2024-2025学年江苏省无锡市天一中学高一（下）段考数学试卷（二）（3月份）（含答案）

2024-2025学年江苏省无锡市天一中学高一（下）3月段考
数学试卷（二）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列关于空间几何体的论述，正确的是( )
A. 有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
B. 有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
C. 连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线
D. 存在三棱锥，其四个面都是直角三角形
2.已知复数在复平面内对应的点为，则在复平面内对应的点为( )
A. B. C. D.
3.已知平面向量和满足，在方向上的投影向量为，则在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.充满气的车轮内胎不考虑胎壁厚度可由下面某个图形绕对称轴旋转而成，这个图形是( )
A. B. C. D.
5.已知是的外心，，，则的外接圆半径( )
A. B. C. D.
6.已知梯形是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图如图所示，其中，，，则的长度是( )
A. B. C. D.
7.如图，圆锥底面半径为，母线，，一只蚂蚁从点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达点，最短路线长度为( )
A.
B.
C.
D.
8.圣索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点．其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美．小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点三点共线处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，，下列说法正确的是( )
A. 若，则 B.
C. 若，则 D.
10.已知，，则正确的有( )
A.
B. 与方向相反的单位向量是
C. 与的夹角为
D. 在上的投影向量是
11.已知锐角三个内角，，的对应边分别为，，，且，，则下列结论正确的是( )
A. 的取值范围为 B. 的最小值为
C. 的面积最大值为 D. 的值可能为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图所示，三棱台的体积为，，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分几何体的体积为______．
13.已知的三个内角分别为、、，，求的值______．
14.在中，是边的中点，是线段的中点设，，若，的面积为，则当 ______时，取得最小值．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数．
若复数是方程的一个复数根，求实数，的值；
若复数满足，求
16.本小题分
已知，，分别为三个内角，，的对边，向量，，．
求；
若，求的面积．
17.本小题分
在直角梯形中，，，，点是边上的中点．
若点满足，且，求的值；
若点是线段上的动点含端点，求的取值范围．
18.本小题分
养殖户承包一片靠岸水域，如图，为直岸线，，，，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧，过弧上一点按线段和修建养殖网箱，已知．
求岸线上点与点之间的直线距离；
如果线段上的网箱每千米可获得万元的经济收益，线段上的网箱每千米可获得万元的经济收益记，设两段网箱获得的经济总收益为万元，求的取值范围．
19.本小题分
定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量．
若向量为函数的伴随向量，求；
若函数为向量的伴随函数，在中，，，且，求的值；
若函数为向量的伴随函数，关于的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数的取值范围．
参考答案
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13.
14.
15.解：，
所以，
，所以，；
因为，
所以，
所以．
16.解：根据，，可得，
结合题意，化简得，
根据正弦定理得，
因为中，，
所以，整理得．
结合中，，化简得，即，
在中，，所以，；
由，可得，化简得，
所以，
因为，
所以，整理得，解得舍负．
所以．
17.解：因为点是边上的中点，点满足，
所以，
因为，所以，所以；
以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建系，
则，，设，，
则，，
所以，，
当时，取得最小值；当时，取得最大值，
所以．
18.解：，为直岸线，，，，
该承包水域的水面边界是某圆的一段弧，过弧上一点按线段和修建养殖网箱，已知，
在中，由余弦定理，
得，
即岸线上点与点之间的直线距离为千米；
如果线段上的网箱每千米可获得万元的经济收益，线段上的网箱每千米可获得万元的经济收益，
记，设两段网箱获得的经济总收益为万元，
在中，设，
，
故有，
，
设两段网箱获得的经济总收益为万元，
则
，
，，，
故的取值范围为．
19.解：因为
，
则，
故；
因为为向量的伴随函数，
所以，
所以，可得，
因，则，
故，解得，
因，
则，
又，
代入解得，
由正弦定理，，
可得，，
代入，可得，
又由余弦定理，，
可得，
于是，
解得；
因为为向量的伴随函数，
所以，
由，
可得，
即，
当或时，
；
当时，，
作出函数在上的图象．
因方程在上有且仅有四个不相等的实数根，
等价于函数与函数的图象在上有四个交点．
由图知，当且仅当时，两函数有四个交点．
故实数的取值范围为．
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