2024-2025学年江西省六校高二（下）第一次联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年江西省六校高二（下）第一次联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在正项等比数列中，若，则等于( )
A. B. C. D.
2.与直线垂直，且与曲线相切的直线与两坐标轴围成三角形的面积为( )
A. B. C. D.
3.用数学归纳法证明，在验证成立时，左边的项是( )
A. B. C. D.
4.在数列中，，，则( )
A. B. C. D.
5.若函数在处可导，则等于( )
A. B. C. D.
6.已知等差数列中，，设函数，记，则数列的前项和为( )
A. B. C. D.
7.若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知是数列的前项和，且，，则下列结论正确的是( )
A. 数列为等比数列 B. 数列为等比数列
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
10.已知为等差数列的前项和，公差为若，，则( )
A. 数列为递增数列 B.
C. 当且仅当时，取到最大值 D.
11.斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”，在数学上斐波那契数列以的递推方法定义，已知，，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数的导函数为，且满足，则 ______．
13.张丘建算经是中国古代的数学著作，书中有一道“今有女善织，日益功疾”的题若第一天织布尺市制长度单位，从第天开始，每天比前一天多织相同量的布，现个月按天计共织尺布，则第天比前一天多织布______尺结果用分数表示
14.若函数，在处的切线与的图像有三个公共点，则的范围______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设点为曲线：上任意一点．
求曲线：在点处切线倾斜角的取值范围；
求过点且与曲线相切的直线方程．
16.本小题分
已知数列的首项，的前项和为且满足．
证明：数列是等差数列；
若，求数列的前项和．
17.本小题分
已知等差数列为递增数列，且满足，．
求的通项公式；
若数列满足，求的前项和的最大值、最小值．
18.本小题分
已知函数，．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若，是否存在直线与曲线和都相切？若存在求出所有这样的直线；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知数列满足
求数列的通项公式；
设数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求的取值范围；
记，，数列的前项和为，求证：．
参考答案
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15.解：因为，所以，
设出的切线斜率为，切线的倾斜角为，
则，又，且，
所以倾斜角的范围为；
设过的切线切曲线于点，
则切线方程为，又其过点，
所以，
整理得到，解得或，
当时，切线方程为；
当时，切线方程为，
所以所求切线方程为或．
16.解：证明：因为，
所以，
所以，又，
所以数列是以首项为，公差为的等差数列；
由可知，所以，
所以，，
两式相减可得，，
又也满足上式，
所以；
所以，
所以，
所以，
所以
，
所以．
17.解：等差数列为递增数列，且满足，，
所以，，
解得，，所以，，
所以；
由可得，
所以，
设数列的前项和为，
则，
当为奇数时，，
所以，
当为偶数时，，
所以，
综合可得的前项和的最大值为，最小值为．
18.解：当时，，所以，
所以，
所以当时，在点处的切线方程为：
，即为；
若，则，，
所以，，
若存在两函数的公切线分别切两函数于点，，
则，所以，
所以，
解得或，
所以，，所求切线为，
或，，所求切线为，
即存在切线或满足题意．
19.解：因为，
所以当时，，
两式相除可得，
又也符合上式，
所以；
由可知，
又不等式对任意的恒成立，且，
所以，
设，则易知在上单调递减，在上单调递增，
因为，
所以当时，，
当时，，
所以的取值范围为；
证明：因为，所以是递减数列，
所以，
所以，
所以．
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