再过a年，他们俩的年龄和是（ ）。
A．奇数
B．偶数
C．可能是奇数，也可能是偶数
D．无法确定
三、问题解决。
1．拗九节在农历正月廿九日，是福建省福州十邑地区本土特有的民间传统节日，这天家家户户用糯米、红糖、桂圆等原料煮拗九粥，用来祭祖或馈赠亲友。此外，每年这一天，凡是岁数逢9，如9岁、19岁（称“明九”），或是9的倍数，如18岁、27岁（称“暗九”），都要像过生日一样，吃一碗“太平面”，以求平安、健康，也叫过“九”。小明的爸爸今年已经50岁了，你知道他过了几次“九”吗？
2．甲、乙两个冰柜里存放了一些雪糕，其中，一个冰柜里有奇数根雪糕，另一个冰柜里有偶数根雪糕。如果将甲冰柜的雪糕数乘3，乙冰柜的雪糕数乘2，那么甲、乙冰柜雪糕总量就变成59。小李认为：有偶数根雪糕的是甲冰柜，奇数根雪糕的是乙冰柜，你同意吗？请从“和与积的奇偶性”的角度阐述自己的想法和理由。
（1）你同意小李的观点吗？
（2）你的理由是：
3．丁丁也不甘示弱：你们知道著名的“斐波那契”数列吗？它是这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，21，……从第三个数开始，以后每个数都是它前两个数的和，请问：前2016个数中共有多少个偶数？
4．老师带同学们去植树，一共植树312棵，每个人植树数目相同，并且不超过10棵。已知学生人数是3的倍数。一共有多少名学生？
四、一个长方形的周长是36米，它的长和宽是两个不同的质数，这个长方形的面积可能是多少？
