湖南省永州市祁阳市浯溪一中2024-2025学年下学期4月考九年级数学试卷(含答案)

湖南省祁阳市浯溪一中2024-2025学年下学期4月考九年级数学试卷
时间：120分钟 满分：120分
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．﹣2025的相反数是（　　）
A．2025 B．﹣2025 C． D．
2．一个由长方体截去一部分后得到的几何体如图水平放置，其左视图是（　　）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A．a6÷a3＝a2 B．a2+2a2＝3a2 C．（2a）3＝6a3 D．（a+1）2＝a2+1
4．2025年初，祁阳市常住人口为119.1万人，其中数据“119.1万”用科学记数法表示为（　　）
A．11.91×105 B．1.191×105
C．1.191×106 D．0.1191×107
5．规定以下两种变换：①f（m，n）＝（m，﹣n），如f（2，1）＝（2，﹣1）；②g（m，n）＝（﹣m，﹣n），如g（2，1）＝（﹣2，﹣1）．按照以上变换，那么g[f（﹣2，3）]等于（　　）
A．（2，3） B．（2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（﹣2，﹣3）
6．如图，AC∥BD，AD与BC相交于点O，若∠AOB＝70°，∠B＝32°，则∠A的度数为（　　）
A．32° B．70° C．38° D．45°
第6题图 第7题图 第8题图 第10题图
7．如图，某同学用一个等边三角形ABC和一个正五边形BCDEF设计了一个宝石徽章，其中BC为两个图形的公共边，连接AE，CF交于点G，下列说法错误的是（　　）
A．AC⊥CF B．DE∥CF C．△EFG是等腰三角形 D．AE垂直平分BC
8．如图，已知圆O的直径为6，CD为圆O的直径，且CD⊥AB，∠D＝15°．则OE的长为（　　）
A．3 B．3 C． D．
9．在申请加入中国共青团的过程中，团课笔试是一个重要的环节．某校组织65名申请入团的同学进行团课笔试，其中有32人笔试合格．小轩已经查出自己的成绩，他想判断自己笔试是否合格，只需要知道65人笔试成绩的（　　）
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差
10．如图，把正方形ABCD放在平面直角坐标系中，点D是坐标原点，点C，A分别在x，y轴的正半轴上且，点O是对角线AC，BD的交点，过点O作射线OM，ON分别交边BC，CD于点E，F，且OF⊥OE于点O，OC，EF交于点G．给出下列结论：①△COE≌△DOF；②△EOF∽△BOC；③四边形CEOF的面积总是正方形ABCD面积的；④DF2+BE2＝2OE2；⑤当时，点G的坐标为（6，2）．其中正确结论的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．若二次根式有意义，则x的取值范围是 　 　 ．
12．方程的解是 　 　 ．
13．已知一元二次方程x2﹣2x+1＝9有一个实数根是﹣2，则方程的另一个根是 　 　 ．
14．圆周率π是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对π有过深入的研究．目前，超级计算机已计算出π的小数部分超过31.4万亿位．有学者发现，随着π小数部分位数的增加，0﹣9这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同，从π的小数部分随机取出一个数字，估计数字是3的概率为 　 　 ．
第14题图 第15题图 第16题图 第17题图
15．如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AD于点E；分别以点B，E为圆心，大于BE长为半径画弧，两弧相交于点F，射线AF交BC于点G．若AB＝10，BE＝12，则AG的长为 　 　 ．
