2024-2025学年广东省深圳大学附属实验中学高二下学期第一次段考数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省深圳大学附属实验中学高二下学期第一次段考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若物体的运动方程是，时物体的瞬时速度是( )
A. B. C. D.
2.已知函数，则( )
A. B. C. D.
3.已知函数在处有极大值，则的值为( )
A. B. C. D. 或
4.已知函数的导数，则数列的前项和是
A. B. C. D.
5.若对于任意的，都有，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.记为等比数列的前项和，若，，则 ．
A. B. C. D.
7.笛卡尔心形线的极坐标方程是某同学利用电脑软件将，两个画在同一直角坐标系中，得到了如图“心形线”观察图形，当时，的导函数的图象为( )
A. B. C. D.
8.设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专家到，，，，五家医院进行核酸检测指导，每名专家只能选择一家医院，且允许多人选择同一家医院，则( )
A. 所有可能的安排方法有种
B. 若 医院必须有专家去，则不同的安排方法有种
C. 若专家甲必须去 医院，则不同的安排方法有种
D. 若三名专家所选医院各不相同，则不同的安排方法有种
10.已知函数与其导函数的部分图象如图所示，若函数，则下列的结论正确的是( )
A. B. 在区间上单调递增
C. 当时，函数有极小值 D. 当时，函数有极小值
11.已知数列的前项和为，满足，数列满足，记，数列的前项和为，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 若，则的最大值为 D. 满足的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的系数为 用数字填写答案
13.已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则 ．
14.国际数学家大会是由国际数学联盟主办的国际数学界规模最大也是最重要的会议，每四年举行一次，被誉为数学界的奥林匹克盛会．第届国际数学家大会在北京召开，其会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由一个正方形和四个全等的直角三角形构成如图现给图中个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色．若有种不同的颜色可供使用，则不同的涂色方案有 种．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的展开式中，其前三项的二项式系数的和等于．
求展开式中所有二项式系数的和；
求展开式中所有项的系数之和；
求展开式中的常数项．
16.本小题分
已知数列的前项和为，且满足．
求数列的通项公式；
已知，求数列的前项和为．
17.本小题分
设函数，其中．
当时，求函数在处的切线方程；
讨论的单调性；
18.本小题分
已知数列中，，．
求，；
证明：为等差数列；
求的前项和．
19.本小题分
已知函数
讨论的单调性；
若函数恰有两个极值点、．
求的取值范围；
证明：
参考答案
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15.解：由题意，前三项的二项式系数和为，解得或舍去，
所以中，展开式中所有二项式系数的和为；
由得，令，得展开式中所有项的系数之和为；
由得，其展开式通项公式为，
令得，所以展开式中的常数项为．

16.解：，
当时，，解得，
当时，，
式子得，故，
因为，所以，所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以；
，
．

17.解：当时，，故，
此时函数在处的切线方程为：．
由题意，的定义域为，
，
则当时，单调递增；当时，单调递减．
故函数在上单调递减，在上单调递增．

18.解：由题意可得，
所以由．
证明：因为，所以，，
所以数列为首项为，公差为的等差数列．
由得，所以，
所以的前项和，
所以，
所以，
所以．

19.解：由题意知．
当时，，所以的增区间为，无减区间；
当时，令，解得，令，解得，
此时，函数的减区间为，增区间为．
综上所述，当时，函数的增区间为，无减区间；
当时，函数的减区间为，增区间为．
由题意知，
所以，
因恰有两个极值点、，所以方程，即方程有两不等正根，
所以，解得，即的取值范围为；
由知，，
所以，
所以，
令，其中，所以，
因为函数、在上均为增函数，
则函数在上单调递增，
又，，
所以，使得，即，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又在上单调递增，则，
所以，所以，所以．

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