2024-2025学年广东省深圳市南方科技大学附中高一（下）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省深圳市南方科技大学附中高一（下）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法不正确的是( )
A. 向量的模是一个非负实数
B. 任何一个非零向量都可以平行移动
C. 两个有共同起点且共线的向量终点也必相同
D. 长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量
2.已知向量，，若，则实数( )
A. B. C. D.
3.已知，，则的值为( )
A. B. C. D.
4.如图，点是的重心，点是边上一点，且，，则( )
A.
B.
C.
D.
5.已知定义在上的奇函数满足；，，且，，则的解集为( )
A. B.
C. D.
6.等腰梯形中，平行于，，，，为腰所在直线上任意一点，则的最小值是( )
A. B. C. D.
7.在中，角，，所对的边分别是，，，已知，则( )
A. B. C. D.
8.函数的部分图象如图所示，则下列选项不正确的是( )
A. 函数的图象关于点中心对称
B. 函数的单调增区间为
C. 函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
D. 函数在上有个零点，则实数的取值范围为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，则( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则向量与向量的夹角的余弦值为
D. 若，则向量在向量上的投影向量为
10.已知角，，是的三个内角，下列结论一定成立的有( )
A. 若，则一定是等腰三角形
B. 若，则
C. 若是锐角三角形，则
D. 若，则一定是钝角三角形
11.“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论奔驰定理与三角形四心重心、内心、外心、垂心有着神秘的关联它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且以下命题正确的有( )
A. 若：：：：，则为的重心
B. 若为的内心，则
C. 若为的垂心，，则：：：：
D. 若，，为的外心，则
三、填空题：本题共3小题，共15分。
12.设向量的夹角的余弦值为，，，则 ______．
13.已知正数，满足，则的最小值为______．
14.在中，内角，，的对边分别为，，，且，，，则 ； ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，所对边分别为，，，已知．
求角的大小；
若，的面积为，求的周长．
16.本小题分
已知，的夹角为，且，设，．
若，求实数的取值；
时，求与的夹角；
是否存在实数，使得，若存在，求出实数．
17.本小题分
已知中，角，，的对边分别是，，，且．
求的大小；
设是边上的高，且，求面积的最小值．
18.本小题分
在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，满足．
求证：；
若，求边的范围；
求的取值范围．
19.本小题分
已知向量，，函数．
求函数的解析式和单调递增区间；
若，，分别为三个内角，，的对边，，，，试判断这个三角形解的个数，并说明理由；
若时，关于的方程恰有三个不同的实根，，，求实数的取值范围及的值．
参考答案
1.
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10.
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12.
13.
14. ；或
15.解：因为，
在中，，即；
由知，，
所以，
即，所以，
又，即，
所以的周长为．
16.解：，的夹角为，且，
．
由，得
，解得；
时，，
，
．
．
与的夹角为；
由，得，
即，解得．
存在实数，使得．
17.解：依题意得，
所以，所以，
所以，即，又因为，所以；
由，所以，
由余弦定理得，即，
所以，即，
所以，当且仅当时取“等号”，
而，故．
18.解：证明：因为，
所以，
由正弦定理可得，
又因为，
代入可得，
所以，
因为，，
所以，
所以，
所以或，
所以或舍去，
所以．
因为为锐角三角形，，
所以，
因为，解得，
又，
故．
由知．
因为，
，
令，
所以在上单调递增，
所以，
所以的取值范围为．
19.解：由题意知，
令，解得：，
的单调递增区间为．
，，
即，又，．
假设三角形存在，由正弦定理可得，，
时，，
，三角形无解．
当时，，
，三角形有唯一解．
时，，此时，
，有两个不同的值，故三角形有两解．
当时，，，故三角形有唯一解．
综上所述，当时，三角形无解；当或时，三角形有唯一解；当时，三角形有两解．
，
方程可化为，
即，
化简得：，
即，
或，
又时，方程有三个不同的实根，且当时，，
在上有两个不同的实根为，，
又，
，解得，
易知，关于对称，
，即，
．
综上所述，的取值范围为的值为．
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