16．现有不等臂跷跷板AB，当AB的一端点A碰到地面时（如图（1）），另一端点B到地面距离为3米；当AB的另一端点B碰到地面时（如图（2）），端点A到地面距离为2米，那么跷跷板AB的支撑点O到地面的距离OH＝　 　 米．
17．已知：如图，DE∥BC，AD：BD＝1：2，则S△ADE：S四边形BCED＝　 　 ．
18．一次数学考试共有8道判断题，每道题10分，满分80分．规定正确的画√，错误的画×．甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如表所示，则m的值为 　 　 ．
题号学生 1 2 3 4 5 6 7 8 得分
甲 × √ × √ × × √ × 60
乙 × × √ √ √ × × √ 50
丙 √ × × × √ √ √ × 50
丁 × √ × √ √ × √ √ m
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．（6分）计算：．
20．（6分）解不等式组：．
21．（8分）为了解学生的睡眠情况，某校随机抽取部分学生对他们最近两周的睡眠情况进行调查，得到他们每日平均睡眠时长x（单位：h）的一组数据，将所得数据分为四组（A：x＜8；B：8≤x＜9；C：9≤x＜10；D：x≥10），并绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次一共抽样调查了 　 　 名学生．
（2）求出扇形统计图中D组所对应的扇形圆心角的度数．
（3）将条形统计图补充完整．
（4）若该校共有1200名学生，请估计最近两周有多少名学生的每日平均睡眠时长大于或等于9h．
22．（8分）如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E在边CB的延长线上，且∠EAC＝90°，AE2＝EB EC．求证：
（1）△AEB △CEA；
（2）四边形ABCD是矩形．
23．（9分）为抗击疫情，人们众志成城，响应号召，某药店销售普通口罩和W95口罩．
（1）计划W95口罩每包售价比普通口罩贵16元，14包普通口罩和6包W95口罩总售价相同，求普通口罩和W95口罩每包售价；
（2）已知普通口罩每包进价6元，按（1）中售价销售一段时间后，发现普通口罩的日均销售量为120包，当每包降价1元时，日均销售量增加20包．该药店秉承让利于民的原则，对普通口罩进行降价销售，但要保证当天普通口罩的利润为640元，求此时普通口罩每包售价．
24．（9分）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA，OB，此时各叶片影子在点M右侧成线段CD，测得MC＝8.5m，CD＝13m，设光线与地面夹角为α，测得．
（1）求点O，M之间的距离．
（2）转动时，求叶片外端离地面的最大高度．
25．（10分）综合与探究
如图，抛物线与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，1）．抛物线的对称轴交x轴于点D，过点B作直线l⊥x轴，连接CD，过点D作DE⊥CD，交直线l于点E，作直线CE．
（1）求抛物线的函数表达式并直接写出直线CE的函数表达式；
（2）如图，点P为抛物线上第二象限内的点，设点P的横坐标为m，连接BP与CE交于点Q，当点Q为线段BP的中点时，求m；
（3）若点M为x轴上一个动点，点N为抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（10分）平面直角坐标系xOy中的⊙P与⊙P上一点Q，若存在一点M（点M不与点Q）使得直线QM绕点M旋转90°，所得直线恰好经过PQ中点，则称点M为⊙P的“内直点”．如图所示点M为⊙P的内直点，平面直角坐标系中⊙θ半径为r．
（1）若r＝4，下列各点：P1（0，1），P2（3，0），，P4（5，2）中是⊙O的“内直点”的是 　 　 ；
（2）在（1）条件下，若一次函数上存在⊙O的“内直点”，结合图形求k的取值范围；
（3）直线y＝3x+5与x轴交于点E与y轴交于点F，若线段EF上存在⊙O的“内直点”，直接写出此时半径r的取值范围．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A． D B C． A C A D A D
7．【解析】A、∵五边形BCDEF是一个正五边形，且△ABC是一个等边三角形，∴内角和为（5﹣2）×180°＝540°，BC＝BF，∠ACB＝60°，∴∠CBF＝540°÷5＝108°，∴，∴∠ACF＝∠ACB+∠BCF＝60°+36°＝96°≠90°，∴AC不垂直于CF，此选项错误，但符合题意；B、由A选项得∠BFC＝36°，∴∠CFE＝∠BFE﹣∠BFC＝108°﹣36°＝72°，∴∠CFE+∠FED＝72°+108°＝180°，∴DE∥CF，此选项正确，但不符合题意；C、如图，连接BE、CE，∵五边形BCDEF是一个正五边形，且△ABC是一个等边三角形，∴EF＝BF＝CD＝DE＝AB＝AC，∠BFE＝∠CDE＝108°，在△BFE和△CDE中，，∴△BFE≌△CDE（SAS），∴∠FEB＝∠DEC；同理可证△ABE≌△ACE（SSS），∴∠BEA＝∠CEA，∴∠FEB+∠BEA＝∠DEC+∠CEA，∴，∵由B选项得∠CFE＝72°，∴∠FGE＝180°﹣∠CFE﹣∠FEA＝180°﹣72°﹣54°＝54°，∴FG＝FE，∴△EFG是等腰三角形．此选项正确，但不符合题意；D、∵△BFE≌△CDE，∴BE＝CE，∵AB＝AC，∴AE是BC的垂直平分线．此选项正确，但不符合题意．故选：A．
10．【解析】∵正方形ABCD，∴OD＝OC＝OB＝OA，AD＝CD＝BC，∠ODF＝∠OCE＝45°，∠DOC＝90°，∵∠DOF+∠FOC＝90°＝∠FOC+∠COE，∴∠DOF＝∠COE，∵∠DOF＝∠COE，OD＝OC，∠ODF＝∠OCE＝45°，∴△DOF≌△COE（ASA），①正确，故符合要求；∴S△DOF＝S△COE，OF＝OE，DF＝CE，∴CF＝BE，∴，③正确，故符合要求；∵，∠FOE＝90°＝∠COB，∴△EOF∽△BOC，②正确，故符合要求；由勾股定理得，EF2＝CF2+CE2，EF2＝OE2+OF2，∴CF2+CE2＝OE2+OF2，即DF2+BE2＝2OE2，④正确，故符合要求；由勾股定理得，，解得，AD＝CD＝8，
如图，作GH⊥CD于H，∵，∴，∵∠GHC＝90°＝∠ADC，∠GCH＝∠ACD，∴△GCH∽△ACD，∴，即，解得，GH＝2，CH＝2，∴G（6，2），⑤正确，故符合要求；故选：D．
11．x，12．x＝3．13． 4．14．．15． 16．16． 1.2．17． 1：8．18． 60．【解析】∵乙、丙第2，5题答案相同，且总得分相同，∴第2，5两题答案正确；又∵甲得分60分，即甲错两题且第2题、第5题答案均与乙、丙不同，∴其余6题答案均正确，∴这8道判断的答案分别是：×√√×√，对比丁的答案，可知其2，8两题错误，∴m＝6×10＝60．
19．解：＝9+1．
20．解：，解不等式①得：x＞﹣4，解不等式②得：x＜3，则不等式组的解集为﹣4＜x＜3．
21．解：（1）本次调查的学生人数为16÷32%＝50（名），故答案为：50；（2）表示D组的扇形圆心角的度数为360°14.4°；（3）A组人数为50﹣（16+28+2）＝4（名），补全图形如下：
（4）1200720（名）．答：估计该校最近两周有720名学生的每日平均睡眠时长大于或等于9h．
22．证明：（1）∵AE2＝EB EC，∴，∵∠E＝∠E，∴△AEB∽△CEA；
（2）由（1）可知，△AEB∽△CEA，∴∠EAB＝∠ECA，∵∠EAC＝90°，∴∠EAB+∠BAC＝90°，∴∠ECA+∠BAC＝90°，∴∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD为矩形．
23．解：（1）设普通口罩每包的售价为x元，W95口罩每包的售价为y元，依题意得：，
解得：．答：普通口罩每包的售价为12元，W95口罩每包的售价为28元．
（2）设普通口罩每包售价为m元，则普通口罩每包的销售利润为（m﹣6）元，日均销售量为120+20（12﹣m）＝（360﹣20m）包，依题意得：（m﹣6）（360﹣20m）＝640，整理得：m2﹣24m+140＝0，解得：m1＝10，m2＝14．又∵对普通口罩进行降价销售，∴m＝10．
答：此时普通口罩每包售价为10元．
24．解：（1）如图，过点O作AC、BD的平行线，交CD于H，由题意可知，点O是AB的中点，∵OH∥AC∥BD，∴，∴点H是CD的中点，∵CD＝13m，∴，∴MH＝MC+CH＝8.5+6.5＝15（m），由题意可知：∠OHM＝∠BDC＝α∴，∴，解得OM＝10m，∴点O、M之间的距离等于10m；（2）过点O作水平线OJ交BD于点J，过点B作BI⊥OJ，垂足为I，延长MO，使得OK＝OB，∵BI⊥OJ，∴∠BIO＝∠BIJ＝90°，由题意可知：∠OBJ＝∠OBI+∠JBI＝90°，又∵∠BOI+∠OBI＝90°，∴∠BOI＝∠JBI，∴△BIO∽△JIB，∴，∴，，∵OJ∥CD，OH∥DJ，∴四边形OHDJ是平行四边形，∴OJ＝HD＝6.5m，∵，∴IJ＝4.5m，BI＝3m，OI＝2m，在Rt△OBI中，由勾股定理得：OB2＝OI2+BI2，∴，∴，∴，∴叶片外端离地面的最大高度等于．
25．解：（1）由题意得：，解得：，则抛物线的表达式为：yx2x+1，
则抛物线的对称轴为直线x＝3，即点D（3，0），令yx2x+1＝0，则x＝1或5，
即点B（5，0），则BD＝2，OD＝2，OC＝1，∵∠CDO+∠EDB＝90°，∠EDB+∠DEB＝90°，
∴∠CDO＝∠DEB，∴tan∠CDO＝tan∠DEB，即，即，
解得：BE＝6，则点E（5，6），由点C、E的坐标得，直线CE的表达式为：y＝x+1；
（2）设点P（m，m2m+1），
而点B（5，0），
∵点Q为线段BP的中点，由中点坐标公式得：点Q（，m2m），
将点Q的坐标代入直线CE的表达式得：m2m1，
解得：m（不合题意的值已舍去）；
（3）存在，理由：设点N（m，m2m+1），点M（x，0），
当DE为对角线时，中点坐标公式得：，
解得：，即点M的坐标为：（5，0）或（5，0）；
当EN或EM为对角线时，同理可得：或，
解得：x＝1±，即点M的坐标为：（1，0）或（1，0）；
综上，点M的坐标为：（1，0）或（1，0）或：（5，0）或（5，0）．
26．解：（1）如图，
设半径OQ的中点为A，则点A的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆，
∵∠AMQ＝90°，∴点M的轨迹是以OA为直径的圆（不包括与半径为2和4相切的点），
∴点M在圆环内，∵OP1＜2，OP3＝4，OP4＞5
∴点P1，P3，P4不是⊙O的“内置点”，∵2＜OP2＜4，∴P2是⊙O的“内置点”，故答案为：P2；
（2）如图2，∵y＝kx+4k（x+4），∴直线y＝kx+4过C（﹣4，0），
设直线y＝kx+4与半径为4的圆且与点A和点B，连接OA，OB，∴∠OAC＝∠OBC＝90°，
∵OA＝OB＝4，∴sin∠OCB＝sin∠OCA，∴∠OCA＝∠OCB＝45°，
∴kBC＝1，kAC＝﹣1，∴0＜k＜1或﹣1＜k＜0；
（3）如图3，直线y＝3x+5记作直线l，直线l与x轴交于点B，交y轴于点C，当直线l与⊙O相切于点A，连接OA，可得OB，OC＝5，BC，∠CAO＝90°，∵sin∠ACO，
∴，∴OA，如图4，当r＝10时，EF和圆环交于点C，
∴．
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